(com Relação ao Comprimento de Arco) .5cm MA211 - Cálculo II

14 Pages·2016·0.29 MB·Portuguese

by  Marcos Eduardo Valle

Aula 17
Integrais de Linha
(com Relação ao
Comprimento de Arco)
MA211 - Cálculo II
Marcos Eduardo Valle
DepartamentodeMatemáticaAplicada
InstitutodeMatemática,EstatísticaeComputaçãoCientífica
UniversidadeEstadualdeCampinas
Visão Geral:
Uma integral são semelhantes à integral unidimensional mas,
em vez de integrar sobre um intervalo [a,b], integramos sobre
uma curva C.
As integrais de linha tem papel importante tanto do ponto de
vista teórico como prático. Suas aplicações incluem: trabalho,
energia potencial, fluxo de calor, mudança de entropia e muitas
outras situações em que o comportamento de um campo
vetorial ou campo escalar é estudado ao longo de uma curva.
Curvas em R2
Definição 1 (Curva em R2)
Descrevemos uma curva C em R2 através das equações
paramétricas
x = x(t) e y = y(t), para a ≤ t ≤ b.
Alternativamente, podemos descrever C através da equação
vetorial
r(t) = x(t)i+y(t)j.
Dizemos que C é uma curva lisa se r(cid:48), dada por
r(cid:48)(t) = x(cid:48)(t)i+y(cid:48)(t)j, é contínua e r(cid:48)(t) (cid:54)= 0.
Integral de Linha em R2
Inicialmente dividimos o intervalo [a,b] em n subintervalos
[t ,t] de tamanho igual ∆t e tomamos x = x(t) e y = y(t).
i−1 i i i i i
Desta forma, os pontos P = (x,y) dividem o caminho C em n
i i i
subarcos de comprimento ∆s ,...,∆s .
1 n
O comprimento ∆s do i-ésimo subarco pode ser aproximado
i
pelo comprimento da diferença r(t)−r(t ). Se C for uma
i i−1
curva lisa, pelo teorema do valor médio, existe t∗ ∈ [t ,t] tal
i i−1 i
que
r(cid:48)(t∗)∆t = r(t)−r(t ).
i i i−1
Portanto,
∆s ≈ (cid:107)r(cid:48)(t∗)(cid:107)∆t.
i i
Denotamos por P∗ = (x∗,y∗) o ponto no i-ésimo subarco
i i i
obtido considerando o parâmetro t∗.
i
(FiguraextraídadolivrodeJamesStewart,Calculus,5edição.)
Integral de Linha em R2
Definição 2 (Integral de Linha)
Se f é uma função de duas variáveis cujo domínio contém uma
curva lisa C, então a integral de linha de f sobre C é
(cid:90) n
(cid:88)
f(x,y)ds = lim f(x∗,y∗)∆s,
i i i
n→∞
C
i=1
se esse limite existir.
Na prática, de ∆s ≈ (cid:107)r(cid:48)(t)(cid:107)∆t, podemos mostrar que:
i i i
(cid:90) (cid:90) b
f(x,y)ds = f(cid:0)r(t)(cid:1)(cid:107)r(cid:48)(t)(cid:107)dt
C a
(cid:115)
(cid:90) b (cid:0) (cid:1) (cid:18)dx(cid:19)2 (cid:18)dy(cid:19)2
= f x(t),y(t) + dt.
dt dt
a
Curvas em R3
De um modo similar, temos:
Definição 3 (Curva em R3)
Descrevemos uma curva C em R3 através das equações
paramétricas
x = x(t), y = y(t) e z = z(t), para a ≤ t ≤ b.
Alternativamente, podemos descrever C através da equação
vetorial
r(t) = x(t)i+y(t)j+z(t)k.
Dizemos que C é uma curva lisa se r(cid:48), dada por
r(cid:48)(t) = x(cid:48)(t)i+y(cid:48)(t)j+z(cid:48)(t)k, é contínua e r(cid:48)(t) (cid:54)= 0.
Integral de Linha em R3
Definição 4 (Integral de Linha)
Se f é uma função de três variáveis cujo domínio contém uma
curva lisa C, então a integral de linha de f sobre C é definida
(cid:90) n
(cid:88)
f(x,y,z)ds = lim f(x∗,y∗,z∗)∆s,
i i i i
n→∞
C
i=1
se esse limite existir.
Na prática, calculamos
(cid:90) (cid:90) b
f(x,y,z)ds = f(cid:0)r(t)(cid:1)(cid:107)r(cid:48)(t)(cid:107)dt
C a
(cid:115)
(cid:90) b (cid:0) (cid:1) (cid:18)dx(cid:19)2 (cid:18)dy(cid:19)2 (cid:18)dz(cid:19)2
= f x(t),y(t),z(t) + + dt.
dt dt dt
a
Curvas Lisas por Partes
Dizemos que C é uma curva lisa por partes se C é a união de
curvas lisas C ,C ,...,C em que o ponto inicial de C
1 2 n i+1
coincide com o ponto final de C. Neste caso, a integral de
i
linha de f(x,y) ao longo de C é dada pela soma de integrais:
(cid:90) (cid:90) (cid:90)
f(x,y)ds = f(x,y)ds+...+ f(x,y)ds.
C C1 Cn
ou, para uma função f(x,y,z) de três variáveis:
(cid:90) (cid:90) (cid:90)
f(x,y,z)ds = f(x,y,z)ds+...+ f(x,y,z)ds.
C C1 Cn
Comprimento da Curva
Observe que a integral de linha
(cid:90)
1ds
C
fornece o comprimento da curva C.
As integrais
(cid:90) (cid:90)
f(x,y)ds ou f(x,y,z)ds,
C C
são referidas como integral de linha com relação ao
comprimento do arco.