CAPES de Mathématiques : Algèbre linéaire [Lecture notes]

48 Pages·2007·0.53 MB·French

by  Germoni

Chapitre 0
Universit´e Claude Bernard–LyonI
CAPES de Math´ematiques : Alg`ebre lin´eaire Vecteurs
Ann´ee 2006–2007
1◦ La structure
a) Groupe
On appelle groupe un ensemble G muni d’une op´eration
: G G G
∗ × −→
(λ,µ) λ µ
7−→ ∗
satisfaisant les conditions suivantes :
Associativit´e : pour tous λ,µ,ν G, on a : (λ µ) ν = λ (µ ν) ; on note alors le
• ∈ ∗ ∗ ∗ ∗
r´esultat λ µ ν, sans ambigu¨ıt´e ;
∗ ∗
Neutre : il existe e G tel que pour tout λ G, e λ = λ e = λ ; cet ´el´ement est alors
• ∈ ∈ ∗ ∗
unique ; si est not´ee +, on note e = 0 ; si est un produit , on note e= 1 ;
∗ ∗ ·
Oppos´e/inverse : pour tout λ G, il existe λ0 G tel que λ λ0 =λ0 λ =e ; alors λ0 est
• ∈ ∈ ∗ ∗
unique ; si = +, on note λ0 = λ ; si = , on note λ0 = λ−1.
∗ − ∗ ·
On dit de plus que G est commutatif si pour tous λ,µ G, on a : λ µ = µ λ.
∈ ∗ ∗
b) Corps
On appelle corps un ensemble K muni de deux op´erations (addition et produit)
+ : K K K : K K K
× −→ et · × −→
(λ,µ) λ+µ (λ,µ) λµ
7−→ 7−→
telles que :
K soit un groupe commutatif pour la loi + ; on note 0 son neutre ;
•
K 0 soit un groupe commutatif pour la loi ; on note 1 son neutre ; en particulier :
• \{ } ·
λ E, 1 λ= λ ;
◦ ∀ ∈ ·
λ,µ,ν K, (λ µ) ν = λ (µ ν).
◦ ∀ ∈ · · · ·
les lois + et soient compatibles, c’est-`a-dire :
• ·
λ,µ,ν K, (λ+µ) ν = λ ν +µ ν ;
◦ ∀ ∈ · · ·
λ,µ,ν K, λ (µ+ν)= λ µ+λ ν ;
◦ ∀ ∈ · · ·
c) Espace vectoriel
Soit K un corps. On appelle espace vectoriel sur K un ensemble E muni de deux loi (addition
des vecteurs et produit par un scalaire)
+ : E E E : K E E
× −→ et · × −→
(v,w) v+w (λ,v) λ v
7−→ 7−→ ·
telles que :
E soit un groupe commutatif pour la loi + ; on note 0 son neutre (vecteur nul) ;
•
les lois + et soient compatibles, c’est-`a-dire :
• ·
v E, 1 v = v ;
◦ ∀ ∈ ·
λ,µ K, v E, (λ µ) v =λ (µ v) ;
◦ ∀ ∈ ∀ ∈ · · · ·
λ,µ, K, v E, (λ+µ) v = λ v+µ v ;
◦ ∀ ∈ ∀ ∈ · · ·
λ K, v,w E, λ (v+w) = λ v+λ w ;
◦ ∀ ∈ ∀ ∈ · · ·
Exercice : Pour λ K et v E, λ.v = 0 λ= 0 ou v = 0. Par ailleurs, λ ( v) = λ v.
∈ ∈ ⇐⇒ · − − ·
1
Attention ! L’inverse d’un vecteur v−1, le produit d’un vecteur par un scalaire v λ, le produit
·
de deux vecteurs v w, la somme d’un vecteur et d’un scalaire λ+v n’ont en g´en´eral aucun
·
sens.
Exemples d’espaces vectoriels
1. Si K est un corps et L est un corps qui contient K, alors L est naturellement un espace
vectoriel sur K : la somme des vecteurs est celle de L, le produit d’un scalaire par un
vecteur est la restriction du produit de L `a K L K L. En particulier, K est un
× ⊂ ×
espace vectoriel sur K.
2. Le singleton 0 est un espace vectoriel sur tout corps K.
{ }
3. SiE estunespacevectoriel surKetX estunensemble,alorsl’ensembleEX desfonctions
de X dans E est naturellement un espace vectoriel sur K. Op´erations, pour f,g EX et
∈
λ K :
∈
x X, (f +g)(x) = f(x)+g(x), (λ f)(x) = λ f(x).
∀ ∈ · ·
Cas particuliers :
(a) Si on prend E = K, on voit que les fonctions `a valeurs dans K forment un espace
vectoriel sur K.
Par exemple, l’ensemble des fonctions de R dans R (resp. C) est naturellement un
espace vectoriel sur R (resp. C) ;
(b) Si on prend X = 1,...,n pour n N∗, une fonction de X dans E est simplement
{ } ∈
une n-liste d’´el´ements de E : EX s’identifie naturellement `a En. En particulier, Kn
rentre dans ce cadre.
(c) Si on prend E = K et X = 1,...,m 1,...,n , ou` m,n N∗, il est traditionnel
{ }×{ } ∈
denotera l’imagede(i,j) X parunefonctionA KX. Onobtientalorsl’espace
ij
∈ ∈
des matrices m n `a coefficients dans K.
×
2◦ La sous-structure
a) Soit E un espace vectoriel sur un corps K. On appelle sous-espace vectoriel de E toute
partie F telle que
u,u0 F, λ,λ0 K, λu+λ0u0 F.
∀ ∈ ∀ ∈ ∈
Exemples de sous-espaces vectoriels
1. Pour tout espace E, 0 et E sont des sous-espaces. De plus, tout sous-espace F de E
{ }
contient le vecteur nul, i.e. 0 F.
{ } ⊂
2. L’ensemble des fonctions continues de [0,1] dans R est un sous-espace de l’espace des
fonctions de [0,1] dans R. L’ensemble des fonctions continues d’int´egrale nulle aussi,
mais pas l’ensemble des fonctions continuers d’int´egrale 2 (qui est un sous-espace affine).
3. Pour E un espace vectoriel et X un ensemble, l’ensemble des fonctions `a support fini
est un sous-espace de l’espace EX des fonctions de X dans E. On le note E(X). Ici,
le support d’une fonction est l’ensemble des ´el´ements de X dont l’image n’est pas nul.
Noter que X est fini si et seulement si EX = E(X) (pour peu que E = 0 ).
6 { }
Parexemple,siX = N,onsaitqueR(N) s’identifienaturellement`al’espacedespolynˆomes
r´eels : une suite (an)n∈N appartient `a R(N) si et seulement si elle est nulle `a partir
d’un certain rang, dans ce cas on peut l’interpr´eter comme la suite des coefficients d’un
polynˆome.
2
4. Familles, familles presque nulles. Soit E un espace vectoriel et I un ensemble. Il est
assez courant de noter (u ) un ´el´ement de EI : cela signifie que u d´esigne l’image de
i i∈I i
i I. On parle alors de famille index´ee par I, et on dit qu’une famille est presque nulle
∈
si elle appartient `a E(I).
b) Op´erations sur les sous-espaces
Lemme Soit E , E deux sous-espaces d’un espace vectoriel E sur K. Alors E E et
1 2 1 2
∩
E +E = u E, u E , u E , u= u +u
1 2 1 1 2 2 1 2
{ ∈ ∃ ∈ ∃ ∈ }
sont des sous-espaces de E.
Attention ! La r´eunion de deux sous-espace n’est pas, en g´en´eral, un sous-espace. Plus
pr´ecis´ement, c’est un sous-espace si et seulement si un des deux sous-espace contient l’autre.
On dit que deux sous-espaces E et E de E sont en somme directe si leur intersection est
1 2
r´eduite `a 0 . On dit qu’ils sont suppl´ementaires si et seulement s’ils sont en somme directe et
{ }
si leur somme est E.
Lemme Deuxsous-espaces E et E de E sont suppl´ementaires si et seulement si tout vecteur
1 2
de E peut s’´ecrire de fa¸con unique comme somme d’un vecteur de E et d’un vecteur de E .
1 2
Exemples : Les fonctions paires et impaires forment deux suppl´ementaires dans l’espace des
fonctions r´eelles.
3◦ Les morphismes
a) Soit E, F deux espaces vectoriels sur K. Une application ϕ :E F est dite lin´eaire si
→
u,u0 E, λ,λ0 K, ϕ(λu+λ0u0)= λϕ(u)+λ0ϕ(u0).
∀ ∈ ∀ ∈
On note classiquement (E,F) l’ensemble des applications lin´eaires de E dans F. C’est un
L
sous-espace de l’espace des fonctions de E dans F. Si E = F, on note (E) = (E,E).
L L
Lemme La compos´ee de deux applications lin´eaires est lin´eaire. De plus, si ϕ,ϕ0 (E,F),
∈ L
ψ,ψ0 (F,G) et λ,λ0 K, on a :
∈ L ∈
ψ (λϕ+λ0ϕ0)= λψ ϕ+λ0ψ ϕ0, (λψ+λ0ψ0) ϕ = λψ ϕ+λ0ψ0 ϕ.
◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦
b) Etant donn´e ϕ (E,F), on appelle noyau et image de ϕ les sous-espaces
∈L
Kerϕ = u E, ϕ(u) = 0 E, Imϕ = v F, u E, ϕ(u) =v F.
{ ∈ } ⊂ { ∈ ∃ ∈ } ⊂
Lemme Soit ϕ (E,F). Alors ϕ est injective si et seulement si Kerϕ = 0 .
∈ L { }
c) Construction d’applications lin´eaires
Lemme Soit E, F des espaces vectoriels, E et E deux sous-espaces suppl´ementaires de E.
1 2
Etant donn´e ϕ (E ,F) (i = 1,2), il existe un unique ϕ (E,F) tel que ϕ = ϕ .
i ∈ L i ∈ L |Ei i
Exemple : Si on d´efinit ϕ : E E, u u et ϕ : E E, u 0, l’application ϕ ainsi
1 1 2 2
→ 7→ → 7→
construite est la projection sur E parall`element `a E . C’est un idempotent : elle est ´egale `a
1 2
son carr´e. De plus, tous les idempotents de (E) sont de ce type.
L
3
4◦ Familles
a) Combinaisons lin´eaires
Soit E un espace vectoriel sur K, = (u ) EI une famille quelconque d’´el´ements de E.
i i∈I
F ∈
On dit qu’un vecteur u E est une combinaison lin´eaire de s’il existe (λ ) K(I) une
i i∈I
∈ F ∈
famille presque nulle de scalaires telle que u = λ u .
i∈I i i
P
Attention ! La somme pr´ec´edente n’aurait pas de sens si on n’imposait pas que seuls un
nombre fini de λ soient non nuls.
i
On est naturellement amen´e `a consid´erer l’application
c : K(I) E
F
−→
(λ ) λ u .
i i∈I 7−→ i∈I i i
Il est facile de voir que cette application est lin´ePaire. On voit que u est combinaison lin´eaire de
sietseulementsiuestdansl’imagedec : ceciprouvedoncquel’ensembledescombinaisons
F
F
lin´eaires de forme un sous-espace vectoriel. On montre par une r´ecurrence lourde mais facile
F
sur le nombrede coefficients non nuls de (λ ) que siun sous-espace contient tous les u , alors
i i∈I i
il contient toutes leurs combinaisons lin´eaires. En d’autres termes :
Lemme L’ensemble des combinaisons lin´eaires d’une famille de vecteurs est le plus petit sous-
espace qui contient tous les vecteurs de la famille.
On l’appelle espace vectoriel engendr´e par la famille, souvent not´e Vect( ).
F
b) Familles libres, familles g´en´eratrices
Une famille = (u ) EI d’´el´ements de E est dite g´en´eratrice si tout vecteur est combi-
i i∈I
F ∈
naison lin´eaire de , i.e. si Vect(F) = E, i.e. si pour tout u E, il existe (λ ) une famille
i i∈I
F ∈
presque nulle de scalaires telle que u= λ u .
i∈I i i
Une famille = (ui)i∈I EI d’´el´emenPts de E est dite libre si la seule combinaison lin´eaire
F ∈
nulle de est la combinaison lin´eaire triviale, i.e. si, ´etant donn´e (λ ) une famille presque
i i∈I
F
nulle de scalaires telle que λ u = 0, on a : λ = 0 pour tout i I.
i∈I i i i ∈
P
Remarque Une famille est libre (resp. g´en´eratrice) si et seulement si l’application c est
F
F
injective (resp. surjective).
4
Chapitre 1
Bases, matrices
On fixe un corps K.
1◦ Base d’un espace vectoriel
a) Base d’un espace vectoriel. Rappelons qu’une base = (e ) d’un espace vectoriel E
j j∈I
B
estunefamillelibreetg´en´eratrice. End’autrestermes,toutvecteurv E peuts’´ecriredefac¸on
∈
uniquecomme combinaison lin´eaire des vecteurs de ,c’est-`a-dire sous laformev = x e ,
B j∈I j j
ou` les x (j J) sont des scalaires tous nuls sauf un nombre fini.
j
∈ P
Commenc¸ons par quelques ´evidences :
Proposition Toute famille libre maximale est g´en´eratrice. Toute famille g´en´eratrice mini-
male est libre.
Ici, la maximalit´e ou la minimalit´e se rapporte `a l’inclusion.
Onmontrelapremi`ereassertionparl’absurde,enajoutantunvecteurquineseraitpasengendr´e
pour obtenir une famille libre plus grande. Quant `a la deuxi`eme, on la montre en supprimant
un vecteur qui aurait un coefficient non nul dans une combinaison lin´eaire nulle. (D´etailler.)
L’existence debases en d´ecoule : par exemple, on partd’unefamille g´en´eratrice (l’espace entier
s’illefaut!) etonenextraitunesous-familleg´en´eratrice minimale. Enpassant,onatacitement
mais lourdement utilis´e l’axiome du choix. On peut ˆetre plus pr´ecis :
Th´eor`eme (de la base incompl`ete) Soit une famille libre et une famille g´en´eratrice
L G
de E contenant . Alors il existe une base de E telle que .
L B L ⊂ B ⊂ G
Preuve. Soit L l’ensemble des familles de vecteurs qui sont libres et v´erifient .
F L ⊂ F ⊂ G
Cet ensemble n’est pas vide car il contient .
L
[Il est inductivement ordonn´e par l’inclusion : si ( n)n∈N est une suite croissante dans L, la
F
r´eunion est un ´el´ement de L qui majore les . Le lemme de Zorn s’applique donc.]
n∈NFn Fn
Soit un ´el´ement maximal de L. C’est donc une famille libre. S’il existait un ´el´ement v ,
B S ∈ G
v / Vect( ), alors v serait libre (v´erifier), ce qui contredit la maximalit´e de . Ainsi,
∈ B B∪{ } B B
est une base.2
Corollaire Tout sous-espace poss`ede un suppl´ementaire.
Preuve. Fixons une base du sous-espace de d´epart. C’est une famille libre de l’espace entier,
que l’on compl`ete en une base. Le sous-espace engendr´e par les vecteurs que l’on a ajout´es est
un suppl´ementaire de notre sous-espace. (V´erifier.) 2
Th´eor`eme Deux bases d’un espace vectoriel ont toujours le mˆeme cardinal.
Preuve. On ne donne la preuve que dans le cas ou` une des bases est finie. Il suffit de montrer
que si (e ,...,e ) est une base de E et si (f ,...,f ) est libre avec n m, alors n = m.
1 m 1 n
≥
On modifie la base petit `a petit. Pour commencer, on sait que f est une combinaison lin´eaire
1
des (e ) , disons : f = a e + +a e . L’un des coefficients a n’est pas nul, sans
i i=1,...,m 1 1 1 m m i
···
quoi on aurait f = 0. Quitte `a renum´eroter les e , on peut supposer que a = 0. Il est facile
1 i 1
6
de v´erifier que = (f ,e ,...,e ) est une nouvelle base.
1 1 2 m
B
Supposonssavoirque(f ,...,f ,e ,...,e )estunebasepour1 k n. Montronsqu’apr`es
1 k k+1 m
≤ ≤
avoir renum´erot´e les e (i k+1) si n´ecessaire, (f ,...,f ,e ,...,e ) est une base.
i 1 k+1 k+2 m
≥
Par l’hypoth`ese de r´ecurrence, f est combinaison lin´eaire des vecteurs de la base : f =
k+1 k+1
c f + +c f +c f + +c e . L’un des scalaires c ,...,c n’est pas nul, sans
1 1 k k k+1 k+1 m m k+1 m
··· ···
5
quoi on aurait une combinaison lin´eaire non triviale des f (` k+1). Quitte `a renum´eroter
`
≤
les e (i k+1)), on peut supposer que c = 0. On termine facilement la r´ecurrence.
i k+1
≥ 6
A la derni`ere ´etape on obtient : (f ,...,f ) est une base, ce qui entraˆıne en particulier m = n
1 m
par la premi`ere proposition.2
Remarque : La preuve pr´ec´edente montre en fait qu’une famille de m+1 vecteurs dans un
espace engendr´e par m vecteurs est li´ee.
Dans la suite, on ne consid`ere plus que des espaces vectoriels de dimension finie.
b) Coordonn´ees. Donn´ees : E un espace vectoriel, = (e ) une base. On peut alors
j j=1 a` n
B
d´efinir un isomorphisme “coordonn´ees” c = c : E Kn ainsi. Un vecteur v E s’´ecrit de
E
n → ∈
fac¸on unique sous la forme v = x e , on pose : c(v) = (x ) . La r´eciproque de c
j=1 j j j j=1 a` n
est clairement d´efinie par : c−1((x ) ) = n x e . On consid`erera le plus souvent c(v)
Pj j=1 a` n j=1 j j
comme un vecteur-colonne, dit “colonne des coordonn´ees de v dans ”.
P B
Cette application c sert `a transformer l’espace vectoriel “abstrait” E en un espace vectoriel
“concret”, Kn.
2◦ Matrices d’une application lin´eaire
a) D´efinition. Donn´ees : E et F, deux espaces ; ϕ : E F une application lin´eaire ;
→
= (e ) une base de E, = (f ) une base de F. On consid`ere la matrice A de
j j=1 a` n i i=1 a` m
B C
ϕ dans les base et , construite colonne par colonne selon la r`egle :
B C
la j`eme colonne de la matrice est la colonne des coordonn´ees dans de ϕ(e ).
j
C
On a donc :
m
ϕ(ej) = aijfi .
i=1
X
Exemple : Etant donn´ee une matrice A de taille m n, on consid`ere l’application lin´eaire
×
ϕ : Kn Km, X AX. Soit et les bases canoniques de Kn et Km. Alors on a :
A can can
→ 7→ B C
Mat (ϕ ) = A.
Bcan,Ccan A
n
b) Calcul de l’image des vecteurs. Si v = x e , on a par lin´earit´e :
j=1 j j
P
n n m n m m n
ϕ(v) = x ϕ(e ) = x a f = x a f = a x f .
j j j ij i j ij i ij j i
 
j=1 j=1 i=1 j=1 i=1 i=1 j=1
X X X XX X X
 
On constate donc que la colonne des coordonn´ees de ϕ(v) est le produit de A par la colonne
des coordonn´ees de v.
c) Deux isomorphismes fondamentaux. Donn´ees : E et F, = (e ) , =
j j=1 a` n
B C
(f ) comme ci-dessus. On note (K) l’espace vectoriel des matrices de taille m n
i i=1 a` m m,n
M ×
et (E,F) l’espace des applications lin´eaires de E dans F. On a d´ej`a construit une applica-
L
tion Mat : (E,F) (K). Inversement, ´etant donn´ee une matrice A = (a )
B,C m,n ij i,j
(K), on nLote Φ →(A)Ml’unique application lin´eaire telle que [Φ (A)](e ) = m a e0.∈
Mm,n B,C B,C j i=1 ij i
Proposition Les applications Mat et Φ sont des isomorphismes r´eciprPoques entre
B,C B,C
(E,F) et (K).
m×n
L M
d) Interpr´etation. Etant donn´ee une matrice A de taille m n, on consid`ere l’application
×
lin´eaire ϕ : Kn Km, X AX. On peut alors consid´erer le diagramme :
A
→ 7→
ϕ
-
E F ´etage “abstrait”
c c coordonn´ees
E F
? ? ?
ϕ
Kn A -Km ´etage “concret”
6
La formule de b) s’interpr`ete ainsi : c ϕ = ϕ c . L’application ϕ donne une “image”
F A E A
◦ ◦
parfaitement fid`ele de ϕ. Par exemple, on a la
Proposition (i) c induit un isomorphisme entre Kerϕ et Kerϕ ;
E A
(ii) c induit un isomorphisme entre Imϕ et Imϕ .
F A
D´emonstration : (i) Soit v E. On a : v Kerϕ SSI ϕ(v) = 0 SSI c ϕ(v) = 0 SSI
F
∈ ∈ ◦
ϕ c (v) = 0 SSI c (v) Kerϕ .
A E E A
◦ ∈
(ii) Soit w F. On a : w = ϕ(v) SSI c (w) = c ϕ(v) SSI c (w) = ϕ c (v). Ainsi,
F F F A E
∈ ◦ ◦
w Imϕ SSI c (w) Imϕ .
F A
∈ ∈
Morale : En termes vagues, l’application ϕ est une “version concr`ete” de l’application
A
“abstraite” ϕ : on ne perd pas d’information en passant de ϕ `a ϕ , mais les calculs sont
A
g´en´eralement plus faciles `a l’´etage matriciel.
Inversement, ´etant donn´ee une matrice A, il est souvent utile de savoir qu’il existe un “objet
abstrait intrins`eque” (=une application lin´eaire qui a pour matrice A) pour ´etudier A.
e) Composition des applications et produit de matrices. Soit E, F, G des espaces
vectoriels munis de bases , , , et ϕ :E F et ψ :F G des applications lin´eaires. Alors,
B C D → →
la matrice de la compos´ee est le produit des matrices.
Plus pr´ecis´ement, on a : Mat (ψ ϕ) = Mat (ψ)Mat (ϕ).
B,D C,D B,C
◦
3◦ Th´eor`eme du rang
On d´efinit le rang d’une application lin´eaire ϕ comme la dimension de l’espace Imϕ. Le rang
d’une matrice A est le rang de l’application ϕ : c’est donc la dimension de l’espace engendr´e
A
par les colonnes de A. Le (ii) de la proposition ci-dessus montre que le rang d’une application
lin´eaire est le rang de n’importe laquelle de ses matrices.
Attention ! Pour le moment, rien ne dit que c’est la dimension de l’espace engendr´e par les
lignes de A.
Th´eor`eme Soit ϕ: E F lin´eaire.
→
(i) (Version abstraite.) La restriction de ϕ a` tout suppl´ementaire du noyau de ϕ est une
bijection sur l’image de ϕ. En particulier on a la formule :
dimKerϕ+rgϕ = dimE.
(ii) (Version matricielle.) Il existe des bases de E et de F telles que
B C
I 0
Mat (ϕ) = r r×(n−r) ,
B,C
0 0
(cid:18) (m−r)×r (m−r)×(n−r) (cid:19)
ou` r est le rang de ϕ, I est la matrice identit´e r r et les autres matrices sont nulles (en
r
×
indice : leur format).
4◦ Changement de base
a) Etant donn´ees deux bases = (e ) et 0 = (e0) d’un espace vectoriel E, on
B i i=1 a` n B i i=1 a` n
consid`ere la matrice PB,B0 dite matrice de passage de `a 0, constitu´ee de la fac¸on suivante :
B B
R`egle : Les colonnes de PB,B0 sont les coordonn´ees des vecteurs de 0 exprim´ees dans .
B B
Proposition Si v E, on note X Kn sa colonne de coordonn´ees dans et X0 sa colonne
∈ ∈ B
de coordonn´ees dans 0. Alors : X = PB,B0X0.
B
7
Probl`eme mn´emotechnique : est-ce que c’est X0 = PX ou X = PX0 ? R´eponse en
regardant la premi`ere colonne de P : d’une part, c’est la colonne de coordonn´ees de e0, le
1
premier vecteur de 0, dans la base ; d’autre part, c’est le produit de P par la colonne
B B
(1,0,...,0). On obtient ce que l’on veut : pour v = e0, on a X0 = (1,...,0) et X est la
1
premi`ere colonne de PB,B0.
Remarque : Par d´efinition, on a : PB,B0 = MatB0,B(Id).
Corollaire PB,B0 = PB−01,B.
b) Lien avec les applications lin´eaires.
Donn´ees : E, F deux espaces vectoriels ; ϕ : E F lin´eaire ; , 0 deux bases de E ; , 0
→ B B C C
deux bases de F.
On note alors : A = MatB,C(ϕ), A0 = MatB0,C0(ϕ), P = PB,B0 et Q = PC,C0. On veut une
relation entre ces matrices.
On sait que ϕ = Id ϕ = ϕ Id . Prenons les matrices de ces applications en consid´erant le
F E
◦ ◦
diagramme :
ϕ
E, 0 -F, 0 ´etage “nouvelles bases”
B C
IdE IdF changement de base
? ? ?
ϕ
-
E, F, ´etage “anciennes bases”
B C
On a donc : MatB0,C(ϕ) = MatC0,C(IdF).MatB0,C0(ϕ) = MatB,C(ϕ).MatB0,B(IdE), d’ou` QA0 =
AP, ou encore :
A0 = Q−1AP.
Etant donn´ees deux matrices A et A0, s’il existe deux matrices inversibles P et Q telles que la
relation ci-dessus soit satisfaite, on dit que A et A0 sont ´equivalentes. Cela signifie donc que A
et A0 repr´esentent la mˆeme application lin´eaire dans des bases convenables.
Cas particulier important : Si E = F, = et 0 = 0, on n’a qu’une seule matrice de
B C B C
changement de base : P = Q = PB,B0. Dans ce cas, on a : A0 = P−1AP. On dit que A et
A0 sont semblables. Cela signifie que A et A0 repr´esentent le mˆeme endomorphisme dans des
bases convenables.
c) Th´eor`eme du rang(bis). Enappliquantla version (ii) duth´eor`eme a`ϕ , maintenant que
A
l’on connait l’effet d’un changement de bases sur une matrice, on voit que pour toute matrice
A, il existe deux matrices inversibles P et Q telles que Q−1AP soit la matrice du (ii).
d) Invariance du rang : Si A0 = Q−1AP, alors rgA = rgA0.
En effet, on interpr`ete A et A0 comme la matrice de la mˆeme application lin´eaire ϕ dans les
bases dont les matrices de passage sont P et Q. Alors rgA et rgA0 valent le rang de ϕ.
C’est le bon moment pour faire la fiche 4 : Algorithme de Gauss et avatars !
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On note E = Kn et F = Km. On se donne une base de E = Kn et de F = Km.
B C
applications lin´eaires matrices syst`emes lin´eaires
ϕ :Rn Rm syst`emes AX = B
lin´ea→ire A= MatB,C(ϕ) (B parcourt Km)
noyau de l’application lin´eaire noyau de la matrice solutions du syst`eme AX = 0
ensemble des B Rm
image de l’application lin´eaire espace engendr´e par les colonnes ∈ 9
tel que AX = B a une solution
rang de la matrice = rang du syst`eme =
rang de l’application = dimension de l’image
dimension de l’espace des colonnes nombre d’inconnues principales
n rg =
dimension du noyau dimension du noyau −
nombre d’inconnues secondaires
multiplier A `a droite par une matrice inversible
modifier changer les inconnues
B op´erations ´el´ementaires sur les colonnes
multiplier A `a gauche par une matrice inversible op´erations ´el´ementaires
modifier
C op´erations ´el´ementaires sur les lignes sur les ´equations
Chapitre 2
Dualit´e, transposition
On fixe un corps K. On ne consid`ere que des espaces vectoriels de dimension finie.
1◦ Dualit´e
a) Base duale. Le duald’un espace vectoriel E est simplement : E∗ = (E,K). Etant donn´e
L
une base = (e ) de E, on d´efinit une famille ∗ = (e∗) de E∗ par l’image de :
B i i=1,...,n B i i=1,...,n B
e∗(e )= δ (i,j = 1,...,n).
i j ij
Un vecteur v E s’´ecrit de fac¸on unique v = n x e , pour (x ) Kn. On a donc :
∈ j=1 j j j j=1,...,n ∈
n P n
e∗i(v) = e∗i xjej = xi, d’ou` v = e∗i(v) ei.
 
j=1 i=1
X X
 
En mots, e∗(v) est la i`eme coordonn´ee de v dans la base .
i B
Remarque : sans donn´ee suppl´ementaire, un vecteur x E ne suffit pas `a d´efinir une appli-
∈
cation lin´eaire x∗ E∗. Cependant, ´etant donn´ee une base de E, on d´efinit sans ambigu¨ıt´e
∈ B
une application lin´eaire τ : E E∗ (qui d´epend de ) par : τ(e ) = e∗, qui est clairement un
→ B i i
isomorphisme.
Proposition ∗ est une base de E∗.
B
D´efinition : On dit que ∗ est la base duale de .
B B
Remarque : Si E est de dimension infinie, ∗ est encore d´efinie, libre mais pas g´en´eratrice.
B
b) Base biduale. Soit E un espace vectoriel de dimension finie.
D’une part, on peut d´efinir une application lin´eaire ι : E E∗∗ par : [ι(v)](`) = `(v) pour
→
` E∗. C’est un isomorphisme (car on suppose E de dimension finie, sinon ce serait seulement
∈
une injection) et il ne d´epend d’aucun choix : d´esormais, on identifiera E et E∗∗.
D’autre part, on peut consid´erer la base duale de ∗. C’est la base ∗∗ = (e∗∗) d´efinie par :
B B j j∈I
e∗∗(e∗) = δ . On a donc : e∗∗(e∗)= [ι(e )](e∗), soit ∗∗ = ι( ).
j i ij j i j i B B
Morale : Comme on d´ecide d’identifier E et E∗∗, la base duale de ∗ est donc .
B B
c) Kn, c’est des lignes ou des colonnes ? Consid´erons l’espace vectoriel Col des matrices
n
n 1 et l’espace Lign des matrices 1 n. Etant donn´ee une ligne L Lign , consid´erons la
n n
× × ∈
forme lin´eaire Col K, C LC. Puisque LC est une matrice 1 1, c’est un scalaire. De
n
→ 7→ ×
cette fac¸on, on identifie Lign `a Col∗, le dual de Col .
n n n
Dans ce contexte, l’application τ : Col Col∗ = Lign associ´ee `a la base naturelle de Col ,
n n n n
→
c’est la transposition (qui transforme les colonnes en lignes et inversement).
Remarque : On a aussi une base naturelle dans Lign . La colonne des coordonn´ees de
n
L Lign dans cette base est simplement : tL, la transpos´ee de L.
n
∈
Cela dit, cette distinction est unpeuartificielle, vuqu’´etant donn´eunvecteur X Kn, on peut
∈
en faire un ligne ou une colonne. Cela veut dire qu’on peut identifier Kn et son dual de fac¸on
standard. Si X0 Kn, on peut le consid´erer comme la forme lin´eaire Kn K, X tX0X.
∈ → 7→
Concr`etement, quand on veut parler de produit par une matrice, il est commode d’identifier
un vecteur de Kn `a la colonne de ses coordonn´ees dans la base canonique.
Toutes ces consid´erations sont dues au fait que Kn poss`ede une base canonique, ce qui n’est
pas le cas d’un espace vectoriel quelconque.
Application : Si v E a pour coordonn´ees X Kn dans une base et si ` E∗ a pour
∈ ∈ B ∈
coordonn´ees X0 Kn dans la base duale ∗, alors : `(v) = tX0X (c’est une matrice 1 1, donc
∈ B ×
un scalaire).
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