Comprimento de Arco PDF
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MAIS APLICAÇÕES DE INTEGRAÇÃO 8.1 Comprimento de Arco Nesta seção, nós aprenderemos sobre: Comprimento de Arco e suas funções. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados. COMPRIMENTO DE ARCO Podemos pensar em colocar um pedaço de barbante sobre a curva, como na figura, e então medir o comprimento do barbante com uma régua. Mas isso pode ser difícil de fazer com muita precisão se tivermos uma curva complicada. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados. COMPRIMENTO DE ARCO Esse processo é familiar para o caso de um círculo, onde a circunferência é o limite dos comprimentos dos polígonos inscritos. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados. COMPRIMENTO DE ARCO Agora, suponha que uma curva C seja definida pela equação y = f (x), onde f é ≤ ≤ contínua e a x b. Obtemos uma poligonal de aproximação para C dividindo o intervalo [a, b] em n subintervalos com extremidades x , x ,…, x 0 1 n e com larguras iguais a Δx. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados. COMPRIMENTO DE ARCO Se y = f (x ), então o ponto P (x , y ) está em i i i i i C e a poligonal com vértices P , P , . . . , P , 0 1 n ilustrada abaixo, é uma aproximação para C. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados. COMPRIMENTO DE ARCO O comprimento L de C é aproximadamente o mesmo dessa poligonal e a aproximação fica melhor quando n aumenta. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados. COMPRIMENTO DE ARCO Definição 1 Portanto, definimos o comprimento L da curva C com a equação y = f (x), a ≤ x ≤ b, como o limite dos comprimentos dessas poligonais inscritas (se o limite existir): n ∑ L = P P lim i−1 i n→∞ i=1 © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados. FUNÇÃO LISA Essa função f é chamada lisa, porque uma pequena mudança em x produz uma pequena mudança em f’ (x). Se tomarmos Δy = y – y , então i i i–1 P P = x − x 2 + y − y 2 ( ) ( ) i−1 i i i−1 i i−1 = Δx 2 + Δy 2 ( ) ( ) i © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados. FUNÇÃO LISA Aplicando o Teorema do Valor Médio para f no intervalo [x , x ], descobrimos que existe i–1 i um número x * entre x e x tal que i i–1 i f x − f x = f x * x − x ( ) ( ) '( )( ) i i−1 i i i−1 Δy = f x * Δx isto é, '( ) i i © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados. FUNÇÃO LISA Então, temos: P P = (Δx)2 + (Δy )2 i−1 i i 2 = (Δx)2 + ⎡ f '(x *)Δx⎤ ⎣ ⎦ i 2 = 1+ ⎡ f '(x *)⎤ (Δx)2 ⎣ ⎦ i 2 = 1+ ⎡ f '(x *)⎤ Δx ( porque Δx > 0) ⎣ ⎦ i © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
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