Cálculo II

308 Pages·2012·10.834 MB·Portuguese

by  Eliezer Batista, Elisa Zunko Toma, Márcio Rodolfo Fernandes, Silvia Martini de Holanda Janesch

Cálculo II
Eliezer Batista
Elisa Zunko Toma
Márcio Rodolfo Fernandes
Silvia Martini de Holanda Janesch
2ª Edição
Florianópolis, 2012

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Acadêmica do Curso de Licenciatura em Matemática na Modalidade a Distância.
Ficha Catalográfica

C144
Cálculo II/ Eliezer Batista, Elisa Zunko Toma, Márcio Rodolfo
Fernandes, Silvia Martini de Holanda Janesch - 2 ed. - Florianópolis:
UFSC/EAD/CED/CFM, 2012.
308 p.
Inclui bibliografia
UFSC. Licenciatura em Matemática na Modalidade a Distância
ISBN 978-85-8030-022-2
1. Cálculo integral. 2. Séries (Matemática). 3. Séries de potência. 4.
Ensino a distância. I. Batista, Eliezer.
CDU: 517.3

Catalogação na fonte pela Biblioteca Universitária da UFSC
Sumário
Apresentação ....................................................................................7
1. Integrais .................................................................................9
1.1 Introdução ...................................................................................11
1.2 Integrais inferior e superior – funções integráveis ..............18
1.3 Integral como limite de somas .................................................26
1.4 Propriedades da integral ...........................................................35
1.5 Teorema fundamental do cálculo ............................................39
1.6 Integral indefinida .....................................................................45
1.7 Técnicas de integração ...............................................................50
1.7.1 Método da substituição ou mudança de variável ..........50
1.7.2 Método da integração por partes .....................................56
1.8 Cálculo de áreas ..........................................................................61
1.9 Integrais impróprias ..................................................................67
1.10 Utilização de pacotes computacionais ...................................81
Resumo ..............................................................................................90
2. Métodos de Integração ......................................................95
2.1 Integrais envolvendo funções trigonométricas ......................97
2.1.1 Funções trigonométricas ...................................................97
2.1.2 Integrais envolvendo potências de senx e cosx ..............99
2.1.3 Integrais de potências de tgx e cotgx .............................102
2.1.4 Integrais de potências de secx e cossecx .......................104
2.1.5 Integrais de produtos de potências de tgx e secx ........105
2.1.6 Integrais de funções envolvendo seno e cosseno de arcos
diferentes .........................................................................109
2.2 Substituição trigonométrica.....................................................110
2.3 Integração de funções racionais: método das frações
parciais ......................................................................................120
2.4 Integração de funções racionais de seno e cosseno
(substituição universal) ............................................................132
Resumo ............................................................................................138
3. Aplicações de Integral .....................................................147
3.1 Equações diferenciais de primeira ordem com variáveis
separáveis ...................................................................................149
3.2 Comprimento de arco de curvas planas ...............................158
3.3 Sólidos e superfícies de revolução ..........................................162
3.3.1 Método dos discos ...........................................................164
3.3.3 Método das cascas cilíndricas ........................................171
3.3.4 Áreas de superfícies de revolução .................................177
3.4 Centro de massa de regiões planas.........................................182
3.5 Curvas e áreas em coordenadas polares ...............................188
4. Séries Numéricas ..............................................................203
4.1 Introdução .................................................................................205
4.2 Definições ..................................................................................208
4.3 Condições de convergência e divergência .............................219
4.4 Operações sobre séries ............................................................222
4.5 Séries de termos positivos ou nulos .....................................225
4.6 Séries alternadas e séries absolutamente convergentes ......247
4.6.1. Séries alternadas ..............................................................248
4.6.2 Séries absolutamente convergentes ...............................253
5. Séries de Potência .............................................................261
5.1 Introdução .................................................................................263
5.2 Série de potências e convergência ..........................................264
5.3 Representação de funções como séries de potências ..........272
5.4 Série de Taylor e série de Maclaurin ......................................278
5.4.1 Definições ........................................................................279
5.4.2 Caso que a série de Taylor tem como

soma a função f (x) ....................................................................285
5.5 Aplicações ............................................................................296
5.5.1 Aplicações de polinômios de Taylor. .............................296
5.5.2 Série binominal ................................................................298
5.5.3 Cálculo de integrais aproximadas. ................................302
Bibliografia básica ..........................................................................307
Bibliografia complementar ............................................................307
Apresentação
Caro estudante,
Estamos iniciando a disciplina de Cálculo II!
O estudo dos conteúdos desta disciplina requer que você tenha
conhecimento sobre limite, continuidade e derivada de função de
uma variável, conceitos estes estudados na disciplina de Cálculo I.
O conteúdo deste material está divido em cinco capítulos. No
Capítulo 1 estudaremos o conceito de integral e suas proprieda-
des. Demonstraremos o Teorema Fundamental do Cálculo, um
resultado importante que relaciona a integral com a derivada, e
que simplifica consideravelmente a solução de muitos problemas
envolvendo integrais. No Capítulo 2 estudaremos algumas técni-
cas de integração. No Capítulo 3, utilizaremos a integral defini-
da para resolver problemas de cálculo de áreas, comprimento de
arcos, volume de sólidos de revolução e área de superfícies de
revolução. Os Capítulos 4 e 5 são dedicados ao estudo de séries
numéricas e séries de potências. Vários métodos, ou testes, para
analisar a convergência de séries numéricas e séries de potências
serão apresentados, além de suas aplicações ao cálculo de inte-
grais e representação de funções por séries de potências.
Os Capítulos 1 e 2 foram escritos pela Professora Sívia, o Capítu-
lo 3 foi elaborado pelo Professor Eliezer e os Capítulos 4 e 5 são
de responsabilidade da Professora Elisa. Em partes do texto são
apresentadas atividades complementares que envolvem o uso de
softwares matemáticos. Essas atividades foram contribuições do
Professor Márcio.
Esperamos que ao final da disciplina, você tenha condições de
calcular e aplicar com adequado desembaraço, integrais de fun-
ção de uma variável e, além disso, que saiba analisar a conver-
gência de séries numéricas e de potências, bem como representar
funções por séries de potências. Também, esperamos que fique
bem compreendido o sentido de aproximar uma função por
seus polinômios de Taylor.
Os autores

Capítulo 1
Integrais