Complementi ed esercizi di geometria ed algebra lineare

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by  Piccolella, Carfagna

....
ANTONELLA CARFAGNA LIA PICCOLELLA
Nelle edizioni Zanichelli
Opere di consultazione Probabilità. Statistica e Matematica finanziaria
Clapham Dizionario di matematica Campastrlni. Parpinel Introduzione all'inferenza statistica
Baruk Dizionario di matematica elementare (Decibel) COMPLEMENTI ED ESERCIZI DI
Wells Numeri memorabili Dall'Aglio Calcolo delle probabilità (3' edizione)
Invernizzi, Rinaldi, Sgarro Moduli di matematica e statistica
Analisi e matematica generale Letta Probabilità ... elementare
Antagnini, Barozzi Matematica e Mathematica Monti Pierobon Teoria della probabilità (Decibel) GEOMETRIA
Antan Calculus Ottaviani Lezioni di matematica finanziaria (Masson)
Barozzi Primo corso di analisi matematica Ottaviani Riassunto delle lezioni di matematica attuariale
Barozzi, Matarasso Analisi matematica (volume 1°) N.R. Pintacuda Probabilità (Decibel)
Boieri, Chlti Precorso di matematica Scozzalava Incertezza e probabilità E ALGEBRA LINEARE
Bramanti, Pagani, Salsa Matematica Scozzalava Probabilità e statistica (Decibel -2' edizione)
Buzzetti, Grassini Raffaglio, Vasconi Ajraldi Esercizi di analisi Toscano Training autogeno in probabilità
matematica I (Masson -2" edizione)
Casolaro Integrali (Masson) Algebra e Geometria
Coraluppi, Mondellini Ciceri Eserciziario per istituzioni Abeasis Complementi di algebra lineare e geometria
di matematiche Il (Masson)
Abeasis Elementi di algebra lineare e geometria seconda edizione
Coraluppi, Mondellini Ciceri Istituzioni di matematiche Il
(Masson) Abeasis Geometria analitica del piano e dello spazio
Davenport Aritmetica superiore. Una Introduzione Banchol! Oltre la terza dimensione
alla teoria dei numeri Barozzi Introduzione agli algoritmi dell'algebra lineare
Davis Il mondo dei grandi numeri Betti Lezioni di geometria
De Marco Analisi zero (3' edizione) Broglia, Fortuna, Luminati Problemi risolti di algebra lineare
De Marco Analisi Uno (2" edizione -Decibel) (Decibel)
De Marco Analisi Due (2' edizione -Decibel) Cartagna, Piccolella Complementi ed esercizi di geometria
e algebra lineare (2' edizione)
De Marco, Mariconda Esercizi di analisi uno
(2' edizione -Decibel) Cerasoli, Eugeni, Protasi Elementi di matematica discreta
De Marco, Mariconda Esercizi di analisi due (Decibel) Chirita, Ciarletta Calcolo (2 volumi)
De Marco, Mariconda Esercizi di calcolo in una variabile Dedò Trasfonnazioni geometriche
(Decibel) Dedò Forme
De Marco, Mariconda Esercizi di calcolo in più variabili Dicuonzo, Oe Pari s, Voi zone Esercizi di algebra lineare
(Decibel) (Masson)
De Marco Matematica Uno (Decibel) Dicuonzo. De Paris, Volzone Esercizi di geometria analitica
Ghizzettl, Rosati Analisi matematica (Masson -2' edizione) (Masson)
Ghizzetti, Rosati Esercizi e complementi di analisi Enriques, Chismi Lezioni sulla teoria geometrica
matematica (Masson -2 volumi) delle equazioni e delle funzioni algebriche (2 volumi)
Maflei Migliori Esercizi, appunti e note di istituzioni Enriques Lezioni di geometria proiettiva
matematiche (Ristampa anastatica)
Minnaja Matematica Due (Decibel) Questioni riguardanti le matematiche elementari
Pagani, Salsa Analisi matematica (Masson -2 volumi) 2 volI. a cura di Enriques
Pagani, Salsa Matematica (Masson) Facchini Algebra (lJecibel)
Pagani, Salsa Serie di funzioni ed equazioni differenziali Janich Topologia
Salsa, Squellati Esercizi di matematica (2 volumi) Kosniowski Introduzione alla topologia algebrica
Salsa, Squellati Esercizi di analisi matematica Il Maroscia Geometria e algebra lineare
(Masson -3 volumi) Maroscia Introduzione alla geometria e all'algebra lineare
Thomas Jr., Finney Analisi matematica Maroscia Problemi di geometria
Thomas Jr., Finney Elementi di analisi matematica Piacentini Cattaneo Algebra (Decibel)
e geometria Procesi Ciampi, Rota Esercizi di geometria e algebra
Torrigiani Ripensare matematica. In preparazione Ragusa, Sparacino Esercizi di algebra.
alle facoltà universitarie scientifiche Teoria degli insiemi, teoria dei gruppi, teoria degli anelli
dToerlrliag iSanciu, oFlraa nSzuopnie, rFiorarnec davi iSgl.i aA nPnrao b(Ple Dm) i matematici Salce Lezioni sulle matrici (Decibel)
Sera!ini Ottimizzazione
Analisi numerica e Fisica matematica Steinhaus Matematica per istantanee
Barozzi Matematica per l'Ingegneria dell'informazione Vaccaro, Cartagna, Piccolella Lezioni di geometria
Bevilacqua, Bini, Capovani, Menchi Introduzione e algebra lineare (Masson)
alla matematica computazionale Ventre Introduzione ai grafi planari
Bevilacqua, Bini, Capovalli, Menchi Metodi numerici
Informatica e linguaggi di programmazione
Bini, Capovani, Menchi Metodi numerici per l'algebra
lineare Aho, Ullman Fondamenti di informatica
Bordoni Lezioni di meccanica razionale (Masson) Albano, Ghelll, Orsini Basi di dati relazionali e a oggetti
Cercignani Spazio, tempo, movimento. Introduzione alla Bovet Introduzione all'architettura dei calcolatori
meccanica razionale Casella, Cimadomo, De Luca, Fasano Grande Concetti
Codegone Metodi matematici per l'ingegneria in rete
Fabrizio Elementi di meccanica classica Cordeschi La scoperta dell'artificiale (Masso n)
Fabrizio Introduzione alla meccanica razionale e ai suoi Ellis Programmazione strutturata in Fortran 77
metodi matematici (2' edizione) (2' edizione)
Finzi Meccanica razionale (2 volumi) Faletti, Marcandalli, Pacchiardo La Banca virtuale
Levi-Civita Caratteristiche dei sistemi" differenziali rlennessy, Patterson Architetture dei calcolatori
e propagazione ondosa Marcandalli, Pacchiardo Il commercio elettronico (Masson)
Levi-Civita, Amaldi Compendio di meccanica razionale Pacchiardo Intranetworking (Masson)
volume 1
Levi-Civit", Amaldi Lezion~di meccanica razionale Patterson, Hennessy Struttura e progetto dei calcolatori
(volume "2 parte 2) Peterson, Davie Reti di calcolatori
Vivarelli Appunti di meccanica razionale Sethi Linguaggi di programmazione
(2" edizione ampliata) Vecchione Sistemi a coda
ZANICHELLI
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© 1996 Masson S.p,A, Milano ~
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all'opera. Non possono considerarsi rare le opere di cui esiste, nel catalogo dell'editore. una successiva edizione, ELENCO DEI SIMBOLI vi
le opere presenti in cataloghi di altri editori o le opere antologiche.
Nel contratto di cessione è esclusa, per biblìoteche, istituti di istruzione, musei ed archivi, la facoltà di cui Capitolo 1. Elementi di teoria degli insiemi. Strutture algebriche 1
all'art. 71·ter legge diritto d'autore.
1. Insiemi e operazioni tra insiemi
1
Maggiori informazioni sul nostro sito: www.zanichellijt/Cinfo~fotocopie.html
2. Corrispondenze e applicazioni 3
3, Relazioni. Congruenze
5
Impaginazione: Compomat, Configni (RI)
4. Gruppi. Campi
Copertina: Anna Maria Zamboni 7
In copertina: Fausto Melotti, Planetario, 1981. © Archivio Fausto Melotti 5. Esercizi proposti
13
Capitolo 2. Spazi vettoriali IRn 15
Prima edizione: 1996 Masson S,p,A., Milano L Spazi vettoriali IRn e sottospazi 15
Seconda edizione: settembre 2003
2. Dipendenza e indipendenza lineare di vettori
21
3. Basi e dimensione di un sottospazio
Ristampa 24
5 4 3 2 2007 2006 2005 2004 2003 4. Esercizi proposti 30
Capitolo 3. Matrici. Determinanti 33
Realizzare un libro è un'operazione complessa, che richiede numerosi controlli:
sul testo, sulle immagini e sulle relazioni che si stabiliscono tra essi, L Operazioni tra matrici 33
L'esperienza suggerisce che è praticamente impossibile pubblicare un libro
2. Matrici equivalenti per righe
privo di errori. Saremo quindi grati ai lettori che vorranno segnalarceli, 40
Per segnalazioni o suggerimenti rela~ivi a questo libro l'indirizzo a cui rivolgersi è: 3. Determinanti
43
Zanichelli editore S,p.A,
Via Imerio 34 4. Rango di una matrice 49
40126 Bologna
5. 1Iatrice inversa
fax [phone]
e-mail: [email protected] 6. Matrici ortogonali
sito web: www.zanichelli.it 60
7. Ricerca di una base di un sottospazio vettoriale di IRn 61
Per comunicazioni di tipo commerciale: [email protected]
8, Cambiamento di base
67
9. Esercizi proposti
70
Capitolo 4. Sistemi di equazioni lineari 75
........., L Sistemi di n equazioni lineari in n incognite
~: Ti~ografia 76
.BalII'inii';nc
vi~-Ald(';ltoro 18, 40068 S. Lazzaro (BO) 2. Sistemi normali eli m equazioni lineari in n incognite 78
per conto di Zanichelli editore S,p,A. 3. Sistemi non normali
Via Imerio 34, 40126 Bologna 82
4. Sistemi lineari omogenei
88
iv Indice generale © 88-08- 7257 © 8~-08- 7257 Indice generale v
5. Sistemi lineari omogenei di n - 1 equazioni in n incognite 93 2. Tangente a una curva in un punto 290
6. Sistemi lineari e sistemi omogenei associati 98 3. Circonferenza 291
7. Varietà lineari affini 99 4. Equazione polare di una circonferenza 301
8. Metodo di eliminazione di Gauss 102 5. Riduzione a forma canonica dell'equazione di una conica 301
9. Equazioni di un sottospazio di Rn 107 6. Esercizi proposti 310
lO. Esercizi proposti 111
Capitolo Il. Geometria dello spazio 313
Capitolo 5. Spazi vettoriali. Sottospazi. Basi 115 l. Rappresentazione di punti, piani e rette 313
1. Gli spazi vettoriali delle matrici 115 2. Fasci di piani. Complanarità 323
2. Gli spazi vettoriali IRn[x] 130 3. Parallelismo tra piani, tra rette, tra retta e piano 331
3. Sottospazi intersezione e somma 141 4. Angoli. Perpendicolarità. Distanze 344
4. Esercizi proposti 149 5. Cambiamenti di riferimento cartesiano ortonormale 360
Capitolo 6. Applicazioni lineari 153 6. Esercizi proposti 363
1. Applicazioni lineari tra spazi vettoriali 153 Capitolo 12. Curve e superfici. Quadriche 369
2. Immagine e nucleo 159 1. Sfera 369
3. Endomorfismi. Autovalori e autovettori. DiagOlmlizzazione 173 2. Circonferenza nello spazio 382
4. Esercizi proposti 200 3. Curve nello spazio 388
Capitolo 7. lo spazio vettoriale dei vettori ordinari 207 4. Coni e cilindri 392
1. Parallelismo e complanarità 207 5. Superficie di rotazione 403
2. Questioni metriche 212 6. Riduzione a forma canonica dell'equazione di una quadrica 406
3. Alcune identità vettoriali 222 7. Esercizi proposti 417
4. Alcune applicazioni in trigonometria e in geometria
Soluzioni degli esercizi proposti 422
elementare 225
Capitolo 2 422
5. Esercizi proposti 226
Capitolo 3 422
Capitolo 8. Spazi vettoriali euclidei 229 Capitolo 4 424
1. Spazi vettoriali euclidei ]Rn 229 Capitolo 5 425
2. Prodotti scalari di IRn 234 Capitolo 6 426
3. Endomorfismi simmetrici 236 Capitolo 7 428
4. Forme quadratiche reali 241 Capitolo 8 430
5. Esercizi proposti 248 Capitolo 9 431
Capitolo 9. Geometria del piano 251 Capitolo 10 434
1. Rappresentazione di punti e di rette 251 Capitolo Il 435
2. Parallelismo. Fasci di rette. Perpendicolarità 258 Capitolo 12 439
3. Distanze. Angoli 271
4. Cambiamenti di riferimento cartesiano ortonormale 279
5. Esercizi proposti 284
Capitolo lO. Curve nel piano. Coniche 289
l. Equazioni di una curva 289
Elenco mb
Elementi di teoria
:3 Esiste.
;ti Non esiste. degli insiemi.
v Per ogni.
I Tale che.
Strutture algebriche
E Appartiene.
1: Non appartiene.
=* Implica.
* Non implica.
~ Se e solo se.
:J Contiene.
:J Contiene propriamente.
ç È contenuto.
C È contenuto propriamente.
n Intersezione di insiemi.
u Unione di insiemi.
AxB Prodotto cartesiano di due insiemi A e B.
]N Insieme dei numeri naturali. 1. Insiemi e operazioni tra insiemi
lL Insieme dei numeri interi relativi.
Q Insieme dei numeri razionali.
1R Insieme dei numeri reali. La nozione di insieme corrisponde all'idea intuitiva di collezioni di oggetti
1R* Insieme dei numeri reali non nulli.
di varia natura.
lL* Insieme dei numeri interi relativi non nulli.
Q* Insieme dei numeri razionali non nulli. Gli oggetti dell'insieme sono chiamati elementi dell'insieme.
a~b il equivalente a b. Nel seguito gli insiemi saranno denotati con le lettere maiuscole dell'al
a == b(mod. n) a congruo a b, modulo n.
fabeto latino e le lettere minuscole denoteranno gli elementi di un insieme.
lL Insieme delle classi di congruenza modulo n.
n
1Rn Insieme delle n-pie ordinate di numeri reali. La frase "a è un elemento dell'insieme A" si scriverà a E A mentre la nega
M(m,n) Insieme delle matrici di tipo m x n a elementi reali. zione di tale affermazione "a non appartiene ad A" si scriverà a et. A.
1Rn[x] Insieme dei polinomi nella indeterminata x a coefficienti reali.
Un insieme può essere definito specificando i suoi elementi, oppure in
detA Determinante di una matrice A.
reA) Rango di una matrice A. dicando proprietà caratteristiche dei suoi elementi.
tr(A) Traccia di una matrice A. L'insieme A = {-I, I} può così essere definito anche come !'insieme
A-l Matrice inversa di una matrice A.
AT I\1atrice trasposta di una matrice A. delle soluzioni dell'equazione X2 = 1.
A(a) Matrice aggiunta di una matrice A. Alcuni importanti esempi di insiemi sono gli insiemi numerici:
aaIhh k,h 2 .. hp,kjk2 .. kp cMCooilnmoonprnleee fmdoier mnutnaota oa mldgaaeltblrerii chceo l ' A dh.i 2 u, .n. .e l,ehmp -eenstiom ae hrkig dhie ue nka1 ' mk2a,t r•i.c.e , kAp.- esime 21)) !l''iinnssiieemmee ddeegi lni uimnteerrii nrealtautriavlii ll].N = = { {.O.., 1,,-22, ,. .-.1 },, 0,1,2, ... },
GL(n, IR) Gruppo delle matrici di ordine n inverti bili a elementi reali. 3) l'insieme dei numeri razionali Q = {p j q con p, q E 7l., q i- O},
GO(n,1R) Gruppo delle matrici ortogonali di ordine n a elementi reali.
4) l'insieme dei numeri real! IR,
L(v1,V2,··· ,vn) Sottospazio generato dai vettori v l' V 2' ... ,vn ' 5) l'insieme dei numeri complessi a-;.
E'j ( E M(m, n)) Matrice di tipo rn x n avente tutti gli elementi nulli escluso l'elemento
cij che è uguale a 1. Due insiemi coincidono se hanno gli stessi elementi; un insieme privo di
Somma di due sottospazi vettoriali U e W di uno spazio vettoriale. elementi viene detto insieme vuoto e viene denotato con il simbolo 0.
Somma diretta di due sottospazi vettoriali U e W di uno spazio
vettoriale. L'insieme A = {x E ll.jx2 = 3} è privo di elementi pertanto A = 0.
A(v, W) Varietà lineare affine per v, parallela a un sottospazio W.
Ker! Nucleo di un'applicazione lineare.
1m! Immagine di un'applicazione lineare. 1.1 Diciamo che l'insieme B è contenuto in A (in simboli B ç A) o che
E(À) Autospazio relativo a un autovalore À. I) è un sottoinsieme di A se ogni elemento di B appartiene anche ad A.
ma(À) Molteplicità algebrica di un autovalore À.
mg(À) Molteplicità geometrica di un autovalore À. Si dice anche che A include B.
n·v Prodotto scalare euclideo di due vettori n e v. Più precisamente si parla di inclusione propria o di un sottoinsieme
Ilvll Modulo di un vettore v.
proprio di A se ogni elemento di B appartiene ad A ed esiste almeno un
U.l. Complemento ortogonale di un sottospazio vettoriale U di uno spazio
vettoriale euclideo. elemento di A che non appartiene a B: brevemente'B C A.
2 Capitolo 1 - Elementi di teoria degli insiemi. Strutture algebriche @ 88-08- 7257 @
88-08- 7257 2 - Corrispondenze e applicazioni 3
Vale la seguente catena di inclusioni proprie:
1.5 Se A e B sorw insiemi non vuoti si definisce prodotto cartesiano di
A per B, in simboli A x B, l'insieme delle coppie ordinate di elementi (a, b)
lNcllc<QcIRC<C
ove a E A e b E B; brevemente:
Una delle tecniche più usate, per verificare che due insiemi A e B coincidono,
A x B = {(a,b)/Va E A, Vb E B}
è quella della "doppia inclusione" , cioè si verifica che, nello stesso tempo, si
ha: A ç B e B ç A. Si noti che A x B i= B x A.
Dato un insieme qualunque A risulta 0 ç A e A ç A; 0 e A sono detti Se A = B = IR si ottiene il prodotto cartesiamo di IR per IR : IR x lR = IR 2
sottoinsiemi banali di A. che risulta essere l'insieme delle coppie ordinate di numeri reali.
Iterando il prodotto si ha IR3 = IR x lR x IR, ossia l'insieme delle teme
'M§i.!.HI'
ordinate di numeri reali e, in generale, IRTI = IR x IR x ... x IR che è l'insieme
delle n-pIe ordinate di numeri reali.
L'insieme A = {x E III - 1 ::; x ::; I} coincide con l'insieme B = {-I, 0,1}.
Inoltre A è un sottoinsieme proprio di ll.
1.6 Dati gli insiemi A = {a E llla2 -9::; O} e B = {b E III -1::; b::; 3},
1.2 Si .definisce insieme delle parti di A e si indica con P( A) l'insieme i determinare A U B, A n B e il complementare di A in ll.
cui elementi sono tutti i possibili sottoinsiemi di A.
Soluzione
Poiché B è un sottoinsieme proprio di A risulta A U B = A e A n B = B.
'MA.!I.! r.tJ
Il complementare di A in ll, C (A), è il sottoinsieme infinito degli interi x
71
tali che 9 > O.
L'insieme delle parti dell'insieme A = {O, I} è: P(A) = {0, {O}, {I}, A}. X2 -
L'insieme A contiene due elementi mentre P(A) ne contiene quattro.
1. 7 Determinare A U B e A n B nei seguenti casi:
a) A={aElNla=3n,VnElN} B={bElll -1::;b::;6}
1.3 Dati due insiemi A e B si definisce l'insieme unione di A e B, in b) A, BçIR2 :A={(0,y)lyEIR} B={(:E,Y)lx~O,y=l}
simboli A U B, la totalità degli elementi che appartengono ad A o aB: Soluzione
a) A U B = {-I, 1,2,4,5, a = 3n, Vn E lN} AnB={0,3,6}
A u B = {x I x E A o x E B} b) A u B = {(x, y) I se x > 0, y = 1; se x = 0, Y E IR} AnB={(O,I)}
e l'insieme intersezione di A e B, in simboli AnB, la totalità degli elementi
2. Corrispondenze e applicazioni
che appartengono ad A e a B:
AnB={xlxEAexEB}
2.1 Dicesi corrispondenza i.p dell 'insieme non vuoto A nell 'insieme B, in
simboli i.p : A ---+ B, una legge che a ciascun elemento di A associa uno o
Due insiemi si dicono disgiunti se A n B = 0. più elementi di B. In particolare dicesi applicazione i di A in B una legge
che a ciascun elemento di A associa un unico elemento di B.
1.4 Sia B un sottoinsieme dell 'insieme A, gli elementi di A che non appar L'insieme A viene detto dominio della corrispondenza (applicazione) e l'in
tengono a B costituiscono un sottoinsieme di A che dicesi complementare sieme B codominio della corrispondenza (applicazione). L'unico elemento
di B in A e che si indica con CA(B) o anche con che corrisponde ad a EA, nell'applicazione i, sLiudiea conf(a) ed è detto
i.
immagine di a rispetto a
tt
CA(B) = {xix E A, x B} Si noti che è importante specificare il dominio e il codominio dell'appli
cazione: se uno di essi cambia, cambia anche l'applicazione.
Ovviamente vale che B U CA(B) = A e che B n CA (B) = 0. Per esempio, i : lN ---+ lN con i(x) = X2 è diversa da g : II ---+ II con
g(z) =
Z2.
@ 88-08- 7251 S - Relazioni. Congruenze 5
@
4 Capitolo 1 - Elementi di teoria degli insiemi. Strutture algebriche 88-08- 7257
b) f è iniettiva poiché se x -=1= y, segue che Vi -=1= vY per ogni x, y reale
positivo; f non è suriettiva perché, per esempio, -15 -=1= Vi per qualun
a) Sia A'~ {x E IR / - 1 ~ x ~ l} e B = IR. La legge che al numero x E A que x reale.
associa il numero reale y = arcsin x è una corrispondenza di A in B e c) f è iniettiva poiché per x -=1= y segue che f(x) = -x -=1= -y = f(y), ed
è suriettiva perché un qualunque intero z è immagine dell'elemento -z
non un'applicazione, essendo infiniti gli archi il cui seno è un numero
prefissato: per esempio, arcsin 1 = ~ + 2k7r. d) df i n7ol.n e. .m I.e tt'I va perch e', per esemplO. , . numeri razionali -2 e -3 hanno la
b) La legge f : 7l ---> 7l definita da f: x --) x + 1 è un'applicazione. l r~lativo
stessa immagine 5; f è suriettiva perché ogni numero indro z è
c) La legge f : 7l ---> IN che all'intero p associa p2 è un'applicazione. 1 T'
. . d' l . ' '" - 1 '" - 2
d) La legge f : IR+ --) IR che a un reale k positivo o nullo associa i reali h Immagme l a meno un numero razlOnale, per esempio, o
tali che h2 = k è una corrispondenza perché, per esempio, per k = 4, h
U n'applicazione (funzione) iniettiva e suriettiva (biiettiva o biunivoca) dicesi
può essere 2 o -2.
biiezione.
e) La legge f : A x B --) A che ad una qualunque coppia (a, b) associa il
primo elemento a E A è un'applicazione che viene detta proiezione di
A x B in A. 3. Relazioni. Congruenze
3.1 Dato un insieme arbitrario A, un elemento a E A si dice che è in rda
2.2 Un'applicazione f : A --) B dicesi iniettiva se elementi distinti di A
zione con b E A e si scrive a cv b, se a e b verificano una fissata proprietà.
hanno immagini distinte cioè se:
La proprietà definisce in A una relazione binaria e tutte le coppie di ele
menti a, b tali che a b costituiscono un sottoinsieme dell'insieme prodotto
rv
cartesiano A x A.
Nell'insieme IN dei numeri naturali si consideri la seguente relazione:
L'applicazione f : IR --) IR definita da f(x) = x+ 1 è, per esempio, iniettiva p q se p ~ q. Allora, per esempio, 1 è in relazione con 2, mentre 5 non è
rv
essendo, per x i y, f(x) = x + 1 i y + 1 = f(y)· in relazione con 4.
Ancora, nell'insieme IR dei numeri reali si consideri la seguente rela-
~
2.3 Un'applicazione f : A --) B dicesi suriettiva se ogni elemento di B è zione: x cv y se y = 2x. Allora, per esempio, è in relazione con 1, mentre
immagine di almeno un elemento di A. 1 non e. .I n rel aZ'IO ne con -1.
2
L'applicazione f : IR --) IR+ (dei reali nei reali positivi o nulli) definita da
Ixl
f(x) = è, per esempio, suriettiva, poiché un qualunque reale positivo a
3.2 Una relazione definita in un insieme A è detta relazione di equivalenza
è immagine di -a, e anche di a stesso. se soddisfa le seguenti proprietà:
Un'applicazione tra insiemi numerici dicesi anche funzione.
1) proprietà riflessiva: a '" a, V a E A
2) proprietà simmetrica: da a b segue che b a, Va, b E A
cv cv
3) proprietà transitiva: se a b e b c, allora a c, Va, b, c E A
2.4 Stabilire se le seguenti funzioni sono iniettive, sur-iettive: cv cv cv
a) f: 7l ---> 7l tale che f(x) = Ixl In tale caso, la scrittura a '" b si legge "a è equivalente a b" .
b) f: IR+ --) IR tale che f(x) = Vi Si può facilmente verificare che le relazioni degli esempi precedenti non
c) f: 7l ---> 7l tale che f (x) = - x sono relazioni di equivalenza; esse non soddisfano, per esempio, la proprietà
d) f: <Q ---> 7l tale che f(pjq) = p + q simmetrica. Invece, nell'insieme 7l degli interi relativi la relazione così de
finita: p'" q se Ipl = Iql, è una relazione di equivalenza (si lascia la verifica
Soluzione al lettore).
a) f non è iniettiva poiché risulta, per esempio, f(l) = f(-l) = 1; f non Così anche sono relazioni di equivalenza le relazioni di parallelismo nel
è suriettiva poiché, per esempio, -5 non è immagine di alcun intero
l'insieme delle rette dello spazio e nell'insieme dei piani, considerando la
relativo.
6 Capitolo 1 - Elementi di teoria degli insiemi. Strutture algebriche @ 88-08- 7257 @ 88-08- 7257 4 - Gruppi. Campi 7
coincidenza come caso particolare di parallelismo, mentre la relazione di 3.7 Fissato un numero naturale n > O si dice che a è congruo b modulo
perpendicolarità nell'insieme di tutte le rette dello spazio non è una rela n e si scrive a == b (mod. n) se:
zione di equivalenza (la verifica è lasciata al lettore).
La relazione di equipollenza nell'insieme dei segmenti orientati dello a - b = kn k E 7l...
spazio è una relazione di equivalenza.
La relazione definita in 7l.. da questa proprietà viene detta relazione di con
gruenza modulo n. Essa è una relazione di equivalenza. Infatti:
3.3 Dicesi classe di equivalenza di un elemento a E A rispetto alla rela
proprietà riflessiva: a == a (mod. n) poiché a - a = On;
zione di equivalenza definita in A l'insieme di tutti gli elementi di A che
proprietà simmetrica: se a - b = k n allora b - a = (-k) n ovvero
sono equivalenti ad a.
b == a (mod. n);
Essa si indica con [a]~. Un qualunque elemento della classe [a]~ dicesi proprietà transitiva: se a - b = k n e b - c = h n, sommando membro a
rappresentante della classe. membro le due uguaglianze si ha: (a-c) = (h+k)n, ovvero a == c (mod. n).
Le classi di equivalenza rispetto alla relazione di congruenza sono dette
Si dimostra che: classi di congruenza modulo n o classi resto modulo n e l'insieme quoziente
viene indicato con 7l..
n.
Per n = 2, si hanno due classi di congruenza modulo 2:
3.4 Se b E [a]~ allora [bL == [aL.
[0]2 = { ... ,-2, O, 2, ... } = {numeri pari relativi}
Intanto si ha che [b]~ ç [a]~ poiché dato un qualunque c b, essendo per
rv
ipotesi b rv a, per la proprietà transitiva è c rv a ovvero c E [aL. [1]2 = {. .. ,-1, 1,3, ... } = {numeri dispari relativi}
D'altro canto è anche [b]~ :;2 [aL perché, dato un arbitrario elemento
d E [a]~, cioè d a, essendo per la proprietà simmetrica a b, per la Pertanto 7l..2 = {[O]2' [1]2} è un insieme costituito da due soli elementi.
rv rv
proprietà transitiva è anche d b ovvero d E [b]~. Ne segue che [a]~ == [bL. Per n = 3, si hanno tre classi di congruenza modulo 3:
rv
Inoltre vale la seguente proprietà: [0]3 = {. .. , -3, O, 3, 6, ... } = {a = 3h, h E 7l..}
[1]3 = {. .. ,-2,1,4,7, ... } = {a = 3h + 1, h E 7l..}
3.5 Se due classi di equivalenza hanno un elemento in comune, esse coin-
[2]3={'" ,-1,2,6,8, ... }={a=3h+2, hE71..}
cidono.
Infatti se c è un elemento sia della classe [a]~ che della classe [bL, dalla Notiamo che, per esempio, [3b = [Oh e [4]3 = [lb.
proprietà 3.4 si ha che [c]~ == [a]~ e [c]~ == [bJ~ da cui [a]~ == [bL. Si ha che 7l..3 = {[O]3' [1]3' [2LJ è un insieme costituito da tre soli ele
menti.
La classe di equivalenza di una retta rispetto alla relazione di paralleli
smo è l'insieme di tutte le rette parallele a essa. Essa dicesi direzione della In generale l'insieme 7l..n è costituito da n elementi che sono le classi
retta. [O]n' [1]n"" , [n - l]n'
La classe di equivalenza di un piano rispetto alla relazione di paralle
lismo è l'insieme di tutti i piani paralleli a esso. Essa dicesi giacitura del 4. Gruppi. Campi
piano.
La classe di equivalenza di un segmento orientato rispetto alla relazione
Sia dato un insieme C. Un'operazione (interna, binaria) in C è un'applica
di equipollenza dicesi vettore.
zione del prodotto cartesiano C x C in C cioè una legge che a ogni coppia
3.6 Dicesi insieme quoziente rispetto alla relazione di equivalenza l'in- ordinata (gl' g2) di elementi di C associa un elemento g3 di C.
sieme i cui elementi sono le classi di equivalenza. Se l'operazione viene denotata con· , l'elemento g3 si scrive gl . g2 e
l'insieme C dotato di tale operazione si denota con CC).
8 Capitolo 1 - Elementi di teoria degli insiemi. Strutture algebriche (9 88-08- 7257 (9 8il-OH- 7257 4 - Gruppi. Campi 9
Esempi di operazioni definite in IR sono ovviamente l'addizione e la molti
4.2 Un gruppo G(·) dicesi gruppo commutativo o abeliano se vale la ul-
plicazione di numeri reali.
teriore:
Nell'insieme lN la sottrazione non è un'operazione perché può non esi
stere il naturale n tale che a - b = n, con a, b E lN. Ad esempio, se a = 2, 4) proprietà commutativa: gl' 92 = 92' g1 V9 192 E G.
b = 3,2 - 3 = -1 rf: lN. Esempi di gruppi commutativi sono gli insiemi ~(+), (Q( +), IR( +).
L'insieme IR*(-) è un gruppo commutativo.
Un altro esempio di gruppo commutativo è dato dall'insieme dei vet
4.1 Dicesi gruppo un insieme non vuoto G in cui è definita un'operazione
tori applicati in un punto O rispetto all'operazione di somma di vettori.
che indichiamo con . e che soddisfa le seguenti proprietà:
Esaminiamo più dettagliatamente i seguenti esempi.
1) proprietà associativa:
liH]JN li1 /
Sia G = IR x IR = IR2 l'insieme delle coppie ordinate di numeri reali.
2) esiste un elemento e E G tale che:
Definiamo la somma di due elementi di IR2 nel seguente modo:
g·e=e·g=g Vg E G (x,y) + (x',y') = (x+x',y+y') Vx,y,x',y' E IR
3) per ogni 9 E G, esiste un elernento 9' E G tale che: Si verifica facilmente che m? (+) è un gruppo commutativo. Infatti:
1) proprietà associativa:
9 . 9' = g' . 9 = e
((x, y) + (x', y')) + (x", y") = (x + x', y + y') + (x", y") =
Si può dimostrare che l'elemento e è unico; esso viene detto elemento neutro = (x + x' + x", y + y' + y") = (x, y) + ((x', y') + (x". y"))
rispetto all'operazione. Per ogni 9 E G si prova che g' è unico; esso viene
detto simmetrico di g. v x, y, x' , y' , x" . y" E IR
Ad esempio, gli insiemi ~,(Q, IR con l'ordinaria operazione di addizione
2) esiste la coppia (O, O) tale che:
sono gruppi. L'elemento neutro è O e l'elemento simmetrico di un numero
9 è il suo opposto -9. (:r,y) + (0,0) = (x,y) V x,y E IR
Notiamo che invece lN( +) non è un gruppo poiché l'opposto di un nu
mero naturale non appartiene a lN. 3) per ogni (x, y) E IR2, 3 (-x, -y) tale che:
Gli insiemi IR* = IR - {O} e (Q* = (Q - {O} sono gruppi con l'ordinaria
operazione di moltiplicazione. L'elemento neutro è 1 ed il simmetrico di un (x,y) + (-x, -y) = (0,0) V x.y E IR
numero 9(=1= O) è il suo inverso g-l, mentre l'insieme ~* = ~ - {O} non è un
4) proprietà commutativa:
gruppo rispetto all'ordinaria operazione di moltiplicazione poiché l'inverso
di un intero, diverso da zero, è un numero razionale. (x,y) + (x',y') = (x',y') + (x,y) V x,y,x',y' E nl
Dagli esempi precedenti traggono origine le seguenti denominazioni.
Se l'operazione viene indicata con· l'elemento gl . .92 dicesi prodotto di La 4) discende immediatamente dalla proprietà commutativa della addizione
g1 per 92' l'elemento neutro è detto unità del gruppo e il simmetrico di un tra numeri reali.
elemento 9 dicesi inverso di g. In generale, l'insieme delle n-pIe ordinate di numeri reali dotato della
Se l'operazione viene indicata con + l'elemento g3 = gl + g2 dicesi seguente operazione:
somma di g1 e 92' l'elemento neutro è detto elemento nullo del gruppo e il
simmetrico di 9 dicesi opposto di 9.
L'inverso di .9 viene indicato con g-l e l'opposto con -g.
è un gruppo commutativo che viene indicato con TRn ( +).
lO Capitolo 1 - Elementi di teoria degli insiemi. Strutture algebriche @ 88-08- 7257 @ 88-08- 7257 -4 - Gruppi. Campi 11
4.3 Un gruppo G (.) dicesi finito se l'insieme G è costituito da un numero Infatti se r E [P]3 ed s E [q]3 allora r - p = 3k e s - q = 3h e moltiplicando
finito di elementi. Il numero degli elementi dicesi ordine del gruppo. la prima uguaglianza per s e la seconda per p otteniamo:
Per esempio G = {I, -I} è un gruppo (commutativo) rispetto all'ordinaria
rs - ps = 3ks = 3k' con k' = ks E 7l.
moltiplicazione. L'elemento unità di G è 1 e l'inverso di -1 è -1 stesso. G
ps - pq = 3hp = 3h' con h' = hp E 7l.
è un gruppo di ordine 2.
Sommando membro a membro tali ultime uguaglianze si ha:
rs - pq = 3k' + 3h' = 3(k' + h') ovvero rs == pq (mod. 3)
Consideriamo il gruppo 7l.( +) con l'ordinaria operazione di addizione e la
relazione di congruenza modulo 3 (n. 1).
quindi rs E [pqL e dalla proprietà 1.5 segue che [rs]3 = [PqL.
Nell'insieme quoziente 7l. si può definire un'operazione di addizione nel
3 Se ora si considera il sottoinsieme 7l.; = 7l.3 - [0]3' costituito dai due
seguente modo:
elementi [1]3 e [2]3' con tale operazione esso è un gruppo commutativo.
L'elemento unità è [1]3 e l'inverso di [2]3 è sé stesso poiché:
Potrebbe sembrare che l'operazione così definita dipenda dalla scelta di p e
q come rappresentanti delle classi.
Le altre due proprietà, associativa e commutativa, sono conseguenza im
Così non è in quanto se r è un altro arbitrario intero della classe [P]3 e s
mediata delle proprietà associativa e commutativa della moltiplicazione tra
è un altro qualunque intero della classe [q]3' poiché r - p = 3k e s - q = 3h,
numeri interi.
h, k E 7l., sommando membro a membro le due uguaglianze, si ha:
r+s-(p+q) =3(h+k) e quindi r+s==p+q (mod.3)
4.4 Trovare tutte le possibili somme di classi di 7l. e tutti i possibili pro-
3
dotti di classi di 7l.;.
+ +
cioè r s è un altro rappresentante della classe p q e pertanto, per la
proprietà 1.5, risulta: [r + S]3 = [p + qb Si possono scrivere le cosiddette tavole di additività e di moltiplicazione
L'insieme 7l.3 con tale operazione è un gruppo commutativo: la classe [0]3 usando il seguente metodo, ben noto, della tavola pitagorica.
è l'elemento nullo e l'opposto della classe [P]3 è [-pL = [3 - P]3 (la verifica
delle altre proprietà è lasciata per esercizio al lettore). + [0]3 [1]3 [2]3 [1]3 [2]3
7l.3 ( +) è un esempio di gruppo finito di ordine 3. [OL [0]3 [1]3 [2]3 [1]3 [1]3 [2L
Generalizzando al caso di 7l.n si ha che 7l.n, con l'operazione di addi [IL [1]3 [2]3 [0]3 [2L [2]3 [1]3
zione definita in modo analogo al caso n = 3, è un gruppo commutativo di [2L [2]3 [0]3 [1]3
ordine n.
1111I1H ••
I !1§!!i.!b"
L'insieme dei vettori ordinari con l'operazione di somma di due vettori è un
Sempre nell'insieme 7l. si può definire una operazione di moltiplicazione nel
3
gruppo commutativo.
seguente modo:
4.5 Dicesi campo un insieme non vuoto IK dotato di due operazioni bi
Si può dimostrare che anche tale operazione non dipende dai rappresentanti narie, interne che denotiamo con + e . e che chiamiamo addizione e mol
scelti nelle classi. tiplicazione tale che: IK( +) è un gruppo commutativo, l'insieme IK privato
12 Capitolo 1 - Elementi di teoria degli insiemi. Strutture algebriche @ 88-08- 7257 @ 88-08· 7257 5 - Esercizi proposti 13
CosÌ pure l'insieme quoziente 113 con le operazioni definite negli esempi 2 e
dell'elemento nullo è un gr-uppo commutativo rispetto all'operazione di mol
tiplicazione e infine vale la proprietà (distr-ibutiva rispetto all'addizione): 3 è un campo. Infatti 113( +) è un gruppo commutativo, ll; = 113 - [0]3 è
un gruppo commutativo e la proprietà distributiva discende dalla proprietà
a· (b + c) = a· b + a . c Va, b, c E IK distributiva rispetto all'addizione di numeri interi.
Invece l'insieme quoziente 114 con le operazioni di addizione e moltipli
cazione definite in modo analogo al caso di 113 non è un campo. Infatti
In forma esplicita, per IK devono valere le seguenti proprietà:
non esiste l'inverso della classe [2]4 poiché nessuna moltiplicazione dà come
1) propr-ietà ass ociativa dell'addizione:
risultato [1]4 come appare dalle seguenti uguaglianze:
a + (b + c) = (a + b) + c Va, b, c E IK [2]4' [1]4 = [2]4
2) proprietà commutativa dell'addizione: [2]4 . [2]4 = [0]4
a+b=b+a Va, bE IK [2]4 . [3]4 = [6]4 = [2]4
In generale vale il seguente teorema:
3) esiste l'elemento nullo rispetto all'addizione, che denotiamo con 0K'
tale che:
Va E IK 4.6 Se p è un numero primo, IIp è un campo.
4) per ogni a E IK esiste l'elemento opposto -a tale che:
5. Esercizi propos_.q_.,
_.. . ..
a + (-a) = OK ~.
5.1 Stabilire se le seguenti applicazioni sono iniettive, suriettive:
5) proprietà associativa della moltiplicazione:
a) f: IN II definita da f(n) = 3n
---t
a·(b·c)=a·(b·c) Va, b, c E IK b) f: IR ---t IR definita da f(x) = x:J
c) f: II x II ---t II definita da f[(a, b)] = a + b
6) proprietà commutativa della moltiplicazione: d) f: IN ---t II x II definita da f(n) = (n2, n + 1)
5.2 Determinare le classi di congruenza modulo 4 e modulo 5.
a·b=b·a Va, bE IK
5.3 Scrivere tutte le possibili somme di classi in 114 e in 115 e tutti i
7) esiste l'elemento unità rispetto alla moltiplicazione, che denotiamo con
possibili prodotti di classi in ll~ = 114 - [0]4 e ll; = 115 - [0]5 rappresentandoli
1JK, tale che: con le rispettive tavole di addizione e di moltiplicazione.
Va E IK 5.4 Determinare la classe di equivalenza del n7lmero 8 r-ispetto alla rela-
Ipl Iql.
zione definita in ll: p r-v q se =
8) per ogni a =1= 0K esiste l'elemento inverso a-l tale che:
5.5 Fissato un punto O dello spazio, si consideri nell 'insieme dei punti
a·a -1 = 1K dello spazio la seguente relazione: P è in relazione con Q se la distanza di
P da O è uguale alla distanza di Q da O. Verificare che si tratta di una
9) proprietà distributiva r-ispetto all'addizione:
relazione di equivalenza e determinare le classi di equivalenza.
a· (b + c) = a . b + a· c Va, b, c E IK 5.6 Verificare che l'insieme S = {3h, h E ll} con l'ordinaria operazione
di addizione è un gruppo commutativo.
Sono esempi di campi gli insiemi ili, Q con le ordinarie operazioni di addi
zione e moltiplicazione.