Codierungstheorie und Kryptographie

156 Pages·2008·1.104 MB·German

by  Wolfgang Willems (auth.)

Mathematik Kompakt
Herausgegeben von:
Martin Brokate
Heinz W. Engl
Karl-Heinz Hoffmann
Götz Kersting
Gernot Stroth
Emo Welzl
Die neu konzipierte Lehrbuchreihe Mathematik
Kompakt ist eine Reaktion auf die Umstellung der
Diplomstudiengänge in Mathematik zu Bachelor-
und Masterabschlüssen. Ähnlich wie die neuen
Studiengänge selbst ist die Reihe modular auf-
gebaut und als Unterstützung der Dozenten wie
als Material zum Selbststudium für Studenten ge-
dacht. Der Umfang eines Bandes orientiert sich an
der möglichen Stofffülle einer Vorlesung von zwei
Semesterwochenstunden. Der Inhalt greift neue
Entwicklungen des Faches auf und bezieht auch
die Möglichkeiten der neuen Medien mit ein. Viele
anwendungsrelevante Beispiele geben dem Be-
nutzer Übungsmöglichkeiten. Zusätzlich betont
die Reihe Bezüge der Einzeldisziplinen unterein-
ander.

Mit Mathematik Kompakt entsteht eine Reihe, die
die neuen Studienstrukturen berücksichtigt und
für Dozenten und Studenten ein breites Spektrum
an Wahlmöglichkeiten bereitstellt.
Codierungstheorie und
Kryptographie
Wolfgang Willems
Birkhäuser
Basel · Boston · Berlin
Autor:
Wolfgang Willems
Institut für Algebra und Geometrie
Fakultät Mathematik
Otto-von-Guericke Universität Magdeburg
Universitätsplatz 2
39106 Magdeburg
email: [email protected]
2000 Mathematical Subject Classification: 68-01, 68P25, 68P30, 94-01, 94A24, 94A60,
94B05, 94B15
Bibliografische Information der Deutschen Bibliothek
Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie;
detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über <http://dnb.ddb.de> abrufbar.
ISBN 978-3-7643-8611-5 Birkhäuser Verlag AG, Basel – Boston – Berlin
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© 2008 Birkhäuser Verlag AG, Postfach 133, CH-4010 Basel, Schweiz
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Satz und Layout: Protago-TEX-Production GmbH, Berlin, www.ptp-berlin.eu
Printed in Germany
ISBN 978-3-7643-8611-5
Inhaltsverzeichnis
Vorwort vii
Einleitung 1
I Codierungstheorie 3
1 GrundbegriffeundBeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 LineareCodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3 DerCD-Spieler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4 LDPC-Codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5 DualeCodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
6 GewichtspolynomeundDecodierfehler . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
7 ZyklischeCodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
8 SchrankenundLineareOptimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
9 DecodierungvonBCH-Codes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
II Kryptographie 65
10 GrundbegriffeundSicherheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
11 SymmetrischeVerfahren–dieAES-Chiffrierung . . . . . . . . . . . 69
12 Public-Key-Kryptographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
13 Signaturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
14 Hash-Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
15 ElliptischeKurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
16 DerDiskreteLogarithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
17 DerAKS-Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
18 WahrscheinlichkeitstheoretischePrimzahltests . . . . . . . . . . . . 104
19 FaktorisierungganzerZahlen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
Anhang 117
20 Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
21 Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
22 Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
23 KomplexitätvonAlgorithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
vi
Inhaltsverzeichnis
LösungenausgewählterAufgaben 133
Literatur 141
Namenverzeichnis 145
Symbolverzeichnis 147
Stichwortverzeichnis 149
Vorwort
DasvorliegendeBuchgibteineEinführungindieFehlerkorrekturundVerschlüsse-
lungdigitalerDatenbeiderÜbertragungübereinenKanal.Ersteres,dieCodierungs-
theorie,beschäftigtsichmitderKorrekturvonFehlern,dieineinemunzuverlässig
arbeitendenKanalpassieren.Zweiteres,dieKryptographie,hatdieVerschlüsselung
derDatenzumInhalt,sodass sieweder gelesennochmanipuliertwerdenkönnen.
Das Buch ist gedacht für Studierende des Bachelor-Studiengangs Mathematik,In-
formatikoderElektrotechnik,die bereitsmitden Methoden der LinearenAlgebra
vertrautsind.AneinigenwenigenStellenbenötigenwirelementareSachverhalteaus
der Wahrscheinlichkeitstheorie,die man etwa in dem Band Elementare Stochastik
dergleichenBuchreihenachlesenkann,sowieetwasKombinatorik–diesbeschränkt
sichaufeinfachesAbzählen,welchesmanauchalsAnfängergutnachvollziehenkann.
WeiterezumVerständnisnotwendigeGrundlagenausGruppentheorie,Zahlentheo-
rie,AlgebraundKomplexitätstheoriehabenwirineinemAnhangzusammengestellt,
jedochnursoweit,wiesiebenötigtwerden.HiersolltemanbeimStudiumderCodie-
rungstheorieundKryptographienachlesen,wennetwasunverstandenbleibt.Beide
Kapitelsindinsichgeschlossen,sodasssieunabhängigvoneinanderstudiertwerden
können.
UmdenInhaltdesBucheskompaktzuhalten,werdenausgewählteFacettender
beiden Themenkreise behandelt werden. Wir haben daher den Stoff auf das aus
heutigerSichtWesentliche beschränkt.Sosagen wirzumBeispielnichts überVer-
schlüsselungsmethodenausderVergangenheit,dieaushistorischerSichtinteressant
sind, heute jedoch keine Rolle mehr spielen, sondern konzentrieren uns weitge-
hendaufdiemodernePublic-Key-Kryptographie.DieAbschnitteüberLDPC-Codes
unddenAKS-Algorithmus,sowiedieteilweiseBehandlungvonEdwardskurvenund
SchrijversOptimierungsmethodegebendemStoffeinezeitgemäßePrägung.
HinundwiedersindimTextweitergehende,insbesondereauchneuereResultate
und offenezentrale Problemeeingestreut.Siesollen einen tieferenEinblickindas
Dargestellte vermitteln und zur weiteren Beschäftigung mit den Fragestellungen
anregen.
Die inden einzelnenAbschnittengestelltenAufgaben,fürdiewir teilweise am
Ende des BuchesLösungenangegebenhaben,sindzurSelbstkontrollegedacht.Sie
sindteilstheoretischerNatur,teilsaberaucheinfachRechenaufgaben,indenenAl-
gorithmen nachvollzogen werden sollen. Mitunter treten dabei,aber auch in den
BeispielenzukryptographischenVerfahren,RechnungenmitgroßenZahlenauf,so
dass die Verwendung eines Computer-Algebrasystems hilfreich,wenn nicht uner-
läßlichist.
viii
Vorwort
BeimerstenAuftretendesNamenseinerbedeutendenPersönlichkeithabenwir
ineinerFußnotedieLebensdaten,dieWirkungsstätteundderen BeiträgezurFor-
schungangegeben.
Besonderer Dank gebührt an dieser Stelle Christian Bey, Gohar Kyureghyan
und Ralph August,die weite Teile des Buches gelesen und bei der Erstellung der
Zeichnungen geholfenhaben.Ihr Engagement hat erheblich zurVerbesserung des
Textesbeigetragen.FernerdankeichdenHerausgebernunddemBirkhäuserVerlag
fürwertvolleHinweisebeiderEntstehungdesBuches.
Magdeburg,imFebruar2008 WolfgangWillems
1
Einleitung
ImheutigenInformationszeitalterwerdentäglichsowohlinderWirtschaftalsauch
imPrivatenkaumvorstellbareMengenvonInformationzwischenSendernundEmp-
fängernüberKanäle wie die Telefonleitung,Computernetzwerke,dieAtmosphäre,
aberauchCDsausgetauscht.DabeidürftedieDigitalisierungvonInformationnoch
zunehmen.NebenalldentechnischenProblemen,diedieRealisierungeinerderar-
tigenÜbertragunganIngenieurestellt,stehenseitensderMathematikdiefolgenden
FragenimZentrum.
1. Wie kann man Information trotz Störungenim Kanal ohneInformationsverlust
übertragen?
2. Wie kann man Information bei der Übertragunggegen unerlaubtes Lesen oder
Verändernschützen?
Bei beiden Fragestellungen wollen wir stets annehmen, dass die zu über-
tragendenDatenbereitsindigitalisierterFormvorliegen.WiemaneinenTextoder
allgemeiner Information effizient digitalisieren kann, werden wir hier also nicht
behandeln.DiesisteinTeilaspektder Informationstheorie.Dadiedazubenötigten
MethodengrößtenteilswahrscheinlichkeitstheoretischerNatursind,verweisen wir
aufdasLehrbuchElementareStochastikvonKerstingundWakolbingerausderglei-
chenBuchreihe.Wirgehenalsodavonaus,dassvoneinemSenderübereinenKanal
digitalisierteDatenzueinemEmpfängerübertragenwerden.
BeidererstenFragenehmen wiran,dassderKanalnichtfehlerfreiarbeitet,so
dass eine Korrekturauf der Empfängerseite nötig ist.Hier kommt es nur auf die
physikalischeGütedesKanalsan,derdieFehlerzufälligverursacht,undwirkönnen
dasÜbertragungssysteminsichalsabgeschlossenansehen.
Sender Kanal Empfänger
Viele der heute benutzten physikalischen Kanäle zur Datenübertragung arbeiten
nichtfehlerfrei.ÜbertragenwiretwaDatenvoneinemfernenSatellitenzurErde,so
könnenwirdasHintergrundrauschen,durchwelchesDatenzerstörtwerden,einfach
nichtvermeiden.Nicht alle Leser werden denVorgängerder heutigenCD kennen:
dieVinylplatte.EinKratzeraufihrhatteunwiderruflicheFolgenfürdenHörgenuss.
2
Einleitung
Abhilfekann man nun dadurch erreichen,dass man nicht nur die reine Informa-
tion überträgt beziehungsweise abspeichert, sondern zusätzliche redundante Bits,
dieentwederzurFehlererkennung(etwabeimoptischenEinleseneinesStrichcodes
an einer Kasse im Supermarkt oder Eintippen einer Kontonummer) oder zurauf-
wendigeren Fehlerkorrektur (auf einer CD oder bei einer Satellitenübertragung)
genutzt werden können.Die hinter diesem Problemkreisstehende Mathematik ist
die Codierungstheorie.Die verwendeten Methoden sindvielfältigundreichen von
der Linearen Algebra,Algebra,Kombinatorik,Geometrie,Optimierung bis hin zu
algebraischenKurven.EinigewesentlicheIdeenundMethodenwerdenGegenstand
deserstenKapitelssein.
BeiderzweitenFragestellung,demSchutzderDatengegenunerlaubtenZugriff,
nehmen wiran,dassderKanalzwarfehlerfreiarbeitet,abereinAngriffvonaußen
indasÜbertragungssystemvorliegt,denesabzuwehrengilt.
Sender Kanal Empfänger
Angreifer
UmInformationfürAußenstehendeunbrauchbarzumachen,verschlüsselt der
Sender sie und der Empfänger entschlüsselt sie wieder.Aus einem lesbaren Text
macht man,grobgesprochen,einen Buchstabensalat,mit dem ein Unbefugterun-
terZuhilfenahmeallerihmzurVerfügungstehendenMittelnnichtsanfangenkann.
WährenddiesfrüherfastausschließlicheinProblemimmilitärischenoderdiploma-
tischenBereichwar,istaufgrunddestagtäglichenenormenTransferssensiblerDaten
im Internet der Schutz der Informationin vielenBereichen mehr denn je gefragt.
Einerseitsmöchtemanverhindern,dassDatenvonUnbefugtengelesenwerdenkön-
nen(mandenkeetwaansSchauenvonPay-TV,ohnegezahltzuhaben)andererseits
möchtemannicht,dass DatenimKanalvonaußengeändertwerdenkönnen(man
denkehierzumBeispielansHomebanking).EinSchutzderDatenerforderthäufig
aucheineelektronischeUnterschriftuntereinDokument.Mitdiesenundähnlichen
FragenwerdenwirunsimzweitenKapitelzurKryptographiebeschäftigen.Diehier
verwendeten Methoden sind meist zahlentheoretischer oder algebraischer Natur.
NebenwahrscheinlichkeitstheoretischenAussagenspieltdieKomplexitätvonAlgo-
rithmen,dieeinMaßfürdieBerechnungsdauer(auchLaufzeit)ist,einewesentliche
Rolle.
SowohldieFehlerkorrekturalsauchderSchutzderDatengegenunerlaubtenZu-
griffverursachenzusätzlicheKostenbeiderÜbertragung.SeitensderAnwendungen
solltendiesenatürlichauswirtschaftlichenGründenminimiertwerden.BeideFra-
gestellungensindinsbesondereauchindiesemSinnzuverstehen.