Combinatoire des matrices à signes alternants et des partitions planes [PhD thesis]

157 Pages·2011·1.449 MB·French

by  Hayat Cheballah

DØpartement d’informatique (cid:201)cole doctorale GalilØe
Institut GalilØe
Combinatoire des matrices (cid:224) signes
alternants et des partitions planes
TH¨SE
prØsentØe et soutenue publiquement le 12/12 /2011
pour l’obtention du
Doctorat de l’UniversitØ Paris-Nord (cid:21) Paris 13
(spØcialitØ informatique)
par
Hayat Cheballah
Composition du jury
Rapporteurs : Sylvie Corteel
Christian Krattenthaler
Examinateurs : FrØdØrique Bassino
Philippe Di Francesco
Alain Lascoux
Laurent Poinsot
Andrea Sportiello
Directeur : Philippe Biane
Encadrant : Christophe Tollu
Laboratoire d’Informatique de Paris-Nord (cid:21) CNRS UMR 7030
2
Remerciements
Avant tout je remercie Philippe Biane qui m’a guidØ dans ma thŁse et qui m’a proposØ
pleindeproblŁmesintØressants,quelquesunsquej’aisurØsoudreetd’autresnon.Pendant
ces deux annØes, il a toujours ØtØ prØsent et disponible. Je souhaite remercier Philippe
pour tout ce qu’il a fait pour moi, pour sa patience, pour ses conseils et pour toutes les
fois oø je me suis invitØe dans son bureau pour lui poser toute sorte de questions.
Je remercie trŁs chaleureusement Christophe Tollu. C’est une chance d’avoir pu travailler
avec quelqu’un ayant des connaissances aussi vastes que ce soit en mathØmatiques, en in-
formatiqueetdanstantd’autresdomaines.SesqualitØspØdagogiquesm’ontdonnØl’envie
de m’interesser (cid:224) la combinatoire.
Je voudrais ensuite remercier Sylvie Corteel et Christian Krattenthaler d’avoir ac-
ceptØ d’Øcrire un rapport sur cette thŁse. En particulier, je remercie Christian pour ses
corrections et ses suggestions qui ont amØliorØ ce manuscrit. Je remercie Øgalement Sylvie
de m’avoir invitØ au LIAFA pour que je puisse y exposer mes travaux. Je la remercie
Øgalement pour son accueil chaleureux, pour ses questions, les discussions avec elle ont
toujours ØtØ trØs stimulantes.
JeremercieØgalementFrØdØriqueBassino,PhilippeDiFrancesco,AlainLascoux,Laurent
Poinsot et Andrea Sportiello d’avoir acceptØ de faire partie de mon jury.
Je remercie les membres de l’Øquipe de combinatoire du laboratoire : GØrard H.E.
Duchamp, Christian Lavault, Hoang Ngoc Minh, Cyril Banderier, Silvia Goodenough,
AdrianTanasa,MarioValencia-Pabon.Ainsiquelesdoctorants:OmarAitMous,Matthieu
Deneufch(cid:226)tel, Vonjy Rasendrahasina. Je remercie particuliŁrement Hanane Tafat Bouzid,
Hichem Kenniche et Laura Giambruno pour leur constante bonne humeur et pour leur
soutien.
Ce qui m’amŁne (cid:224) parler de l’intØgralitØ de l’Øquipe qui m’a accueilli cette annØe (cid:224)
Marne la VallØe. Je remercie tout d’abord Jean-Yves Thibon pour m’avoir accueilli dans
son Øquipe. Je remercie chaleureusement Jean-Christophe Novelli pour son aide qui a
ØtØ prØcieuse pour cette thŁse. Je remercie Florent Hivert, Matthieu Josuat-VergŁs, Alain
Lascoux,YvanLeBorgne,Jean-GabrielLuque,NicolasThiØry.JeremercieØgalementles
(anciens) doctorants que j’ai rencontrØ : Natasha Blitvic, Nicolas Borie, Adrien Boussi-
cault, Jean-Paul Bultel, Valentin FØray, Samuele Giraudo, Robin Langer, RØmi Maurice,
Pierre-Lo(cid:239)c MØliot, Viviane Pons, Marc Sage et Vincent Vong. Je remercie les person-
nes qui ont travaillØ avec moi pour l’enseignement, et tout particuliŁrement Marie-Pierre
BØal, Pierre Boudes, Sylvie Borne, Christine Choppy, Claire David, Giuseppina Rindone,
Lucas LØtocart pour leur trŁs grande gØnØrositØ et pour leurs conseils prØcieux. Un grand
merci aussi (cid:224) Marie Fontanillas, Jacqueline Giraud, Brigitte Gueveneux pour leur aide et
(cid:224) Michel Le Coq et Michael Fortier pour leurs multiples interventions informatiques.
En(cid:28)njeremerciedufondduc(cid:247)urtouteslespersonnesquim’ontsoutenueetquim’ont
entourØe durant ma thŁse : SØbastien GuØrif, Sophie Toulouse, Sylvie Borne (encore une
fois), Henry Soldano, Dominique Bouthinon, Mathieu Lacroix, Erwan Moreau, Jonathan
VanPuymbrouk,PascalCoupey,HaifaZargayouna,NaimAber,LucaSaiu,DavidHØbert,
Marc Zipstein et particuliŁrement Meriem Ghernaout.
Je remercie en(cid:28)n mes parents et mon frŁre qui ont toujours ØtØ prØsents pour moi.
i
ii
RØsumØ
Cette thŁse se situe dans le domaine de la combinatoire bijective et est consacrØe (cid:224)
la construction d’une bijection explicite entre deux familles d’objets combinatoires : les
matrices (cid:224) signes alternants (ASMs) et les partitions planes totalement symØtriques auto-
complØmentaires (TSSCPPs).
L’histoire a commencØ lorsque Mills, Robbins et Rumsey Øtudiaient les ASMs et pro-
posŁrent une formule d’ØnumØration en 1982. Durant leurs recherches, ils dØcouvrirent
l’existence d’autres objets comptØs par la mŒme formule : les TSSCPPs. Ce n’est que
dix ans plus tard qu’une preuve non bijective de l’ØquiØnumØration de ces deux familles
fut donnØe par Zeilberger. Pour ce faire, Zeilberger utilise deux sous classes de motif de
Gelfand-Tsetlin; les triangles Gog et les triangles Magog. La mŒme annØe, Kuperberg
utilise des notions venues de la physique statistique pour en donner une preuve plus sim-
ple.
Pendant ces derniŁres annØes les recherches se sont multipliØes a(cid:28)n de donner une preuve
bijective du thØorŁme de Zeilberger. Citons notamment les travaux de Krattenthaler qui
construit une bijection explicite entre les trapØzo(cid:239)des Gog et Magog (cid:224) une ligne qui sont
respectivement des sous familles des triangles Gog et des triangles Magog. L’Øtape suiv-
ante, celle des trapØzo(cid:239)des (cid:224) deux lignes, semblait inaccessible.
L’objectif de cette thŁse est de rØsoudre ce problŁme grace (cid:224) l’utilisation d’un outil
fondamental en combinatoire, l’involution de Sch(cid:252)tzenberger. Nous avons pour cela dØ(cid:28)ni
des nouvelles statistiques sur les triangles Gog et les triangles Magog et nous montrons
expØrimentalement que la bijection que nous construisons respecte ces statistiques. Nous
prØsentons Øgalement de nouvelles conjectures sur ces statistiques.
Mots-clØs
(cid:73) Combinatoire bijective;
(cid:73) Matrices (cid:224) signes alternants (ASMs) et triangles Gog;
(cid:73) Partitions planes totalement symØtriques auto-complØmentaires (TSSCPPs) et tri-
angles Magog;
(cid:73) TrapØzo(cid:239)des Gog et Magog;
(cid:73) Involution de Sch(cid:252)tzenberger.
iii
iv
Abstract
The (cid:28)eld of this thesis is bijective combinatorics and is devoted to the construction
of an explicit bijection between two combinatorial families of objects : Alternating sign
matrices (ASM) and totally symmetric self complementary plane partition (TSSCPP).
The story began when Mills, Robbins and Rumsey studied ASMs and proposed a com-
pact enumeration formula in 1982. During their research, they discovered the existence
of other objects counted by the same formula : the TSSCPPs. It was only ten years later
that Zeilberger was able to prove this equality. For this, Zeilberger uses two subclasses of
Gelfand-Tsetlin pattern, Gog and Magog triangles. At the same year, Kuperberg, using
a concept coming from statistical physics, gave a simpler and more elegant proof.
In recent years research has multiplied to give a bijective proof of the theorem of Zeil-
berger. These include the work of Krattenthaler who builds an explicit bijection between
trapezoids Gog and Magog trapezoids with one line. These trapezoids are respectively
subfamilies of Gog and Magog triangles. The next step, which consists in (cid:28)nding a bijec-
tion between trapezoids with two lines, seemed out of reach.
The objective of this thesis is to solve this problem by using a fundamental tool in
combinatorics : the Schutzenberger involution. For this, we de(cid:28)ne new statistics on Gog
and Magog triangles and we show that our bijection respects these statistics. We also
present new conjectures on these statistics.
Keywords
(cid:73) Bijective combinatorics;
(cid:73) Alternating sign matrices (ASM) and Gog triangles;
(cid:73) Totally symmetric self complementary plane partition (TSSCPP) and Magog tri-
angles;
(cid:73) Gog and Magog trapezoids;
(cid:73) Schutzenberger involution.
v
vi
Table des matiŁres
Introduction 9
I Notions Fondamentales 19
1 PrØliminaires 21
1.1 Mots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.2 Partitions, tableaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.2.1 Partitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.2.2 Diagrammes de Ferrers, conjugaison . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.2.3 Tableaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.2.4 Diagramme gauche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.2.5 SSYTs et mots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.2.6 Involution de Sch(cid:252)tzenberger sur les tableaux de Young . . . . . . 25
1.3 Motifs de Gelfand-Tsetlin et SSYTs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.3.1 Motifs de Gelfand-Tsetlin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.3.2 Quelques propriØtØs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.3.3 Correspondance entre motifs de Gelfand-Tsetlin et SSYTs . . . . . 29
1.4 Posets et Diagramme de Hasse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.4.1 Posets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.4.2 Diagrammes de Hasse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2 Matrices (cid:224) signes alternants 33
2.1 Matrices (cid:224) signes alternants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2 Objets Øquivalents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2.1 Glace carrØe et modŁle (cid:16)6−sommets(cid:16) . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2.2 Con(cid:28)gurations de boucles compacts . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1
2.3 ASMs et triangles monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.3.1 Triangle Gog . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3 Partitions planes totalement symØtriques auto-complØmentaires 43
3.1 Partitions planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2 Classes de symØtrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2.1 Partitions planes totalement symØtriques auto-complØmentaires . . 48
3.3 Non-intersecting lattice paths (NILPs) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.3.1 Formule LGV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.4 TSSCPPs et NILPs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.5 TSSCPPs et triangles Magog . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.5.1 Triangles Magog . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.5.2 Tableaux signØs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.6 Conclusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4 Gog et Magog trapØzo(cid:239)des 59
4.1 Gog TrapØzo(cid:239)des . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.2 Magog TrapØzo(cid:239)des . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.3 Statistiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.3.1 Double ØnumØration des ASMs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.3.2 Double ØnumØration des triangles T± . . . . . . . . . . . . . . . . 65
do
II Principe de la bijection et involution de Sch(cid:252)tzenberger 69
5 SchØma de la construction 71
5.1 OpØrations pour la construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.1.1 Involution de Sch(cid:252)tzenberger sur les motifs de Gelfand-Tsetlin . . . 71
5.1.2 Modi(cid:28)cation suivant le schØma des inversions . . . . . . . . . . . . 75
5.2 Principe de construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.2.1 Triangle GOGAm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.2.2 GOGAm trapØzo(cid:239)de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.3 Conclusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6 Combinatoire de l’involution de Sch(cid:252)tzenberger 81
6.1 Posets P(kM±,(cid:52)) et (n,k,k)−Gog trapØzo(cid:239)des . . . . . . . . . . . . . . . 81
n
6.1.1 Poset P(kM±,(cid:52)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
n
6.1.2 Cha(cid:238)nes dans P(kM±,(cid:52)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
n
6.2 Posets P(k T(cid:1),(cid:52)) et (n,k,k)−Magog trapØzo(cid:239)des . . . . . . . . . . . . . 87
do n
6.2.1 Poset P(k T(cid:1),(cid:52)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
do n
6.2.2 Cha(cid:238)nes dans P(k T(cid:1),(cid:52)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
do n
6.3 Observations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.4 Action de l’involution de Sch(cid:252)tzenberger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
6.4.1 ActiondeS surles(n,2,2)−GogtrapØzo(cid:239)desetles(n,2,2)−Magog
2
trapØzo(cid:239)des . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6.4.2 Action de S sur les (n,3,3) − Gog trapØzo(cid:239)des et les (n,3,3) −
3
Magog trapØzo(cid:239)des . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
2