Chapitre 6 ALGÈBRES DE BANACH ET SPECTRES

27 Pages·2005·0.36 MB·French

Chapitre 6
ALG¨BRES DE BANACH
ET
SPECTRES
Version du 5 juillet 2004
Claude Portenier ANALYSE FONCTIONNELLE 347
6.1 AlgŁbres normØes
6.1 AlgŁbres normØes
DEFINITION 1 Si F est un espace vectoriel, respectivement un espace localement convexe,
on pose
L(F) := L(F,F) et (F) := (F,F) .
L L
Si F est un espace normØ, soit (F) l(cid:146)espace (normØ) des opØrateurs bornØs dans F .
L
Rappelons que, pour T L(F) , on a T := sup Tϕ et que T (F) si, et
seulement si, T < (cf. d∈Ø(cid:222)nition 3.2.1).k. k ϕ∈F,kϕk61k k ∈ L
k k ∞
PROPOSITION Soit F un espace normØ. Pour tout S,T (F) , on a
∈ L
ST S T .
6
k k k k•k k
C(cid:146)est immØdiat (cf. 3.2).
⁄
DEFINITION 2 On dit qu(cid:146)une K-algŁbre munie d(cid:146)une norme telle que
A k•k
ab a b pour tout a,b ,
6
k k k k•k k ∈ A
est une algŁbre normØe . On dit que c(cid:146)est une algŁbre de Banach si elle est complŁte et unifŁre
si elle possŁde une unitØ e telle que e = 1 .
k k
EXEMPLE 1 Si F est un espace normØ, alors (F) est une algŁbre normØe unifŁre. C(cid:146)est
L
une algŁbre de Banach si F est un espace de Banach.
Cela dØcoule de la proposition ci-dessus et de la proposition 3.2.
⁄
EXEMPLE 2 Soit X un ensemble. Muni de la multiplication ponctuelle l(cid:146)espace ‘ (X) est
∞
une algŁbre de BanachunifŁre. Si X est un espacetopologique, alors b(X) et 0(X) sont aussi
C C
des (sous-) algŁbre de Banach. b(X) est unifŁre; il en est de mŒme de 0(X) si, et seulement
C C
si, X est compact.
EXEMPLE 3 Nousavons vu en 4.12, exercice 2, queL1(Rn) est une algŁbrede Banachpour
le produit de convolution. Elle n(cid:146)est pas unifŁre.
348 ALG¨BRES DE BANACH ET SPECTRES Claude Portenier
AlgŁbres normØes 6.1
EXERCICE On peut montrer que ‘1(Z) , muni du produit de convolution dØ(cid:222)ni pour tout
f,g ‘1(Z) par
∈
f g(k) := f (k l) g(l) pour tout k Z ,
∗ − • ∈
Xl∈Z
est une algŁbre de Banach unifŁre.
Claude Portenier ALG¨BRES DE BANACH ET SPECTRES 349
6.2 InversibilitØ dans une algŁbre de Banach
6.2 InversibilitØ dans une algŁbre de Banach
Etant donnØ un opØrateur bornØ T dans un espace de Banach F , nous allons essayer de
rØsoudre une Øquation du type
(Id T)ϕ = ψ ,
−
ψ F Øtant donnØ. On peut la mettre sous la forme
∈
Tϕ+ψ = ϕ ,
ce qui montre que ϕ F est solution de cette Øquation si, et seulement si, ϕ est un point (cid:222)xe
∈
de l(cid:146)application
Φ : ϕ Tϕ+ψ .
7−→
Si l(cid:146)on essaye d(cid:146)utiliser la mØthode des approximations successives dØ(cid:222)nie par ϕ := ψ et
0
ϕ := Φϕ = Tϕ +ψ , on voit immØdiatement par rØcurrence que
k+1 k k
k
ϕ = Tlψ .
k
l=0
X
Cela revient (cid:224) considØrer la sØrie gØomØtrique
∞
Tl
l=0
X
dans (F) , dite sØrie de Neumann .
L
1
LEMME Soient une algŁbre normØe et a . La suite ak k converge vers
inf ak 1k . A ∈ A ‡(cid:176) (cid:176) ·k∈N∗
k∈N∗ (cid:176) (cid:176)
Si a(cid:176)est(cid:176)nilpotent , i.e. an = 0 pour un certain n N , le lemme est Øvident. Nous pouvons
(cid:176) (cid:176)
∈
donc supposer que ak > 0 pour tout k N∗ . L(cid:146)entier m N∗ Øtant (cid:222)xØ, pour tout k N∗ ,
∈ ∈ ∈
il existe p(k),q(k) N univoquement dØterminØs tels que
(cid:176)∈ (cid:176)
(cid:176) (cid:176)
k = p(k) m+q(k) et 0 q(k) < m .
6
•
Il vient alors
ak am p(k) a q(k) ,
6
k k •k k
donc
(cid:176) (cid:176)
(cid:176) (cid:176)
1 p(k) q(k)
ak k 6 am k a k .
k k •k k
Ainsi
(cid:176) (cid:176)
(cid:176) (cid:176)
limsupk ak k1 6 kamkm1 ,
puisque
(cid:176) (cid:176)
(cid:176) (cid:176)
q(k) p(k) 1 q(k) 1
lim = 0 et lim = lim = .
k k k
k k m − m k m
(cid:181) • ¶
350 ALG¨BRES DE BANACH ET SPECTRES Claude Portenier
InversibilitØ dans une algŁbre de Banach 6.2
On en dØduit
limsupk ak k1 6 infmkamkm1 6 liminfk ak k1 6 limsupk ak k1 ,
d(cid:146)oø le rØsultat. (cid:176) (cid:176) (cid:176) (cid:176) (cid:176) (cid:176)
(cid:176) (cid:176) (cid:176) (cid:176) (cid:176) (cid:176) ⁄
1
DEFINITION Pour tout a , on dit que ρ(a) := inf ak k est le rayon spectral de
a . On dit que a est quasi-nilpot∈enAt si ρ(a) = 0 . k∈N∗
(cid:176) (cid:176)
(cid:176) (cid:176)
On a toujours
ρ(a) a .
6
k k
THEOREME Soient une algŁbre de Banach et a . Si ρ(a) < 1 , alors la sØrie de
A ∈ A
Neumann al est absolument convergente, donc convergente.
∞
l=1
Si est unifŁre, alors al est l(cid:146)inverse de e a dans et on a
∞
A P l=0 − A
P (e a) 1 ∞ al .
− 6
−
l=0
(cid:176) (cid:176) X(cid:176) (cid:176)
Si a < 1 , alors (cid:176) (cid:176) (cid:176) (cid:176)
k k
1
(e a) 1 .
− 6
− 1 a
−k k
(cid:176) (cid:176)
LapremiŁrepartiedØcouleimm(cid:176)Ødiatement(cid:176)ducritŁredelaracineetducritŁredeWeierstra(cid:223)
(thØorŁme 2.5.ii).
Quant (cid:224) la seconde, on a
k k
(e a) al = al (e a) = e ak+1
− • • − −
ˆ !
l=0 l=0
X X
et lim ak = 0 , puisque la sØrie al est absolument convergente, donc lim ak = 0 .
k ∞l=0 k
Finalement on a
(cid:176) (cid:176) P
(cid:176) (cid:176) ∞ ∞ ∞ 1
(e a) 1 = al al a l = ,
− 6 6
− (cid:176) (cid:176) k k 1 a
(cid:176) (cid:176) (cid:176)Xl=0 (cid:176) Xl=0 (cid:176) (cid:176) Xl=0 −k k
(cid:176) (cid:176)
si a < 1 . (cid:176) (cid:176) (cid:176) (cid:176)
(cid:176) (cid:176) ⁄
k k (cid:176) (cid:176)
REMARQUE Nous avons remarquØ que la condition ρ(a) < 1 entra(cid:238)ne lim ak = 0 .
k
Dire que a est quasi-nilpotent est une condition Øvidemment plus forte, puisqu(cid:146)on a
(cid:176) (cid:176)
1 (cid:176) (cid:176)
ρ(a) = lim ak k = 0 .
k
Voici un exemple d(cid:146)un tel opØrateur.
(cid:176) (cid:176)
(cid:176) (cid:176)
EXEMPLE (OpØrateur intØgral de Volterra) Soient [a,b] un intervalle de R et κ une
fonction continue dØ(cid:222)nie sur le triangle fermØ infØrieur
D := (x,y) [a,b]2 y x .
6
∈
En prolongeant κ par 0 sur [a,b]2 , n'ous savons queflce noy“au satisfait aux conditions (a)-(d)
fl
de 3.3, cas gØnØral (cf. exercice 3.3.2), donc dØ(cid:222)ni un opØrateur bornØ K dans ([a,b]) . Il est
C
quasi-nilpotent.
Claude Portenier ALG¨BRES DE BANACH ET SPECTRES 351
6.2 InversibilitØ dans une algŁbre de Banach
Montrons par rØcurrence que, pour tout ϕ ([a,b]) , k N et x [a,b] , on a
∈ C ∈ ∈
(x a)k
Kkϕ(x) 6 κ k ϕ − .
k k •k k • k!
∞ ∞
Cette inØgalitØ est Øvidente pflour k =fl0 et on a
fl fl
x x (y a)k
Kk+1ϕ(x) = κ(x,y) Kkϕ(y) dy 6 κ k+1 ϕ − dy =
• k k •k k • k!
flZa fl ∞ ∞ Za
fl fl fl fl
fl fl fl fl (x a)k+1
fl = κ k+1 ϕ fl − ,
k k •k k • (k +1)!
∞ ∞
ce qu(cid:146)il fallait dØmontrer. Ainsi
1
Kk 6 κ k (b a)k ,
k! •k k • −
∞
et par suite (cid:176) (cid:176)
(cid:176) (cid:176)
1 κ (b a)
ρ(K) = inf Kk k = inf k k • − = 0 .
k k ∞ 1
(k!)k
(cid:176) (cid:176)
Ceci montre que K est quasi-nilpote(cid:176)nt. (cid:176) ⁄
Pour tout ψ ([a,b]) , l(cid:146)Øquation
∈ C
x
ϕ(x) = κ(x,y) ϕ(y) dy +ψ(x) pour x [a,b]
• ∈
Za
s(cid:146)appelle l(cid:146)Øquation intØgrale de Volterra .
Le thØorŁme montre donc que cette Øquation possŁde une unique solution ϕ donnØe par la
formule
∞ ∞
ϕ = (Id K) 1ψ = Kl ψ = Klψ;
−
−
ˆ !
l=0 l=0
X X
la derniŁre sØrie converge dans ([a,b]) , c(cid:146)est-(cid:224)-dire uniformØment sur [a,b] .
C
Comme (Id K) 1 est un opØrateur bornØ, la solution ϕ dØpend continßment de ψ .
−
−
352 ALG¨BRES DE BANACH ET SPECTRES Claude Portenier
Le spectre dans une algŁbre de Banach unifŁre 6.3
6.3 Le spectre dans une algŁbre de Banach unifŁre
PROPOSITION Soit une algŁbre de Banach unifŁre. Le groupe G( ) des ØlØments in-
A A
versibles de est ouvert et l(cid:146)application
A
a a−1 : G( )
7−→ A −→ A
est continue.
Soit b G( ) . Pour tout a , on a alors
∈ A ∈ A
a = b (b a) = b e b 1(b a) .
−
− − − −
Si ka−bk < kb−11k , alors e−b−1(b−a) ∈ G(A)£par le thØorŁm⁄e 6.2, donc a ∈ G(A) et on a
a 1 = ∞ b 1(b a) l b 1 = b 1 + ∞ b 1(b a) lb 1 .
− − − − − −
− −
ˆ !
l=0 l=1
X£ ⁄ X£ ⁄
Ceci montre que la boule ouverte de centre b et de rayon 1 est contenue dans G( ) . Cet
ensemble est donc ouvert et on a kb−1k A
a−1 b−1 6 ∞ b−1(b a) lb−1 6 ∞ b−1 l+1 b a l = kb−1k2 •kb−ak ,
− − •k − k 1 b 1 b a
(cid:176) (cid:176) −
(cid:176) (cid:176) (cid:176)Xl=1 £ ⁄ (cid:176) Xl=1 (cid:176) (cid:176) −k k•k − k
(cid:176) (cid:176)
ce q(cid:176)ui prouve l(cid:176)a con(cid:176)tinuitØ de a a−1(cid:176)en b . (cid:176) (cid:176) ⁄
(cid:176) 7−→ (cid:176)
REMARQUE 1 Ce thØorŁme est utilisØ en pratique de la maniŁre suivante :
Soit a .Si l(cid:146)onsait queaest inversible, maissile calculde soninversen(cid:146)est paspossible
∈ A
directement, on essaye de trouver une suite (a ) d(cid:146)ØlØments bien connus qui converge
k k N ⊂ A
vers a . Alors, pour tout k assez grand, l(cid:146)ØlØment∈a est inversible et
k
a 1 = lim a 1 .
− k −k
DEFINITION 1 Soient F un espace de Banach et (c ) F . On dit que
k k N ⊂
∈
∞ ∞
wl c = c wl
l l
• •
l=0 l=0
X X
est une sØrie (formelle) entiŁre dans F . Si Z est un ouvert de K , on dit qu(cid:146)une fonction
f : Z F est analytique dans Z si f est dØveloppable en une sØrie entiŁre convergente au
−→
voisinage de chaque point z Z , i.e. s(cid:146)il existe r > 0 et (c ) F tels que
∈ k k N ⊂
∈
∞
f (z +w) = c wl si w < r .
l
• | |
l=0
X
OntrouveradanslelivredeJ.DieudonnØ[6],chapitreIX,touteslesinformationsnØcessaires
sur la thØorie des fonctions analytiques (cid:224) valeurs dans un espace de Banach.
Claude Portenier ALG¨BRES DE BANACH ET SPECTRES 353
6.3 Le spectre dans une algŁbre de Banach unifŁre
DEFINITION 2 Soient une algŁbre de Banach unifŁre et a . On dit que λ K est
A ∈ A ∈
une valeur spectrale de a (par rapport (cid:224) ) si a λ e n(cid:146)est pas inversible dans . On dØsigne
A − • A
par Spa (ou Sp a ) l(cid:146)ensemble des valeurs spectrales de a et on dit que c(cid:146)est le spectre de a
(dans ). A
A
REMARQUE 2 Pour tout α K , on a
∈
Sp(a+α e) = Spa+α .
•
En effet λ Sp(a+α e) est Øquivalent (cid:224) ce que a+α e λ e = a (λ α) e ne soit
∈ • • − • − − •
pas inversible, donc (cid:224) λ α Spa , i.e. λ Spa+α .
⁄
− ∈ ∈
THEOREME Soient une algŁbre de Banach unifŁre et a . Alors Spa est fermØ,
A ∈ A
l(cid:146)application
R : KrSpa : z (a z e)−1 ,
−→ A 7−→ − •
dite rØsolvente de a , est analytique et Spa est contenu dans le disque de centre 0 et de rayon
ρ(a) . En particulier Spa est compact.
Si K = C , alors Spa = et
6 ∅
ρ(a) = max λ .
λ Spa
∈ | |
Soit z / Spa . Pour tout w K tel que w < 1 , l(cid:146)ØlØment
∈ ∈ | | R(z)
k k
a (z +w) e = (a z e)[e w R(z)]
− • − • − •
est inversible par le thØorŁme 6.2 et on a
∞ ∞
R(z +w) = [e w R(z)] 1(a z e) 1 = [w R(z)]l R(z) = R(z)l+1 wl ,
− −
− • − • • •
ˆ !
l=0 l=0
X X
ce qui montre que K r Spa est ouvert et prouve l(cid:146)analyticitØ de R . Si z > ρ(a) , i.e.
| |
ρ 1 a < 1 , le thØorŁme 6.2 montre que a z e = z e 1 a est inversible.
z • − • − • − z •
Si maintenant K = C et z > a , on a
¡ ¢ | | k k ¡ ¢
1
1 1 − 1 ∞ 1
R(z) = e a = al , ( )
−z • − z • −z • • zl ∗
(cid:181) ¶ l=0
X
donc
1 ∞ a l 1 1
R(z) 6 k k = .
k k z • z z • 1 a
| | Xl=0 (cid:181) | | ¶ | | − k|z|k
Ceci montre que R tend vers 0 (cid:224) l(cid:146)in(cid:222)ni. Si Spa = , la fonction R est analytique et bornØe sur
∅
C , donc constante par le thØorŁme de Liouville (DieudonnØ [6], thØorŁme 9.11.1). La fonction
R est donc identiquement nulle, ce qui est absurde, puisqu(cid:146)on a
e = aR(0) = 0 .
D(cid:146)autre part la fonction
1 1
Q : z R : Cr ,
7−→ z Spa −→ A
(cid:181) ¶
354 ALG¨BRES DE BANACH ET SPECTRES Claude Portenier
Le spectre dans une algŁbre de Banach unifŁre 6.3
en ayant posØ Q(0) = R( ) = 0 , est analytique et son dØveloppement en 0 est
∞
∞
Q(z) = al zl+1
− •
l=0
X
par la formule ( ) . D(cid:146)aprŁs la formule d(cid:146)Hadamard, le rayon de convergence de cette sØrie est
∗
1 1
= .
1 ρ(a)
limsup ak k
kk k
Mais en appliquant le thØorŁme 9.9.4 de DieudonnØ [6], on obtient
1 1 1 1 1
d 0, = inf 0 = ,
> λ Spa >
ρ(a) Spa ∈ − λ sup λ ρ(a)
(cid:181) ¶ flfl flfl λ∈Spa| |
donc
fl fl
fl fl
ρ(a) = sup λ = max λ ,
λ∈Spa| | λ∈Spa| |
puisque Spa est compact.
⁄
COROLLAIRE (Gelfand-Mazur) Si K = C et est un corps, alors = C e C .
A A • ’
Soit a . Il existe donc λ Spa , i.e. a λ e n(cid:146)est pas inversible. Comme est un
∈ A ∈ − • A
corps, on doit avoir a λ e = 0 , donc a = λ e C e . L(cid:146)application λ λ e : C
− • • ∈ • 7−→ • −→ A
est donc bijective et c(cid:146)est Øvidemment une isomØtrie.
⁄
EXEMPLE 1 Soit X un espace compact. Montrer que, pour tout f (X) , on a Spf =
∈ C
f (X) .
Il suffit de remarquer que, pour z K , la fonction f z 1 est inversible, si, et seulement
∈ − •
si, f z 1 = 0 partout, i.e. z / f (X) .
⁄
− • 6 ∈
EXEMPLE 2 Soit une algŁbre unifŁre. Pour tout a,b , on a
A ∈ A
Sp(ab)r 0 = Sp(ba)r 0 .
{ } { }
Par symØtrie, il suffit de prouver l(cid:146)inclusion Sp(ab)r 0 Sp(ba)r 0 , c(cid:146)est-(cid:224)-dire que
{ } ⊂ { }
si pour z C∗ , l(cid:146)ØlØment ba z e est inversible, il en est de mŒme de ab z e . Posons
c := (ba ∈z e) 1 . On a alors− • − •
−
− •
(ab z e)(acb e) = a(bac)b ab z acb+z e = a([ba z e]c)b ab+z e = z e
− • − − − • • − • − • •
et de mŒme
(acb e)(ab z e) = z e ,
− − • •
ce qui prouve notre assertion.
⁄
Claude Portenier ALG¨BRES DE BANACH ET SPECTRES 355
6.4 Transformation de Gelfand
6.4 Transformation de Gelfand
DEFINITION 1 Soit une algŁbre commutative. On dit qu(cid:146)une forme linØaire
A
χ : K
A −→
est un caractŁre (de ) si
A
χ ab = χ a χ b pour tout a,b .
h | i h | i•h | i ∈ A
L(cid:146)ensemble Sp des caractŁres = 0 de s(cid:146)appelle le spectre de .
∗
A ⊂ A 6 A A
Un caractŁre est donc un vecteur bra χ . Puisque nous considØrons essentiellement la
h |
semi-dualitØ ~ , nous utiliserons aussi les vecteurs ket χ , qui sont des caractŁres semi-
hA|A i | i
linØaires. Ainsi suivant les cas nous aurons Sp = Sp ou bien Sp = Sp
0 (cid:134)
A h A| ⊂ A A | Ai ⊂ A
(cf. exemple 3.4.2).
REMARQUE 1 Si est unifŁre et si χ e = 0 , on a
A h | i
χ a = χ ae = χ a χ e = 0 ,
h | i h | i h | i•h | i
donc χ = 0 . Par suite si χ Sp , on a
∈ A
χ e = χ ee = χ e χ e ,
h | i h | i h | i•h | i
donc
χ e = 1 .
h | i
DEFINITION 2 Soit unealgŁbrecommutativeunifŁre.Onditqu(cid:146)unsous-espacevectoriel
A
I de est un idØal si I I . Il est dit maximal si e / I , i.e. I = , et si pour tout idØal J
A A ⊂ ∈ 6 A
tel que e / J I , on a I = J .
∈ ⊃
REMARQUE 2 Si χ est un caractŁre, alors Kerχ est un idØal maximal.
En effet Kerχ est un idØal, puisque
χ ab = χ a χ b = 0 pour tout a et b Kerχ .
h | i h | i•h | i ∈ A ∈
On a Øvidemment e / Kerχ . Ce noyau Øtant de codimension 1 , c(cid:146)est un idØal maximal.
⁄
∈
REMARQUE 3 Si I est un idØal, alors /I est une algŁbre. Si I est maximal, alors /I
A A
est un corps.
Rappelons que la multiplication dans /I est dØ(cid:222)nie par [a][b] := [ab] , ceci ne dØpendant
A
Øvidemment pas du choix des reprØsentants. Montrons la seconde assertion. Si [c] /Ir 0 ,
∈ A { }
on a c / I , donc c+I est un idØal contenant et diffØrent de I; cet idØal est donc Øgal (cid:224) ,
∈ A A
d(cid:146)oø l(cid:146)on tire e = ac+b pour certains a et b I . Ainsi [e] = [a][c] , ce qui montre que [c]
∈ A ∈
est inversible.
⁄
356 ALG¨BRES DE BANACH ET SPECTRES Claude Portenier