Composition Theorems of Stepanov Almost Periodic Functions and Stepanov-Like Pseudo-Almost ...

12 Pages·2011·0.51 MB·English

HindawiPublishingCorporation
AdvancesinDifferenceEquations
Volume2011,ArticleID654695,12pages
doi:10.1155/2011/654695
Research Article
Composition Theorems of Stepanov
Almost Periodic Functions and Stepanov-Like
Pseudo-Almost Periodic Functions
Wei Long and Hui-Sheng Ding
CollegeofMathematicsandInformationScience,JiangxiNormalUniversityNanchang,
Jiangxi330022,China
CorrespondenceshouldbeaddressedtoHui-ShengDing,[email protected]
Received31December2010;Accepted20February2011
AcademicEditor:TokaDiagana
Copyrightq2011W.LongandH.-S.Ding. This is an open access article distributed under the
Creative Commons Attribution License, which permits unrestricted use, distribution, and
reproductioninanymedium,providedtheoriginalworkisproperlycited.
WeestablishacompositiontheoremofStepanovalmostperiodicfunctions,and,withitshelp,a
compositiontheoremofStepanov-likepseudoalmostperiodicfunctionsisobtained.Inaddition,
we apply our composition theorem to study the existence and uniqueness of pseudo-almost
periodicsolutionstoaclassofabstractsemilinearevolutionequationinaBanachspace.Ourresults
complementarecentworkduetoDiagana(cid:3)2008(cid:4).
1. Introduction
Recently, in (cid:5)1, 2(cid:6), Diagana introduced the concept of Stepanov-like pseudo-almost
periodicity,whichisageneralizationoftheclassicalnotionofpseudo-almostperiodicity,and
established some properties for Stepanov-like pseudo-almost periodic functions. Moreover,
Diaganastudiedtheexistenceofpseudo-almostperiodicsolutionstotheabstractsemilinear
evolutionequationu(cid:2)(cid:3)t(cid:4) (cid:7) A(cid:3)t(cid:4)u(cid:3)t(cid:4)(cid:8)f(cid:3)t,u(cid:3)t(cid:4)(cid:4).Theexistencetheoremsobtainedin(cid:5)1,2(cid:6)are
interestingsincef(cid:3)·,u(cid:4)isonlyStepanov-likepseudo-almostperiodic,whichisdifferentfrom
earlierworks.Inaddition,Diaganaetal.(cid:5)3(cid:6)introducedandstudiedStepanov-likeweighted
pseudo-almostperiodicfunctionsandtheirapplicationstoabstractevolutionequations.
Ontheotherhand,duetotheworkof(cid:5)4(cid:6)byN’Gue´re´kataandPankov,Stepanov-like
almost automorphic problems have widely been investigated. We refer the reader to (cid:5)5–11(cid:6)
forsomerecentdevelopmentsonthistopic.
Since Stepanov-like almost-periodic (cid:3)almost automorphic(cid:4) type functions are not
necessarily continuous, the study of such functions will be more difficult considering
complexityandmoreinterestingintermsofapplications.
2 AdvancesinDifferenceEquations
Veryrecently,in(cid:5)12(cid:6),LiandZhangobtainedanewcompositiontheoremofStepanov-
likepseudo-almostperiodicfunctions;theauthorsin(cid:5)13(cid:6)establishedacompositiontheorem
ofvector-valuedStepanovalmost-periodicfunctions.Motivatedby(cid:5)2,12,13(cid:6),inthispaper,
we will make further study on the composition theorems of Stepanov almost-periodic
functions and Stepanov-like pseudo-almost periodic functions. As one will see, our main
resultsextendandcomplementsomeresultsin(cid:5)2,13(cid:6).
Throughout this paper, let R be the set of real numbers, let mesE be the Lebesgue
measure for any subset E ⊂ R, and X,Y be two arbitrary real Banach spaces. Moreover, we
assumethat1≤p<(cid:8)∞ifthereisnospecialstatement.First,letusrecallsomedefinitionsand
basicresultsofalmostperiodicfunctions,Stepanovalmostperiodicfunctions,pseudo-almost
periodicfunctions,andStepanov-likepseudo-almostperiodicfunctions(cid:3)formoredetails,see
(cid:5)2,14,15(cid:6)(cid:4).
Definition1.1. AsetE⊂Riscalledrelativelydenseifthereexistsanumberl>0suchthat
(cid:3)a,a(cid:8)l(cid:4)∩E/(cid:7)∅, ∀a∈R. (cid:3)1.1(cid:4)
Definition 1.2. A continuous function f : R → X is called almost periodic if for each ε > 0
thereexistsarelativelydensesetP(cid:3)ε,f(cid:4)⊂Rsuchthat
(cid:2) (cid:2) (cid:3) (cid:4)
sup(cid:2)f(cid:3)t(cid:8)τ(cid:4)−f(cid:3)t(cid:4)(cid:2)<ε, ∀τ ∈P ε,f . (cid:3)1.2(cid:4)
t∈R
WedenotethesetofallsuchfunctionsbyAP(cid:3)R,X(cid:4)orAP(cid:3)X(cid:4).
Definition1.3. Acontinuousfunctionf : R×X → Y iscalledalmostperiodicintuniformly
forx ∈Xif,foreachε >0andeachcompactsubsetK ⊂X,thereexistsarelativelydenseset
P(cid:3)ε,f,K(cid:4)⊂R
(cid:2) (cid:2) (cid:3) (cid:4)
sup(cid:2)f(cid:3)t(cid:8)τ,x(cid:4)−f(cid:3)t,x(cid:4)(cid:2)<ε, ∀τ ∈P ε,f,K , ∀x∈K. (cid:3)1.3(cid:4)
t∈R
WedenotebyAP(cid:3)R×X,Y(cid:4)thesetofallsuchfunctions.
Definition1.4. TheBochnertransformfb(cid:3)t,s(cid:4),t ∈ R,s ∈ (cid:5)0,1(cid:6),ofafunctionf(cid:3)t(cid:4)onR,with
valuesinX,isdefinedby
fb(cid:3)t,s(cid:4):(cid:7)f(cid:3)t(cid:8)s(cid:4). (cid:3)1.4(cid:4)
Definition 1.5. The space BSp(cid:3)X(cid:4) of all Stepanov bounded functions, with the exponent p,
consistsofallmeasurablefunctionsf onRwithvaluesinXsuchthat
(cid:5)(cid:6) (cid:7)
t(cid:8)1 1/p
(cid:11)f(cid:11) :(cid:7)sup (cid:11)f(cid:3)τ(cid:4)(cid:11)p dτ <(cid:8)∞ (cid:3)1.5(cid:4)
Sp
t∈R t
It is obvious that Lp(cid:3)R;X(cid:4) ⊂ BSp(cid:3)X(cid:4) ⊂ Lp (cid:3)R;X(cid:4) and BSp(cid:3)X(cid:4) ⊂ BSq(cid:3)X(cid:4) whenever
loc
p≥q≥1.
AdvancesinDifferenceEquations 3
Definition 1.6. A function f ∈ BSp(cid:3)X(cid:4) is called Stepanov almost periodic if fb ∈
AP(cid:3)Lp(cid:3)0,1;X(cid:4)(cid:4); that is, for all ε > 0, there exists a relatively dense set P(cid:3)ε,f(cid:4) ⊂ R such
that
(cid:5)(cid:6) (cid:7)
1 1/p (cid:3) (cid:4)
sup (cid:11)f(cid:3)t(cid:8)s(cid:8)τ(cid:4)−f(cid:3)t(cid:8)s(cid:4)(cid:11)pds <ε, ∀τ ∈P ε,f . (cid:3)1.6(cid:4)
t∈R 0
WedenotethesetofallsuchfunctionsbyAPSp(cid:3)R,X(cid:4)orAPSp(cid:3)X(cid:4).
Remark1.7. ItisclearthatAP(cid:3)X(cid:4)⊂APSp(cid:3)X(cid:4)⊂APSq(cid:3)X(cid:4)forp≥q≥1.
Definition 1.8. A function f : R×X → Y, (cid:3)t,u(cid:4) (cid:13)→ f(cid:3)t,u(cid:4) with f(cid:3)·,u(cid:4) ∈ BSp(cid:3)Y(cid:4), for each
u ∈ X,iscalledStepanovalmostperiodicint ∈ Runiformlyforu ∈ X if,foreachε > 0and
eachcompactsetK ⊂X,thereexistsarelativelydensesetP(cid:3)ε,f,K(cid:4)⊂Rsuchthat
(cid:5)(cid:6) (cid:7)
1(cid:2) (cid:2) 1/p
sup (cid:2)f(cid:3)t(cid:8)s(cid:8)τ,u(cid:4)−f(cid:3)t(cid:8)s,u(cid:4)(cid:2)pds <ε, (cid:3)1.7(cid:4)
t∈R 0
for each τ ∈ P(cid:3)ε,f,K(cid:4) and each u ∈ K. We denote by APSp(cid:3)R×X,Y(cid:4) the set of all such
functions.
ItisalsoeasytoshowthatAPSp(cid:3)R×X,Y(cid:4)⊂APSq(cid:3)R×X,Y(cid:4)forp≥q≥1.
Throughout the rest of this paper, let C (cid:3)R,X(cid:4) (cid:3)resp., C (cid:3)R×X,Y(cid:4)(cid:4) be the space of
b b
bounded continuous (cid:3)resp., jointly bounded continuous(cid:4) functions with supremum norm,
and
(cid:8) (cid:6) (cid:9)
PAP (cid:3)R,X(cid:4)(cid:7) ϕ∈C (cid:3)R,X(cid:4): lim 1 T (cid:2)(cid:2)ϕ(cid:3)t(cid:4)(cid:2)(cid:2)dt(cid:7)0 . (cid:3)1.8(cid:4)
0 b
T→(cid:8)∞2T −T
WealsodenotebyPAP (cid:3)R×X,Y(cid:4)thespaceofallfunctionsϕ∈C (cid:3)R×X,Y(cid:4)suchthat
0 b
(cid:6)
lim 1 T (cid:2)(cid:2)ϕ(cid:3)t,x(cid:4)(cid:2)(cid:2)dt(cid:7)0 (cid:3)1.9(cid:4)
T→(cid:8)∞2T −T
uniformlyforxinanycompactsetK ⊂X.
Definition1.9. Afunctionf ∈C (cid:3)R,X(cid:4) (cid:3)C (cid:3)R×X,Y(cid:4)(cid:4)iscalledpseudo-almostperiodicif
b b
f (cid:7)g(cid:8)ϕ (cid:3)1.10(cid:4)
with g ∈ AP(cid:3)X(cid:4)(cid:3)AP(cid:3)R × X,Y(cid:4)(cid:4) and ϕ ∈ PAP (cid:3)R,X(cid:4)(cid:3)PAP (cid:3)R × X,Y(cid:4)(cid:4). We denote by
0 0
PAP(cid:3)X(cid:4)(cid:3)PAP(cid:3)R×X,Y(cid:4)(cid:4)thesetofallsuchfunctions.
Itiswell-knownthatPAP(cid:3)X(cid:4)isaclosedsubspaceofC (cid:3)R,X(cid:4),andthusPAP(cid:3)X(cid:4)isa
b
Banachspaceunderthesupremumnorm.
4 AdvancesinDifferenceEquations
Definition 1.10. A function f ∈ BSp(cid:3)X(cid:4) is called Stepanov-like pseudo-almost periodic if it
canbedecomposedasf (cid:7) g(cid:8)hwithgb ∈ AP(cid:3)R,Lp(cid:3)0,1;X(cid:4)(cid:4)andhb ∈ PAP (cid:3)R,Lp(cid:3)0,1;X(cid:4)(cid:4).
0
WedenotethesetofallsuchfunctionsbyPAPSp(cid:3)R,X(cid:4)orPAPSp(cid:3)X(cid:4).
Itfollowsfrom(cid:5)2(cid:6)thatPAP(cid:3)X(cid:4)⊂PAPSp(cid:3)X(cid:4)forall1≤p<(cid:8)∞.
Definition 1.11. A function F : R×X → Y, (cid:3)t,u(cid:4) (cid:13)→ f(cid:3)t,u(cid:4) with f(cid:3)·,u(cid:4) ∈ BSp(cid:3)Y(cid:4), for each
u∈X,iscalledStepanov-likepseud-almostperiodicint∈Runiformlyforu∈Xifitcanbe
decomposedasF (cid:7)G(cid:8)HwithGb ∈AP(cid:3)R×X,Lp(cid:3)0,1;Y(cid:4)(cid:4)andHb ∈PAP (cid:3)R×X,Lp(cid:3)0,1;Y(cid:4)(cid:4).
0
WedenotebyPAPSp(cid:3)R×X,Y(cid:4)thesetofallsuchfunctions.
Next,letusrecallsomenotationsaboutevolutionfamilyandexponentialdichotomy.
Formoredetails,wereferthereaderto(cid:5)16(cid:6).
Definition 1.12. A set {U(cid:3)t,s(cid:4) : t ≥ s, t,s ∈ R} of bounded linear operator on X is called an
evolutionfamilyif
(cid:3)a(cid:4)U(cid:3)s,s(cid:4)(cid:7)I,U(cid:3)t,s(cid:4)(cid:7)U(cid:3)t,r(cid:4)U(cid:3)r,s(cid:4)fort≥r ≥sandt,r,s∈R,
(cid:3)b(cid:4){(cid:3)τ,σ(cid:4)∈R2 :τ ≥σ}(cid:14)(cid:3)t,s(cid:4)(cid:13)→U(cid:3)t,s(cid:4)isstronglycontinuous.
Definition 1.13. An evolution family U(cid:3)t,s(cid:4) is called hyperbolic (cid:3)or has exponential
dichotomy(cid:4) if there are projections P(cid:3)t(cid:4), t ∈ R, being uniformly bounded and strongly
continuousint,andconstantsM,ω>0suchthat
(cid:3)a(cid:4)U(cid:3)t,s(cid:4)P(cid:3)s(cid:4)(cid:7)P(cid:3)t(cid:4)U(cid:3)t,s(cid:4)forallt≥s,
(cid:3)b(cid:4)the restriction U (cid:3)t,s(cid:4) : Q(cid:3)s(cid:4)X → Q(cid:3)t(cid:4)X is invertible for all t ≥ s (cid:3)and we set
Q
U (cid:3)s,t(cid:4)(cid:7)U (cid:3)t,s(cid:4)−1(cid:4),
Q Q
(cid:3)c(cid:4)(cid:11)U(cid:3)t,s(cid:4)P(cid:3)s(cid:4)(cid:11)≤Me−ω(cid:3)t−s(cid:4)and(cid:11)U (cid:3)s,t(cid:4)Q(cid:3)t(cid:4)(cid:11)≤Me−ω(cid:3)t−s(cid:4)forallt≥s,
Q
whereQ:(cid:7)I−P.Wecallthat
⎧
⎨U(cid:3)t,s(cid:4)P(cid:3)s(cid:4), t≥s, t,s∈R,
Γ(cid:3)t,s(cid:4):(cid:7) (cid:3)1.11(cid:4)
⎩
−U (cid:3)t,s(cid:4)Q(cid:3)s(cid:4), t<s, t,s∈R,
Q
istheGreen’sfunctioncorrespondingtoU(cid:3)t,s(cid:4) andP(cid:3)·(cid:4).
Remark1.14. Exponentialdichotomyisaclassicalconceptinthestudyoflong-termbehaviour
ofevolutionequations;see,forexample,(cid:5)16(cid:6).Itiseasytoseethat
⎧
(cid:2) (cid:2) ⎨Me−ω(cid:3)t−s(cid:4), t≥s, t,s∈R,
(cid:2)Γ(cid:3)t,s(cid:4)(cid:2)≤ (cid:3)1.12(cid:4)
⎩
Me−ω(cid:3)s−t(cid:4), t<s, t,s∈R.
2. Main Results
Throughout the rest of this paper, for r ≥ 1, we denote by Lr(cid:3)R × X,X(cid:4) the set of all the
functionsf :R×X → XsatisfyingthatthereexistsafunctionL ∈BSr(cid:3)R(cid:4)suchthat
f
(cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2)
(cid:2)f(cid:3)t,u(cid:4)−f(cid:3)t,v(cid:4)(cid:2)≤L (cid:3)t(cid:4)(cid:2)u−v(cid:2), ∀t∈R, ∀u,v ∈X, (cid:3)2.1(cid:4)
f
AdvancesinDifferenceEquations 5
and, for any compact set K ⊂ X, we denote by APSp(cid:3)R×X,Y(cid:4) the set of all the functions
K
f ∈APSp(cid:3)R×X,Y(cid:4)suchthat(cid:3)1.7(cid:4)isreplacedby
(cid:13)(cid:6) (cid:5) (cid:7) (cid:14)
1 (cid:2) (cid:2) p 1/p
sup sup(cid:2)f(cid:3)t(cid:8)s(cid:8)τ,u(cid:4)−f(cid:3)t(cid:8)s,u(cid:4)(cid:2) ds <ε. (cid:3)2.2(cid:4)
t∈R 0 u∈K
Inaddition,wedenoteby(cid:11)·(cid:11) thenormofLp(cid:3)0,1;X(cid:4)andLp(cid:3)0,1;R(cid:4).
p
(cid:15)
Lemma 2.1. Let p ≥ 1, K ⊂ X be compact, and f ∈ APSp(cid:3)R × X,X(cid:4) Lp(cid:3)R × X,X(cid:4). Then
f ∈APSp(cid:3)R×X,X(cid:4).
K
Proof. Forallε>0,thereexistx ,...,x ∈Ksuchthat
1 k
(cid:16)k
K ⊂ B(cid:3)x,ε(cid:4). (cid:3)2.3(cid:4)
i
i(cid:7)1
Since f ∈ APSp(cid:3)R×X,X(cid:4), for the above ε > 0, there exists a relatively dense set P(cid:3)ε(cid:4) ⊂ R
suchthat
(cid:2) (cid:2)
(cid:2)f(cid:3)t(cid:8)τ (cid:8)·,u(cid:4)−f(cid:3)t(cid:8)·,u(cid:4)(cid:2) < ε, (cid:3)2.4(cid:4)
p k
forallτ ∈ P(cid:3)ε(cid:4),t ∈ R,andu ∈ K.Ontheotherhand,sincef ∈ Lp(cid:3)R×X,X(cid:4),thereexistsa
functionL ∈BSp(cid:3)R(cid:4)suchthat(cid:3)2.1(cid:4)holds.
f
Fixt∈R,τ ∈P(cid:3)ε(cid:4).Foreachu∈K,thereexistsi(cid:3)u(cid:4)∈{1,2,...,k}suchthat(cid:11)u−xi(cid:3)u(cid:4)(cid:11)<
ε.Thus,wehave
(cid:2) (cid:2)
(cid:2)f(cid:3)t(cid:8)s(cid:8)τ,u(cid:4)−f(cid:3)t(cid:8)s,u(cid:4)(cid:2)
(cid:2) (cid:3) (cid:4) (cid:3) (cid:4)(cid:2) (cid:3)2.5(cid:4)
≤Lf(cid:3)t(cid:8)s(cid:8)τ(cid:4)ε(cid:8)(cid:2)f t(cid:8)s(cid:8)τ,xi(cid:3)u(cid:4) −f t(cid:8)s,xi(cid:3)u(cid:4) (cid:2)(cid:8)Lf(cid:3)t(cid:8)s(cid:4)ε,
foreachu∈Kands∈(cid:5)0,1(cid:6),whichgivesthat
(cid:2) (cid:2)
sup(cid:2)f(cid:3)t(cid:8)s(cid:8)τ,u(cid:4)−f(cid:3)t(cid:8)s,u(cid:4)(cid:2)
u∈K
(cid:17) (cid:18) (cid:19)k (cid:2) (cid:2) (cid:3)2.6(cid:4)
≤ L (cid:3)t(cid:8)s(cid:8)τ(cid:4)(cid:8)L (cid:3)t(cid:8)s(cid:4) ε(cid:8) (cid:2)f(cid:3)t(cid:8)s(cid:8)τ,x(cid:4)−f(cid:3)t(cid:8)s,x(cid:4)(cid:2), ∀s∈(cid:5)0,1(cid:6).
f f i i
i(cid:7)1
6 AdvancesinDifferenceEquations
Now,byMinkowski’sinequalityand(cid:3)2.4(cid:4),weget
(cid:13)(cid:6) (cid:5) (cid:7) (cid:14)
1 (cid:2) (cid:2) p 1/p
sup(cid:2)f(cid:3)t(cid:8)s(cid:8)τ,u(cid:4)−f(cid:3)t(cid:8)s,u(cid:4)(cid:2) ds
0 u∈K
(cid:13)(cid:6) (cid:14) (cid:13)(cid:6) (cid:14)
1 1/p 1 1/p
≤ Lp(cid:3)t(cid:8)s(cid:8)τ(cid:4)ds ·ε(cid:8) Lp(cid:3)t(cid:8)s(cid:4)ds ·ε
f f
0 0 (cid:3)2.7(cid:4)
(cid:13)(cid:6) (cid:14)
(cid:19)k 1(cid:2) (cid:2) 1/p
(cid:8) (cid:2)f(cid:3)t(cid:8)s(cid:8)τ,x(cid:4)−f(cid:3)t(cid:8)s,x(cid:4)(cid:2)pds
i i
(cid:20) i(cid:2)(cid:7)1 (cid:2)0 (cid:21)
≤ 2(cid:2)L (cid:2) (cid:8)1 ε,
f Sp
whichmeansthatf ∈APSp(cid:3)R×X,X(cid:4).
K
Theorem2.2. Assumethatthefollowingconditionshold:
(cid:3)a(cid:4)f ∈APSp(cid:3)R×X,X(cid:4)withp>1,andf ∈Lr(cid:3)R×X,X(cid:4)withr ≥max{p,p/(cid:3)p−1(cid:4)}.
(cid:3)b(cid:4)x∈APSp(cid:3)X(cid:4),andthereexistsasetE⊂RwithmesE(cid:7)0suchthat
K :(cid:7){x(cid:3)t(cid:4):t∈R\E} (cid:3)2.8(cid:4)
iscompactinX.
Thenthereexistsq∈(cid:5)1,p(cid:4)suchthatf(cid:3)·,x(cid:3)·(cid:4)(cid:4)∈APSq(cid:3)X(cid:4).
Proof. Sincer ≥p/(cid:3)p−1(cid:4),thereexistsq∈(cid:5)1,p(cid:4)suchthatr (cid:7)pq/(cid:3)p−q(cid:4).Let
p p
p(cid:2) (cid:7) p−q, q(cid:2) (cid:7) q. (cid:3)2.9(cid:4)
Then p(cid:2),q(cid:2) > 1 and 1/p(cid:2) (cid:8)1/q(cid:2) (cid:7) 1. On the other hand, since f ∈ Lr(cid:3)R×X,X(cid:4), there is a
functionL ∈BSr(cid:3)R(cid:4)suchthat(cid:3)2.1(cid:4)holds.
f
Itiseasytoseethatf(cid:3)·,x(cid:3)·(cid:4)(cid:4)ismeasurable.Byusing(cid:3)2.1(cid:4),foreacht∈R,wehave
(cid:5)(cid:6) (cid:7) (cid:5)(cid:6) (cid:7)
t(cid:8)1 1/q t(cid:8)1(cid:2) (cid:2) 1/q (cid:2) (cid:2)
(cid:11)f(cid:3)s,x(cid:3)s(cid:4)(cid:4)(cid:11)qds ≤ (cid:2)f(cid:3)s,x(cid:3)s(cid:4)(cid:4)−f(cid:3)s,0(cid:4)(cid:2)qds (cid:8)(cid:2)f(cid:3)·,0(cid:4)(cid:2)
Sq
t t
(cid:5)(cid:6) (cid:7)
t(cid:8)1 (cid:2) (cid:2) 1/q (cid:2) (cid:2)
≤ Lq(cid:3)s(cid:4)(cid:2)x(cid:3)s(cid:4)(cid:2)qds (cid:8)(cid:2)f(cid:3)·,0(cid:4)(cid:2)
t f Sq (cid:3)2.10(cid:4)
(cid:5)(cid:6) (cid:7) (cid:5)(cid:6) (cid:7)
t(cid:8)1 1/r t(cid:8)1(cid:2) (cid:2) 1/p (cid:2) (cid:2)
≤ Lr(cid:3)s(cid:4)ds · (cid:2)x(cid:3)s(cid:4)(cid:2)pdt (cid:8)(cid:2)f(cid:3)·,0(cid:4)(cid:2)
f Sq
t t
(cid:2) (cid:2)
≤(cid:2)L (cid:2) · (cid:11)x(cid:11) (cid:8)(cid:11)f(cid:3)·,0(cid:4)(cid:11) <(cid:8)∞.
f Sr Sp Sq
Thus,f(cid:3)·,x(cid:3)·(cid:4)(cid:4)∈BSq(cid:3)X(cid:4).
AdvancesinDifferenceEquations 7
Next, let us show that f(cid:3)·,x(cid:3)·(cid:4)(cid:4) ∈ APSq(cid:3)X(cid:4). By Lemma2.1, f ∈ APSp(cid:3)R×X,X(cid:4). In
K
addition,wehavex∈APSp(cid:3)X(cid:4).Thus,forallε>0,thereexistsarelativelydensesetP(cid:3)ε(cid:4)⊂R
suchthat
(cid:13)(cid:6) (cid:5) (cid:7) (cid:14)
1 (cid:2) (cid:2) p 1/p
sup(cid:2)f(cid:3)t(cid:8)s(cid:8)τ,u(cid:4)−f(cid:3)t(cid:8)s,u(cid:4)(cid:2) ds <ε,
0 u∈K (cid:3)2.11(cid:4)
(cid:11)x(cid:3)t(cid:8)τ (cid:8)·(cid:4)−x(cid:3)t(cid:8)·(cid:4)(cid:11) <ε
p
forallτ ∈P(cid:3)ε(cid:4)andt∈R.Byusing(cid:3)2.11(cid:4),wededucethat
(cid:5)(cid:6) (cid:7)
1(cid:2) (cid:2) 1/q
(cid:2)f(cid:3)t(cid:8)s(cid:8)τ,x(cid:3)t(cid:8)s(cid:8)τ(cid:4)(cid:4)−f(cid:3)t(cid:8)s,x(cid:3)t(cid:8)s(cid:4)(cid:4)(cid:2)q
0
(cid:5)(cid:6) (cid:7)
1 (cid:2) (cid:2) 1/q
≤ Lq(cid:3)t(cid:8)s(cid:8)τ(cid:4)(cid:2)x(cid:3)t(cid:8)s(cid:8)τ(cid:4)−x(cid:3)t(cid:8)s(cid:4)(cid:2)q
f
0
(cid:5)(cid:6) (cid:7)
1(cid:2) (cid:2) 1/q
(cid:8) (cid:2)f(cid:3)t(cid:8)s(cid:8)τ,x(cid:3)t(cid:8)s(cid:4)(cid:4)−f(cid:3)t(cid:8)s,x(cid:3)t(cid:8)s(cid:4)(cid:4)(cid:2)q
0
(cid:5)(cid:6) (cid:7) (cid:5)(cid:6) (cid:7)
1 1/r 1(cid:2) (cid:2) 1/p
≤ Lr(cid:3)t(cid:8)s(cid:8)τ(cid:4)dt · (cid:2)x(cid:3)t(cid:8)s(cid:8)τ(cid:4)−x(cid:3)t(cid:8)s(cid:4)(cid:2)pdt
f
0 0
(cid:5)(cid:6) (cid:7)
1 1/p
(cid:8) (cid:11)f(cid:3)t(cid:8)s(cid:8)τ,x(cid:3)t(cid:8)s(cid:4)(cid:4)−f(cid:3)t(cid:8)s,x(cid:3)t(cid:8)s(cid:4)(cid:4)(cid:11)p
0
(cid:13)(cid:6) (cid:5) (cid:7) (cid:14)
1 (cid:2) (cid:2) p 1/p
≤(cid:11)L (cid:11) ·(cid:11)x(cid:3)t(cid:8)τ (cid:8)·(cid:4)−x(cid:3)t(cid:8)·(cid:4)(cid:11) (cid:8) sup(cid:2)f(cid:3)t(cid:8)s(cid:8)τ,u(cid:4)−f(cid:3)t(cid:8)s,u(cid:4)(cid:2) ds
f Sr p
0 u∈K
(cid:20) (cid:21)
≤ (cid:11)L (cid:11) (cid:8)1 ε
f Sr
(cid:3)2.12(cid:4)
forallτ ∈P(cid:3)ε(cid:4)andt∈R.Thus,f(cid:3)·,x(cid:3)·(cid:4)(cid:4)∈APSq(cid:3)X(cid:4).
Lemma2.3. LetK ⊂ X becompact,f ∈ Lp(cid:3)R×X,X(cid:4),andfb ∈ PAP (cid:3)R×X,Lp(cid:3)0,1;X(cid:4)(cid:4).Then
0
f(cid:22)∈PAP (cid:3)R,R(cid:4),where
0
(cid:2) (cid:2)
f(cid:22)(cid:3)t(cid:4)(cid:7)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)sup(cid:2)(cid:2)f(cid:3)t(cid:8)·,u(cid:4)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2) , t∈R. (cid:3)2.13(cid:4)
u∈K p
Proof. NoticingthatKisacompactset,forallε>0,thereexistx ,...,x ∈Ksuchthat
1 k
(cid:16)
k
K ⊂ B(cid:3)x,ε(cid:4). (cid:3)2.14(cid:4)
i
i(cid:7)1
8 AdvancesinDifferenceEquations
Combiningthiswithf ∈Lp(cid:3)R×X,X(cid:4),forallu∈K,thereexistsx suchthat
i
(cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2)
(cid:2)f(cid:3)t(cid:8)s,u(cid:4)(cid:2)≤(cid:2)f(cid:3)t(cid:8)s,u(cid:4)−f(cid:3)t(cid:8)s,x(cid:4)(cid:2)(cid:8)(cid:2)f(cid:3)t(cid:8)s,x(cid:4)(cid:2)≤L (cid:3)t(cid:8)s(cid:4)ε(cid:8)(cid:2)f(cid:3)t(cid:8)s,x(cid:4)(cid:2)
i i f i
(cid:3)2.15(cid:4)
forallt∈Rands∈(cid:5)0,1(cid:6).Thus,weget
(cid:2) (cid:2) (cid:19)k (cid:2) (cid:2)
sup(cid:2)f(cid:3)t(cid:8)s,u(cid:4)(cid:2)≤L (cid:3)t(cid:8)s(cid:4)ε(cid:8) (cid:2)f(cid:3)t(cid:8)s,x(cid:4)(cid:2), ∀t∈R, ∀s∈(cid:5)0,1(cid:6), (cid:3)2.16(cid:4)
f i
u∈K i(cid:7)1
whichyieldsthat
(cid:2) (cid:2)
f(cid:22)(cid:3)t(cid:4)(cid:7)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)sup(cid:2)(cid:2)f(cid:3)t(cid:8)·,u(cid:4)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2) ≤(cid:11)L(cid:11)Sp ·ε(cid:8)(cid:19)k (cid:11)fb(cid:3)t,xi(cid:4)(cid:11)p, ∀t∈R. (cid:3)2.17(cid:4)
u∈K p i(cid:7)1
Ontheotherhand,sincefb ∈PAP (cid:3)R×X,Lp(cid:3)0,1;X(cid:4)(cid:4),fortheaboveε>0,thereexistsT >0
0 0
suchthat,forallT >T ,
0
(cid:6)
1 T ε
(cid:11)fb(cid:3)t,x(cid:4)(cid:11) dt< , i(cid:7)1,2,...,k. (cid:3)2.18(cid:4)
2T −T i p k
Thistogetherwith(cid:3)2.17(cid:4)impliesthat
(cid:6)
(cid:20) (cid:21)
1 T f(cid:22)(cid:3)t(cid:4)dt≤ (cid:11)L (cid:11) (cid:8)1 ε. (cid:3)2.19(cid:4)
2T −T f Sp
Hence,f(cid:22)∈PAP (cid:3)R,R(cid:4).
0
Theorem2.4. Assumethatp>1andthefollowingconditionshold:
(cid:3)a(cid:4)f (cid:7) g (cid:8)h ∈ PAPSp(cid:3)R×X,X(cid:4)withgb ∈ AP(cid:3)R×X,Lp(cid:3)0,1;X(cid:4)(cid:4)andhb ∈ PAP (cid:3)R×
0
X,Lp(cid:3)0,1;X(cid:4)(cid:4).Moreover,f,g ∈Lr(cid:3)R×X,X(cid:4)withr ≥max{p,p/(cid:3)p−1(cid:4)};
(cid:3)b(cid:4)x (cid:7) y(cid:8)z ∈ PAPSp(cid:3)X(cid:4)withyb ∈ AP(cid:3)R,Lp(cid:3)0,1;X(cid:4)(cid:4)andzb ∈ PAP (cid:3)R,Lp(cid:3)0,1;X(cid:4)(cid:4),
0
andthereexistsasetE⊂RwithmesE(cid:7)0suchthat
K :(cid:7){y(cid:3)t(cid:4):t∈R\E} (cid:3)2.20(cid:4)
iscompactinX.
Thenthereexistsq∈(cid:5)1,p(cid:4)suchthatf(cid:3)·,x(cid:3)·(cid:4)(cid:4)∈PAPSq(cid:3)X(cid:4).
AdvancesinDifferenceEquations 9
Proof. Letp, p(cid:2), and q(cid:2) beasintheproofofTheorem2.2.Inaddition,letf(cid:3)t,x(cid:3)t(cid:4)(cid:4) (cid:7) H(cid:3)t(cid:4)(cid:8)
I(cid:3)t(cid:4)(cid:8)J(cid:3)t(cid:4),where
(cid:3) (cid:4) (cid:3) (cid:4) (cid:3) (cid:4)
H(cid:3)t(cid:4)(cid:7)g t,y(cid:3)t(cid:4) , I(cid:3)t(cid:4)(cid:7)f(cid:3)t,x(cid:3)t(cid:4)(cid:4)−f t,y(cid:3)t(cid:4) , J(cid:3)t(cid:4)(cid:7)h t,y(cid:3)t(cid:4) . (cid:3)2.21(cid:4)
ItfollowsfromTheorem2.2thatH ∈APSq(cid:3)X(cid:4),thatis,Hb ∈AP(cid:3)R,Lq(cid:3)0,1;X(cid:4)(cid:4).
Next,letusshowthatIb,Jb ∈PAP (cid:3)R,Lq(cid:3)0,1;X(cid:4)(cid:4).ForIb,wehave
0
(cid:6) (cid:6) (cid:5)(cid:6) (cid:7)
1 T 1 T 1 1/q
(cid:11)Ib(cid:3)t(cid:4)(cid:11) dt(cid:7) (cid:11)I(cid:3)t(cid:8)s(cid:4)(cid:11)qds dt
2T −T q 2T −T 0
(cid:6) (cid:5)(cid:6) (cid:7)
≤ 1 T 1Lq(cid:3)t(cid:8)s(cid:4)(cid:11)z(cid:3)t(cid:8)s(cid:4)(cid:11)qds 1/qdt (cid:3)2.22(cid:4)
2T −T 0 f
(cid:6)
1 T
≤(cid:11)L (cid:11) (cid:11)zb(cid:3)t(cid:4)(cid:11) dt → 0, (cid:3)T → (cid:8)∞(cid:4),
f Sr2T −T p
wherezb ∈ PAP (cid:3)R,Lp(cid:3)0,1;X(cid:4)(cid:4)wasused.ForJb,sinceh (cid:7) f −g ∈ Lr(cid:3)R×X,X(cid:4) ⊂ Lp(cid:3)R×
0
X,X(cid:4),byLemma2.3,weknowthat
lim 1 (cid:6)T (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)sup(cid:2)(cid:2)h(cid:3)t(cid:8)·,u(cid:4)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2) dt(cid:7)0, (cid:3)2.23(cid:4)
T→∞2T −T u∈K p
whichyields
(cid:6) (cid:6)
1 T 1 T
(cid:11)Jb(cid:3)t(cid:4)(cid:11) dt≤ (cid:11)Jb(cid:3)t(cid:4)(cid:11) dt
2T −T q 2T −T p
(cid:6) (cid:5)(cid:6) (cid:7)
1 T 1 (cid:3) (cid:4) 1/p
(cid:7) (cid:11)h t(cid:8)s,y(cid:3)t(cid:8)s(cid:4) (cid:11)pds dt (cid:3)2.24(cid:4)
2T −T 0
(cid:6) (cid:13)(cid:6) (cid:5) (cid:7) (cid:14)
≤ 1 T 1 sup(cid:2)(cid:2)h(cid:3)t(cid:8)s,u(cid:4)(cid:2)(cid:2) pds 1/pdt → 0 (cid:3)T → (cid:8)∞(cid:4),
2T −T 0 u∈K
thatis,Jb ∈PAP (cid:3)R,Lq(cid:3)0,1;X(cid:4)(cid:4).Now,wegetf(cid:3)·,x(cid:3)·(cid:4)(cid:4)∈PAPSq(cid:3)X(cid:4).
0
Next,letusdiscusstheexistenceanduniquenessofpseudo-almostperiodicsolutions
forthefollowingabstractsemilinearevolutionequationinX:
u(cid:2)(cid:3)t(cid:4)(cid:7)A(cid:3)t(cid:4)u(cid:3)t(cid:4)(cid:8)f(cid:3)t,u(cid:3)t(cid:4)(cid:4). (cid:3)2.25(cid:4)
10 AdvancesinDifferenceEquations
Theorem2.5. Assumethatp>1andthefollowingconditionshold:
(cid:3)a(cid:4)f (cid:7) g (cid:8) h ∈ PAPSp(cid:3)R × X,X(cid:4) with gb ∈ AP(cid:3)R × X,Lp(cid:3)0,1;X(cid:4)(cid:4) and hb ∈ PAP (cid:3)R ×
0
X,Lp(cid:3)0,1;X(cid:4)(cid:4).Moreover,f,g∈Lr(cid:3)R×X,X(cid:4)with
(cid:23) (cid:24)
p p
r≥max p, , r> ; (cid:3)2.26(cid:4)
p−1 p−1
(cid:3)b(cid:4)theevolutionfamilyU(cid:3)t,s(cid:4)generatedbyA(cid:3)t(cid:4)hasanexponentialdichotomywithconstants
M,ω>0,dichotomyprojectionsP(cid:3)t(cid:4),t∈R,andGreen’sfunctionΓ;
(cid:3)c(cid:4)for all ε > 0, for all h > 0, and for all F ∈ APS1(cid:3)X(cid:4) there exists a relatively dense set
P(cid:3)ε(cid:4)⊂Rsuchthatsup (cid:11)F(cid:3)r(cid:8)·(cid:8)τ(cid:4)−f(cid:3)r(cid:8)·(cid:4)(cid:11)<εand
r∈R
(cid:2) (cid:2)
sup(cid:2)Γ(cid:3)t(cid:8)r(cid:8)τ,s(cid:8)r(cid:8)τ(cid:4)−Γ(cid:3)t(cid:8)r,s(cid:8)r(cid:4)(cid:2)<ε, (cid:3)2.27(cid:4)
r∈R
forallτ ∈P(cid:3)ε(cid:4)andt,s∈Rwith|t−s|≥h.
Then(cid:3)2.25(cid:4)hasauniquepseudo-almostperiodicmildsolutionprovidedthat
(cid:25) (cid:26)
(cid:2)(cid:2)L (cid:2)(cid:2) < 1−e−ω · ωr(cid:2) 1/r(cid:2), where (cid:3)1/r(cid:4)(cid:8)(cid:3)1/r(cid:2)(cid:4)(cid:7)1. (cid:3)2.28(cid:4)
f Sr 2M 1−e−ωr(cid:2)
Proof. Letu (cid:7) v(cid:8)w ∈ PAP(cid:3)X(cid:4),wherev ∈ AP(cid:3)X(cid:4)andw ∈ PAP (cid:3)X(cid:4).Thenu ∈ PAPSp(cid:3)X(cid:4)
0
and K :(cid:7) {v(cid:3)t(cid:4):t∈R} is compact in X. By the proof of Theorem2.4, there exists q ∈ (cid:3)1,p(cid:4)
suchthatf(cid:3)·,u(cid:3)·(cid:4)(cid:4)∈PAPSq(cid:3)X(cid:4).
Let
f(cid:3)t,u(cid:3)t(cid:4)(cid:4)(cid:7)f (cid:3)t(cid:4)(cid:8)f (cid:3)t(cid:4), t∈R, (cid:3)2.29(cid:4)
1 2
wherefb ∈AP(cid:3)R,Lq(cid:3)0,1;X(cid:4)(cid:4)andfb ∈PAP (cid:3)R,Lq(cid:3)0,1;X(cid:4)(cid:4).Denote
1 2 0
(cid:6)
F(cid:3)u(cid:4)(cid:3)t(cid:4):(cid:7) Γ(cid:3)t,s(cid:4)f(cid:3)s,u(cid:3)s(cid:4)(cid:4)ds(cid:7)F (cid:3)u(cid:4)(cid:3)t(cid:4)(cid:8)F (cid:3)u(cid:4)(cid:3)t(cid:4), t∈R, (cid:3)2.30(cid:4)
1 2
R
where
(cid:6) (cid:6)
F (cid:3)u(cid:4)(cid:3)t(cid:4)(cid:7) Γ(cid:3)t,s(cid:4)f (cid:3)s(cid:4)ds, F (cid:3)u(cid:4)(cid:3)t(cid:4)(cid:7) Γ(cid:3)t,s(cid:4)f (cid:3)s(cid:4)ds. (cid:3)2.31(cid:4)
1 1 2 2
R R