Caratteri numerici delle algebre graduate Giuseppe Valla

51 Pages·2003·0.1 MB·Italian

Caratteri numerici delle algebre graduate
Giuseppe Valla
Universita‘ di Genova
Oggetto di studio
Algebre del tipo
A = k[X ; : : : ; X ]=I
1 n
I ideale omogeneo di R = k[X ; : : : ; X ],
1 n
k un corpo algebricamente chiuso e di
caratteristica zero.
Tali sono gli anelli delle coordinate delle
varieta‘ algebriche proiettive.
1
Finalita‘
Si vogliono studiare certi caratteri numerici
di tali algebre e, nel caso, il loro signiflcato
geometrico.
2
Finalita‘
Si vogliono studiare certi caratteri numerici
di tali algebre e, nel caso, il loro signiflcato
geometrico.
Ad esempio la dimensione di Krull di A e’
dim V + 1
ove V e’ la corrispondente varieta‘ deflnita
dall’ideale I:
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Funzione di Hilbert
Data la azione di un gruppo sulle forme lineari di R,
Hilbert voleva capire come la dimensione dello spazio
vettoriale delle forme invarianti di grado t varia con t:
In generale si deve studiare la dimensione dello spazio
vettoriale su k costituito dalle forme di grado t che
stanno in I: Meglio ancora la sua codimensione nello
spazio di tutte le forme di grado t in R:
H (t) := dim R dim I :
A k t k t
¡
Questa e’ per deflnizione la Funzione di Hilbert di A:
4
Esempi
1) Se I = (0) si ha A = R e quindi
n + t 1
H (t) = ¡ :
R
t
(cid:181) ¶
2) Se I = (F ), con deg(F ) = d;
H (t) = H (t) H (t d) =
R=I R R
¡ ¡
n + t 1 n + t d 1
= ¡ ¡ ¡ :
t ¡ t d
(cid:181) ¶ (cid:181) ¡ ¶
5
La serie di Hilbert.
Molto piu’ conveniente e signiflcativo e’ studiare la
funzione generatrice di questa funzione numerica. Tale
serie si chiama la Serie di Hilbert di A e per deflnizione
e’ la serie
t
P (z) = H (t)z :
A A
t 0
X
‚
Tale serie e’ razionale e, di piu¶, si puo‘ scrivere nella
forma
h(z)
P (z) =
A
(1 z)d
¡
h(z) = h + h z + + h zs ha coe–cienti interi e
0 1 s
¢ ¢ ¢
h(1) = 0:
6
6
Ad esempio se A = R si ha
1
P (z) = :
R
(1 z)n
¡
Se I = (F ), con deg(F ) = d;
d d 1
1 z 1 + z + + z
¡
P (z) = ¡ = ¢ ¢ ¢ :
R=I
(1 z)n (1 z)n 1
¡
¡ ¡
7
Il polinomio di Hilbert di A:
(i)
h (1)
Se si pone e := per ogni i 0, il
i
i!
‚
polinomio a coe–cienti razionali
d 1
X + d i 1
¡
i
p (X) := ( 1) e ¡ ¡
A i
¡ d i 1
i=0 (cid:181) ¡ ¡ ¶
X
veriflca per t >> 0 p (t) = H (t):
A A
Il polinomio p (X) ha grado d 1 e si chiama
A
¡
il polinomio di Hilbert di A.
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Grado e genere
Dal polinomio di Hilbert, e quindi dalla serie, possiamo
leggere alcuni dei caratteri numerici a cui siamo
interessati.
La dimensione di A e’ l’ordine di polo della serie di
Hilbert o 1+ il grado del polinomio di Hilbert.
Il grado (o la molteplicita‘) di A e’ l’intero h(1) = e :
0
Il genere aritmetico e’ l’intero
s
j 1
d 1
g := h ¡ = ( 1) (p (0) 1):
j ¡ A
d 1 ¡ ¡
j=1 (cid:181) ¡ ¶
X
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