Cálculo vetorial e Geometria Analítica

42 Pages·2009·1.11 MB·Portuguese

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Cálculo Vetorial e Geometria Analítica

Prof. José Carlos Morilla

Santos
2009
Prof. José Carlos Morilla
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1 CÁLCULO VETORIAL .................................................................................................. 4
1.1 Segmentos Orientados ........................................................................................... 4
1.2 Vetores ................................................................................................................... 4
1.2.1 Soma de um ponto com um vetor .................................................................... 5
1.2.2 Adição de vetores ............................................................................................ 5
1.2.3 Diferença de vetores ........................................................................................ 6
1.2.4 Módulo, Direção e Sentido ............................................................................... 6
1.2.5 Produto de um número real por um vetor. ....................................................... 6
1.2.6 Espaço vetorial. ............................................................................................... 7
1.2.7 Exercícios. ....................................................................................................... 7
1.3 Dependência e Independência Linear. ................................................................... 8
1.3.1 Definições ........................................................................................................ 8
1.3.2 Exercícios. ....................................................................................................... 9
1.4 Base ....................................................................................................................... 9
1.4.1 Adição entre vetores ...................................................................................... 10
1.4.2 Multiplicação por um escalar.......................................................................... 11
1.4.3 Exercícios ...................................................................................................... 11
1.4.4 Ortogonalidade. ............................................................................................. 12
1.4.5 Exercícios. ..................................................................................................... 13
1.5 Mudança de Base ................................................................................................. 13
1.5.1 Mudança de Base Ortornormal. ..................................................................... 14
1.5.2 Exercícios. ..................................................................................................... 14
2 PRODUTOS ENTRE VETORES E ESCALARES ...................................................... 15
2.1 Ângulo entre dois vetores. .................................................................................... 15
2.2 Produto Escalar. ................................................................................................... 16
2.2.1 Cossenos diretores ........................................................................................ 16
2.2.2 Projeção de um vetor ..................................................................................... 17
2.2.3 Propriedades do Produto Escalar. ................................................................. 17
2.2.4 Exercícios. ..................................................................................................... 18
2.3 Orientação no espaço V3. ..................................................................................... 19
2.4 Produto Vetorial .................................................................................................... 19
2.4.1 Vetores Canônicos ......................................................................................... 21
2.4.2 Exercícios ...................................................................................................... 23
2.5 Produto Misto ....................................................................................................... 23
2.5.1 Propriedades do Produto Misto. ..................................................................... 24
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2.5.2 Exercícios ...................................................................................................... 25
2.6 Duplo produto vetorial. ......................................................................................... 26
2.6.1 Exercícios ...................................................................................................... 26
3 GEOMETRIA ANALÍTICA .......................................................................................... 27
3.1 Sistemas de Coordenadas Cartesianas ............................................................... 27
3.1.1 Exercícios ...................................................................................................... 27
3.2 Retas e Planos ..................................................................................................... 28
3.2.1 Estudo da Reta. ............................................................................................. 28
3.2.1.1 Equações Paramétricas da Reta. ............................................................ 28
3.2.1.2 Exercícios ................................................................................................ 29
3.2.2 Equações do Plano ........................................................................................ 29
3.2.2.1 Equações Paramétricas do Plano ........................................................... 32
3.2.2.2 Exercícios ................................................................................................ 34
3.3 Posição relativa de retas e planos ........................................................................ 35
3.3.1 Posição relativa entre duas retas. .................................................................. 35
3.3.2 Exercícios ...................................................................................................... 36
3.4 Posição relativa entre uma reta e um plano. ........................................................ 37
3.4.1 Exercícios ...................................................................................................... 39
3.4.2 Posição relativa entre planos. ........................................................................ 40
3.4.3 Exercícios ...................................................................................................... 41

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1 CÁLCULO VETORIAL

1.1 Segmentos Orientados
Chamamos de segmento orientado a Figura 3- Segmentos Opostos
um segmento de reta que possui sua
Dizemos que dois segmentos são
origem em um ponto e sua extremidade
equipolentes quando eles possuem o
em outro.
mesmo comprimento, a mesma direção e
Tome-se, por exemplo, o segmento o mesmo sentido.
mostrado na figura 1.

Figura 4 - Segmentos Equipolentes
Figura 1- Segmento de reta orientado
Na figura 1 o segmento de reta
1.2 Vetores
representado tem sua origem no ponto A
Chama-se de vetor ao segmento de
e sua extremidade no ponto B.
reta orientado que possui sua origem em
Dizemos que um seguimento é nulo um ponto e extremidade em outro. Na
quando sua origem coincide com sua figura 5, o segmento AB é chamado de
extremidade (A≡B). vetor AB e indicado por AB.
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
Dado um segmento AB, diz-se que o
segmento BA é o seu oposto.

Figura 5- Vetor AB
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)

Sempre que designarmos um vetor
Figura 2- Segmentos Opostos este terá em sua designação uma seta,
orientada para a direita, sobre o símbolo
Dados dois segmentos orientados AB
de sua designação.
e CD, como os mostrados na figura 3,
dizemos que eles têm a mesma direção
Dois vetores AB eCD são iguais se e
quando os segmentos AB e CD são
somente se, (cid:1)(cid:1)(cid:1)o(cid:1)(cid:1)(cid:2)s (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)d(cid:1)(cid:1)(cid:2)ois segmentos
paralelos ou coincidentes.
orientados que os representam forem
equipolentes.
Com relação ao seu sentido, dizemos
que dois segmentos possuem o mesmo
sentido quando, além de terem a mesma
direção possuem a mesma orientação.
Quando a orientação é oposta, dizemos
que os segmentos são opostos.
Figura 6- Vetores iguais (AB =CD)
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
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Dado um vetor v=AB, o vetor BA é
chamado de oposto(cid:1) (cid:1)d(cid:2) e (cid:1) (cid:1)(cid:1)A(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)B(cid:2) e se indic(cid:1)a(cid:1)(cid:1)(cid:1) (cid:1)p(cid:2)or
-AB ou por - v. (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:2)

Figura 7- Vetores Opostos
Figura 8– Soma de vetores

Podemos dizer, então que o vetor
1.2.1 Soma de um ponto com um w é soma do vetor u com o vetor v.
vetor Podemos escrever então que:
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:2)
Dado um ponto A e um vetor v,
u+v=w
existe um único ponto B tal que
(cid:1)(cid:1)(cid:2)
B-A=v. O ponto B é chamado de (cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:2)
Graficamente, podemos usar a
soma(cid:1)(cid:2) do ponto A com o vetor v e se regra do paralelogramo:
indica por A+ v . (cid:1)(cid:1)(cid:2)
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
As propriedades abaixo são
imediatas:
• A+ =A
• (A-(cid:1)0v(cid:2))+v=A
• Se (cid:1)(cid:2) A+(cid:1)(cid:2) v =B+v então A=B
• Se A+ (cid:1)u(cid:1)(cid:1)(cid:2) =A+(cid:1)v(cid:1)(cid:1)(cid:2) então u=v
• A+(B-A)(cid:1)(cid:1)=(cid:1)(cid:2)B (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:2)

Figura 9– Regra do Paralelogramo
1.2.2 Adição de vetores Na figura 10, o vetor AD
Consideremos dois vetores u e v e representa a soma entre os vetores
um ponto qualquer A. Quando se toma o u;v e w.
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:2)
ponto A, e a ele se soma o vetor u (cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:2) C
obtemos um segundo ponto, que aqui
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
vamos chamar de B. Quando se soma ao
B
ponto B o vetor v, encontramos um
terceiro ponto, que chamaremos de C.
(cid:1)(cid:1)(cid:2) D
Podemos dizer que existe um terceiro
vetor w que ao ser somado ao ponto A
encontramos o ponto C.
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
A
Figura 10– Soma entre vetores

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1.2.3 Diferença de vetores Dizemos que um vetor é unitário
Consideremos dois vetores u e v, quando seu módulo for igual a um.
como os mostrados na figura 11, o vetor
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:2)
u =1
k u+ -v é chamado de diferença entre
|(cid:1)(cid:2)|
(cid:1)u(cid:2)(cid:5)e(cid:1) (cid:2)v.(cid:6) (cid:1)(cid:2)(cid:7) De maneira análoga, a direção e o
sentido do vetor u são, por definição, a
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:2)
Na figura 11, quando se toma o
direção e o sentido de qualquer dos
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
ponto A e a ele se soma o vetor u,
representantes de u .
obtemos o ponto B. Quando se soma ao
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
ponto A o vetor v, encontramos um Chama-se versor de um vetor não
terceiro ponto, que chamaremos de D. nulo v , o vetor unitário de mesmo sentido
(cid:1)(cid:1)(cid:2)
v . (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
Dois vetores são ditos paralelos
quando estes possuem a mesma direção.

1.2.5 Produto de um número real por
Figura 11– Diferença entre vetores um vetor.
Chamamos de produto de um
Observa-se, então, que existe um
número real, diferente de zero, por vetor
vetor k que somado ao vetor v fornece o
v , ao vetor s tal que:
vetor u(cid:1)(cid:2) . Podemos, então, escr(cid:1)(cid:1)e(cid:2) ver
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:9) 0 (cid:1)(cid:2)
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) • | |=|a|×|v|
v+k=u (cid:1) k=u-v
• As(cid:2) direçã(cid:1)o(cid:2) s é paralela à de
(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:2)
Assim, podemos dizer que o vetor v (cid:1)(cid:2)
k é a diferença entre o vetor u e o vetor • (cid:1)S(cid:2)e a>0, o sentido de s é
(cid:1)v(cid:2) . (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) mesmo de v (cid:1)(cid:2)
• Se a<0, o (cid:1)(cid:2)sentido de s é
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
OBS:- A diferença entre o vetor v
oposto ao de v (cid:1)(cid:2)
e o vetor u , será igual a -k. (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) • Se a = 0 ou(cid:1) (cid:2)v for nulo, o
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:2) resultado é um (cid:1)(cid:2)vetor nulo.
v- u = -k
(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:2) O produto de a por vse indica por

av. O produto (1/a)v(cid:1)(cid:2) se indica
1.2.4 Módulo, Direção e Sentido si(cid:1)(cid:1)m(cid:2) plesmente por v/a. (cid:1)(cid:2)
Dado um vetor u , todos os seus (cid:1)(cid:2)
representantes têm o mesmo
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
comprimento; assim, o comprimento de
qualquer representante de u é chamado
de módulo do vetor u e é(cid:1) (cid:2)indicado por
u . O módulo de um(cid:1)(cid:1) (cid:1)(cid:2)vetor depende da
unidade de comprimento utilizada.
|(cid:1)(cid:2)|
Figura 12– Produto de um número real por um
O módulo de um vetor, também, é
vetor
chamado de Norma do vetor.
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1.2.6 Espaço vetorial. 3. Dados os vetores u e v, conforme
Chama-se espaço vetorial ao a figura 15, determ(cid:1)(cid:1)(cid:1)i(cid:2) n e (cid:1)o(cid:1)(cid:2) vetor x tal
conjunto de vetores munidos de pelo que u+v+x=0. (cid:1)(cid:2)
menos duas operações que respeitam as
(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:2)
propriedades da adição e do produto de
um número real por um vetor. Os
espaços vetoriais são estudados na
Álgebra Linear.

Figura 15
OBS:- É comum se usar o termo escalar 4. Determine a soma dos vetores
para designar um número real, em indicados na figura 16.
D
contraposição a um vetor. Assim, quando
se multiplica um vetor por um número
real é comum ser dito que este vetor será
C
multiplicado por um escalar. Não se deve
(a)
confundir este produto com Produto
Escalar que será visto mais à frente. A B
D
1.2.7 Exercícios.
C
1. Para a figura 13, onde DC = 2AD,
(b)
exprimir D – B em funçã(cid:11)o(cid:11)(cid:11)(cid:11) (cid:11)de A(cid:11)(cid:11) (cid:11)–(cid:11)(cid:11) (cid:11)B
e C – B. A B
B E D
F
C
(c)
A D C

A B
Figura 13
2. Para a figura 14, AD é a bissetriz
do ângulo A. Exprimir D – A em
função de B – A e C – A.
A
B C
D
(d)

Figura 14 Figura 16

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5. Dados os vetores u e v, da figura 1.3 Dependência e Independência
17, determinar: Linear.
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:2)
O vetor resultante da soma entre Sejam n vetores v ,v ,.......,v
1 n
u e v; (n≥1) e a1,a2,........,an núm(cid:1)(cid:2) e r(cid:1)(cid:2)o2s rea i(cid:1)(cid:2)s.
O vetor resultante da diferença Chama-se combinação linear dos
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:2)
entre u e v; vetores v ,v ,.......,v ao vetor:
1 n
(cid:1)(cid:1)(cid:1)O(cid:2) v(cid:1)(cid:1)(cid:2)e tor resultante do produto de (cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:2)2 (cid:1)(cid:2)
a v +a v +…+a v =u
u por um escalar igual a -5/3. 1 1 2 2 n n
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:2)
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) Se u é combinação linear dos
vetores v 1(cid:1),(cid:2)v ,.......,v n, diz-se, também,
que u é g(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)era (cid:1)(cid:1)(cid:1)d(cid:2)o2 por e s(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)tes vetores.
(cid:1)(cid:2)
Dados n vetores v ,v ,.......,v
1 n
(n≥1), dizemos que eles são linearmente
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)2 (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
Figura 17
dependentes (LD) se existem escalares
6. Se (A, B) é representante de a ,a ,........,a , não todos nulos, tais que:
1 2 n
u e (C, D) um representante
n
d(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)e (cid:9) v0 , prove que se AB // CD, av=0
i i
exis(cid:1)(cid:1)t(cid:2) e(cid:9) u0m número real l tal que (cid:18)i=1 (cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:2)
u v·.
ou seja,

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:5) (cid:12)(cid:1)(cid:2)
7. Determine x
a v a v a v
1 n

(cid:1)(cid:2) 1(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)(cid:20) (cid:21)(cid:1)(cid:1)(cid:1)2(cid:2)(cid:20)(cid:22)(cid:20) (cid:1)(cid:1)(cid:1)n(cid:2) (cid:5) (cid:1)0(cid:2)
Quando os vetores v ,v ,.......,v
2x-3u=10 x+v 1 n
não são linearmente dependentes,
(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:2)2 (cid:1)(cid:2)
(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:2) (cid:13)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:2)(cid:14)
dizemos que eles são linearmente
8. No sistema a seguir, resolva o
independentes (LI).
sistema nas incógnitas x ey
(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:2) Pode-se, então, verificar que os
x+2y=u
vetores v ,v ,.......,v , são linearmente
3x(cid:1)(cid:2)-y=(cid:1)(cid:2)2u(cid:1)+(cid:2)v 1 n
(cid:15) (cid:16) dependen(cid:1)(cid:2)te s(cid:1)(cid:2) 2quand (cid:1)o(cid:2) o vetor resultante
(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:2)
v de sua combinação linear for nulo.
9. Seja v . Mostre que é um
v(cid:1)(cid:2)
vetor u(cid:1)(cid:2)n(cid:9)itá0rio (versor de v) |(cid:1)(cid:2)| Pode-se dizer, ainda que; dados
(cid:1)(cid:2) os vetores v1,v ,.......,vn, se um deles é

combinação linear dos outros, então eles
(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:2)2 (cid:1)(cid:2)
são linearmente dependentes.

1.3.1 Definições

I. Um único vetor v é linearmente

dependente se v (cid:1)(cid:2) .

(cid:1)(cid:2) (cid:5) 0
II. Dois vetores u e v são linearmente
dependentes se eles forem
(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:2)
paralelos a uma mesma reta.
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Se u e v são linearmente 1.3.2 Exercícios.
dependentes, então, existe escalares a e
(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:2)
b tais que:
10. Prove que se o conjunto de
au+bv= 0 (cid:2) u= -b v vetores u, v, w é linearmente
a
independente, então o conjunto
(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:2) (cid:24) (cid:25)(cid:1)(cid:2) (cid:13)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:2)(cid:14)
Desta forma, os dois vetores possuem u+ v+ w, u-v,3v também é
a mesma direção, ou seja, eles são (cid:6)lin(cid:1)(cid:2)ea(cid:1)(cid:2)rm(cid:1)e(cid:1)(cid:2)nt(cid:1)e(cid:2) (cid:1)i(cid:2)nd(cid:1)e(cid:2)(cid:7)pendente.
paralelos.
11. Prove que se o conjunto de

vetores u , v é LI, então
III. Três vetores u v e w são
u v, u v(cid:13)(cid:1) (cid:1)(cid:1)t(cid:2)am(cid:1)(cid:2)(cid:14)bém é LI.
linearmente dependentes se eles
(cid:1)(cid:2); (cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:2)
(cid:6)(cid:1)(cid:2)(cid:20)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:2) - (cid:1)(cid:2)(cid:7)
forem paralelos a um mesmo
12. Prove que se o conjunto de
plano.
vetores u, v , w é LI, então o
Se u; v e w são linearmente conjunto (cid:13)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:2)u(cid:14)+ v,u+ w v+ w
depende(cid:1)n(cid:2)tes(cid:1),(cid:2) então,(cid:1)(cid:1) (cid:2)existe escalares a; b também é LI. (cid:13)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:2) ,(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:2)(cid:14)
e c tais que:
b c
au+bv+cw= 0 (cid:2) u= - v+ - w
a a
(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:2) (cid:27) (cid:28)(cid:1)(cid:2) (cid:24) (cid:25)(cid:1)(cid:1)(cid:2) 1.4 Base
b c
Os vetores - v e - w são Uma base no espaço é uma terna
a a
e , e , e formada por três vetores
coplanares com v(cid:24) e(cid:25) (cid:1)(cid:2)w, (cid:24)po(cid:25)rt(cid:1)a(cid:1)(cid:2)nto, u 1 2 3
linearmente independentes. Veja a figura
também é coplanar com eles. (cid:13)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)(cid:14)
(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:2)
19.
Devemos lembrar que o vetor
e
resultante da soma entre dois vetores é 1
coplanar com eles. Isto pode ser
observado na figura 18.
e
2
R
e3
u
Figura 19
v

Para todo vetor v, gerado a partir
Figura 18 de e1, e2, e3 , exi(cid:1)s(cid:2)tem escalares
a1,a2(cid:13),a(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)3(cid:2) (cid:1)t(cid:1)(cid:1)a(cid:1)(cid:2)is(cid:1) (cid:1)(cid:1)q(cid:1)(cid:2)u(cid:14)e:
(cid:13) (cid:14)
IV. Qualquer sequência de elementos a e +a e +a e =v
1 1 2 2 3 3
com quatro, ou mais, vetores é (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:2)
Ou seja, o vetor v é combinação linear
linearmente dependente.
dos vetores e1, e2(cid:1)(cid:2), e3 .
(cid:13)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)(cid:14)
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Podemos então escrever o vetor v ou seja:
como sendo:
(cid:1)(cid:2)
u+v = a +b ,a +b ,a +b
1 1 2 2 3 3
3
(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:2) (cid:13) (cid:14)
Quando se usa a notação
ae =v
i i
matricial, podemos escrever:
(cid:18)i=1 (cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:2)
Os escalares a ,a ,a são a b a +b
1 2 3 1 1 1 1
chamadas de com(cid:13)ponentes(cid:14), ou u v = a2 + b2 = a2+b2
a b a +b
coordenadas, de v em relação à base (cid:1)(cid:2)(cid:20)(cid:1)(cid:2) (cid:31) 3 ! 3" ! 3 3"
e1, e2, e3 . (cid:1)(cid:2) OBS:- Quando se tem um vetor v em um
(cid:13)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)(cid:14)
Reciprocamente, a uma terna plano, suas componentes pod(cid:1)(cid:2)em ser
a1,a2,a3 de números reais, existe um definidas como as coordenadas (v1; v2)
único vetor cujas coordenadas são de um sistema de coordenadas
(cid:13) (cid:14)
a ,a e a . retangulares ou cartesianas. Assim, o
1 2 3
vetor v será representado simplesmente
Fixada uma base e1, e2, e3 , é por (cid:1)(cid:2)
costume se representar o(cid:13) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)v(cid:2)e(cid:1)t(cid:1)(cid:1)o(cid:1)(cid:2)r (cid:1)(cid:1)(cid:1)v(cid:1)(cid:2) (cid:14)por
v = v ,v
meio da terna a1,a2,a3 ou ainda(cid:1)(cid:2), por 1 2
meio da matriz c(cid:13)oluna: (cid:14) (cid:1)(cid:2) (cid:13) (cid:14)
A figura 20 mostra o vetor v e suas
a componentes.
1 (cid:1)(cid:2)
a
2
a
(cid:31) 3
Escrevemos, então:
a
1
v = a ,a ,a ou v = a
1 2 3 2
a
(cid:1)(cid:2) (cid:13) (cid:14) (cid:1)(cid:2) (cid:31) 3
Deste ponto em diante, o uso de
coordenadas será muito freqüente; é
conveniente, então, que as operações
entre vetores sejam feitas diretamente
em coordenadas, assim, faremos o
estudo de algumas destas operações:

Figura 20
1.4.1 Adição entre vetores
Se u = a ,a ,a e v = b ,b ,b
1 2 3 1 2 3
então:
(cid:1)(cid:2) (cid:13) (cid:14) (cid:1)(cid:2) (cid:13) (cid:14) Quando é feita a soma entre dois
vetores no plano, o vetor resultante tem
u+v = a +b ,a +b ,a +b
1 1 2 2 3 3
componentes iguais à soma entre as
(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:2) (cid:13) (cid:14)
De fato, se u=a e +a e +a e e componentes em cada direção. A figura
1 1 2 2 3 3
v=b1e1+b2e2+b3e3 ,(cid:1) (cid:2)entã(cid:1)(cid:2)o: (cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:2) 21 mostra a soma entre dois vetores
(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:2) v e w.
u+v= a +b e + a +b e + a +b e
1 1 1 2 2 2 3 3 3
(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:2)
Pro(cid:1)f(cid:2). J(cid:1)o(cid:2)sé(cid:13) Carlos M(cid:14)o(cid:1)(cid:2)rilla (cid:13) (cid:14)(cid:1)(cid:2) (cid:13) (cid:14)(cid:1)(cid:2)