Classes de Chern des ensembles analytiques (HR.ACTUALI.MATH) (French Edition)

219 Pages·2000·12.465 MB·French

by  Marie-hélène Schwartz

Marie-HS細cnhewartz
ClasdseCe hse m
deesn semabnlaelsy tiques
HERMANN⑩ EDITEURS DES SCIENCESE T DES ARTS
ISBN 2 7056 6393 2
© 2000, HERMANN, ÉDITEURS DES SCIENCES ET DES ARTS, 293 RUE LECOURBE, 75015 PARIS
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Table des matières
Préface 11
Introduction 15
1 Classes de Chern en cohomologie des ensembles analytiques 23
1 Généralités 25
1.0 Stratification C-analytique. Angle de plans ; angles de vecteurs. Théo-
rème de Whitney . . . . . . . . . . . . . . . . . , . . . . . 25
1.1 Espace des r-repères tangents à une.stratification de Whitney 27
1.2 Triangulations simpliciales (K•), (K) et (.6.) de M 28
1.3 Coordonnées barycentriques et tubes paramétriques . . . . . 29
1.4 Lemmes d'homotopie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.5 «Triangulation» cellulaire (.6.1) de la paire (V(, V(') ; isomorphisme h* 33
1.6 «Triangulation» cellulaire (D) de M, duale de (K) . . . 34
1.7 Convention d'orientation suries simplexes et les cellules 36
2 Cochaînes et classes utilisées. Indices des champs 39
2.1 Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2 Triangulation simpliciale par (.6.) des espaces définis par les (D)~sque-
lettes suivants . . . . . . . . . . . . . . 39
2.3 Homomorphismes llir et µ,;r . . . . . . 41
2.4 Homomorphismes j et ji. Diagrammes 42
2.5 Isomorphisme v* . . . . . . . . . . . . 43
2.6 Indices I et Î d'un champ Zr en un point singulier 44
2.6.0 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.6.l Classes d'homologie de la fibre en a du fibré SJ.Js,r cv?s)[b2S définie
par Zr . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 45
2.6.2 Utilisation d'une définition intrinsèque de 'ita 46
2.6.3 Retour, comme espace ambiant, à M stratifié 49
6 Table des matières
3 Théorème préliminaire et énoncé du théorème principal 51
3.1 Généralités, conditions (R1), (R2), (R3) ....... . 51
3.2 Cocycles obstructeurs y; ......................... . 52
3.3 Cycles et classes relatifs à (B;, B;) et (B) et cycles auxiliaires dans (A, A)
et (A) ....................... . 53
Yi JYi
3.4 Valeur d'un cocycle ou sur une cellule D~P . 53
3 .5 Théorème préliminaire . . . . 54
3.6 Énoncé du théorème principal .......... . 57
3.6.1 Introduction ................ . 57
3.6.2 Énoncé du théorème principal sur les champs radiaux . 57
3.6.3 Définition de la classe c*(f') de Chem en cohomologie du sous
ensemble analytique r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4 Prolongements continus de champs à partir d'une strate 59
4.0 Indications préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.1 Prolongement dans une strate Y;2s à partir d'un sous-espace I; 60
4.1.l Voisinage élémentaire Ma de a E I; dans V(s ..... 60
4.1.2 Prolongements de champs Zr à partir de b2q dans Ma . 63
4.1.3 Sous-espaces linéaires complexes, supplémentaires d'un sous-
espace réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.1.4 Utilisation locale d'un nombre fini de champs Z~_1 ....... . 68
4.1.5 Prolongements et homotopies dans une seule strate v(s . . . . . . 70
4.2 Prolongement auxiliaire d'un champ dans la variété ambiante à partir
d'une partie M; d'une strate et sans singularités de Zr-1 73
4.2.1 Théorème local de prolongement . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.2.2 Condition (P) de prolongement par parallélisme . . . . . . . . . . 74
4.2.3 Rappels relatifs aux tubes géodésiques et aux bons prolongements 74
4.2.4 Prolongement local par n;-parallélisme: cas des vecteurs ..... 75
4.2.5 Prolongement par n;-parallélisme d'un champ de vecteurs au voi-
sinage de M; c v(s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.2.6 Propriétés d'un prolongement par n;-parallélisme ........ . 77
4.2.7 Prolongement auxiliaire par n;-parallélisme, avec singularités de
type 2 de 4.0, des champs de repères correspondant en chaque
point singulier a E (D)2P n Vfs à la méthode du lemme B (4.1.2) 78
4.2.8 Remarque sur une autre méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5 Rappels divers ; champs transversaux et autres 81
5 .1 Stratification induite sur une variété .N transverse aux strates 81
5.1.l Propriétés relatives à la trace de .N2P sur Y;2s 81
5.1.2 Précision sur une égalité classique ..... . 84
5.1.3 Conservation des conditions de Whitney .. . 85
5.2 Champs transversaux de vecteurs tangents aux strates 86
5.3 Prolongement radial relatif à une strate ....... . 88
Table des matières 7
6 Théorèmes d'existence et d'homotopie au voisinage d'une strate 89
6.1 Généralités et prolongement sans nouvelles singularités . . . . . . . . . . 89
z; xu
6.1.1 Familles et utilisées dans les énoncés. . . . . . . . . . . . 89
6.1.2 Prolongement à partir de M;, dans Bµ,; (M;), sans nouvelles sin-
gularités . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
6.2 Existence de prolongements radiaux de r-repères . . . . . . . . . . . . . 95
6.2.1 Théorème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.2.2 Une famille de champs se prolongeant radialement dans un même
voisinage par une méthode fixe . . . . . . . . . . . . . . 99
6.3 Homotopie entre deux champs radiaux au voisinage d'une strate 100
6.3.l Lemme préliminaire au théorème 6.3.2 ........ . 100
6.3.2 Théorème d'homotopie relatif à une strate ....... . 101
6.3.3 Une conséquence locale du théorème 6.3.2 d'homotopie 104
7 Conservation des indices par les prolongements radiaux, démontrée à partir
du cas des vecteurs 107
7.0 Indications générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
7.1 Lemmes et proposition aboutissant au théorème d'homotopie 7 .1.4 . 108
7.1.1 Lemme relatif au choix d'une métrique locale . . . . . 108
7 .1.2 Lemme relatif aux champs transversaux . . . . . . . . 109
7.1.3 Champs radiaux locaux induits sur une sous-variété .N 112
7 .1.4 Théorème . . . . . . . . . . . 116
7 .2 Théorème de conservation des indices . . . . . . . . . 117
7.2.1 Théorème ................... . 117
7.3 Retour aux groupes d'homologie à supports compacts . 119
8 Construction globale d'un champ radial 123
8.1 Généralités et lemmes élémentaires .. 123
8.1.0 Généralités . . . . . . . . . . 123
8.1.1 Lemme de raccordement au voisinage d'un V; . 123
8.1.2 Lemme relatif au groupement des strates par dimensions 125
8.2 Construction globale d'un champ radial Zr . . . . . . . . . . . 127
9 Théorème global d'homotopie. Conclusions 137
9.1 Théorème global d'homotopie (Condition (R3) b)). 137
9.2 Démonstration du E et de la propriété (04) du théorème principal . . . 141
9.3 Problème de l'indépendance des classes par rapport aux triangulations 143
9.3.1 Cas particuliers importants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
9.3.2 Remarques sur le cas général des classes c2P(f) E H2P(M, M -
f) définies ici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
8 Table des matières
II Images réciproques des classes de Chern par une application f
holomorphe, discrète et surjective 145
10 Stratifications de la variété objet M adaptées à l'application f 147
10.1 Définition choisie pour m(f, x) et rappels de propriétés classiques 147
10.2 Stratification {vjd et {wd d'un couple v, w de voisinages 150
10.3 Stratification globale de M 152
10.4 Un lemme local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
11 Premier théorème local de proportionnalité pour les champs radiaux de vec-
teurs 155
11.1 Notations et énoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
11.2 Réductions successives de la démonstration à un cas plus simple . . ; 156
11.3 Démonstration du théorème dans le cas où {a} est une strate et I = 1 . 158
12 Premier théorème de proportionnalité pour les champs radiaux de r-repères165
12.1 Définitions, énoncé et réduction du problème . . . . . . . . . . . . . . . 165
Zr .............
12.2 Démonstration du théorème restreint au champ 168
13 Théorème global donnant une expression de f* (c 2P (S)) et problèmes associésl 77
13.1 Énoncé et généralités . . . . . . . . . . . . . . 177
13.l.1 Énoncé du théorème 13.l. . . . . . . . . . . . . . 177
13 . 1. 2 Ch0 1. x de 1a sectl.o n Z*r assoc1. e, e a' zrra d . . . . . . . 178
13.1.3 Trivialisation locale i/!* de E; associée à i/! de E~ 178
13.1.4 Définition et propriétés de l'indice /(Z;, a) E Z 179
13.1.5 Fin de la démonstration du théorème 13. l . . . . . 180
13.2 Formules apparentées à la formule du théorème 13.1 ... 180
13.2.1 Formules introduisant les formes différentielles de Chem . 180
13.2.2 Essai négatif de comparaison entre le théorème 13.1 et le théo-
rème de Nevanlinna-Ahlfors .................... 182
III Deuxième théorème de proportionnalité et champs préra-
diaux der-repères 185
14 Problèmes relatifs au deuxième théorème de proportionnalité 187
14.0 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
14.1 Rappels. Relèvement dans le fibré de Nash Êr (W) . . . . . . . . . . . 188
14.2 Sur le deuxième théorème de proportionnalité (dit aussi théorème 14.2) 190
14.2.1 Notations. Condition (CD) et conjecture (ill) . . . . . . . . . . 190
14.2.2 Obstruction dans Êr(W) = Êr selon [St] et son expression par
des formes différentielles de Chem . . . . . . . . . . . . 192
14.2.3 Deuxième théorème de proportionnalité ou théorème 14.2 195
14.3 Introduction d'une variété Jl2P localement transverse aux strates . 196
Table des matières 9
14.3.1 Notations relatives à W2d n JV2P ................. 196
14.3.2 Applications Î et F; diagramme (14.3) .............. 197
14.3.3 Obstructions dans les fibrés de Nash relatifs à W et W n Jlf = W.
Forme faible du théorème 14.2 . . . . . . . . . 199
14.3.4 Théorème 14.3, forme faible du théorème 14.2 201
14.4 Champs préradiaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
14.4.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
14.4.2 Problème : Les classes obstructrices définies par les champs ra-
diaux peuvent-elles l'être par les champs préradiaux? ....... 205
Bibliographie 207
Index des notations 211

Préface
Les classes caractéristiques sont apparues au milieu des années 1930 comme invariants
fondamentaux des variétés algébriques projectives non singulières. En 1934, J.A. Todd
([9],[10]) introduit des combinaisons linéaires (à coefficients rationnels) à équivalence
rationnelle près d'intersections de variétés polaires et de sections planes d'une variété
projective X c pN. Ces intersections non seulement sont «invariantes » (indépendantes
du plongement projectif choisi), mais suffisent pour exprimer tous les invariants addi
tifs des variétés projectives. En particulier, J.A. Todd donne des formules qui relient les
classes définies par les variétés polaires et celles définies par les sections planes d'une
variété projective non singulières. On peut penser aux variétés polaires de la variété X
comme à des lieux critiques de projections linéaires X ~ pk assez générales.
L'ancêtre de ces formules est celle qui exprime linéairement la caractéristique d'Euler
Poincaré d'une courbe projective plane non singulière C en fonction de son degré m et de
m:
sa classe
x(C) = 2m -m.
À la même époque que J.A. Todd, E. Stiefel [8], puis H. Whitney ([12],[13]) introduisent
la notion de classes caractéristiques pour des fibrés réels sur des complexes simpliciaux.
Ils définissent ces classes caractéristiques comme classes d'obstruction à l'extension de
sections non nulles de fibrés associés au fibré donné (voir N. Steenrod [7]).
Dix ans plus tard, S.S. Chem [l] étend la notion de classe caractéristique au fibré
tangent complexe d'une variété hermitienne, donc, en particulier, à celui d'une variété
projective complexe non singulière. Surtout, il montre que ces classes peuvent être ob
tenues par des constructions de natures différentes. L'une d'elles interprète ces classes
caractéristiques à l'aide de formes différentielles associées au tenseur de courbure. L'iden
tité de cette définition et de la définition par obstruction conduit à une généralisation de la
formule de Gauss-Bonnet. Une autre définition utilise l'existence de classes d'obstruction
universelles pour le fibré tautologique d'une grassmannienne complexe, qui sont représen
tées, d'après C. Ehresmann [2], par des variétés de Schubert. Les classes caractéristiques
du fibré tangent à une variété complexe sont les images réciproques des classes caracté
ristiques universelles par un morphisme de la variété complexe dans une grassmanienne
adéquate telle que le fibré tangent à notre variété soit l'image réciproque du fibré univer
sel de la grassmanienne par ce morphisme. Dans le cas d'une variété projective complexe
non singulière plongée dans l'espace projectif pN, on peut utiliser le morphisme de Gauss
12 Préface
qui à un point de la variété associe le point de la grassmanienne correspondant à la direc
tion dans pN de l'espace tangent complexe en ce point. Les variétés de Schubert étant
algébriques et le morphisme de Gauss étant algébrique pour une variété projective com
plexe non singulière plongée, cette interprétation des classes de Chem montre qu'elles
sont représentées par des cycles algébriques. J.-P. Serre, S. Nakano et R.V Gamkrelidze
ont montré que ces cycles coïncident avec ceux définis par Todd (voir par exemple [5]).
On remarquera qu'en choisissant convenablement les variétés de Schubert, les images
inverses par le morphisme de Gauss donnent les variétés polaires de la variété.
'
CoIIlIIle Chem l'a déjà remarqué dans [1], le degré de la classe de Chem de dimen-
sion maximale qui est la caractéristique d'Euler-Poincaré de la variété s'interprète coIIlIIle
soIIlIIle des indices des zéros d'un champ de vecteurs tangent à zéros isolés. Le rappro
chement avec l'interprétation des classes de Chem au moyen de la courbure donne une
traduction du théorème de Gauss-Bonnet en théorème de Poincaré-Hopf.
Plus généralement, la théorie d'obstruction dit que, sur une variété complexe lisse
+
de dimension n, on peut construire un champ de (n - j 1)-repères du fibré tangent
complexe sans singularités sur le squelette de dimension réelle 2j - 1 d'une triangulation
convenable de la variété. La classe de Chem de degré 2j s'interprète coIIlIIle obstruction
à l'extension sans singularités d'un tel champ sur le squelette de dimension réelle 2j. Ces
obstructions s'interprètent également eh ternies de formes différentielles de transgression.
Dans les années 1950, F. Hirzebruch [3] a caractérisé les classes de Chem à l'aide
d'axiomes, l'un d'entre eux exprimant la fonctorialité des classes relativement à. un
morphisme, i.e. pour un morphisme de variétés analytiques complexes non singulières
f : X---* Y, on a f*c(Y) = c(X).
L'importance et le rôle unificateur de la théorie des classes de Chem dans le cas des
variétés complexes non singulières ont fortement incité à généraliser leur construction au
cas des variétés singulières. Mais dans ce cas, il n'y a plus ni fibré tangent, ni courbure.
Les stratifications, imaginées par R. Thom [11] et H. Whitney [14] dans les années
1960, ont permis de remplacer l'étude des champs de vecteurs tangents à une variété
lisse par des champs stratifiés, c'est-à-dire tangents aux strates. Cette approche est e~
fait insuffisante. CoIIlIIle le montre M.-H. Schwartz, le théorème de Poincaré-Hopf n'est
pas toujours vérifié pour des champs de vecteurs stratifiés ([6], § 6). La première idée
remarquable de M.-H. Schwartz est d'introduire la notion. de. chainps de repères radiaux,
en particulier de champs de vecteurs radiaux. D'une part on a: une définition intrinsèque
de l'indice pour les singularités des champs de repères radiaux, d'autre part le thébrème
de Poincaré-Hopf est valable. La seconde idée est d'utiliser la théorie des obstructions stir
une décomposition cellulaire duale d'une triangulation compatible avec la stratification.
Cela lui permet de donner dès 1965 les idées principales d'une définition des classes de
Chem pour les espaces analytiques complexes singuliers.
Le point de vue axiomatique a conduit P. Deligne et A Grothendieck àformuler une
définition de classes de Chem homologiques des variétés singulières qui possèdent des