Cálculo Integral para Funciones de una Variable

187 Pages·2002·25.015 MB·Spanish

by  I.I. Liashkó... [et al.] , traducido del ruso bajo la dirección de Viktoria O. Malishenko.

r
1.1. Liashko, A. K. Boiarchuk
l a . G. Gai, G. R Golovach
4
(cid:56)(cid:53)(cid:54)(cid:54)
H M.JiitlllKi), A, K. liiHiji'iyii, M.I. tali. ! .K.I 'iwioiui'i
('ll[MMI(>'llimL HIK'«(>i1f INI IIMCIJIfH MHTOMIHUKI*. 't'OM 1. 'lilt 11. II*
Miu'umiiih'ilvkhH hiihjikj: Hiricipaii
J. /. Liushkfi, A. K. SUuimlutk, hi. C.C.ui, G. J! Gotwach
Matcmatica superior. Problemas rcsueltos. To mo 2. Andlisis matematico:
edlculo integral p.iin funcioncs de una variable
'IVtitltuvitin tie In aiarta edition rusa (1997)
lis I, i serif consta do echo voliimenes. Los tun I to primeros tomos con los que se able esta obra,
I'nUtn dodicados al estudio practico de Ids fund ones, las sucesiones, las series, el cflkulo diferencial e
integral de Ins f Lindanes de una y varias variables; en ellos se presenter! soluciones completamente
(cid:129) Eelalladas do los problemas expueslos en el famoso libro de li P.llemidovich.
I in los lomos 5 y f>, a parte de una detallada exposition de ia teoria de las funciones de variable
coniplej.% se rcsuelven escnipuiosamente cerca de -100 problem as, muchos de los males aparecen en
la inmortal coleccion del mate 'latico so vie tiro L.L Volkoviski. Ademas de los temas carac ten's Hcos
de los cursns de esle lipo, en esta parte de la obra se Italian euesliones menos comutics como son la
integral de Newton—Leibniz y la derivada de Ferrnat—Lagrange. Se presla una especial atenci&i a
las aplicactones conformes.
I in aprOximadamente 800 problemas resueltos pa so a pa so, los tamos 7 y H abarcan todus los topicos
del curso habitual de la teori.o de las ecuaciones diferenciales, En cad a section se ex pone el mini mo
leorico csliiclarnenle neeesario para In resolution de los problemas correspondicntes; muchos de
eslos aparecen en la genial coleccion de A,F. Filippov. Aslmismo, en estos volumenes se analizan
toda una serie de tenias basfante alfpicos para libros de esta clasc (teoila de la prolongation de la
Solution def problem a de Caucliy, ecuaciones diferentiales en deiivadas partiales de primer orden
no lineales, algunos metodos numsSricos para la resolution de ecuaciones diferenciales, nplication de
los eriterios de existentia de los aclos 1 unites en el piano lasico, etc.).
En la edicion de este libro participaron:
Director Domingo Marin Riivy
Vicedi rector Natalia HnoguUnaoa
Director de production Irina Mitkii-eva
Director de sislemas Viktor Rominov
Traduction Viktoria Malishetiko, Konstantin Miedlwv y Maria Andridnova
IJiseno Viktor Ronidmm i/ Vusili Podobied
1'nmaquetation Natalia Beketova
I'rocesamiento de texto Svietiana tiotidiirenko y Anna Tubinu
Correction Igor Korovin, Larisa Kirdiiishkhia y Luh Rodriguez Garcia
Realization lecntca Natalia Armcheva y Elena I.6gvinova
Ki'sei vadoB todus los derechus en todos los idiotrtas y en ledos los paises del imindo. Qiiedau rigujcssamente
prolitbidns, sin la autorizaciftn escrita del titular del "Copyright", baja las sandones estabiecidas en fas leyts,
lit k-producciuii tola! u parrial (le esta obra por cualquier medio o procedimientu, compnendidos la reprograffa
y 11 tratamlcnfo infermatico, y la distribution tit ejemplarus dc ella mudiarite alquiler o prfistamo publico.
ISBN 5-88417-183-8 (Obra compfeUJ
Editorial URSS 5-88417-185-i (Tomo 2)
http:/' ui'ss.i sa.ac.ru © Editorial URSS, 1999
Capitulo 1
FP —M (cid:129) Mil (cid:129) (cid:129) (cid:129) I
Integral indefinida
§ 1. Integrales indefinidas inmediatas
1.1. Definicion de integral indefinida
Definicion. Se dice que una funcion F : X —(cid:129) M, X C R, es primitiva de una
I micron / : X —> R, si la funcion F es continua en X y su derivada es igual a f(x) en
Jodos ios puntos del intervalo X, a excepcion de un conjunto de puntos numerable.
Si la funcion F tiene derivada igual a /(a?) en cada punto del intervalo X, la
f uncion F se llama primitiva exacta de la funcion /,
El conjunto de todas las primitivas de la funcion / en el intervalo X se denornino
integral indefinida de la funcion / y se designa con el simbolo f f{x)dx. Si F es una
primitiva arbitraria de la funcion / en el intervalo X se tiene
f
f(x) dx = F(x) + C,
Umde C es una constante arbitraria,
1.2. Propiedades fundamentals de la integral indefinida:
a) d (/ f{x) dx) = f(x) dx) b) f dF(x) = F(x) + C;
c) J Xf(x) dx = A / f(x) dXj A E R\{0}; d) / (f{x) + g(x)) dx ^f f(x) dx +/ g(x) dx.
1,3. Tabla de integrales inmediatas:
L / dx — x + C. IL / xndx X,-fi+l + C, n £ ™L
M +1
J
dx. arctg x + Cj
m. Jf ^X - in 1\ 'x \ + a IV. l+x2 arcctg a; + C,
dx (cid:14)(cid:3)(cid:70)(cid:17)(cid:3) dx arcsen ar + C}
V. -In VI. /
/ (cid:717)(cid:71)x(cid:717)(cid:71)(cid:717)(cid:71)(cid:717)(cid:71)+(cid:717)(cid:717) l vT X -arccos x + C.
vn. / : (to aX
In + Vx^il] + C, VIII. JVd® +C, a> 0, a^l;
iaa
/ exdx e* + C.
IX. J" sen xdx — — cos :c + C. X. f cos x dx — sen x + C.
XL / -CtgX + C XII. / tg ar 4- C.
scrr a; cos
XIII. / sh a? dx — ch a; + C. XIV, / ch x dx ~ sh x Hb C.
YV r ——- YVT r f/;Jf i
f k -"r* -1. f~*
('.inlluht I, lulrgivtl mdi-fiutd.i
1.4. IVU'tndoH prJfuip.ik'H de integration
u) Mt'h>ihi tie hitmdiuiifitt dr utt nnevo atgutuenfn (cunt bio de variables). Si se tiene
jf(x) da: I''{x) I C, on Unlets / f(u) du ~ F(u) I- C.
b) Mel odd de filial Unci Ml. Si f f(x) dx = F(x) + C, a: £ X, al sustiiuir
x = if(t), >p:Y~> X,
/
dondo <p y su derivada ip' son funciones continuas, se obtLene
/ o (cid:129) ip'(t) dt mF o <p(t) + C.
c) Metodo de integration por paries. St u y v son funciones diferenciables y la funci6n
uv' tiene primitive entonces es valida ia formula siguiente
J u dv — wv — J v du.
1. Demostrar que s/i J f{x) dx — F{x) + C, entonces
f(ax + b)dx = ~F{ax + 5) 4- C, a/0.
(cid:129)* Solurion. Tenemos
f(ax -j-b)dx ^ - f(ax + b) d(ax -j- 6).
a
Gambia ado lucgo de variable hallamos
I f(ax + b)dx = ^ J f(ax -}- b) d(ax (cid:2) (cid:3)(cid:4) (cid:5) (cid:6) Jf (u) du = - F(?0 -l- C,
a.
donde u = aa; + b.
For ejemplo, utiJizando Ja labia de integral es calculamos
dx i / *f(f) 1
x = — arete — H- C;
/ a + X1 a J i + « ) a *
[ _ j £ - f
—= a rcsen —J- CT;
a
J \Z'a2 - x2 J y/j _
-I C = hi® + \/V ± -i- C,
0
J v^i^2 y a
donde C = Co — In |a|;
Jf dx = I f l i t ) = J_ ,n a; - a + C. *
x2 - 112 a. J 2a x + a
(i I. Integrates indcfinidaN j rimed hit as n
Utilizando la fabla de integrales calcular las integrales siguientes:
dx
(cid:129) A sen x
< Solucion* Tenemos )
§
dx d( x aj
/ 7T ^ LF \ ) +C,
1 -f sen x l + cos(§ - X) COS' \4 2/ 2
a? ^ +2fer, fcGZ. (cid:129)
x dx
3. 2
8
x
Solution. Dado que
dx 1 x — a
In + C
x2 ~ a2 2a x + a
do acuerdo con el ej,l se tiene
x dx 1 d{xA) 1 , is4 (cid:21)
in + C. (cid:129)
xs 2 4 (a?4)2 - (Viy 8V2 £4 + 2
da?
4.
£\/a;2 +1
M Solucion. Para x ^ 0 se verifies
dx dx sgn x dx
XV,X1 + 1
por eso
dx
xvx2 + 1
+ +
1 1 1 -f Vx2 +1
hi \ I -f C = - In + C. (cid:129)
I® x a;
i
n1™1 (cid:129) _
dx
5.
xVx2 — 1
< Solution. Dado que
dx sgn x dx
7 M > i
xVx2 --1
X 1 - J2 i - f-M
X
resulta
1) ta|i|luk> U Integral tilde I in Ida
f ..
6.
./ Or' I l)«
< Solucirin. Uliltynndo el liecho de que ]a:| — x sgn x fcnemos
J J + 2 J \ a2/ V ##
+ C.
En cL proceso del caleulo de la integral asumimos que x estaba sometida a la
condici6n x -f 0. Sin embargo, mediante comprobadon directs ncs cercioramos de que la
/
funcion ^ es la primitiva de ^775572 para cualquier i f 8.
dx
V ^ l b x)
< Solution. A partir de la desigualdad + x) > 0 ebtenemos el dominio de definicion del
integrand© X = {x : x > 0 V x < —1}. Para x > 0 tenemos
./ + ^ v W T T i 7 v '
Analogs men le, para 1 + x < 0:
dx _ f dx — ~2 f d-i/^x^l)
y / x ( \+ J v-x - tv^x j y r
= -2 In ( - 1 -f <J-x ) + C.
Ambas soluciortes pueden ser reunidas en una formula. De este modo, tenemos
f y/W + +C, •
,0J.
«2[-1
= 2 sgn at l n ( v f e H)
J \/x(i + x)
8. f dx
<4 Solucion. El Integra ndo Gsia definido para 0 < « < 1, iuego
d{s/~x) „
[ dx_ _ f d? = 2 / - — arcsen yr/x + C, (cid:129)
7 /i(l - a;) J v^v'T^t " J /l- (y/xf
v
G f _
/ v'l I
Solution. Si1 tiene
t dx I dx. f
J Vt 1 ./ rVc J* 1 1 ./ vT^TT ~
InjV * 1 ) H C = «-ln(l + \/l + e2x ) + C.
jj I Integrates hidcfinidtiN inm<< J(cid:113)(cid:85)(cid:112)I (cid:113)(cid:122) (cid:26)
| q f mimi com xdx
J seiv x !(cid:129) it cos2 x
(cid:129)4 Solucion. Dado quo son x cos x dx - obtenemos
sen x cos x dx 1 d(a2 sen2 x h fr2 cos2 x) _
2 _ 2
v/a2 sen2 x + b2 cos2 x Q> h Va2 sen2 x H- b2 cos2' x
1 2 i2
a1 sen2 x + b2 cos2 x + C, a / ot
a2-b2
dx
1 TL *
sen x
< Solucion, Se tiene
dx dx dx d tgf
r\ , X X a; J
sen x 2 sen | cos | 2 tg 2 COSz ^ tg
por eso
da: a?
•
X In tg + C, IE fcTT, fc G
sen x 2
tg
dar
cos a;
1 2 - /
^ Solucion* Analogamente al ejemplo anterior obtenemos
dx ) 7T
In f + l fc € Z.
+C,
cosx sen (| + x
13
sha?
Solucion. Transformando el in teg ran do, para x f 0 obtenemos
da? da; da: _ f d( thf) x
a; In th + C. (cid:129)
2
shx 2shf chf 2 th¥d?f J th
shar
14
(cid:129) / Vch2af
* Solucion. Es evidente que
J_
sha; , 1 d(V2 ch x) (cid:129)
= dx - (cid:129) (cid:129) ln(V2chx + Vch2x) + C.
Vch2x y/2 a/5
(\flchx)2-l
sh x ch a; dx
15.
8 I'iipitulo I. Integral iiitlrliitiil.i
Sohuirtn. (ii'iic
Nil x ch iK tlx sh a; ch x dx sh 2x dx d(ch 2x)
\Z»U'lx r ch'':r ^h^id.'x^h^-.si.^)' 2^/|ch22x + \ 2Vr2\/ch12x + l'
entonicceess
/' = 1 f = 1 hl(ch 2a; , v ^ T l =
J V^VWdi^ 2V57 i/ch^ + l
1 J ^ + V d ^ + Sh^+C.
2\/2 \ \/2 /
16. /
dx
ch2£V/ tii2rc
Solution. Es evidente que
f 7 7 = = f Qi~hd(thx) = 3<yihx | C.
J ch2xv th^rc
II Calcular las integrates siguicntes:
/
17. / vT — sen 2x dx.
M Solucion. Dado que
Vl - son 2x — \J(cos x - sen xf- - ; cos x - sen x\ — (cos x - sen a;) Sgn {cos x - sen x),
entonces, al designar T(x) — f Vl — sen 2a: dx obtenemos
-(sen x + cos ar) + C-,~ - 1-k ^ x < ~ - ir,
sen x + cos x + ~ - it ^ x < J,
- -(sena + casa?) + C ^ ^ x < * + (cid:129)
b
(—1)n(son x + cos »} + C , nir,
n
Dado que la funcion primitiva es continua, ha de cumplirse la igual dad
/ ( J + far) = i"(| + Jbr-o), fc g Z,
es dec it; (~l)fc+1<sen + COKHfe) + Qrl = lijn (~l)*(scn x + cos x) + CV donde xk =
~ + few, k £ %, Por tanto, obtenemos la igualdad -y/2 + C i V2 + C. Para k = 0
ti k
hallamos C\ -2V2 + C. Si A = 1 vemos que C =2V5+ C\ =2 -2V2 + C . Fmpleando
0 2 n
el mdtodo de induction maternities obtenemos C„ — 2\Zln + C, dnndc C — Q, es una
ctmstsinte aibitraiia.
I. htle^ralcs indeljnjil.iN iiiintkili*il«m
FinalnuMiUv lr;ins(omuindo la dtvsigiMldiid 'J I (w )7T p < j I U7r en In forma
t.
X ~ 7 -{- 7T
%
Tl ^ <
ii,
7r
lullamos que
£ " f +-K
IT
De este modo,
x +1T1
Vl - sen 2x dx = (-1) (sen x -f cos x) + 2y/2 4 + c. (cid:129)
7T
18. • (cid:129) (cid:129)
sen2 x + 2 cos2 a:'
^ Snlucion. Transformando el integrando obtenemos
dx da? 1 tgx
f
m
sen2 x + 2 cos2 a? (tg2* + 2) cos2 x ~ Vl S V5 '
donde nw - | < x < | rar, nGZ. Dado que la primitiva es continua, entonces
I ( ^ -f nir I -f- T27.T 4- 0 n G Zj
rs decir,
7T 7T
2V2 + CB + Gn -Hl-
2V"2
I.)e nqui vemos que C 1 — + C [o bien C = 4- C, donde C = Cq. Como
n+ n n
2ar+T- <n + l neZ,«e tiene n - r2*f* j. Por consiguiente, la primitiva
/ 2*
271
2% +7T
i tg® ^
/{#) ^ -— arctg + -7= + C, x ^ - + n-K) / ( f + . - ) . lim I(x)
V2 b \/2 v^ .7r k
cs exacta en K. (cid:129)
1
19 dx.
• /
* Sol ucion. A partir de la igualdad
J.
x 1 ;r
- dx - da? —
1
X ( * + £ ) 2 - 2
si* deduce que
xr — 1
- da?
;i;4 4 1
l _
1 X + X - y/2 1 , a; xV2 + 1 + C. •
In + C In
a? + I _v Vi 2v5 a;2 + xVl +1
3?
ar +1
20. dx.
il t 1
1(1 <.'.i|'ilulo I. Integral Imli'ftuitlii
Soiuddn, 1'iirti x / I! leiiomoK
^ i - t , l ± i , i & z i )
tlx - _ £_ dx — - - 1 -,
"H (» - I) +2
por est)
Por definicion, hi primitiva dcbe ser continua, por consiguientc, J(-0) = f(-fO), es
decir, ^ + C_ - + Ci. Tomando O-i = + C, = ^ + C, donde C es
5
Lino constante arbitraria, y suponiendo 1(0) — C, nos cercioramos de que la condition
/(- 0) = /(-| 0) = I®) se verifica, entonces J a integral buscada se escribe en In forma
U® = j ^ = ~ arctg fc* + sgn ar + C, x* (cid:7)(cid:8) J(0) = lim I(x). (cid:129)
21. J ^ d x , A e R' * > L 0$
Soluci6n. Examinemos ei caso A ^ 0. Sea [x] — n, entonces n ^ x < n -| y para ias
res tried ones de la primitiva x h-> /(i) a los inter,'a los [n, n 4 -« € N, obtenemos
m-1
f s £ « - j£r + <V
Debido a la continuidad de la primitiva debe cumplirse !(n) = /{« - 0), es decir,
—j^i+Qt = + Ch -1 obien C — , n £ N, de donde lenemos sucesh'aniente
B
Cj = i + C = I + donde Q, = C,
0
(3)
c = ^A + A = I -I- ~~ I C,
2
^ = A + W + j^1 + C-
Dado que n — [jrj, de (2) y (3) hallamos
Sea, ahora, A — 0. Entonces, para x € [w, n +1[, n 6 N, se tiene
f
n
l(x) = JI —x dx —. n\x\x + Cn,
Uebido a que la primitiva es continua, se tiene la igualdad I(n) — I(u -0). Entonces por
annlogia eon el caso examinado anterioEmenfe hallamos
C„ = - lit 2 - In 3 In n + C.
Dado tjue n — [a:] obtenemos
I ^ [je] Ins —lrt2 - In3 - Intel + C = feci In » - M®1!) -f C.
rfa;