Computer Algebra and Symbolic Computation: Elementary Algorithms

344 Pages·2002·5.11 MB·English

by  Joel S. Cohen

Cohen J O E L S . C O H E N
C Computer Algebra and
o
m
p
u
t
e Symbolic Computation
r

A
l
g
e
b
r E l e m e n t a r y A l g o r i t h m s
a

a
n
d

S
y
m
b
o
l
i
c

C
o
m
p
u
t
a
t
i
o
n
E
l
e
m
e
n
t
a
r
y

A
l
g
o
r
i
t
h
m
s
A K
PETERS

(cid:1)(cid:2)(cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:7)(cid:8)(cid:9)(cid:10)(cid:11)(cid:12)(cid:7)(cid:13)(cid:8)(cid:14)(cid:9)(cid:14)(cid:15)(cid:16)(cid:9)(cid:17)(cid:18)(cid:3)(cid:13)(cid:2)(cid:11)(cid:19)(cid:20)(cid:9)(cid:1)(cid:2)(cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:14)(cid:6)(cid:19)(cid:2)(cid:15)

(cid:1)(cid:2)(cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:7)(cid:8)(cid:9)(cid:10)(cid:11)(cid:12)(cid:7)(cid:13)(cid:8)(cid:14)(cid:9)(cid:14)(cid:15)(cid:16)(cid:9)(cid:17)(cid:18)(cid:3)(cid:13)(cid:2)(cid:11)(cid:19)(cid:20)(cid:9)(cid:1)(cid:2)(cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:14)(cid:6)(cid:19)(cid:2)(cid:15)
(cid:21)(cid:11)(cid:7)(cid:3)(cid:7)(cid:15)(cid:6)(cid:14)(cid:8)(cid:18)(cid:9)(cid:10)(cid:11)(cid:12)(cid:2)(cid:8)(cid:19)(cid:6)(cid:22)(cid:3)(cid:23)
(cid:24)(cid:2)(cid:7)(cid:11)(cid:9)(cid:17)(cid:25)(cid:9)(cid:1)(cid:2)(cid:22)(cid:7)(cid:15)
(cid:1)(cid:2)(cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:7)(cid:2)(cid:8)(cid:6)(cid:9)(cid:10)(cid:11)(cid:9)(cid:12)(cid:10)(cid:7)(cid:3)(cid:13)(cid:6)(cid:2)(cid:5)(cid:9)(cid:14)(cid:15)(cid:16)(cid:2)(cid:8)(cid:15)(cid:2)
(cid:17)(cid:8)(cid:16)(cid:18)(cid:2)(cid:5)(cid:19)(cid:16)(cid:6)(cid:20)(cid:9)(cid:10)(cid:11)(cid:9)(cid:1)(cid:2)(cid:8)(cid:18)(cid:2)(cid:5)
(cid:1)(cid:2)(cid:3)(cid:2)(cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:5)(cid:7)(cid:8)
(cid:9)(cid:10)(cid:6)(cid:11)(cid:12)(cid:13)(cid:14)(cid:2)(cid:15)(cid:10)(cid:8)(cid:8)(cid:10)(cid:12)(cid:16)(cid:17)(cid:8)(cid:5)(cid:6)(cid:6)(cid:8)
1(cid:7)(cid:3)(cid:5)(cid:21)(cid:2)(cid:3)(cid:10)(cid:25)(cid:23)(cid:8)(cid:26)(cid:10)(cid:25)(cid:6)!(cid:23)(cid:8)(cid:10)(cid:4)(cid:7)(cid:8)(cid:9)(cid:30)!(cid:5)(cid:21)(cid:28)(cid:6)(cid:2)(cid:8)(cid:26)(cid:6)(cid:2)2(cid:3)#(cid:6)(cid:8)3’’(cid:3)#(cid:6)
,(cid:8)4(cid:8)(cid:1)(cid:6)(cid:5)(cid:6)(cid:2)!(cid:23)(cid:8)5(cid:5)(cid:7)(cid:27)
(cid:12)(cid:15)(cid:8)(cid:26)(cid:21)(cid:30)(cid:5)(cid:22)(cid:8),2(cid:6)(cid:4)(cid:30)(cid:6)
*(cid:10)(cid:5)(cid:3)#6(cid:23)(cid:8)7,(cid:8)(cid:8)(cid:11)(cid:17)(cid:20)(cid:12)(cid:11)
888(cid:27)(cid:10)6(cid:29)(cid:6)(cid:5)(cid:6)(cid:2)!(cid:27)#(cid:21)(cid:28)
(cid:9)(cid:21)(cid:29)"(cid:2)(cid:3)(cid:31)(cid:22)(cid:5)(cid:8)(cid:8)9(cid:8)(cid:8)(cid:16)(cid:11)(cid:11)(cid:16)(cid:8) "(cid:8),(cid:8)4(cid:8)(cid:1)(cid:6)(cid:5)(cid:6)(cid:2)!(cid:23)(cid:8)5(cid:5)(cid:7)(cid:27)
,(cid:25)(cid:25)(cid:8)(cid:2)(cid:3)(cid:31)(cid:22)(cid:5)!(cid:8)(cid:2)(cid:6)!(cid:6)(cid:2)2(cid:6)(cid:7)(cid:27)(cid:8)*(cid:21)(cid:8)(cid:29)(cid:10)(cid:2)(cid:5)(cid:8)(cid:21)’(cid:8)(cid:5)(cid:22)(cid:6)(cid:8)(cid:28)(cid:10)(cid:5)(cid:6)(cid:2)(cid:3)(cid:10)(cid:25)(cid:8)(cid:29)(cid:2)(cid:21)(cid:5)(cid:6)#(cid:5)(cid:6)(cid:7)(cid:8) "(cid:8)(cid:5)(cid:22)(cid:3)!(cid:8)#(cid:21)(cid:29)"(cid:2)(cid:3)(cid:31)(cid:22)(cid:5)(cid:8)(cid:4)(cid:21)(cid:5)(cid:3)#(cid:6)
(cid:28)(cid:10)"(cid:8) (cid:6)(cid:8)(cid:2)(cid:6)(cid:29)(cid:2)(cid:21)(cid:7)(cid:30)#(cid:6)(cid:7)(cid:8)(cid:21)(cid:2)(cid:8)(cid:30)(cid:5)(cid:3)(cid:25)(cid:3):(cid:6)(cid:7)(cid:8)(cid:3)(cid:4)(cid:8)(cid:10)(cid:4)"(cid:8)’(cid:21)(cid:2)(cid:28)(cid:23)(cid:8)(cid:6)(cid:25)(cid:6)#(cid:5)(cid:2)(cid:21)(cid:4)(cid:3)#(cid:8)(cid:21)(cid:2)(cid:8)(cid:28)(cid:6)#(cid:22)(cid:10)(cid:4)(cid:3)#(cid:10)(cid:25)(cid:23)(cid:8)(cid:3)(cid:4)#(cid:25)(cid:30)(cid:7)(cid:3)(cid:4)(cid:31)
(cid:29)(cid:22)(cid:21)(cid:5)(cid:21)#(cid:21)(cid:29)"(cid:3)(cid:4)(cid:31)(cid:23)(cid:8)(cid:2)(cid:6)#(cid:21)(cid:2)(cid:7)(cid:3)(cid:4)(cid:31)(cid:23)(cid:8)(cid:21)(cid:2)(cid:8) "(cid:8)(cid:10)(cid:4)"(cid:8)(cid:3)(cid:4)’(cid:21)(cid:2)(cid:28)(cid:10)(cid:5)(cid:3)(cid:21)(cid:4)(cid:8)!(cid:5)(cid:21)(cid:2)(cid:10)(cid:31)(cid:6)(cid:8)(cid:10)(cid:4)(cid:7)(cid:8)(cid:2)(cid:6)(cid:5)(cid:2)(cid:3)(cid:6)2(cid:10)(cid:25)(cid:8)!"!(cid:5)(cid:6)(cid:28)(cid:23)
8(cid:3)(cid:5)(cid:22)(cid:21)(cid:30)(cid:5)(cid:8)8(cid:2)(cid:3)(cid:5)(cid:5)(cid:6)(cid:4)(cid:8)(cid:29)(cid:6)(cid:2)(cid:28)(cid:3)!!(cid:3)(cid:21)(cid:4)(cid:8)’(cid:2)(cid:21)(cid:28)(cid:8)(cid:5)(cid:22)(cid:6)(cid:8)#(cid:21)(cid:29)"(cid:2)(cid:3)(cid:31)(cid:22)(cid:5)(cid:8)(cid:21)8(cid:4)(cid:6)(cid:2)(cid:27)
(cid:1)(cid:2)(cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:4)(cid:6)(cid:7)(cid:8)(cid:9)(cid:7)(cid:10)(cid:8)(cid:11)(cid:12)(cid:4)(cid:13)(cid:14)(cid:14)(cid:7)(cid:10)(cid:5)(cid:15)(cid:5)(cid:16)(cid:8)(cid:12)(cid:2)(cid:11)(cid:12)(cid:17)(cid:2)(cid:11)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:3)(cid:16)(cid:2)(cid:20)(cid:5)(cid:15)(cid:2)(cid:8)(cid:11)(cid:7)(cid:21)(cid:5)(cid:15)(cid:5)
(cid:9)(cid:21)(cid:22)(cid:6)(cid:4)(cid:23)(cid:8)(cid:24)(cid:21)(cid:6)(cid:25)(cid:8)(cid:26)(cid:27)
(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:9)(cid:21)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:5)(cid:6)(cid:2)(cid:8)(cid:10)(cid:25)(cid:31)(cid:6) (cid:2)(cid:10)(cid:8)(cid:10)(cid:4)(cid:7)(cid:8)!"(cid:28) (cid:21)(cid:25)(cid:3)#(cid:8)#(cid:21)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:5)(cid:10)(cid:5)(cid:3)(cid:21)(cid:4)(cid:8)$(cid:8)(cid:6)(cid:25)(cid:6)(cid:28)(cid:6)(cid:4)(cid:5)(cid:10)(cid:2)"
(cid:10)(cid:25)(cid:31)(cid:21)(cid:2)(cid:3)(cid:5)(cid:22)(cid:28)!(cid:8)%(cid:8)(cid:24)(cid:21)(cid:6)(cid:25)(cid:8)(cid:26)(cid:27)(cid:8)(cid:9)(cid:21)(cid:22)(cid:6)(cid:4)
(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:29)(cid:27)(cid:8)#(cid:28)(cid:27)
(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)&(cid:4)#(cid:25)(cid:30)(cid:7)(cid:6)!(cid:8) (cid:3) (cid:25)(cid:3)(cid:21)(cid:31)(cid:2)(cid:10)(cid:29)(cid:22)(cid:3)#(cid:10)(cid:25)(cid:8)(cid:2)(cid:6)’(cid:6)(cid:2)(cid:6)(cid:4)#(cid:6)!(cid:8)(cid:10)(cid:4)(cid:7)(cid:8)(cid:3)(cid:4)(cid:7)(cid:6)((cid:27)
(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)&(cid:26))*(cid:8)(cid:17)+(cid:13)(cid:12)(cid:19)(cid:19)(cid:17)+(cid:17)(cid:13)(cid:19)+(cid:12)
(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:17)(cid:27)(cid:8),(cid:25)(cid:31)(cid:6) (cid:2)(cid:10)-.(cid:10)(cid:5)(cid:10)(cid:8)(cid:29)(cid:2)(cid:21)#(cid:6)!!(cid:3)(cid:4)(cid:31)(cid:27)(cid:8)&(cid:27)(cid:8)/(cid:3)(cid:5)(cid:25)(cid:6)(cid:27)
0,(cid:17)(cid:13)(cid:13)(cid:27)(cid:20)(cid:27)1(cid:14)(cid:8)(cid:27)(cid:9)(cid:12)(cid:15)(cid:13)(cid:8)(cid:16)(cid:11)(cid:11)(cid:16)
(cid:13)(cid:17)(cid:16)-(cid:7)#(cid:16)(cid:17)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:16)(cid:11)(cid:11)(cid:17)(cid:11)(cid:13)(cid:13)(cid:17)(cid:13)(cid:18)
(cid:1)(cid:2)(cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:7)(cid:8)(cid:3)(cid:4)(cid:8)(cid:9)(cid:10)(cid:4)(cid:10)(cid:7)(cid:10)
(cid:11)(cid:12)(cid:8)(cid:8)(cid:11)(cid:13)(cid:8)(cid:8)(cid:11)(cid:14)(cid:8)(cid:8)(cid:11)(cid:15)(cid:8)(cid:8)(cid:11)(cid:16)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:17)(cid:11)(cid:8)(cid:8)(cid:18)(cid:8)(cid:8)(cid:19)(cid:8)(cid:8)(cid:20)(cid:8)(cid:8)(cid:12)(cid:8)(cid:8)(cid:13)(cid:8)(cid:8)(cid:14)(cid:8)(cid:8)(cid:15)(cid:8)(cid:8)(cid:16)(cid:8)(cid:8)(cid:17)
(cid:1)(cid:2)(cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:3)(cid:6)(cid:7)(cid:8)(cid:9)(cid:3)(cid:10)(cid:11)(cid:12)(cid:13)(cid:14)(cid:5)(cid:15)

Contents
Preface ix
1 Introduction to Computer Algebra 1
1.1 Computer Algebra and Computer Algebra Systems . . . . . 1
1.2 Applications of Computer Algebra . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Elementary Concepts of Computer Algebra 29
2.1 Mathematical Pseudo-language (MPL) . . . . . . . . . . . 29
2.2 Expression Evaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.3 Mathematical Programs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.4 Sets and Lists . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3 Recursive Structure of Mathematical Expressions 77
3.1 Recursive Definitions and Algorithms. . . . . . . . . . . . . 77
3.2 Expression Structure and Trees . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.3 Structure-Based Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4 Elementary Mathematical Algorithms 119
4.1 Mathematical Algorithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
4.2 MPL’s Algorithmic Language . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
4.3 Case Study: First Order Ordinary Differential Equations. . 156
5 Recursive Algorithms 171
5.1 A Computational View of Recursion . . . . . . . . . . . . . 171
5.2 Recursive Procedures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
5.3 Case Study: Elementary Integration Operator . . . . . . . . 199
vii
viii Contents
6 Structure of Polynomials and Rational Expressions 213
6.1 Single Variable Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
6.2 General Polynomial Expressions . . . . . . . . . . . . . . . 223
6.3 Relationships Between Generalized Variables . . . . . . . . 242
6.4 Manipulation of General Polynomial Expressions . . . . . . 247
6.5 General Rational Expressions . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
7 Exponential and Trigonometric Transformations 275
7.1 Exponential and Trigonometric Expansion . . . . . . . . . . 275
7.2 Exponential and Trigonometric Contraction . . . . . . . . . 289
Bibliography 307
Index 316