Chapitre 3 :Algèbre de Boole - Amrouche

16 Pages·2008·0.12 MB·French

1. Introduction
Chapitre 3 :Algèbre de Boole
• Les machines numériques sont constituées d’un ensemble
de circuitsélectroniques.
• Chaque circuit fournit une fonction logiquebien déterminée (
addition, comparaison ,….).
•Définition des variables et fonctions logiques
A
F(A,B)
•Les opérateurs de base et les portes logiques . Circuit
•Les lois fondamentales de l’algèbre de Boole B
La fonction F(A,B) peut être : la somme de A et B , ou le
résultat de la comparaison de A et B ou une autre fonction
1 2
2. Algèbre de Boole
• George Boole est un mathématicien anglais ( 1815-1864).
• Pour concevoir et réaliserce circuit on doit avoir
• Il a fait des travaux dont les quels les fonctions( expressions
un modèle mathématique de la fonctionréalisée ) sont constitués par des variablesqui peuvent prendre les
par ce circuit . valeurs ‘OUI’ou ‘NON’.
• Ces travaux ont étéutilisés pour faire l’étude des systèmes
• Ce modèle doit prendre en considération le qui possèdent deux états s’exclus mutuellement :
système binaire. – Le système peut être uniquement dans deux étatsE1 et
E2 tel que E1 est l’opposéde E2.
– Le système ne peut pas êtredans l’état E1 et E2 en même
• Le modèle mathématique utiliséest celui de temps
Boole.
• Ces travaux sont bien adaptésau Système binaire( 0 et 1 ).
3 4
3. Définitions et conventions
Exemple de systèmes à deux états
3.1. Niveau logique:Lorsque on fait l’étude d’un
• Un interrupteur est ouvert ou non ouvert ( fermé) système logique il faut bien préciser le niveau du
• Une lampe est allumée ou non allumée ( éteinte ) travail.
• Une porte est ouverte ou non ouverte ( fermée )
Niveau Logique positive Logique négative
• Remarque :
H ( Hight) haut 1 0
On peut utiliser les conventions suivantes :
L ( Low) bas 0 1
OUI (cid:1) VRAI ( true)
NON (cid:1) FAUX ( false) Exemple :
Logique positive :
lampe allumée : 1
OUI (cid:1) 1 ( Niveau Haut ) lampe éteinte : 0
NON (cid:1) 0 ( Niveau Bas ) Logique négative
lampe allumée : 0
5 lampe éteinte : 1 6
1
3.3. Fonction logique
3.2. Variable logique ( booléenne)
• C’est une fonction qui relie N variables logiquesavec
• Une variable logique ( booléenne) est une variable qui
un ensemble d’opérateurs logiquesde base.
peut prendre soit la valeur 0 ou 1 .
• Généralement elle est exprimée par un seul caractère
alphabétique en majuscule( A , B, S , …) • Dans l’Algèbre de Boole il existe trois opérateurs de
base : NON , ET , OU.
• Exemple :
• La valeur d’une fonction logique est égale à1 ou 0
(cid:2) Une lampe : allumée L = 1 selon les valeurs des variables logiques.
éteinte L = 0
– Premier interrupteur ouvert : I1 =1 • Si une fonction logique possède N variableslogiques
fermé: I1 =0 (cid:1)2ncombinaisons (cid:1)la fonction possède 2nvaleurs.
– 2éme interrupteur ouvert : I2=1 • Les 2ncombinaisons sont représentées dans une table
fermé: I2=0
qui s’appelle table de vérité ( TV ).
7 8
Exemple d’une fonction logique 4. Opérateurs logiques de base
F(A,B,C)=A.B.C+A.B.C+A.B.C+A.B.C 4.1 NON ( négation )
La fonction possède 3 variables (cid:1)23combinaisons
• NON: est un opérateur unaire( une seule variable) qui à
F(0,0,0)=0.0.0+0.0.0+0.0.0+0.0.0=0 pour rôle d’inverserla valeur d’une variable .
F(0,0,1)=0.0.1+0.0.1+0.0.1+0.0.1=1
F(0,1,0)=0.1.0+0.1.0+0.1.0+0.1.0=0 A B C F F(A)= NonA = A
F(0,1,1)=0.1.1+0.1.1+0.1.1+0.1.1=1 0 0 0 0 ( lire : A barre )
0 0 1 1
F(1,0,0)=1.0.0+1.0.0+1.0.0+1.0.0=0 0 1 0 0
A
F(1,0,1)=1.0.1+1.0.1+1.0.1+1.0.1=1 0 1 1 1
F(1,1,0)=1.1.0+1.1.0+1.1.0+1.1.0=0 1 0 0 0 0 1
1 0 1 1
F(1,1,1)=1.1.1+1.1.1+1.1.1+1.1.1=1
1 1 0 0
1 0
1 1 1 1
Une table de vérité 9 10
4.3 OU ( OR )
4.2 ET ( AND )
• Le OUest un opérateur binaire ( deux variables) , àpour
• Le ETest un opérateur binaire ( deux variables) , à
rôle de réaliser la somme logique entre deux variables
pour rôle de réaliser le Produit logique entre deux
logiques.
variables booléennes.
• Le ETfait laconjonction entre deux variables. • Le OU fait ladisjonction entre deux variables.
• Le OU est défini parF(A,B)= A +B ( il ne faut pas
.
confondre avec la somme arithmétique)
• Le ET est défini par: F(A,B)= A B
A B A .B A B A + B
0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 1
1 1 1
11 12
2
4.4 Précédence des opérateurs ( prioritédes opérateurs )
Remarques
• Pour évaluer une expression logique ( fonction logique) :
• Dans la définition des opérateurs ET , OU , nous avons – on commence par évaluer les sous expressions entre les
juste donner la définition de base avec deux variables parenthèses.
logiques. – puis le complément ( NON ) ,
– en suite le produitlogique ( ET )
– enfin la sommelogique ( OU)
• L’opérateur ET peut réaliser le produit de plusieurs
Exemple :
variableslogique ( ex : A . B . C . D ).
F(A, B,C) = (A . B) . ( C+B) + A.B.C
si on veut calculer F(0,1,1) alors :
• L’opérateur OU peut aussi réaliser la somme logique de
F(0,1,1) =(0.1)(1+1) +0.1.1
plusieurs variableslogiques ( ex : A + B + C +D).
F(0,1,1) = (0 ) (1 ) + 0.0.1
F(0,1,1) = 1.1 +0.0.1
• Dans une expression on peut aussi utiliser les
F(0,1,1) = 1 + 0
parenthèses.
F(0,1,1) = 1
Exercice :
13 Trouver la table de véritéde la fonction précédente ? 14
Solution
4.5 Lois fondamentales de l’Algèbre de Boole
•Pour trouver la table de vérité, il faut trouver la valeur de la fonction F
pour chaque combinaisons des trois variables A, B , C
•3 variables (cid:1)2 3 = 8 combinaisons
•L’opérateur NON
F(A,B,C)= (A . B) . ( C+B) + A.B.C A B C F
0 0 0 0 A = A
F(0,0,0)= ( 0. 0) .(0+0)+ 0 . 0 .0 =0 0 0 1 1
F(0,0,1)= ( 0. 0) .(1+0)+ 0 . 0 .1 = 1 0 1 0 1 A + A = 1
F(0,1,0)= ( 0. 1) .(0+1)+ 0 . 1 .0 = 1
0 1 1 1
F(0,1,1)= ( 0. 1) .(1+1)+ 0 . 1 .1 = 1 =
1 0 0 0 A . A 0
F(1,0,0)= ( 1. 0) .(0+0)+ 1 . 0 .0 = 0
F(1,0,1)= ( 1. 0) .(1+0)+ 1 . 0 .1 =1 1 0 1 1
F(1,1,0)= ( 1. 1) .(0+1)+ 1 . 1 .0 = 0 1 1 0 0
F(1,1,1)= ( 1. 1) .(1+1)+ 1 . 1 .1 = 0 1 1 1 0
15 16
•L’opérateur ET •L’opérateur OU
(A.B).C= A.(B.C)= A.B.C Associativité (A+B)+C=A+(B+C)= A+B+C Associativité
A.B=B.A Commutativité A+B=B+A Commutativité
A.A= A Idempotence A+A=A Idempotence
A+0=A Elément neutre
A.1= A Elément neutre
A+1=1 Elément absorbant
A.0=0 Elément absorbant
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3
•Distributivité
5. Dualité de l’algèbre de Boole
A . ( B +C )=( A . B )+( A . C ) Distributivité du ET sur le OU
• Toute expression logique reste vraissi on remplace le ET
A+( B . C )=(A+B).(A+C) Distributivité du OU sur le ET par le OU , leOU par le ET , le 1 par 0 , le 0 par 1.
•Autres relations utiles • Exemple :
A + ( A . B ) = A A + 1 = 1 fi A . 0 = 0
A. ( A + B) = A
A + A = 1 fi A . A = 0
(A + B) . (A + B) = A
A + A . B = A + B
19 20
6.1 Généralisation du Théorème DE-
6. Théorème de DE-MORGANE
MORGANE àN variables
•La sommelogique complimentéede deux variables est
égale au produitdes complémentsdes deux variables.
+ =
A B A . B = + + +
A.B.C...... A B C ..........
• Le produitlogique complimentéde deux variables est A+ B +C +...........= A.B.C......
égale au sommelogique des complémentsdes deux
variables.
= +
A . B A B
21 22
7. Autres opérateurs logiques
7.2 NAND ( NON ET )
7.1 OU exclusif ( XOR)
F(A,B)= A¯ B F(A,B)=A . B
F(A,B)= A› B
A¯ B= A.B+ A.B
23 24
4
7.4 NAND et NOR sont des opérateurs
7.3 NOR ( NON OU )
universels
F(A,B) = A +B • En utilisant les NAND et les NOR on peut
exprimern’importe qu’elle expression ( fonction )
F(A,B)= Afl B logique.
• Pour cela , Il suffit d’exprimer les opérateurs de
base( NON , ET , OU ) avec des NAND et des
NOR.
25 26
7.4.1 Réalisation des opérateurs de base
Exercice
avec des NOR
• Exprimer le NON , ET , OU en utilisant
des NAND ?
A=A+A=Afl A
A+B=A+B=Afl B=(Afl B)fl (Afl B)
A.B=A.B=A+B=Afl B=(Afl A)fl (Bfl B)
27 28
7.4.3 Propriétés des opérateurs NAND et 8. Portes logiques
NOR
Une porte logique est un circuit électronique élémentaire qui
Permet de réaliser la fonction d’un opérateur logique de base.
A› 0=1 Afl 0= A
A› 1= A Afl 1=0 A A
A› B=B› A Afl B=Bfl A
(A› B)› C„ A› (B› C) (Afl B)fl C„ Afl (Bfl C)
29 30
5
8.1 Schéma d’un circuit logique ( Logigramme)
A› B Afl B
•C’est la traduction de la fonction logique en un schéma électronique.
•Le principe consiste àremplacer chaque opérateur logiquepar la porte
logiquequi lui correspond.
A¯ B
Exemple1
F(A,B,C)=A.B+B.C
Remarque :
•Les portes ET , OU , NAND , NOR peuvent avoir plus
que deux entrées
•Il n’existe pasde OU exclusif àplus de deux entrées
31 32
Exercice 1
Exemple 2
• Donner le logigrammedes fonctions suivantes :
F(A,B,C,D)= (A + B ) . ( B +C + D ) .A
F(A,B)=A.B+A.B
F(A,B,C) =(A+B).(A+C).(B +C)
F(A,B,C) = (A . B) . ( C+B) + A.B.C
33 34
Exercice 2 :Donner l’équation de F ?
Définition textuelle d’une fonction
logique , table de vérité , formes
algébriques , simplification
algébrique, table de Karnaugh
35 36
6
Exemple : définition textuelle du fonctionnement
1. Définition textuelle d’une fonction logique d’un système
• Une serrurede sécurités’ouvre en fonction de trois clés.
• Généralement la définition du fonctionnement d’un Le fonctionnement de la serrure est définie comme suite :
système est donnée sous un format textuelle.
– La serrure est ouverte si au moins deux clés sont
• Pour faire l’étude et la réalisationd’un tel système on utilisées.
doit avoir son modèle mathématique (fonction logique).
– La serrure reste fermée dans les autres cas .
• Donc il faut tirer ( déduire )la fonction logiquea partir de
la description textuelle.
Donner la schéma du circuit qui permet de contrôler
l’ouverture de la serrure ?
37 38
Étapes de conception et de réalisation d’un circuit
Si on reprend l’exemple de la serrure :
numérique
– Le système possède trois entrées : chaque entrée
représente une clé.
• Pour faire l’étude et la réalisation d’un circuit il faut – On va correspondre àchaque cléune variable logique: clé
suivre le étapes suivantes : 1 (cid:1)A , la clé2 (cid:1) B , la clé3 (cid:1)C
• Si la clé1 est utilisée alors la variable A=1 sinon A =0
• Si la clé2 est utilisée alors la variable B=1 sinon B =0
1. Il faut bien comprendre le fonctionnement du système.
• Si la clé3 est utilisée alors la variable C=1 sinon C =0
2. Il faut définir les variables d’entrée.
3. Il faut définir les variables de sortie.
– Le système possède une seule sortiequi correspond à
4. Etablir la table de vérité.
l’état de la serrure ( ouverte ou fermé).
5. Ecrire les équations algébriques des sorties ( àpartir de la
– On va correspondre une variable S pour designer la sortie :
table de vérité).
• S=1 si la serrure est ouverte ,
6. Effectuer des simplifications ( algébrique ou par Karnaugh).
• S=0 si elle est fermée
7. Faire le schéma avec un minimum de portes logiques.
39 40
S=F(A,B,C)
2. Table de vérité ( Rappel )
F(A,B,C)= 1 si au mois deux clés sont introduites
F(A,B,C)=0 si non .
• Si une fonction logique possède N variables
A logiques (cid:1)2ncombinaisons (cid:1)la fonction
B Circuit S=F(A,B,C) possède 2nvaleurs.
C
• Les 2ncombinaisons sont représentées dans
une table qui s’appelle table de vérité.
RReemmaarrqquuee ::
Il est important de préciser aussi le niveau logique avec lequel on travail
( logique positive ou négative ).
41 42
7
2.3 Extraction de la fonction logique àpartir
2. Table de vérité( Exemple )
de la T.V
A B C S • F = somme min termes
0 0 0 0 A+B+C : max terme
0 0 1 0 A+B+C : max terme F(A,B,C)=A . B . C + A . B . C +A . B . C +A . B . C
0 1 0 0 A+B+C : max terme
0 1 1 1 A . B . C : min terme
•F = produit des max termes
1 0 0 0 A+B+C : max terme
1 0 1 1 A . B . C : min terme
1 1 0 1 A . B . C : min terme F(A,B,C)=( A+B+C) (A+B+C)(A+B+C) (A+B+C)
1 1 1 1 A . B . C : min terme
43 44
3. Forme canonique d’une fonction logique 3.1 Première forme canonique
• On appel forme canoniqued’une fonction la forme ou
chaque termede la fonction comportent toutes les • Première forme canonique(forme disjonctive) : somme de
variables. produits
• C’est la somme des min termes.
• Une disjonction de conjonctions.
• Exemple :
• Exemple :
F(A, B, C) = AB C + ACB + ABC
F(A,B,C)=A . B . C + A . B . C +A . B . C +A . B . C
Il existent plusieurs formes canoniques : les plus utilisées
•Cette forme est la forme la plus utilisée.
sont la première et la deuxième forme .
45 46
3.2 Deuxième forme canonique Remarque 1
• Deuxième forme canonique(conjonctive): produit de • On peut toujours ramener n’importequ’elle fonction
logique àl’une des formes canoniques.
sommes
• Le produit des max termes
• Cela revient àrajouter les variables manquants dans les
• Conjonction de disjonctions termes qui ne contiennentpas toutes les variables ( les
termes non canoniques ).
• Exemple :
• Cela est possible en utilisant les règles de l’algèbre de
Boole :
F(A,B,C)=( A+B+C) (A+B+C)(A+B+C) (A+B+C)
– Multiplier un terme avec une expression qui vaut 1
– Additionner àun terme avec une expression qui vaut 0
– Par la suite faire la distribution
La première et la deuxièmeforme canonique sont
équivalentes.
47 48
8
Exemple : Remarque 2
1. F(A, B) = A + B • Il existe une autre représentation des formes canoniques
= A (B + B) + B( A+ A) d’une fonction , cette représentation est appelée forme
numérique.
= AB + AB + AB + AB
• R : pour indiquer la forme disjonctive
= AB + AB + AB
• P : pour indiquer la forme conjonctive.
Exemple :si on prend une fonction avec 3 variables
2. F(A, B,C) = AB +C
= AB(C + C) + C( A+A) R( 2,4,6)= ∑(2,4,6)= R( 010,100,110)= ABC + ABC+ABC
= ABC + ABC + AC + AC
= ABC + ABC + AC(B +B)+ AC (B+B) P(0,1,3,5,7) =(cid:213) (0,1,3,5,7) =P(000,001,011,101,111)
= ABC + ABC + ABC + ABC + ABC +ABC
= (A+B+C)(A+B+C) (A +B +C ) (A+B+C ) (A+B+C)
= ABC + ABC + ABC + A B C + A B C
49 50
Remarque 3 : déterminer F Exercice 1
A B C F F • Déterminer la première , la deuxième forme canonique et
la fonction inverse àpartir de la TV suivante ? Tracer le
0 0 0 0 1
logigrammede la fonction ?
0 0 1 0 1
0 1 0 0 1 A B F
0 1 1 1 0 0 0 0
1 0 0 0 1
0 1 1
1 0 1 1 0
1 0 1
1 1 0 1 0
1 1 0
1 1 1 1 0
F = A.B.C + A.B.C + A.B.C + A.B.C
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Exercice 3
Exercice 2
Un jury composéde 4 membres pose une question àun joueur, qui à
son tour donne une réponse. Chaque membre du jury positionne son
• Faire le même travail avec la T.V suivante : interrupteur à" 1 " lorsqu'il estime que la réponse donnée par le
joueur est juste (avis favorable ) et à" 0 " dans le cas contraire (avis
défavorable ). On traite la réponse de telle façon àpositionner :
A B C S • Une variable succès (S=1) lorsque la décision de la majoritédes
0 0 0 0 membres de jury est favorable,
• une variable Échec (E=1) lorsque la décision de la majoritédes
0 0 1 1
membres de jury est défavorable
0 1 0 1 • et une variable Égalité(N=1) lorsqu’il y a autant d'avis favorables que
0 1 1 1 d'avis défavorables.
1 0 0 0
Question :
1 0 1 1 a./Déduire une table de véritépour le problème,
1 1 0 1 b./Donner les équations de S, E,
1 1 1 1 c./En déduire l’équation de N,
53 54
9
4. Simplification des fonctions logiques
• L’objectif de la simplification des fonctions logiques est de :
– réduire le nombre de termesdans une fonction
– et de réduire le nombre de variablesdans un terme
4. Simplification des fonctions
logiques
• Cela afin de réduire le nombre de portes logiquesutilisées
(cid:1)réduire le coût du circuit
• Plusieurs méthodes existent pour la simplification :
– La Méthode algébrique
– Les Méthodes graphiques : ( ex : table de karnaugh)
– Les méthodes programmables
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5. Méthode algébrique
5.1 Règles de simplification
• Le principe consiste àappliquer lesrèglesde l’algèbre de
Booleafin d’éliminer des variables ou des termes. • Règles 1: regrouper des termes àl’aide des règles
précédentes
• Mais il n’y a pas une démarche bien spécifique.
• Voici quelques règles les plus utilisées :
• Exemple
A . B + A . B = B ABC + AB C + ABCD = AB (C + C) + ABCD
A + A . B = A = AB + ABCD
A + A . B = A + B = A ( B + B (CD))
( A + B) ( A + B) = A = A ( B + CD)
A . ( A + B) = A = AB + ACD
A . (A + B) = A . B
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• Règles 3 :il est possible de supprimer un terme
• Règles 2 :Rajouter un terme déjàexistant àune expression
superflu( un terme en plus ), c’est-à-dire déjà
inclus dans la réunion des autres termes.
• Exemple :
• Exemple 1 :
A B C + ABC + ABC+ ABC =
ABC + ABC + ABC + ABC + ABC + ABC = F(A, B,C) = A B + BC + AC = AB + BC + AC ( B+B)
BC + AC + AB = AB + BC + ACB + ABC
= AB ( 1 + C) + BC (1 + A)
= AB + BC
59 60
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