Computer algebra

283 Pages·2013·2.597 MB·English

by  Davenport J.H.

Contents
1 Introduction 13
1.1 History and Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.1.1 The ‘calculus’ side . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.1.2 The ‘group theory’ side . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.1.3 A synthesis? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2 Expansion and Simplification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.1 A Digression on “Functions” . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2.2 Expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2.3 Simplification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.2.4 An example of simplification . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3 Algebraic Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.3.1 Algebraic Closures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.4 Some Complexity Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.5 Some Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.5.1 The RootOf construct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.5.2 The simplify command. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2 Polynomials 31
2.1 What are polynomials?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.1.1 How do we manipulate polynomials? . . . . . . . . . . . . 33
2.1.2 Polynomials in one variable . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.1.3 A factored representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.1.4 Polynomials in several variables . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.1.5 Other representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.1.6 The Newton Representation . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.2 Rational Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.2.1 Candidness of rational functions . . . . . . . . . . . . . . 44
2.3 Greatest Common Divisors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.3.1 Polynomials in one variable . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.3.2 Subresultant sequences. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.3.3 The Extended Euclidean Algorithm . . . . . . . . . . . . 52
2.3.4 Partial Fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.3.5 Polynomials in several variables . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.3.6 Square-free decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
1
2 CONTENTS
2.4 Non-commutative polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3 Polynomial Equations 59
3.1 Equations in One Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.1.1 Quadratic Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.1.2 Cubic Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.1.3 Quartic Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.1.4 Higher Degree Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.1.5 Reducible defining polynomials . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.1.6 Multiple Algebraic Numbers. . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.1.7 Solutions in Real Radicals . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.1.8 Equations of curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.1.9 How many real roots? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.2 Linear Equations in Several Variables . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.2.1 Linear Equations and Matrices . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.2.2 Representations of Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.2.3 Matrix Inverses: not a good idea! . . . . . . . . . . . . . . 71
3.2.4 Over/under-determined Systems . . . . . . . . . . . . . . 75
3.3 Nonlinear Multivariate Equations: Distributed . . . . . . . . . . 76
3.3.1 Gr¨obner Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.3.2 How many Solutions? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.3.3 Orderings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.3.4 Complexity of Gr¨obner Bases . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.3.5 A Matrix Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.3.6 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.3.7 The Gianni–Kalkbrener Theorem . . . . . . . . . . . . . . 90
3.3.8 The Faug`ere–Gianni–Lazard–Mora Algorithm . . . . . . . 93
3.3.9 Factorization and Gro¨bner Bases . . . . . . . . . . . . . . 96
3.3.10 The Shape Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.3.11 The Hilbert function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.3.12 Coefficients other than fields . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.3.13 Non-commutative Ideals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.4 Nonlinear Multivariate Equations: Recursive . . . . . . . . . . . 100
3.4.1 Triangular Sets and Regular Chains . . . . . . . . . . . . 100
3.4.2 Zero Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.4.3 Positive Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.4.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.5 Equations and Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.5.1 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.5.2 Quantifier Elimination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3.5.3 Algebraic Decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
3.5.4 Cylindrical Algebraic Decomposition . . . . . . . . . . . . 112
3.5.5 Computing Algebraic Decompositions . . . . . . . . . . . 115
3.5.6 Complexity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
3.5.7 Further Observations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
3.6 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
CONTENTS 3
4 Modular Methods 119
4.1 Determinants: a Simple Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.1.1 Matrices with integer coefficients . . . . . . . . . . . . . . 120
4.1.2 Matrices with polynomial coefficients . . . . . . . . . . . . 121
4.1.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
4.2 Gcd in one variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.2.1 Bounds on divisors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4.2.2 The modular – integer relationship . . . . . . . . . . . . . 124
4.2.3 Computing the g.c.d.: one large prime . . . . . . . . . . . 125
4.2.4 Computing the g.c.d.: several small primes . . . . . . . . 127
4.2.5 Computing the g.c.d.: early success. . . . . . . . . . . . . 129
4.2.6 An alternative correctness check . . . . . . . . . . . . . . 129
4.2.7 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
4.3 Polynomials in two variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
4.3.1 Degree Growth in Coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . 132
4.3.2 The evaluation–interpolation relationship . . . . . . . . . 133
4.3.3 G.c.d. in Z [x,y] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
p
4.3.4 G.c.d. in Z[x,y] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
4.4 Polynomials in several variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
4.4.1 A worked example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
4.4.2 Converting this to an algorithm . . . . . . . . . . . . . . . 141
4.4.3 Worked example continued . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
4.4.4 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
4.5 Further Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
4.5.1 Resultants and Discriminants . . . . . . . . . . . . . . . . 146
4.5.2 Linear Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
4.6 Gr¨obner Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
4.6.1 General Considerations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
4.6.2 The Hilbert Function and reduction . . . . . . . . . . . . 150
4.6.3 The Modular Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
4.6.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
4.7 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
5 p-adic Methods 155
5.1 Introduction to the factorization problem . . . . . . . . . . . . . 155
5.2 Modular methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
5.3 Factoring modulo a prime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
5.3.1 Berlekamp’s small p method . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
5.3.2 Berlekamp’s large p method . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
5.3.3 The Cantor–Zassenhaus method . . . . . . . . . . . . . . 157
5.4 From Z to Z? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
p
5.5 Hensel Lifting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
5.5.1 Linear Hensel Lifting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
5.5.2 Quadratic Hensel Lifting. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
5.5.3 Hybrid Hensel Lifting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
5.6 The recombination problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
4 CONTENTS
5.7 Univariate Factoring Solved . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
5.8 Multivariate Factoring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
5.9 Other Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
5.10 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
6 Algebraic Numbers and functions 171
6.1 Representations of Algebraic Numbers . . . . . . . . . . . . . . . 173
6.2 Factorisation with Algebraic Numbers . . . . . . . . . . . . . . . 174
6.3 The D5 approach to algebraic numbers . . . . . . . . . . . . . . . 174
7 Calculus 175
7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
7.2 Integration of Rational Expressions . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
7.2.1 Integration of Proper Rational Expressions . . . . . . . . 177
7.2.2 Hermite’s Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
7.2.3 The Ostrogradski–Horowitz Algorithm . . . . . . . . . . . 179
7.2.4 The Trager–Rothstein Algorithm . . . . . . . . . . . . . . 180
7.3 Theory: Liouville’s Theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
7.3.1 Liouville’s Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
7.3.2 Finding L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
7.3.3 Risch Structure Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
7.3.4 Overview of Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
7.4 Integration of Logarithmic Expressions . . . . . . . . . . . . . . . 189
7.4.1 The Polynomial Part . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
7.4.2 The Rational Expression Part . . . . . . . . . . . . . . . . 190
7.4.3 Conclusion of Logarithmic Integration . . . . . . . . . . . 191
7.5 Integration of Exponential Expressions . . . . . . . . . . . . . . . 191
7.5.1 The Polynomial Part . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
7.5.2 The Rational Expression Part . . . . . . . . . . . . . . . . 194
7.6 Integration of Algebraic Expressions . . . . . . . . . . . . . . . . 197
7.7 The Risch Differential Equation Problem . . . . . . . . . . . . . 198
7.8 The Parallel Approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
7.8.1 The Parallel Approach: Algebraic Expressions . . . . . . 202
7.9 Definite Integration. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
7.10 Other Calculus Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
7.10.1 Indefinite summation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
7.10.2 Definite Symbolic Summation . . . . . . . . . . . . . . . . 203
7.10.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
7.10.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
8 Algebra versus Analysis 205
8.1 Functions and Formulae . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
8.2 Branch Cuts. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
8.2.1 Some Unpleasant Facts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
8.2.2 The Problem with Square Roots . . . . . . . . . . . . . . 208
8.2.3 Possible Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
CONTENTS 5
8.2.4 Removable Branch Cuts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
8.3 Fundamental Theorem of Calculus Revisited. . . . . . . . . . . . 212
8.4 Constants Revisited . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
8.4.1 Constants can be useful . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
8.4.2 Constants are often troubling . . . . . . . . . . . . . . . . 212
8.5 Integrating ‘real’ Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
8.6 Logarithms revisited . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
8.7 Other decision questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
A Algebraic Background 219
A.1 The resultant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
A.2 Useful Estimates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
A.2.1 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
A.2.2 Coefficients of a polynomial . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
A.2.3 Roots of a polynomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
A.2.4 Root separation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
A.3 Chinese Remainder Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
A.4 Chinese Remainder Theorem for Polynomials . . . . . . . . . . . 230
A.5 Vandermonde Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
B Excursus 235
B.1 The Budan–Fourier Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
B.2 Equality of factored polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
B.3 Karatsuba’s method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
B.3.1 Karatsuba’s method in practice . . . . . . . . . . . . . . . 239
B.3.2 Karatsuba’s method and sparse polynomials. . . . . . . . 239
B.3.3 Karatsuba’s method and multivariate polynomials . . . . 240
B.3.4 Faster still. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
B.3.5 Faster division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
B.3.6 Faster g.c.d. computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
B.4 Strassen’s method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
B.4.1 Strassen’s method in practice . . . . . . . . . . . . . . . . 243
B.4.2 Further developments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
B.4.3 Matrix Inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
C Systems 245
C.1 Axiom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
C.1.1 Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
C.1.2 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
C.1.3 Structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
C.2 Macsyma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
C.2.1 Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
C.2.2 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
C.3 Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
C.3.1 Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
C.3.2 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
6 CONTENTS
C.3.3 Data structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
C.3.4 Heuristic GCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
C.3.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
C.4 MuPAD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
C.4.1 Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
C.4.2 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
C.5 Reduce. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
C.5.1 Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
C.5.2 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
D Index of Notation 255
List of Figures
1.1 An example of Maple’s RootOf construct . . . . . . . . . . . . . 28
2.1 A polynomial SLP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.2 Code fragment A — a graph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.3 Code fragment B — a tree . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.4 DAG representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.5 Tree representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.1 Program for computing solutions to a cubic . . . . . . . . . . . . 61
3.2 Program for computing solutions to a quartic . . . . . . . . . . . 62
3.3 x3−x2 illustrating Thom’s Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.4 Gianni–Kalkbrener Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.5 Cylindrical Deccomposition after Collins . . . . . . . . . . . . . . 115
4.1 Diagrammatic illustration of Modular Algorithms . . . . . . . . . 119
4.2 Diagrammatic illustration of Algorithm 13 . . . . . . . . . . . . . 126
4.3 Algorithm 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.4 Diagrammatic illustration of Algorithm 14 . . . . . . . . . . . . . 129
4.5 “Early termination” g.c.d. code . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
4.6 Algorithm 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.7 Diagrammatic illustration of Algorithm 17 . . . . . . . . . . . . . 136
4.8 Algorithm 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
4.9 Diagrammatic illustration of g.c.d.s in Z[x,y] (1) . . . . . . . . . 137
4.10 Diagrammatic illustration of g.c.d.s in Z[x,y] (2) . . . . . . . . . 138
4.11 Diagrammatic illustration of sparse g.c.d. . . . . . . . . . . . . . 142
4.12 Algorithm 18: Sparse g.c.d. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
4.13 Algorithm 19: Inner sparse g.c.d. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
4.14 Algorithm 20: Sparse g.c.d. from skeleton . . . . . . . . . . . . . 144
4.15 f from section 4.4.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
4.16 g from section 4.4.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
4.17 Algorithm 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
5.1 Diagrammatic illustration of Hensel Algorithms . . . . . . . . . . 155
5.2 Algorithm23: Distinct Degree Factorization . . . . . . . . . . . . 158
7
8 LIST OF FIGURES
5.3 Algorithm24: Split a Distinct Degree Factorization . . . . . . . . 159
5.4 Algorithm 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
5.5 Algorithm 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
5.6 Algorithm 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
5.7 Algorithm 28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
5.8 Overview of Factoring Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
6.1 Non-candidness of algebraics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
6.2 Algebraic numbers in the denominator . . . . . . . . . . . . . . . 172
6.3 An evaluation of Maple’s RootOf construct . . . . . . . . . . . . 174
7.1 Algorithm 33: IntLog–Polynomial. . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
7.2 Algorithm 34: IntLog–Rational Expression. . . . . . . . . . . . . 192
7.3 Algorithm 35: IntExp–Polynomial . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
7.4 Algorithm 36: IntExp–Rational Expression . . . . . . . . . . . . 195
8.1 A Riemann surface example: log . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
8.2 plot3d(C, x =-4..4, y=-4..4): C from (8.19) . . . . . . . . . 213
8.3 Graph of apparent integral in (8.21) . . . . . . . . . . . . . . . . 215
C.1 Axiom output . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
C.2 Axiom type system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
C.3 Macsyma output . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
C.4 Maple output . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
C.5 Tree for A, B corresponding to table C.1 . . . . . . . . . . . . . . 250
C.6 Tree for A, B corresponding to table C.2 . . . . . . . . . . . . . . 251
C.7 MuPAD output . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
C.8 Reduce output . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
LIST OF FIGURES 9
List of Open Problems
1 Roots of Sparse Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2 Sparse Gr¨obner Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3 Complexity of the FGLM Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4 Coefficient growth in the FGLM Algorithm . . . . . . . . . . . . . . 95
5 Improving Landau–Mignotte for g.c.d. . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
6 Alternative Route for Bivariate Polynomial g.c.d. . . . . . . . . . . . 133
7 Which is the Better Route for Bivariate g.c.d.? . . . . . . . . . . . . 137
8 Contradictory Hilbert Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
9 Bad Reduction for Gr¨obner Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
10 Modular Gr¨obner Bases for Inhomogeneous Ideals . . . . . . . . . . 152
11 Reconstructed Bases might not be Gr¨obner . . . . . . . . . . . . . . 154
12 Evaluate [vH02] against [ASZ00] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
13 Better Choice of ‘Best’ Prime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
14 Low-degree Factorization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
15 Algebraic Numbers Reviewed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
16 Crossings of factored polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
10 LIST OF FIGURES