Çoklu Regresyon Analizi-Anova Kaynak

15 Pages·2012·0.12 MB·Turkish

16.07.2012
ÇOKLU REGRESYON MODELİ,
ANOVA TABLOSU,
MATRİSLERLE REGRESYON
ÇÖZÜMLEMESİ,REGRES-YON
KATSAYILARININ YORUMU
Prof.Dr.A.KARACABEY
1
Doç.Dr.F.GÖKGÖZ
ÇOKLU REGRESYON MODELİ
• Ekonomi ve işletmecilik alanlarında herhangi bir
bağımlı değişkeni tek bir bağımsız değişken ile
açıklamak mümkün değildir. Ekonomik modeller,
genellikle birden fazla sebebin sonucudurlar. Çok
fazla sayıda değişken bir araya gelerek bir diğer
değişkeni etkileyebilmektedirler. Bu değişkenler aynı
zamanda kendi aralarında da birbirlerini
etkileyebilmektedir. Bu sebeple, bu tür birden fazla
değişkenin kullanılması gereken durumlarda tekli
regresyon analizi yapılması mümkün değildir. Birden
fazla bağımsız değişken kullanılarak yapılan regresyon
analizine "çoklu regresyon analizi(multiple
regression analysis)" adı verilmektedir.
Prof.Dr.A.KARACABEY
2
Doç.Dr.F.GÖKGÖZ
1
16.07.2012
…..
• X’ler bağımsız değişkenleri ve Y de bağımlı
İ
değişkeni göstermek üzere en genel çoklu
regresyon denklemi;
Y=a +a X +a X +…+a X +e
0 1 1 2 2 k k i
=a +Σa X +e
0 r r i
• Çoklu regresyon modelleri de EKK kullanılarak
çözülebilir. Tekli regresyonda olduğu gibi
tahmini denklem kurularak diğer hesaplamalar
yapılır.
Prof.Dr.A.KARACABEY
3
Doç.Dr.F.GÖKGÖZ
İki bağımsız değişkenli modelin EKK ile
çözümü:
• Üzerinde hesaplama yapacağımız model iki
bağımsız değişken(X ve X ) ile bir bağımlı
2 3
değişken (Y) içeren
Y=a+bX +cX +e
2 3 i
modeli olacaktır. Bu regresyon denklemine ait
tahmin modeli:
Burada e hata terimi:
i
Prof.Dr.A.KARACABEY
4
Doç.Dr.F.GÖKGÖZ
2
16.07.2012
Katsayıların hesaplanışı:
• Çoklu regresyon modelinde de tıpkı tekli modelde
olduğu gibi katsayılar hesaplanırken bağımsız
değişkenlerin ortalamadan sapmaları
kullanılmaktadır. Aşağıda sırası ile b,c ve a
katsayılarının nasıl tahmin edileceğine ait formüller
verilecektir. Formüller için kullanılacak x ve y
i
değerlerinin eşiti olan ifadeler yazılmıştır.(i=1,2,3)
= X
x − X
i
i
i
y = Y −Y
Prof.Dr.A.KARACABEY
5
Doç.Dr.F.GÖKGÖZ
Prof.Dr.A.KARACABEY
6
Doç.Dr.F.GÖKGÖZ
3
16.07.2012
…..
• Regresyon katsayıları hesaplanıp regresyon
tahmin modeli kurulduktan sonra belirlilik
katsayısı olan R2 hesaplanır. Bu sayede
katsayıların anlamlılığı, modelin uygunluğu
gözlemlenecektir. Genel çoklu regresyon
modeli için R2 hesabı; (b,c,..,z katsayılar x ler
i
de tanımlanan değerlerdir)
Prof.Dr.A.KARACABEY
7
Doç.Dr.F.GÖKGÖZ
Düzeltilmiş R2:
• R2 belirlilik katsayısı çoklu modellerde
genellikle yeterli değildir. Çünkü çoklu
regresyon modelleri için denkleme yeni
değişken ilave edilmesi durumunda R2 değeri
genellikle artmaktadır. Bu yüzden anlamlı bir
test yapabilmek için çoklu modellerde
düzeltilmiş R2 hesaplanmalıdır.( R2 )
n:gözlem sayısı k:modeldeki değişken
sayısı(bağımsız
değişken+bağımlı
değişken)
Prof.Dr.A.KARACABEY
8
Doç.Dr.F.GÖKGÖZ
4
16.07.2012
…..
• Tekli regresyon modellerinde olduğu gibi
belirlilik katsayısı 1’e ne kadar yakın ise mevcut
olan model o kadar uygundur(anlamlıdır).
Prof.Dr.A.KARACABEY
9
Doç.Dr.F.GÖKGÖZ
…..
• Modelde tahmin edilen katsayıların güvenilirliği
standart hata ve varyansın küçüklüğüne bakılarak
test edilir. Bu bize tahmin değerlerinin gerçek
değerlere uygunluğu için kısmen bir oran
vermektedir.
• Regresyon modelindeki bağımsız değişkenlerin
katsayıları modelin durumu, anlamlılığı, gücü
hakkında bilgi verdiği halde bağımlı ve bağımsız
değişkenler arasındaki ilişkinin yönünü ve kuvvetini
göstermemektedir. Bu nedenle korelasyon analizi ile
bağımlı ve bağımsız değişken veya değişkenler
arasındaki ilişkiyi ölçeriz.
• Görüldüğü gibi eklenen yeni değişkenlere ilişkin ufak
uyarlamalar ile çoklu regresyon modelleri de tekli
regresyon modellerine benzer işlemler ile
yorumlanabilmektedir.
Prof.Dr.A.KARACABEY
10
Doç.Dr.F.GÖKGÖZ
5
16.07.2012
ANOVA TABLOSU
• Regresyon modeli için hesaplamalar yapılarak tahmin
değerleri bulunduktan sonra anova tablosuadı verilen bir
tablo hazırlanır.
SST:kareler toplamı
∑ 2
SST = (Y −Y)
i
SSE:artıkların kareleri toplamı ^ 2
∑
SSE =
(Y −Y )
i i
SSR:tahminlerin kareleri toplamı
^ 2 ^ 2
∑ ∑ 2
SSR= (Y −Y) = Y −nY
Prof.Dr.A.KARACABEY i i
11
Doç.Dr.F.GÖKGÖZ
…..
KKaayynnaakk SSeerrbbeessttlliikk SSSS MMSS FF
((ssoovv)) ddeerreecceessii((ss
dd vveeyyaa ddff))
MMooddeell 22--11==11 SSSSRR MMSSRR== MMSSRR//MMSS
((rreeggrreessyyoo EE
SSSSRR//22--11
nn))
AArrttııkk nn--22 SSSSEE MMSSEE==
SSSSEE//nn--22
TTooppllaamm nn--11 SSSSTT
Prof.Dr.A.KARACABEY
12
Doç.Dr.F.GÖKGÖZ
6
16.07.2012
…..
• Anova tablosu içerisindeki F istatistiği ile
model parametrelerinin (katsayıların) anlı olup
olmadığı test edilmektedir.
• Ayrıca anova tablosu kullanılarak belirlilik
katsayısı da hesaplanabilir: R2=SSR/SST
• R2 değeri sayesinde Y bağımlı değişkeninin
değerleri arasındaki varyasyonun model
tarafından ne oranda açıklandığı
gözlemlenebilir.
Prof.Dr.A.KARACABEY
13
Doç.Dr.F.GÖKGÖZ
Matrisler İle Regresyon Çözümlemesi:
• Regresyon denklemini matris hesaplamaları ile de bulmak
mümkündür. Bunun için eldeki verileri matris olarak ifade
etmemiz gereklidir.
• Regresyon modelimiz Y=a +a X+e (i=1,2,…,n) olsun.
i 0 1 i i
Buradaki Y ve X değerleri sırasıyla veri setinde her bir
i i
gözleme karşılık gelen değerledir. O halde her bir i için
elimizde aşağıdaki denklem sistemi mevcuttur:
Y =a +a X +e
1 0 1 1 1
Y =a +a X +e
2 0 1 2 2
...
...
Y =a +a X +e
nProf.D0r.A.KAR1ACAnBEY n
14
Doç.Dr.F.GÖKGÖZ
7
16.07.2012
…..
• Bu denklem sisteminin matris olarak ifade edecek
olursak:
Y = βX + e
Y  e 
1 X 
Y1 a  1 X1 e1
2 2 2
Y =  ...  β=  0 X = ... ...  e = ...
     
a
 ...    ... ...  ...
 
Y  1 1 Xn e 
n n
Prof.Dr.A.KARACABEY
15
Doç.Dr.F.GÖKGÖZ
Çözüm:
^
• β, β için EKK tahmin edicisi ise bunun için çözüm;
^ ( )
β= X ' X −1 X 'Y
• Matris çarpımının yapılması ile 2 x 1 tipinde bir
matris bulunur. Bu matrisin birinci satırı a katsayısı
0
için, ikinci satırı ise a katsayısı için bir tahmin olup
1
regresyon tahmin modelinde aranan katsayılardır.
Bunları yerine yazarak tahmin modeline ulaşılır.
Prof.Dr.A.KARACABEY
16
Doç.Dr.F.GÖKGÖZ
8
16.07.2012
…..
• Ayrıca tahmin modeli
^
kurulduktan sonra Y ^
β
Y
değerleri için aranan = X
tahmin sonuçları ise
matris yoluyla yandaki
şekilde hesaplanabilir:
• Bu işlemler sırasında
tahminler için yapılan
e^=Y−Y^
hata ise;
Prof.Dr.A.KARACABEY
17
Doç.Dr.F.GÖKGÖZ
Regresyon Katsayılarının Yorumlanması:
• Tahmin edilen katsayıların yorumu için
değişkenlerin birimi ve regresyon
denkleminin yapısı önemlidir.
• 1. Değişkenleri Mutlak Sayılarla Ölçülen Doğrusal
Denklemler:denklem formu Y=a +a X +…+a X +e
0 1 1 k k
şeklindedir. Burada a sabit terim, a ler katsayılar, Y
0 i
bağımlı değişken, X ler bağımsız değişkenler, e ise
i
hata terimini göstermektedir. (i=1,2,…,k)
Prof.Dr.A.KARACABEY
18
Doç.Dr.F.GÖKGÖZ
9
16.07.2012
…..
– Sabit terim:bağımsız değişkenlerin hepsi birden 0 iken (X =0) bağımlı
i
değişken Y’ nin alacağı değerdir.
– Katsayılar:a katsayısı diğer bağımsız değişkenler sabit iken X deki bir
j j
birimlik değişme Y’ yi a birim kadar değiştirmektedir.
j
• örneğin;K malına olan talep modeli tahmin edilmiş ve sonuç
Q =10-0.5P+0.7Y olarak bulunmuştur.(P : fiyat, Y :gelir, Q
t t t t t
:talep) (ölçü birimi milyon TL)
t
– a =10:K malının fiyatı ve gelir sıfır iken malın talebi 10
0
milyon TL olacaktır.
– a =-0.5: bu dönemin geliri sabit iken K malının fiyatındaki
1
1milyon TL’lik artış malın talebini 0.5milyon TL azaltacaktır.
– a =0.7: K malının fiyatı sabit iken bu dönemin gelirindeki 1
2
milyon TL’lik artış malın talebini 0.7 milyon TL
artırmaktadır.
Prof.Dr.A.KARACABEY
19
Doç.Dr.F.GÖKGÖZ
…..
• 2. Değişkenleri % ile İfade Edilen
Denklemler:denklem formu Y=a +a X +…+a X +e
0 1 1 k k
şeklindedir.
• Sabit terim:açıklayıcı değişkenlerdeki değişim % 0 iken
açıklanan değişkenin % kaç olduğunu gösterir.
• Katsayılar:diğer açıklayıcı değişkenlerdeki % değişim
sabit iken (yokken) X değişkenindeki %1lik değişim Y
j
değişkenini % a kadar değiştirmektedir.
j
– Örneğin:E döviz kuru, M para arzı, P tüketici
fiyatındaki % değişim, r faiz oranı ve e hata
terimini göstermek üzere ilgili regresyon tahmin
modeli şöyledir: E=0.9+0.2M -0.4r +0.8P
t t t t
Prof.Dr.A.KARACABEY
20
Doç.Dr.F.GÖKGÖZ
10