Calculus of One and Many Variables

725 Pages·2021·6.68 MB·English

by  Kenneth Kuttler

Calculus of One and Many Variables
Kenneth Kuttler [email protected]
January 19, 2021
2
Contents
I Functions of One Variable 15
1 Fundamental Concepts 17
1.1 Numbers and Simple Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3 Set Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.4 Order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.6 The Binomial Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.7 Well Ordering Principle, Math Induction . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.8 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.9 Completeness of R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.10 Existence of Roots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.11 Completing the Square . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.12 Dividing Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.13 The Complex Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.14 Polar Form of Complex Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.15 Roots of Complex Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.16 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2 Functions 51
2.1 General Considerations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.2 Graphs of Functions and Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.3 Circular Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.3.1 Reference Angles and Other Identities . . . . . . . . . . . . . 62
2.3.2 The sin(x)/x Inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.3.3 The Area of a Circular Sector . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.5 Exponential and Logarithmic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.6 The Function bx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.7 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2.7.1 Interest Compounded Continuously . . . . . . . . . . . . . . 80
2.7.2 Exponential Growth and Decay . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2.7.3 The Logistic Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
2.8 Using MATLAB to Graph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
2.9 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3
4 CONTENTS
3 Sequences and Compactness 87
3.1 Sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.3 The Limit of a Sequence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.4 The Nested Interval Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.6 Compactness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.6.1 Sequential Compactness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.6.2 Closed and Open Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.7 Cauchy Sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
3.8 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4 Continuous Functions and Limits of Functions 107
4.1 Equivalent Formulations of Continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.3 The Extreme Values Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.4 The Intermediate Value Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
4.5 Continuity of the Inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.7 Uniform Continuity. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.8 Examples of Continuous Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.9 Sequences of Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4.10 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4.11 Limit of a Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4.12 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
5 The Derivative 135
5.1 The Definition of the Derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
5.2 Finding the Derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
5.3 Derivatives of Inverse Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
5.4 Circular Functions and Inverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
5.5 Exponential Functions and Logarithms . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
5.6 The Complex Exponential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
5.7 Related Rates and Implicit Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . 145
5.8 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
5.9 Local Extreme Points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
5.10 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
5.11 Mean Value Theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
5.12 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
5.13 First and Second Derivative Tests. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
5.14 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
5.15 Taylor Series Approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
5.16 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
5.17 L’Hˆopital’s Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
5.18 Interest Compounded Continuously . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
5.19 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
CONTENTS 5
6 Infinite Series 169
6.1 Basic Considerations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
6.2 Absolute Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
6.3 Ratio and Root Tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
6.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
6.5 Convergence Because of Cancellation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
6.6 Double Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
6.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
6.8 Series of Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
6.9 Weierstrass Approximation Theorem∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
6.10 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
7 The Integral 191
7.1 The Integral of 1700’s∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
7.2 The Integral of 1800’s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
7.3 Properties of the Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
7.4 Uniform Convergence and the Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
7.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
8 Methods for Finding Anti-derivatives 215
8.1 The Method of Substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
8.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
8.3 Integration by Parts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
8.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
8.5 Trig. Substitutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
8.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
8.7 Partial Fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
8.8 Rational Functions of Trig. Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
8.9 Using MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
8.10 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
9 A Few Standard Applications 239
9.1 Lengths of Curves and Areas of Surfaces of Revolution . . . . . . . . 240
9.1.1 Lengths . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
9.1.2 Surfaces of Revolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
9.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
9.3 Force on a Dam and Work . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
9.3.1 Force on a Dam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
9.3.2 Work . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
9.4 Using MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
9.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
10 Improper Integrals and Stirling’s Formula 251
10.1 Stirling’s Formula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
10.2 The Gamma Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
10.3 Laplace Transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
10.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
6 CONTENTS
11 Power Series 267
11.1 Functions Defined in Terms of Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
11.2 Operations on Power Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
11.3 Power Series for Some Known Functions . . . . . . . . . . . . . . . . 272
11.4 The Binomial Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
11.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
11.6 Multiplication of Power Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
11.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
11.8 Some Other Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
11.9 Some Historical Observations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
12 Polar Coordinates 285
12.1 Graphs in Polar Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
12.2 The Area in Polar Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
12.3 The Acceleration in Polar Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
12.4 The Fundamental Theorem of Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
12.5 Polar Graphing in MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
12.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
13 Algebra and Geometry of Rp 295
13.1 Rp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
13.2 Algebra in Rp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
13.3 Geometric Meaning Of Vector Addition In R3 . . . . . . . . . . . . . 298
13.4 Lines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
13.5 Distance in Rp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
13.6 Geometric Meaning of Scalar Multiplication in R3 . . . . . . . . . . 306
13.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
14 Vector Products 309
14.1 The Dot Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
14.2 Geometric Significance of the Dot Product . . . . . . . . . . . . . . . 311
14.2.1 The Angle Between Two Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . 311
14.2.2 Work and Projections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
14.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
14.4 The Cross Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
14.4.1 The Box Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
14.5 Proof of the Distributive Law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
14.5.1 Torque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
14.5.2 Center of Mass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
14.5.3 Angular Velocity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
14.6 Vector Identities and Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
14.7 Planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
14.8 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
CONTENTS 7
15 Sequences, Compactness, and Continuity 335
15.1 Sequences of Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
15.2 Open and Closed Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
15.3 Cartesian Products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
15.4 Sequential Compactness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
15.5 Vector Valued Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
15.6 Continuous Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
15.7 Sufficient Conditions for Continuity. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
15.8 Limits of a Function of Many Variables . . . . . . . . . . . . . . . . 344
15.9 Vector Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348
15.10MATLAB and Vector Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
15.11Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
15.12The Extreme Value Theorem and Uniform Continuity . . . . . . . . 351
15.13Convergence of Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352
15.14Fundamental Theorem of Algebra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
15.15Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
16 Space Curves 359
16.1 Using MATLAB to Graph Space Curves . . . . . . . . . . . . . . . . 359
16.2 The Derivative and Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360
16.2.1 Geometric and Physical Significance of the Derivative . . . . 362
16.2.2 Differentiation Rules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
16.2.3 Leibniz’s Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
16.3 Arc Length and Orientations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
16.4 Arc Length and Parametrizations∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
16.4.1 Hard Calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
16.4.2 Independence of Parametrization . . . . . . . . . . . . . . . . 371
16.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
16.6 Motion on Space Curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
16.6.1 Some Simple Techniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
16.7 Geometry of Space Curves∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378
16.8 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380
17 Some Physical Applications 383
17.1 Spherical and Cylindrical Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
17.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385
17.3 Planetary Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
17.3.1 The Equal Area Rule, Kepler’s Second Law . . . . . . . . . . 387
17.3.2 Inverse Square Law, Kepler’s First Law . . . . . . . . . . . . 388
17.3.3 Kepler’s Third Law. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390
17.4 The Angular Velocity Vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391
17.5 Angular Velocity Vector on Earth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
17.6 Coriolis Force and Centripetal Force . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394
17.7 Coriolis Force on the Rotating Earth . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395
17.8 The Foucault Pendulum∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398
17.9 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400
8 CONTENTS
II Functions of Many Variables 403
18 Linear Functions 405
18.1 The Matrix of a Linear Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . 405
18.2 Row Operations and Linear Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . 412
18.2.1 Using MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421
18.2.2 Uniqueness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422
18.2.3 The Inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423
18.2.4 MATLAB and Matrix Arithmetic. . . . . . . . . . . . . . . . 425
18.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426
18.4 Subspaces Spans and Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431
18.5 Linear Independence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433
18.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436
19 Eigenvalues and Eigenvectors 443
19.1 Definition of Eigenvalues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443
19.2 An Introduction to Determinants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444
19.2.1 Cofactors and 2×2 Determinants . . . . . . . . . . . . . . . 444
19.2.2 The Determinant of a Triangular Matrix . . . . . . . . . . . . 447
19.2.3 Properties of Determinants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448
19.2.4 Finding Determinants Using Row Operations . . . . . . . . . 449
19.3 MATLAB and Determinants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451
19.4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451
19.4.1 A Formula for the Inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451
19.4.2 Finding Eigenvalues Using Determinants. . . . . . . . . . . . 453
19.5 MATLAB and Eigenvalues. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454
19.6 Matrices and the Dot Product. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455
19.7 Distance and Orthogonal Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455
19.8 Diagonalization of Symmetric Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . 456
19.9 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461
20 Functions of Many Variables 467
20.1 Graphs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467
20.2 Review of Limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467
20.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469
20.4 Directional and Partial Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470
20.4.1 The Directional Derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470
20.4.2 Partial Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471
20.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473
20.6 Mixed Partial Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475
20.7 Partial Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476
20.8 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477
21 The Derivative of a Function of Many Variables 479
21.1 The Derivative of Functions of One Variable . . . . . . . . . . . . . . 479
21.2 The Derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481
21.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486
21.4 C1 Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488
21.5 The Chain Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492
CONTENTS 9
21.5.1 The Chain Rule for Functions of One Variable . . . . . . . . 492
21.5.2 The Chain Rule for Functions of Many Variables . . . . . . . 492
21.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497
21.6.1 Related Rates Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499
21.6.2 The Derivative of the Inverse Function . . . . . . . . . . . . . 500
21.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501
21.8 The Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502
21.9 The Gradient and Tangent Planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505
21.10Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505
22 Optimization 507
22.1 Local Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507
22.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509
22.3 The Second Derivative Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 510
22.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513
22.5 Lagrange Multipliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516
22.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521
22.7 Proof of the Second Derivative Test∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524
23 Line Integrals 527
23.1 Line Integrals and Work . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527
23.2 Conservative Fields and Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 530
23.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531
24 The Riemannn Integral on Rp 533
24.1 Methods for Double Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533
24.1.1 Density and Mass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 538
24.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539
24.3 Methods for Triple Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 540
24.3.1 Definition of the Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 540
24.3.2 Iterated Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 541
24.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544
24.4.1 Mass and Density . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546
24.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547
25 The Integral in Other Coordinates 549
25.1 Polar Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 549
25.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551
25.3 Cylindrical and Spherical Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . 552
25.3.1 Volume and Integrals in Cylindrical Coordinates . . . . . . . 553
25.3.2 Volume and Integrals in Spherical Coordinates . . . . . . . . 554
25.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561
25.5 The General Procedure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563
25.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 566
25.7 The Moment of Inertia and Center of Mass . . . . . . . . . . . . . . 567
25.8 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 569
10 CONTENTS
26 The Integral on Two Dimensional Surfaces in R3 571
26.1 The Two Dimensional Area in R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571
26.2 Surfaces of the Form z =f(x,y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575
26.3 MATLAB and Graphing Surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577
26.4 Piecewise Defined Surfaces. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577
26.5 Flux Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 578
26.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 579
27 Calculus of Vector Fields 581
27.1 Divergence and Curl of a Vector Field . . . . . . . . . . . . . . . . . 581
27.1.1 Vector Identities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582
27.1.2 Vector Potentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583
27.1.3 The Weak Maximum Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . 584
27.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585
27.3 The Divergence Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586
27.3.1 Coordinate Free Concept of Divergence . . . . . . . . . . . . 591
27.4 Applications of the Divergence Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . 591
27.4.1 Hydrostatic Pressure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 591
27.4.2 Archimedes Law of Buoyancy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592
27.4.3 Equations of Heat and Diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . 593
27.4.4 Balance of Mass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594
27.4.5 Balance of Momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595
27.4.6 Frame Indifference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 600
27.4.7 Bernoulli’s Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602
27.4.8 The Wave Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603
27.4.9 A Negative Observation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603
27.4.10Volumes of Balls in Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603
27.4.11Electrostatics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605
27.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606
28 Stokes and Green’s Theorems 609
28.1 Green’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 609
28.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611
28.3 Stoke’s Theorem from Green’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . 613
28.3.1 The Normal and the Orientation . . . . . . . . . . . . . . . . 615
28.3.2 The Mobeus Band . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 617
28.4 A General Green’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 618
28.5 Conservative Vector Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 619
28.5.1 Some Terminology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 621
28.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623
29 Curvilinear Coordinates 627
29.1 Basis Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 627
29.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 630
29.3 Curvilinear Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 631
29.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634
29.5 Transformation of Coordinates. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636
29.6 Differentiation and Christoffel Symbols . . . . . . . . . . . . . . . . . 637