Conceitos de Análise Espectral de Sinais em Geofísica

432 Pages·2015·67.51 MB·Portuguese

by  Lourenildo W. B. Leite

CONCEITOS DA ANA� LISE ESPECTRAL
DE SINAIS EM GEOFI�SICA
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ω
G(ω)
ω ω
H(ω) X F(ω)
Lourenildo W. B. Leite
Conceitos da An´alise Espectral de
Sinais em Geof´ısica
Lourenildo W. Barbosa Leite
Figura da contra-capa:
Transformada Wigner-Ville da fun¸c˜ao exponencial Gaussiana.
Impresso e encadernado:
Gr´afica e Editora Santa Marta.
http://www.graficasantamarta.com.br
Copywright ©Lourenildo Williame Barbosa Leite - 2015.
Todos os direitos reservados (Lei No. 5988 de 14/12/1973).
Embora a lei descreve que a reproduc¸˜ao total ou parcial, de qualquer forma ou por qualquer meio,
comercializa¸c˜ao, tradu¸c˜ao ou adapta¸c˜ao ´e proibida sem a permiss˜ao expressa do autor ou
delega¸c˜ao do mesmo, adianto que este livro n˜ao visa lucro, e pode ser usado livremente com o
reconhecimento da fonte.
Autor: [email protected]
Comissa˜o editorial do INCT-GP: Amin Bassrei, Jess´e Carvalho Costa, Joerg Dietrich Wilhelm
Schleicher, Milton Jos´e Porsani, S´ergio Adriano Moura Oliveira e Walter Eugˆenio de Medeiros.
Dados Internacionais de Cataloga¸c˜ao na Publica¸c˜ao (CIP)
Biblioteca do Instituto de Geociˆencias/SIBI/UFPA
L533c Leite, Lourenildo Williame Barbosa, 1944 -
Conceitos da An´alise Espectral de Sinais em Geof´ısica.
Lourenildo Williame Barbosa Leite - 2015
432 p.: il.; 28 cm.
Inclui bibliografia
ISBN: 978-85-64787-01-8
1. Geof´ısica. 2. Geof´ısica aplicada. 3. An´alise espectral. I. T´ıtulo.
CDD 22. ed. 550
Instituto Nacional de Ciˆencia e Tecnologia de Geof´ısica do Petr´oleo, INCT-GP.
Instituto de Geociˆencias da UFBA - Ondina
Rua Bar˜ao de Jeremoabo, s/n
CEP: 40170 - 115 Salvador, Bahia.
Telefone/Fax: [phone]
[email protected]
www.inct-gp.org
1a. edi¸c˜ao.
Arte Gr´afica:
Wildney W. S. Vieira
Programa de P´os-gradua¸c˜ao em Geof´ısica da UFPA.
Dedicat´oria
Asdurezasdavidanormalmentepreparaumapessoacomumparaumdestinoextraordionário.(C.S.Lewis).
Petra
Ado
Theo
filha
filho
neto
Apresentac¸˜ao
Porqueoscientistascontinuamadependerdemodeloseteoriasqueelessabemqueelassãoparcialmenteimprecisas?
(PerguntaPopular).
Éamarcadeumapessoaeducadaprocuraraprecisãoemcadaclassedeproblemasatéopontoqueanaturezalhe
permite.(Aristoteles).
Este´e o terceiro livro publicado pelo Instituto Nacional de Ciˆencia e Tecnologia de Geof´ısica do
Petr´oleo (INCT-GP). O INCT-GP teve in´ıcio em julho de 2008 e´e um dos 122 projetos criados pelo
CNPq,comopartedoProgramaInstitutosNacionaisdeCiˆenciaeTecnologia(INCT),contandocom
apoio financeiro do CNPq/MCT, PETROBRAS e da Coordenac¸˜ao de Aperfei¸coamento de Pessoal
de N´ıvel Superior (Capes/MEC). O INCT-GP reu´ne professores e pesquisadores de 5 universidades
brasileiras (UFBA, UFPA, UFRN, UNICAMP e UENF) que atuam na pesquisa e forma¸c˜ao de RHs
nas ´areas de geof´ısica, geologia e engenharias aplicadas `a explora¸c˜ao de petr´oleo e aos estudos de
reservat´orios.
Olivro,destinadoaestudantes,professoresepesquisadoresdas´areasdegeociˆenciasqueutilizam
an´alise de sinais, inclui 12 cap´ıtulos e 10 apˆendices, apresentando os princ´ıpios te´oricos e fundamen-
tos utilizados na an´alise de sinais anal´ogico-digitais nos dom´ınios tempo-espa¸co, e nos respectivos
dom´ınios espectrais. Ao final dos cap´ıtulos, h´a um resumo da teoria e m´etodos al´em de exerc´ıcios
te´oricos e computacionais. O texto e as ilustrac¸˜oes, assim como os exemplos num´ericos apresen-
tados refletem a vasta experiˆencia acadˆemica do autor iniciada na p´os-gradua¸c˜ao em geof´ısica nos
EUA e continuada como professor e pesquisador do Instituto de Geociˆencias e do Programa de
P´os-gradua¸c˜ao em Geof´ısica da UFPA, ao longo dos u´ltimos 40 anos.
Prof. Dr. Milton Jos´e Porsani
Coordenador do INCT-GP
Salvador, Bahia, Novembro de 2015
Agradecimentos
Nuncapermitiqueaminhaescolaridadeinterferissenaminhaeducação.(MarkTwain).
Educaçãoéahabilidadedeseouvirquasetudosemperderapaciênciaousuaprópriaconfiança.(RobertFrost).
Esta lista pode ser considerada infinita! Isto porque a lista da cultura no assunto ´e t˜ao longa
quanto o desejado, e falamos apenas da que ´e considerada pu´blica e not´oria.
Este assunto, caracterizado pelo seu conteu´do, reu´ne filosoficamente o Velho e o Novo; em
algumas ocasi˜oes o Velho passa a ser Novo, e em outras o Novo passa a ser Velho. A dinˆamica
Velho-Novo ´e, antes de qualquer coisa, viva, dinˆamica e salutar!
Olhando ao redor do trabalho empreendido, destaco v´arias pessoas que serviram `a conversa
franca, entre eles os velhos colegas Luis Rijo, Peter Hubral e Boris Sibiryakov, e ainda nos velhos
tempos o Prof. Helmo M. Rand.
Quanto ao incentivo dentro da institui¸c˜ao de trabalho, destaco o Diretor do IG, Prof. Jo˜ao
Batista Miranda Ribeiro, a Coordenadora do CPGF, Profa. Ellen N. S. Gomes e a Diretora da
FAGEOF, Profa. Carolina Barros da Silva.
Quanto `a ajuda direta na formata¸c˜ao e figuras agradec¸o ao Dr. Wildney W. S. Vieira.
Ao colega Allan Crean em Saint Louis, Missouri, USA, pelo apoio inestim´avel em horas, dias,
semanas e anos dif´ıceis; ao colega Marco Polo Pereira Buonora pelas incans´aveis conversas, e que
prometem continuar; ao parceiro Edmundo Frota Almeida Sobrinho pelo cuidado com meus olhos
e esp´ırito.
Mens sana in corpore sano, (do livro Satires X do poeta Romano Decimus Iunius Iuvenalis,
entre o fim do primeiro e in´ıcio do s´eculo da Era Corrente), e aqui agrade¸co a meus parceiros de
tˆenis e futebol, onde destaco entre tantos, Calilo Kzam, Djalma Bezerra e Roberto Kataoka Oyama.
Estendo o meu reconhecimento a muitos alunos e professores que, no decorrer destes anos, se
apresentaram com perguntas e formas curiosas da rela¸c˜ao entre a teoria espectral e probabil´ıstica
da informa¸c˜ao com a da f´ısica que constitui a geof´ısica.
As seguintes institui¸c˜oes e projetos de pesquisa que deram apoio financeiro a esta iniciativa:
a Universidade Federal do Par´a - UFPA;
o INCT-GP, Instituto Nacional de Ciˆencia e Tecnologia, Geof´ısica do Petr´oleo (MCT/CNPq/FI-
NEP);
o projeto Fase 5 da Rede Cooperativa de Pesquisa N-NE em Geof´ısica de Explorac¸˜ao da FINEP;
o Programa Ciˆencia Sem Fronteiras (CAPES);
o PRH-06 da Agˆencia Nacional do Petr´oleo (ANP).
Por enquanto ´e s´o, e vamos caminhar.
Prof. Dr. Lourenildo W. B. Leite
B.C. em Geologia, UFPE; M.Pr. em Geof´ısica, SLU; Ph.D. em Geof´ısica, SLU.
UFPE: Universidade Federal de Pernambuco. SLU: Saint Louis University, USA.
Bel´em, Par´a, Novembro de 2015
Pref´acio
Não treine uma criança a aprender na força ou na estupidez; dirija-os a aprendizagem pelo que lhes dar prazer
mental,demodoquevocêserámelhorcapazdedescobrircomprecisãosuastendênciaspeculiaresegenialidadeemcada
um.(Plato).
Toda ´area do conhecimento tem o seu Livro de Porquˆes e, para continuar com a regra, se pode
iniciar este pref´acio com uma pergunta: Onde e como se posiciona a teoria da comunica¸c˜ao na
geof´ısica?. A teoria da comunica¸c˜ao trata de sinais na sua forma pr´atica-te´orica. Sendo assim,
seguem as perguntas “O-Que-e-Como?” que s˜ao essenciais para se construir um tema:
• O que ´e um sinal?
• Que informa¸c˜ao pode-se retirar de um sinal?
• Como dados a priori participa na obtenc¸˜ao da informac¸˜ao de um sinal?
• Como utilizar dados a priori na obtenc¸˜ao da informac¸˜ao de um sinal?
Estas perguntas ainda buscam respostas, mas j´a se tem avan¸cos hist´oricos nos u´ltimos 80 anos. As
d´ecadas de 1940 a 1960 eram inicialmente anal´ogicas, passando aos microprocessadores digitais. As
d´ecadas de 1970 e 1980 foram regidas pelos m´etodos e t´ecnicas da f´ısica matem´atica e da mecˆanica
quˆantica, com a participac¸˜ao de matem´aticos. A partir da d´ecada de 1990 at´e os nossos dias a
´area de processamento de sinais oferece inu´meras disciplinas e f´oruns cobrindo todas as ´areas do
conhecimento.
O estudo da geof´ısica global e exploracional ´e baseado em conceitos f´ısicos e matem´aticos e da
teoria da comunica¸c˜ao, sob o seguinte princ´ıpio: Dados reais precisam de um modelo te´orico de
base para que eles fac¸am sentido e tenham uso pr´atico. A consequˆencia deste princ´ıpio ´e a deseja
capacidade de predic¸˜ao.
A teoria da comunica¸c˜ao (tamb´em intitulada de outras formas como an´alise de sinais, an´alise
espectral, an´alise tempo-frequˆencia, an´alise tempo-escala, ou de at´e mesmo filtragem) tem uma
fronteira suave com os m´etodos f´ısico-matem´aticos, ou tamb´em se pode dizer que elas constituem
metodologiasparalelasecomunicantes. Noentanto, osautoressereservamemapresentarconteu´dos
diferentes para os diferentes t´ıtulos, e em diferentes n´ıveis que vai da an´alise puramente te´orica a
puramente pr´atica.
No desenho de qualquer experimento de campo, ou computacional, devem ser levados em con-
sidera¸c˜ao trˆes princ´ıpios b´asicos: a geometria do modelo-alvo, os parˆametros f´ısicos, e a banda de
frequˆencia temporal-espacial. Consequentemente, a invers˜ao dos dados (isto´e, sair dos dados obser-
vados para o modelo geom´etrico-f´ısico) deve levar em considerac¸˜ao estas trˆes formas de informa¸c˜oes
a priori.
A teoria da comunicac¸˜ao ´e transversal e presente em todas as etapas de qualquer experimento
(computacional, laboratorial, campo), que pode iniciar com o desenho, seguir com a predi¸c˜ao, o
processamento, a invers˜ao, validac¸˜ao, e a interpretac¸˜ao.
Veja bem, a leitura de um livro representa apenas uma pequena porcentagem do aprendizado, o
leitor tem que complementar com a maior parte. A literatura nesta ´area do conhecimento, mesmo
dirigida a geof´ısica, ´e muito extensa, e se faz necess´ario reunir, bem como separar, e resumir os
diferentes conceitos e aplica¸c˜oes.
Como os geof´ısicos devem pensar?
Boa sorte!
Lourenildo W. B. Leite
Sum´ario
1 INTRODUC¸A˜O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.1 Ajuda ao Leitor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2 Conteu´do . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2 SINAIS, JANELAS, DISCRETIZAC¸A˜O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1 Classifica¸c˜ao de Sinais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.1.1 Segundo uma Norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.1.2 Dom´ınio Tempo-Espa¸co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.1.3 Dom´ınio Tempo-Frequˆencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.1.4 Teste de Estacionariedade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2 Func¸˜ao Janela: Finalidades, Classifica¸c˜ao e Efeitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3 Func¸˜ao Discretizac¸˜ao: Finalidade e Efeitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.4 Transformada Gabor (TG) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.5 Exemplos de Aplicac¸˜oes Geof´ısicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.5.1 Sismologia: Espectro das Ondas de Volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.5.2 Gravimetria: Distribuic¸˜ao de Massa em Profundidade . . . . . . . . . . . . . 43
2.6 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.7 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.7.1 Te´oricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.7.2 Pr´aticos em Computador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3 TRANSFORMADA DE FOURIER (TF) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.1 As Integrais Direta (TFCd) e Inversa (TFCi) na Forma Cont´ınua . . . . . . . . . . . 50
3.1.1 Apresentac¸˜ao Formal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.1.2 Propriedades B´asicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.1.3 Convergˆencia da Integral e o Fenˆomeno de Gibbs . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.2 Transformada de Fun¸c˜oes Especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.2.1 Fun¸c˜ao Impulso Delta de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.2.2 Fun¸c˜ao Exponencial Complexa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.2.3 Fun¸c˜ao Degrau-simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.2.4 Condi¸c˜ao de Periodizac¸˜ao de Fun¸c˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.2.5 Extens˜ao a Func¸˜oes Peri´odicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.2.6 Convoluc¸˜ao Envolvendo a Fun¸c˜ao Amostragem . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.3 Teorema da Amostragem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
SUMA´RIO 9
3.4 Formas Discretizadas da Transformada Direta (TFDd) e Inversa (TFDi) . . . . . . . 70
3.4.1 Apresentac¸˜ao Formal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.4.2 O Ca´lculo da TFD e a Restaura¸c˜ao do Espectro de Fase . . . . . . . . . . . . 75
3.4.3 Interpretac¸˜ao Gr´afica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.4.4 Lineamentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.5 Exemplo de Aplicac¸˜ao Geof´ısica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.5.1 Magnetometria: Decomposic¸˜ao em Fatores Lineares . . . . . . . . . . . . . . 80
3.5.2 Filtros de Velocidade 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.6 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.7 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.7.1 Te´oricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.7.2 Pr´aticos em Computador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4 INTEGRAL DA CONVOLUC¸A˜O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.1 Forma Cont´ınua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.1.1 Apresentac¸˜ao Formal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.1.2 Teorema da Convolu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.1.3 Resposta de Um Sistema Linear ao Impulso (SLI) . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.1.3.1 Propriedades B´asicas da Fun¸c˜ao Impulso . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.1.3.2 Interpretac¸˜ao da Func¸˜ao Sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.2 Forma Discretizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.2.1 Apresentac¸˜ao Formal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.2.2 Teorema da Convolu¸c˜ao na Forma Discretizada . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.3 Outros T´opicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
4.3.1 Convoluc¸˜ao em Duas Dimens˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
4.3.2 Exemplos Geof´ısicos de Processos Convolucionais . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.4 Exemplo de Aplicac¸˜ao Geof´ısica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
4.4.1 S´ısmica: Sismogramas Sint´eticos Verticais Simples . . . . . . . . . . . . . . . 121
4.5 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4.6.1 Te´oricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4.6.2 Pr´aticos em Computador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
5 FILTROS IDEAIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
5.1 Conceitos Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
5.1.1 Defini¸c˜oes no Dom´ınio do Tempo-Espac¸o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5.1.2 Defini¸c˜oes no Dom´ınio da Frequˆencia Temporal-Espacial . . . . . . . . . . . . 130
5.1.3 Equivalˆencia Entre as Operac¸˜oes nos Dois Dom´ınios . . . . . . . . . . . . . . 133
5.2 Respostas ao Impulso 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
5.2.1 Passa-baixa (PB) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
5.2.2 Passa-alta (PA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
5.2.3 Banda-passante (BP) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
5.3 Janela Espectral de Suaviza¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
5.4 Resposta ao Impulso 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
5.5 Exemplo de Aplicac¸˜ao Geof´ısica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
5.5.1 Filtro BP Assim´etrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
10 SUMA´RIO
5.6 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
5.7 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
5.7.1 Te´oricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
5.7.2 Pr´aticos em Computador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
6 INTEGRAL DA CORRELAC¸A˜O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
6.1 Forma Cont´ınua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
6.1.1 Apresentac¸˜ao Formal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
6.1.2 Teorema da Correlac¸˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
6.1.3 Rela¸c˜ao Entre as Opera¸c˜oes de Convoluc¸˜ao e Correla¸c˜ao . . . . . . . . . . . . 160
6.1.4 Teorema da Correlac¸˜ao Entre os Sinais de Entrada e de Sa´ıda . . . . . . . . . 161
6.1.5 Condi¸c˜oes de Causalidade na Correla¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
6.2 Forma Discretizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
6.2.1 Apresentac¸˜ao Formal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
6.2.2 Teorema da Correlac¸˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
6.3 Outros T´opicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
6.3.1 Forma em Duas Dimens˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
6.4 Exemplo de Aplicac¸˜ao Geof´ısica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
6.4.1 Magnetotelu´rico (MT): Processamento de Dados . . . . . . . . . . . . . . . . 166
6.4.2 Semblance: An´alise de Velocidade S´ısmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
6.5 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
6.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
6.6.1 Te´oricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
6.6.2 Pr´aticos em Computador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
7 ANA´LISE TEMPO/ESCALA-FREQUEˆNCIA . . . . . . . . . . . . . . . . 180
7.1 Transformada de Fourier Curta (TF-C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
7.2 Exemplo de Sinais Tempo-Frequˆencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
7.3 An´alise T-F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
7.4 Sinal Anal´ıtico (SA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
7.5 Contamina¸c˜ao por Amostragem do Sinal Anal´ıtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
7.6 Transformadas Wigner (W) e Wigner-Ville (WV) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
7.7 Filtragem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
7.8 A WV na Forma Espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
7.9 Discretiza¸c˜ao e Janelamento na DWV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
7.10 Expectˆancia da WV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
7.11 Compara¸c˜ao da WV com Outras Distribui¸c˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
7.11.1 Choi-Williams . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
7.11.2 Transformada-S (TS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
7.12 Forma de Aplica¸c˜ao da VW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
7.13 Transformada Ondeleta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
7.14 Exemplo de Aplicac¸˜ao da WV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
7.15 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
7.16 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
7.17 Te´oricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
7.18 Pr´aticos em Computador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217