Cálculo I

208 Pages·2015·12.866 MB·Portuguese

by  Mariele Vilela Bernardes Prado, Renata Karoline Fernandes, Keila Tatiana Boni

Cálculo I
Mariele Vilela Bernardes Prado
Renata Karoline Fernandes
Keila Tatiana Boni
© 2015 por Editora e Distribuidora Educacional S.A
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Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
Prado, Mariele Vilela Bernardes
P896c Cálculo I / Mariele Vilela Bernardes Prado, Renata
Karo line Fernandes, Keila Tatiana Boni. – Londrina:
Editora e Distribuidora Educacional S. A., 2015.
208 p.
ISBN 978-85-8482-159-4
1. Cálculo. 2. Funções (Matemática). I. Fernandes,
Renata Karoline. II. Boni, Keila Tatiana. III. Título
CDD 515
2015
Editora e Distribuidora Educacional S. A.
Avenida Paris, 675 – Parque Residencial João Piza
CEP: 86041 -100 — Londrina — PR
e-mail: [email protected]
Homepage: http://www.kroton.com.br/
Sumário
Unidade 1 | Funções, limite, continuidade e definição de derivada 7
Seção 1 - Revisando funções 11
1.1 | Domínio e Imagem de uma função 13
1.2 | Gráficos de funções 15
1.3 | Operações com funções 17
1.4 | Função composta 18
1.5 | Função Elementares 19
1.6 | Função crescente e decrescente 22
1.7 | Função injetora, sobrejetora e bijetora 23
1.8 | Função inversa 24
Seção 2 - Limite de uma função 27
2.1 | Propriedades de limites 29
2.2 | Teorema do Confronto 30
2.3 | Indeterminação 31
2.4 | Limites Laterais 33
2.5 | Limites e infinitos 36
2.6 | Assíntotas 38
2.7 | Limites fundamentais 40
2.8 | Definição formal de limite 41
Seção 3 - Funções contínuas 45
3.1 | Definição de continuidade 45
3.2 | Propriedades das funções contínuas 47
3.3 | Continuidade por intervalos 48
3.4 | Continuidade de funções inversas 48
3.5 | Valor intermediário 49
Seção 4 - A derivada 53
4.1 | Taxa de variação 53
4.2 | Função derivada 55
Unidade 2 | Cálculo de derivadas 63
Seção 1 - A derivada de uma função e regras de derivação 67
para a multiplicação e divisão
1.1 | O Cálculo de Derivadas de funções 67
1.2 | Técnicas de derivação 72
Seção 2 - A regra da cadeia e derivada de ordem superior 79
2.1 | A regra da Cadeia e sua aplicação 79
2.2 | Derivada de ordem superior 82
2.3 | Concavidade do gráfico 87
Seção 3 - Derivadas implícitas e otimização de funções 89
3.1 | Aplicação de derivadas 89
3.2 | A Derivada e taxas relacionadas 95
Unidade 3 | Equações diferenciais, integrais e integrais múltiplas 111
Seção 1 - Introdução ás integrais, técnicas de integração e integrais definidas 115
1.1 | Introdução à integração 115
1.2 | Técnicas de integração 117
1.2.1 | Técnica da substituição 117
1.2.2 | Técnica da integração por partes 118
1.3 | A integral definida 120
1.3.1 | O Teorema Fundamental do Cálculo (TFC – Parte I) 121
1.3.2 | O Teorema Fundamental do Cálculo (TFC – parte II) 121
1.3.3 | Teorema do Valor Médio para Integrais 124
Seção 2 - Integrais múltiplas 127
2.1 | A integral dupla 127
2.2 | A integral tripla 132
2.3 | Mudança de coordenadas: de cartesianas para polares 134
Seção 3 - Integral de linha e integral de superfície 137
3.1 | A integral de linha 137
3.1.1 | Teorema de Green 141
Seção 4 - Equações Diferenciais Ordinárias de Primeira e 145
de Segunda Ordem
4.1 | Equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem 145
4.1.1 | Soluções de uma Equação Diferencial Ordinária 147
4.1.2 | Problema de Valor Inicial (PVI) 148
4.1.3 | Métodos para obtenção de soluções de EDOs de Primeira Ordem 149
4.1.3.1 | Equações diferenciais de variáveis separáveis 149
4.1.3.2 | Equações diferenciais com coeficientes homogêneos 150
4.1.3.3 | Equações diferenciais exatas 151
4.1.3.4 | Equações diferenciais lineares 152
4.2 | Equações diferenciais ordinárias de 2ª ordem 153
4.2.1 | Teorema de Existência e Unicidade de Soluções 154
4.2.2 | EDOs Lineares Homogêneas de ordem 2 com coeficientes constantes 155
Unidade 4 | Conhecendo matrizes 163
Seção 1 - Matriz, propriedades e classificações 167
1.1 | Definição de Matrizes 167
Seção 2 - Operações com matrizes 177
Seção 3 - Determinantes de matrizes de diferentes ordens 189
3.1 | Determinantes 189
Apresentação
Este livro foi elaborado com a intenção de auxiliar no processo de aprendizagem
dos estudantes da disciplina de Cálculo I do curso de Ciências Econômicas. Os
conteúdos aqui abordados objetivam estudar o comportamento de funções
utilizando conceitos de limite, continuidade, derivas e integrais.
Este material está dividido em quatro unidades. No início da unidade 1 será
realizada uma revisão envolvendo a teoria de funções. Esta revisão é necessária
visto que os conceitos que serão abordados no decorrer deste livro tratarão
diretamente sobre o assunto. No desdobrar da unidade, serão apresentados os
conceitos de limite e continuidade para avaliação do comportamento de funções.
Ao final da primeira unidade será apresentada a definição de derivas a partir da ideia
de taxa de variação.
Na unidade 2, serão apresentados os diferentes métodos de derivação
de funções não sendo mais necessária a utilização da definição de derivada
apresentada na unidade 1. Ainda na unidade 2, serão trabalhados os conceitos de
derivadas de ordem superior, derivadas implícitas e otimização de funções.
O foco da unidade 3 será o cálculo de integrais e as equações diferenciais.
Serão apresentadas as equações diferenciais de primeira e segunda ordem e as
técnicas de integração, além das aplicações de integrais.
Na Unidade 4 será abordado o conceito de matrizes. Ao final do estudo desta
unidade você compreenderá o processo de resolução e o uso de matrizes nas
quatro operações básicas. Você também conseguirá classificar as matrizes, calcular
determinante de uma matriz quadrada, realizar escalonamento e calcular a inversa
de uma matriz.
Cabe ressaltar que a utilização dos links e materiais disponíveis nas seções
Saiba mais e Aprofundando o conhecimento deste livro são essenciais para que o
aprendizado aconteça de forma completa.
Bons estudos!
Unidade 1
FUNÇÕES, LIMITE,
CONTINUIDADE E DEFINIÇÃO
DE DERIVADA
Mariele Vilela Bernardes Prado
Objetivos de aprendizagem:
Os assuntos abordados nesta primeira unidade têm por objetivo, além de
apresentar os conceitos básicos do cálculo, preparar o aluno para a aplicação de
derivadas e integrais.
Seção 1 | Revisando funções
Nesta seção, revisaremos os principais conceitos envolvendo funções, as
principais definições, gráficos, propriedades e as funções mais utilizadas. Estes
conceitos serão fundamentais nos estudos e aplicação do Cálculo.
Seção 2 | Limite de uma função
Nesta seção será apresentado, inicialmente, o conceito intuitivo de limite.
A partir desta ideia intuitiva trabalharemos as propriedades, os teoremas e as
indeterminações envolvendo limites. Serão abordados, ainda, os conceitos
de limites laterais, limites envolvendo infinitos, limites fundamentais e
assíntotas. Ao final da seção, será apresentada a definição formal de limite.
Seção 3 | Funções contínuas
Na seção 3 será apresentada a definição de continuidade, bem como
as propriedades das funções contínuas, continuidade por intervalos e
continuidade de funções inversas. Será abordado de forma intuitiva o
Teorema de Valor Intermediário e suas consequências.
UUnniiddaaddee 11
FUNÇÕES, LIMITE,
CONTINUIDADE E DEFINIÇÃO
DE DERIVADA
Mariele Vilela Bernardes Prado
Objetivos de aprendizagem:
Os assuntos abordados nesta primeira unidade têm por objetivo, além de
apresentar os conceitos básicos do cálculo, preparar o aluno para a aplicação de
derivadas e integrais.
Seção 1 | Revisando funções
Nesta seção, revisaremos os principais conceitos envolvendo funções, as
principais definições, gráficos, propriedades e as funções mais utilizadas. Estes
conceitos serão fundamentais nos estudos e aplicação do Cálculo.
Seção 2 | Limite de uma função
Nesta seção será apresentado, inicialmente, o conceito intuitivo de limite.
A partir desta ideia intuitiva trabalharemos as propriedades, os teoremas e as
indeterminações envolvendo limites. Serão abordados, ainda, os conceitos
de limites laterais, limites envolvendo infinitos, limites fundamentais e
assíntotas. Ao final da seção, será apresentada a definição formal de limite.
Seção 3 | Funções contínuas
Na seção 3 será apresentada a definição de continuidade, bem como
as propriedades das funções contínuas, continuidade por intervalos e
continuidade de funções inversas. Será abordado de forma intuitiva o
Teorema de Valor Intermediário e suas consequências.
UU11 U1
Introdução à unidade
Seção 4 | A derivada
Nesta seção, será apresentada a definição de derivada a partir dos
conceitos de taxa de variação e retas secantes e tangentes.
O Cálculo Diferencial e Integral tem como objetivo estudar o comportamento de
funções, fazendo uso de conceitos como limite, continuidade, derivada, integral e
séries. Tais conceitos são resultados de estudos feitos de forma independente pelos
matemáticos Isaac Newton (1642-1727) e Gottfried Wilhelm Von Leibniz (1646-1716).
Newton e Leibniz generalizaram as regras para problemas que antes eram abordados
apenas para casos particulares de funções. Nesta primeira unidade, serão abordados
os conceitos de limite e continuidade e a definição de derivadas. Antes, porém, é
necessário que façamos uma revisão dos conceitos de funções, tema abordado na
disciplina de Introdução ao Cálculo.
88 Funções, limite, continuidade e definição de derivada Funções, limite, continuidade e definição de derivada 9
U1 UU11
Introdução à unidade
Seção 4 | A derivada
Nesta seção, será apresentada a definição de derivada a partir dos
conceitos de taxa de variação e retas secantes e tangentes.
O Cálculo Diferencial e Integral tem como objetivo estudar o comportamento de
funções, fazendo uso de conceitos como limite, continuidade, derivada, integral e
séries. Tais conceitos são resultados de estudos feitos de forma independente pelos
matemáticos Isaac Newton (1642-1727) e Gottfried Wilhelm Von Leibniz (1646-1716).
Newton e Leibniz generalizaram as regras para problemas que antes eram abordados
apenas para casos particulares de funções. Nesta primeira unidade, serão abordados
os conceitos de limite e continuidade e a definição de derivadas. Antes, porém, é
necessário que façamos uma revisão dos conceitos de funções, tema abordado na
disciplina de Introdução ao Cálculo.
8 Funções, limite, continuidade e definição de derivada Funções, limite, continuidade e definição de derivada 99
UU11 U1
Seção 1
Revisando funções
A função é descrita por leis científicas e princípios de engenharia como uma
quantidade que depende de outra. O termo “função” foi apresentado por Leibniz
para indicar a dependência de uma quantidade em relação à outra de acordo com a
definição a seguir:
Se uma variável y depende de uma variável x de tal modo que cada valor de x
determina exatamente um valor de y, então dizemos que y é uma função de x.
As funções podem ser representadas por equações, por tabelas, por gráficos ou até
mesmo por meio de palavras.
No século XVIII, o matemático Leohnard Euler passou a denotar as funções pelas
letras do alfabeto, conforme a seguinte definição:
Uma função ƒ é uma regra que associa uma única saída a cada entrada. Se a
entrada for denotada por χ , então a saída será denotada por ƒ ( χ ) .
Muitas vezes, a saída de uma função também é denotada por uma letra -
normalmente o γ - e escreve-se γ = ƒ ( χ ) . Tal equação expressa γ como uma função
de χ . A variável χ é denominada variável independente e a variável γ é denominada
variável dependente.
Vejamos um exemplo:
A equação γ = 2χ2 - 3χ + 4 está na fórmula γ = ƒ ( χ ) em que a função ƒ é dada pela
fórmula ƒ ( χ ) = 2χ2 - 3χ + 4 .
Para cada entrada χ, a saída correspondente γ é obtida substituindo χ nessa
fórmula.
Assim, assumindo χ = 2 teríamos ƒ (2) = 2(2)2 - 3(2) + 4 = 8 - 6 + 4 = 6.
ƒ associa γ = 6 a χ = 2.
1100 Funções, limite, continuidade e definição de derivada Funções, limite, continuidade e definição de derivada 11