Computer algebra

312 Pages·2014·1.981 MB·English

by  Davenport J.H.

Contents
1 Introduction 15
1.1 History and Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.1.1 The ‘calculus’ side . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.1.2 The ‘group theory’ side . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.1.3 A synthesis? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2 Expansion and Simplification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2.1 A Digression on “Functions” . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.2.2 Expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.2.3 Simplification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.2.4 An example of simplification . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.3 Algebraic Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.3.1 Algebraic Closures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.4 Some Complexity Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.5 Some Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.5.1 Maple polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.5.2 The RootOf construct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.5.3 The simplify command. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2 Polynomials 33
2.1 What are polynomials?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.1.1 How do we manipulate polynomials? . . . . . . . . . . . . 35
2.1.2 Polynomials in one variable . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.1.3 A factored representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.1.4 Polynomials in several variables . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.1.5 Other representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.1.6 The Newton Representation . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.1.7 Representations in Practice . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.1.8 Comparative Sizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.2 Rational Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.2.1 Canonical Rational Functions . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.2.2 Candidness of rational functions . . . . . . . . . . . . . . 50
2.3 Greatest Common Divisors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.3.1 Polynomials in one variable . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.3.2 Subresultant sequences. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
1
2 CONTENTS
2.3.3 The Extended Euclidean Algorithm . . . . . . . . . . . . 58
2.3.4 Partial Fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.3.5 Polynomials in several variables . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.3.6 Square-free decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.3.7 Sparse Complexity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.4 Non-commutative polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3 Polynomial Equations 67
3.1 Equations in One Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.1.1 Quadratic Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.1.2 Cubic Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.1.3 Quartic Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.1.4 Higher Degree Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.1.5 Reducible defining polynomials . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.1.6 Multiple Algebraic Numbers. . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.1.7 Solutions in Real Radicals . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.1.8 Equations of curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.1.9 How many Real Roots? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.1.10 Thom’s Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.2 Linear Equations in Several Variables . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.2.1 Linear Equations and Matrices . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.2.2 Representations of Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.2.3 Matrix Inverses: not a good idea! . . . . . . . . . . . . . . 79
3.2.4 Complexity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.2.5 Over/under-determined Systems . . . . . . . . . . . . . . 85
3.3 Nonlinear Multivariate Equations: Distributed . . . . . . . . . . 85
3.3.1 Gr¨obner Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.3.2 How many Solutions? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.3.3 Orderings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.3.4 Complexity of Gr¨obner Bases . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.3.5 A Matrix Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.3.6 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.3.7 The Gianni–Kalkbrener Theorem . . . . . . . . . . . . . . 101
3.3.8 The Faug`ere–Gianni–Lazard–Mora Algorithm . . . . . . . 104
3.3.9 The Gr¨obner Walk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.3.10 Factorization and Gr¨obner Bases . . . . . . . . . . . . . . 108
3.3.11 The Shape Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
3.3.12 The Hilbert function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
3.3.13 Coefficients other than fields . . . . . . . . . . . . . . . . 112
3.3.14 Non-commutative Ideals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
3.4 Nonlinear Multivariate Equations: Recursive . . . . . . . . . . . 113
3.4.1 Triangular Sets and Regular Chains . . . . . . . . . . . . 114
3.4.2 Zero Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
3.4.3 Positive Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
3.4.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
3.4.5 Regular Decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
CONTENTS 3
3.5 Equations and Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
3.5.1 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
3.5.2 Quantifier Elimination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
3.5.3 Algebraic Decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
3.5.4 Cylindrical Algebraic Decomposition . . . . . . . . . . . . 126
3.5.5 Computing Algebraic Decompositions . . . . . . . . . . . 128
3.5.6 Complexity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
3.5.7 Further Observations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
3.6 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4 Modular Methods 133
4.1 Determinants: a Simple Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
4.1.1 Matrices with integer coefficients . . . . . . . . . . . . . . 135
4.1.2 Matrices with polynomial coefficients . . . . . . . . . . . . 136
4.1.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
4.2 Gcd in one variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
4.2.1 Bounds on divisors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
4.2.2 The modular – integer relationship . . . . . . . . . . . . . 138
4.2.3 Computing the g.c.d.: one large prime . . . . . . . . . . . 140
4.2.4 Computing the g.c.d.: several small primes . . . . . . . . 142
4.2.5 Computing the g.c.d.: early success. . . . . . . . . . . . . 144
4.2.6 An alternative correctness check . . . . . . . . . . . . . . 145
4.2.7 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
4.3 Polynomials in two variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
4.3.1 Degree Growth in Coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . 147
4.3.2 The evaluation–interpolation relationship . . . . . . . . . 149
4.3.3 G.c.d. in Z [x,y] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
p
4.3.4 G.c.d. in Z[x,y] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
4.4 Polynomials in several variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
4.4.1 A worked example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
4.4.2 Converting this to an algorithm . . . . . . . . . . . . . . . 157
4.4.3 Worked example continued . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
4.4.4 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
4.5 Further Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
4.5.1 Resultants and Discriminants . . . . . . . . . . . . . . . . 162
4.5.2 Linear Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
4.6 Gr¨obner Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
4.6.1 General Considerations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
4.6.2 The Hilbert Function and reduction . . . . . . . . . . . . 167
4.6.3 The Modular Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
4.6.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
4.7 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
4 CONTENTS
5 p-adic Methods 173
5.1 Introduction to the factorization problem . . . . . . . . . . . . . 173
5.2 Modular methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
5.3 Factoring modulo a prime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
5.3.1 Berlekamp’s small p method . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
5.3.2 Berlekamp’s large p method . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
5.3.3 The Cantor–Zassenhaus method . . . . . . . . . . . . . . 176
5.4 From Z to Z? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
p
5.5 Hensel Lifting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
5.5.1 Linear Hensel Lifting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
5.5.2 Quadratic Hensel Lifting. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
5.5.3 Hybrid Hensel Lifting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
5.6 The recombination problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
5.7 Univariate Factoring Solved . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
5.8 Multivariate Factoring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
5.8.1 A “Good Reduction” Complexity Result . . . . . . . . . . 188
5.8.2 A Sparsity Result . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
5.8.3 The Leading Coefficient Problem . . . . . . . . . . . . . . 190
5.9 Other Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
5.9.1 p-adic Greatest Common Divisors . . . . . . . . . . . . . 191
5.9.2 p-adic Gr¨obner Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
5.10 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
6 Algebraic Numbers and functions 195
6.1 Representations of Algebraic Numbers . . . . . . . . . . . . . . . 197
6.2 Factorisation with Algebraic Numbers . . . . . . . . . . . . . . . 198
6.3 The D5 approach to algebraic numbers . . . . . . . . . . . . . . . 198
7 Calculus 199
7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
7.2 Integration of Rational Expressions . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
7.2.1 Integration of Proper Rational Expressions . . . . . . . . 201
7.2.2 Hermite’s Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
7.2.3 The Ostrogradski–Horowitz Algorithm . . . . . . . . . . . 203
7.2.4 The Trager–Rothstein Algorithm . . . . . . . . . . . . . . 204
7.3 Theory: Liouville’s Theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
7.3.1 Liouville’s Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
7.3.2 Finding L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
7.3.3 Risch Structure Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
7.3.4 Overview of Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
7.4 Integration of Logarithmic Expressions . . . . . . . . . . . . . . . 213
7.4.1 The Polynomial Part . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
7.4.2 The Rational Expression Part . . . . . . . . . . . . . . . . 214
7.4.3 Conclusion of Logarithmic Integration . . . . . . . . . . . 215
7.5 Integration of Exponential Expressions . . . . . . . . . . . . . . . 217
7.5.1 The Polynomial Part . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
CONTENTS 5
7.5.2 The Rational Expression Part . . . . . . . . . . . . . . . . 218
7.6 Integration of Algebraic Expressions . . . . . . . . . . . . . . . . 222
7.7 The Risch Differential Equation Problem . . . . . . . . . . . . . 222
7.8 The Parallel Approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
7.8.1 The Parallel Approach: Algebraic Expressions . . . . . . 226
7.9 Definite Integration. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
7.10 Other Calculus Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
7.10.1 Indefinite summation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
7.10.2 Definite Symbolic Summation . . . . . . . . . . . . . . . . 227
7.10.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
7.10.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
8 Algebra versus Analysis 229
8.1 Functions and Formulae . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
8.2 Branch Cuts. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
8.2.1 Some Unpleasant Facts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
8.2.2 The Problem with Square Roots . . . . . . . . . . . . . . 232
8.2.3 Possible Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
8.2.4 Removable Branch Cuts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
8.3 Fundamental Theorem of Calculus Revisited. . . . . . . . . . . . 236
8.4 Constants Revisited . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
8.4.1 Constants can be useful . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
8.4.2 Constants are often troubling . . . . . . . . . . . . . . . . 237
8.5 Integrating ‘real’ Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
8.6 Logarithms revisited . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
8.7 Other decision questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
8.8 Limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
8.8.1 A Definite Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
A Algebraic Background 245
A.1 The resultant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
A.2 Useful Estimates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
A.2.1 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
A.2.2 Coefficients of a polynomial . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
A.2.3 Roots of a polynomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
A.2.4 Root separation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
A.2.5 Developments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
A.3 Chinese Remainder Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
A.4 Chinese Remainder Theorem for Polynomials . . . . . . . . . . . 256
A.5 Vandermonde Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
A.6 Algebraic Structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
6 CONTENTS
B Excursus 261
B.1 The Budan–Fourier Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
B.2 Equality of factored polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
B.3 Karatsuba’s method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
B.3.1 Karatsuba’s method in practice . . . . . . . . . . . . . . . 265
B.3.2 Karatsuba’s method and sparse polynomials. . . . . . . . 265
B.3.3 Karatsuba’s method and multivariate polynomials . . . . 266
B.3.4 Faster still. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
B.3.5 Faster division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
B.3.6 Faster g.c.d. computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
B.4 Strassen’s method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
B.4.1 Strassen’s method in practice . . . . . . . . . . . . . . . . 269
B.4.2 Further developments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
B.4.3 Matrix Inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
C Systems 271
C.1 Axiom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
C.1.1 Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
C.1.2 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
C.1.3 Structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
C.2 Macsyma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
C.2.1 Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
C.2.2 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
C.3 Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
C.3.1 Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
C.3.2 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
C.3.3 Data structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
C.3.4 Heuristic GCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
C.3.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
C.4 MuPAD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
C.4.1 Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
C.4.2 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
C.5 Reduce. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
C.5.1 Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
C.5.2 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
D Index of Notation 281
List of Figures
1.1 An example of Maple’s RootOf construct . . . . . . . . . . . . . 31
2.1 A polynomial SLP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.2 Code fragment A — a graph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.3 Code fragment B — a tree . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.4 DAG representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.5 Tree representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.6 Maple’s Original Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.7 Maple’s New-Style Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.8 Subresultant p.r.s. algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.1 Program for computing solutions to a cubic . . . . . . . . . . . . 69
3.2 Program for computing solutions to a quartic . . . . . . . . . . . 70
3.3 x3−x2 illustrating Thom’s Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.4 Gianni–Kalkbrener Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.5 Algorithm 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3.6 Body of Algorithm 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
3.7 Cylindrical Deccomposition after Collins . . . . . . . . . . . . . . 128
4.1 Diagrammatic illustration of Modular Algorithms . . . . . . . . . 133
4.2 Diagrammatic illustration of Algorithm 15 . . . . . . . . . . . . . 141
4.3 Algorithm 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
4.4 Diagrammatic illustration of Algorithm 16 . . . . . . . . . . . . . 144
4.5 “Early termination” g.c.d. code . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
4.6 Algorithm 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
4.7 Diagrammatic illustration of Algorithm 19 . . . . . . . . . . . . . 151
4.8 Algorithm 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
4.9 Diagrammatic illustration of g.c.d.s in Z[x,y] (1) . . . . . . . . . 153
4.10 Diagrammatic illustration of g.c.d.s in Z[x,y] (2) . . . . . . . . . 153
4.11 Diagrammatic illustration of sparse g.c.d. . . . . . . . . . . . . . 158
4.12 Algorithm 20: Sparse g.c.d. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
4.13 Algorithm 21: Inner sparse g.c.d. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
4.14 Algorithm 22: Sparse g.c.d. from skeleton . . . . . . . . . . . . . 160
4.15 f from section 4.4.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
7
8 LIST OF FIGURES
4.16 g from section 4.4.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
4.17 Algorithm 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
5.1 Diagrammatic illustration of Hensel Algorithms . . . . . . . . . . 173
5.2 Algorithm25: Distinct Degree Factorization . . . . . . . . . . . . 177
5.3 Algorithm26: Split a Distinct Degree Factorization . . . . . . . . 178
5.4 Algorithm 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
5.5 Algorithm 28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
5.6 Algorithm 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
5.7 Algorithm 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
5.8 Overview of Factoring Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
5.9 Algorithm 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
6.1 Non-candidness of algebraics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
6.2 Algebraic numbers in the denominator . . . . . . . . . . . . . . . 196
6.3 An evaluation of Maple’s RootOf construct . . . . . . . . . . . . 198
7.1 Algorithm 37: IntLog–Polynomial. . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
7.2 Algorithm 38: IntLog–Rational Expression. . . . . . . . . . . . . 216
7.3 Algorithm 39: IntExp–Polynomial . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
7.4 Algorithm 40: IntExp–Rational Expression . . . . . . . . . . . . 220
8.1 A Riemann surface example: log . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
8.2 plot3d(C, x =-4..4, y=-4..4): C from (8.20) . . . . . . . . . 238
8.3 Graph of apparent integral in (8.22) . . . . . . . . . . . . . . . . 240
C.1 Axiom output . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
C.2 Axiom type system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
C.3 Macsyma output . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
C.4 Maple output . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
C.5 Tree for A, B corresponding to table C.1 . . . . . . . . . . . . . . 276
C.6 Tree for A, B corresponding to table C.2 . . . . . . . . . . . . . . 277
C.7 MuPAD output . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
C.8 Reduce output . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
LIST OF FIGURES 9
List of Algorithms
1 Euclid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2 General g.c.d. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3 Subresultant p.r.s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4 Extended Euclidean . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5 General extended p.r.s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6 Bivariate g.c.d. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
7 Sturm Sequence evaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
8 Buchberger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
9 Gianni–Kalkbrener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
10 Gianni–Kalkbrener Step . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
11 FGLM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
13 Gr¨obner Walk. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
14 Extended Buchberger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
15 Modular GCD (Large prime version) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
16 Modular GCD (Small prime version) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
17 Modular GCD (Alternative small prime version) . . . . . . . . . . . 146
18 Content . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
19 Bivariate Modular GCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
20 Sparse g.c.d. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
21 Inner sparse g.c.d. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
22 Sparse g.c.d. from skeleton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
23 Farey Reconstruction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
24 Modular Gr¨obner base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
25 Distinct Degree Factorization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
26 Split a Distinct Degree Factorization . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
27 Hensel Lifting (Linear Two Factor version) . . . . . . . . . . . . . . 182
28 Univariate Hensel Lifting (Linear version) . . . . . . . . . . . . . . . 182
29 Univariate Hensel Lifting (Quadratic Two Factor version) . . . . . . 183
30 Univariate Hensel Lifting (Quadratic version) . . . . . . . . . . . . . 184
31 Combine Modular Factors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
32 Factor over Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
33 Multiivariate Hensel Lifting (Linear version). . . . . . . . . . . . . . 189
34 Wang’s EEZ Hensel Lifting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
35 Trager–Rothstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
36 Integration Paradigm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
37 IntLog–Polynomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
38 IntLog–Rational Expression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
39 IntExp–Polynomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
40 IntExp–Rational Expression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
42 resultant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
43 Chinese Remainder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
44 Chinese Remainder (Polynomial form) . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
45 Chinese Remainder for Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
10 LIST OF FIGURES
46 Chinese Remainder (Multivariate) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
47 Vandermonde solver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
48 Vandermonde variant solver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259