Complexe Cotangent et Déformations II

311 Pages·1972·3.362 MB·French

by  Luc Illusie (auth.)

Lecture Notes ni
Mathematics
A collection of informal reports dna seminars
detidE y.bA Heidelberg Dold, dna .B ,nnamkcE Zarich
283
Luc Illusie
Centre National de al Recherche Scientifique
Paris/France
Complexe Cotangent
et Deformations II
Springer-Verlag
Berlin. Heidelberg New York 2 7 9 1
AMS Subject Classifications (1970): 13 D 10, 14 F 10, 14 F 20, 14 F 30, 14 L 15, 18 G 10, 18 G 30
ISBN 3-540-05976-8 Springer-Verlag Berlin - Heidelberg • New York
ISBN 0-387-05976-8 Springer-Verlag New York • Heidelberg • Berlin
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AVE RTI S S EMENT
Ce volume contient les chapitres VI ~ VIII du travail pr~sent~ dans
l'introduction de [IO].
Les r~f~rences ~ [iO] ~tant consid~r~es cormue des r~f~rences internes,
[iO] n'y figure pas : par exemple, (III 3.3.6) renvoie ~ l'~nonc~ (3.3.6) du
chapitre III de [iO].
TABLE DES MATIERES
CHAPITRE VI : COHOMOLOGIE DE DIAGRAMMES ..................................... i
Introduction ............................................................. I
i. D~cal4s d'un objet simplicial ........................................ 4
2. Nerfs ................................................................ 9
3. Types d'homotopie des cat4gories, d'apr~s Quillen .................... 20
4. Objets simpliciaux stricts ........................................... 28
5. Topos associ~s aux topos fibres ...................................... 42
6. Cohomologie des topos fibr4s : calculs standard ...................... 56
6.1. R4solutions standard ........................................ 56
6.2. Cohomologie de Top(X) ....................................... 59
6.3. Images directes par I-morphismes ............................ 64
6.4. Cohomologie de Top°(X) ...................................... 66
6.5. Syst~mes locaux ............................................. 68
6.6. Foncteurs Lu! ............................................. 70
7. Une formule de dualit~ ............................................... 81
8. Cohomologie 4quivariante ............................................. 87
8.1. X-faisceaux, nerfs .......................................... 87
8.2. Pseudo-cat4gories, faisceaux induits et coinduits ........... 90
8.3. Nerfs de Modules induits et coinduits ....................... 96
8.4. Cohomologie de BX .......................................... 105
9. Diagrarmmes spectraux et stabilisation ................................ 115
9.1. Objets multisimpliciaux r~duits ............................. 115
9.2. Diagrammes spectraux ......................................... 117
9.3. Spectre d'un groupe commutatif .............................. 119
9.4. Formules d'adjonction ....................................... 122
9.5. Stabilisation ............................................... 125
VI
I0. Sorites sur les Modules diff~rentiels gradu~s ...................... 133
iO.I. La cat~gorie d~riv~e D(A) ................................ 133
10,2, Le foncteur RHom ......................................... 137
L
IO.3, Les foncteurs ~A et RHom A ............................. 142
ii. Cohomologie de mono~des spectraux ................................. 149
ii.I. Pseudo-categories associ~es g certains monoTdes gradu~s... 149
11.2. Spectre d'un Module ....................................... 154
11.3. Formules d'adjonctio.n. ................................... 160
11.4, L'Anneau ~ st(A) et la r~solution de MacLane ............. 168
11.5. Application. .............................................. 173
CHAPITRE VII : DEFORMATIONS EQUIVARIANTES DE G-SCHEMAS ETDEFORMATIONS
DE SCHEMAS EN GROUPES ........................................ 180
i. Le sorite des d~formations de diagramme.s. ......................... 180
i.I, Descente fpqc ............................................. 180
1.2. D~formations de diagrammes ................................ 185
2. D~formations ~quivariantes ......................................... 191
2.1, Notations et terminologie ................................. 191
2.2. Complexe cotangent ~quivariant ............................ 192
2.3, D~formations de G-schemas ................................. 198
2,4, D~formations de torseurs. L'extension d'Atiyah ............ 204
3. D~formations de schemas en groupes plats non commutatifs ........... 211
3,1, Complexe de co-Lie d'un schema en groupes plat
localement de presentation finie .......................... 211
3.2, D~formations de schemas en groupes plats localement
de presentation finie ..................................... 218
3.3. D~formations de morphismes de schemas en groupes .......... 222
Vll
.4 D~formations de schemas en modules ................................... 226
4.1. Complexes de Lie et de co-Lie d'un schema en modules ........ 226
4.2. D~formations de schemas en modules .......................... 238
CHAPITRE VIII : CATEGORIES FORMELLES~ COMPLEXES DE DE RHAM ET
COHOMOLOGIE CRISTALLINE ..................................... 245
.I Cohomologie des categories formelles ................................ 245
I.i. Complexes de De Rham et alg~bres de Lie .................... 245
1.2. Complexe de De Rham associ~ ~ une cat~gorie formelle ....... 253
1.3. Complexes de De Rham et d~calage :
le lerm~e de Poincar4 formel ................................ 261
1.4. Cohomologie des categories formelles PD-adiques plates ..... 267
.2 Complexe de De Rham d~riv~ et cohomologie cristalline ............... 275
2.1. Le complexe de De Rham d~riv~ .............................. 275
2.2. Cohomologie cristalline des intersections compl~tes ........ 281
Bibliographie ............................................................... 293
Index des notations .......................................................... 298
Index terminologique ......................................................... 302
CHAPITRE Vl
COHOMOLOGIE DE DIAGRAMMES
Introduction.
Ce chapitre est consacr~ au calcul de la cohomologie de certains
diagrammes qui interviennent naturellement dans les problgmes d'obstruction
envisages au chapitre VII . Le lecteur qui voudrait se faire une idle g~n~rale
de la m~thode que nous employons pour traiter ces probl~mes pourra consulter [ii].
La th~orie cohomologique des diagrammes d'espaces (plus g~n~ralement, des
"topos associ~s" aux topos fibres"), due ~ P. Deligne, est expos~e par
B. Saint-Donat dans (SGA 4 VI). La n~cessit~ de l'adapter aux situations que
nous avions en vue nous a contraint de la reprendre depuis ses fondements. Cela
explique en partie la longueur du present chapitre, dont nous nous excusons
aupr~s du lecteur.
Apr~s un bref rappel (n ° I), utile ~ divers endroits des n°s 2, 6, 8
et du ehapitre VIII, nous exposons, au ° 2, n la construction (bien connue) de
l'objet simplicial associ~ g une cat~gorie, qui forme la base de notre "m~thode
des diagrammes" en th~orie des d~formations. Le ° 3 n est une parenth~se sur le
fait, d~ ~ Quillen, qu'on peut r~aliser n'importe quel type d'homotopie par le
nerf d'une cat~gorie. Le ° 4 n contient certains calculs de limites inductives
utiles aux n°s 9 et Ii. Nous d~finissons au ° 5 n , les topos Top(X)
et Top°(X) associ~s ~ un topos fibr~ X , et ~tudions diverses
questions de variance. Le topos Top(X) est le "topos total" consid4r~ dans
(SGA 4 VI) ; nous l'avons d~j~ rencontr4, dans un cas particulier, ~ propos de
certains probl~mes de d4formations de morphismes de topos annel4s (III 2.3, 4).
C'est lui qui intervient, plus g~n4ralement, dans l'4criture des obstructions
aux d~formations de diagrammes de topos annel~s. Quant au topos Top°(X), d~j~
apparu discr~tement dans (V 6), son introduction, bien qu'un peu moins naturelle
- 2 -
que celle de Top(X) (I), est motiv~e par les r~sultats des n°s 7 et i0, qui
conduisent au calcul des obstructions aux d~formations de schemas en modules.
Par des r~solutions "~ la Godement", nous relions, au ° 6, n la cohomologie du
topos Top(X) (resp. Top°(X)) & celle des "~tages" X. (5.1) du topos
l
fibr~ X , et montrons notamment qu'on peut toujours se ramener au cas oN X est
un topos fibr~ "simplicial" ((6.2.4.2), (6.4.2)). Nous montrons aussi (6.5.3)
que Top(X) et Top°(X) ont "m~me" cohomologie & valeurs dans les faisceaux
"cart~siens" (5.2.4), ee qui g~n~ralise un r~sultat, dQ ind~pendamment ~ Quillen
et Verdier (2), sur l'interpr~tation "topologique" des groupes de cohomologie
d'un ensemble simplicial ~ valeurs dans un syst~me local comme groupes de
cohomologie d'un topos simplicial induit. Signalons ~galement que le formalisme
de (6.6) fournit incidemment un candidat assez naturel pour le complexe cotangent
en G~om~trie Analytique (6.6.2.3). Apr~s un interlude technique (n ° 7), qui
sera utilis~ seulement au chapitre VII, nous d~veloppons, au ° 8, n la th~orie
cohomologique des "topos classifiants de Grothendieck" (SGA 4 IV), dans un
cadre assez g~n~ral pour que les r~sultats puissent s'appliquer & la situation
envisag~e en (11.5). Le ° 9 n est consacr~ & l'~tude de certains diagrarmnes
en rapport avec la stabilisation des foncteurs non additifs. Apr~s des g~n~ralit~s,
au ° n I0, sur la cat~gorie d~riv~e des Modules diff~rentiels gradu~s sur un Anneau
diff~rentiel gradu~, nous d~finissons, en (11.2), les diagrammes qui nous serviront,
au chapitre VII, & traiter les probl&mes de d~formations de schemas en modules.
A l'aide de la formule (11.4.3), due essentiellement & MacLane [12], nous ~tablis-
sons l'isomorphisme clef (11.5.3.9), qui exprime les Ext i de Modules sur un Anneau
(I) elle ne semble raisonnable que lorsque X est "bon" (5.4).
(2) non publiC.
-3 -
comme groupes de cohomologie "spatiaux", et sera l'ingr4dient essentiel des
calculs de (VII 5).
Je ne voudrais pas terminer cette introduction sans remercier ceux
qui m'ont aid4 dans la r~daction de ce chapitre : D. Quillen , qui m'a commu-
niqu4 les r4sultats dun ° 3 ; J.L. Verdier, qui, au cours de longues discussions,
m'a aid4 ~ mettre sur pied le formalisme des n°s 5 et 6 ; L. Breen, qui, en
me parlant de ses travaux sur les Extl(Ga,Ga ) [2], m'a appris la formule (11.4.3)
et sugg~r4 les constructions du n°ll ; enfin, P. Deligne, dont la th4orie de
descente cohomologique forme le support de ce chapitre, et qui, durant sa mise
au point, a su plus d'une fois me tirer d'embarras : je lui dois notamment la
d~monstration du th4or~me d'acyclicit~ (4.4).
-4 -
I. D~cal~s d'un objet simplicial.
I.i. Dans toute la suite, on utilisera les notations et la terminologie de (I I).
En particulier, ~ (resp. ~) d~signe la cat~gorie des ensembles finis (resp. finis
non vides) totalement ordonn~s, et [O,n], ou In] l'ensemble des entiers ..... {O n}
muni de l'ordre naturel.
1.2. Si E, F sont des ensembles totalement ordonn~ on note E ~F l'ensemble
somme disjointe de E et F muni de l'ordre total compatible avec les inclusions
de E et F et tel que x < y pour x E E, y E F . Ainsi E~ = ~E = E ,
et E~[O] (resp. lOIrE) est l'ensemble ordonn~ d~duit de E par adjonction
d'un plus grand (resp. plus petit) ~l~ment. Pour p, q 6 IN, on note
(1.2.1) Dec p ~ : >
q
le foncteur d~fini par DecP(E) = [q-l] ME~[p-I], avec la convention [-i] = ~ .
q
On a
(1.2.2) 0
Dec o = Id ,
T ! :P+PceD
DecPDec p, = DecP,DecP =
q q H H ~ '
pour tous p, p', q, q' E ~ . Pour n > O, on ~crira Dec n (resp. Dec n) au lieu
de Dec n (resp. Dec °) Grace ~ (1.2.2), on reconstitue les foncteurs Dec p
O n " q
partir des foncteurs Dec I et Dec I par la formule
(1.2.3) Dec~ = (Decl)P(Decl)q = (Decl)q(Decl)P
Notons
(1.2.4) op ~ : >
l'involution "passage ~ l'ordre oppose". Pour p, q E ~ , on a un carr~ commutatif