Cálculo diferencial e integral en una variable real.

290 Pages·2013·3.31 MB·Spanish

by  Alba Gregoret, Miguel Albione, Armando Nuñez

Tomo I
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL EC
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EN UNA VARIABLE REAL Tomo I UL
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Alba Gregoret | Miguel Albione | Armando Núñez NU
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La dificultad que encuentran en general los profesores al momento de recomendar bibliografía A D
para un primer curso de Análisis Matemático, o bien para fijar un texto básico para guiar el R
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desarrollo de la asignatura, es que no existe el libro apropiado para todos los estudiantes, pues éstos IAFE
llegan a la universidad con diferente formación matemática y, en general, escasa experiencia en BR
la resolución de situaciones problemáticas que le exijan algo más que una simple ejecución de LE
EN
mecanismos de cálculo.
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Los autores del presente libro de Cálculo Diferencial e Integral en una variable real EIA
A
pretendemos facilitar y organizar el estudio de los estudiantes de Cálculo Diferencial e Integral L
L

en las diferentes carreras de Ingeniería, Ciencias Exactas y Economía, habiendo podido recoger E

en sus páginas la base de toda nuestra gran experiencia acumulada al frente de numerosos I
N
cursos de Análisis Matemático I en distintas universidades públicas y privadas nacionales e T
internacionales. E
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o
Para facilitar el estudio estamos convencidos de que una manera posible de lograrlo es mR
a través de una presentación accesible de los tópicos teóricos y numerosa ejercitación, bajo A
o
la forma de ejemplos, ejercicios resueltos y problemas de aplicación acompañados de su IL

respuesta. Asimismo, en cada problema propuesto se contempla especialmente las dificultades
de aprendizaje y comprensión más relevantes observados hasta ahora en la mayoría de los
estudiantes, incluyendo sugerencias y observaciones que facilitan el abordaje de la comprensión
matemática y la resolución de problemas. Es por ello, que el texto se constituye un material
tendiente a resaltar un modelo pedagógico, además de una propuesta científica rigurosa y A
l
responsable de los temas tratados. b
a
En cuanto a la organización del estudio, se han incorporado a lo largo del texto sugerencias G
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en lo relativo a cómo enfocar el estudio de determinados temas, cuáles conocimientos previos e
g
es imprescindible revisar en caso de que estén olvidados, cuál es la diferencia entre un ejemplo o
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y un ejercicio resuelto, de modo que ambos resulten de utilidad para la comprensión de la teoría e
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correspondiente. |

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En los aspectos teóricos se tratan las definiciones, propiedades y teoremas. Al final de cada i
g
tema se propone una serie de preguntas teórico-prácticas que le darían al estudiante una idea u
e
del nivel de los conocimientos adquiridos y marcarían los inconvenientes todavía no superados. l
A
Se incorporan modelos de evaluaciones tipo con su resolución, contemplando diferentes lb
i CÁLCULO DIFERENCIAL
grados de dificultad, para ser utilizados como material adicional de repaso una vez completado o
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un tema o grupo de temas. e

|

A este respecto es importante que el estudiante tenga en cuenta que el estudio de una A
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asignatura y la práctica correspondiente nunca debe encararse a través de la resolución de m E INTEGRAL EN UNA
a
exámenes, éstos deben quedar para el repaso final antes de las evaluaciones. n
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Debe tenerse presente también, y se lo señala reiteradamente a lo largo del texto, que de poco o

sirve intentar resolver los ejercicios sin haber antes estudiado la teoría y tampoco deja saldo N
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positivo mirar los ejercicios resueltos sin haber intentado previamente su resolución. ñ VARIABLE REAL
e
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Este libro cuenta con un solucionario disponible en la web, ingresando en latinoamerica.cengage.com
Alba Gregoret | Miguel Albione | Armando Núñez
www.cengage.com
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
EN UNA VARIABLE REAL
Tomo I
Alba Gregoret | Miguel Albione | Armando Núñez
Cálculo diferencial e integral
en una variable real
Alba Gregoret, Miguel Albione,
Alba Gregoret | Miguel Albione |
Armando Núñez
Armando Núñez
Cálculo diferencial e integral
en una variable real
Buenos Aires,
Director General
Cengage Learning Argentina, 2013. 1a ed.
Susana de Luque
288 p.; 21x27 cm.
Gerente de proyectos especiales
ISBN 978-987-1954-02-5
Luciana Rabuffetti
1. Análisis Matemático. I. Albione, Miguel
Editora
II. Núñez, Armando III. Gregoret, Alba
María Fernanda Crespo
IV. Título.
Revisora Técnica
CDD 515
Liliana Milevicich
Fecha de catalogación: 17/09/2012
Diseñadores
Sebastián Escandell
Verónica N. De Luca
Este libro cuenta con un solucionario disponible
en la web, ingresando en latinoamerica.cengage.com
Copyright D.R. 2013 Cengage Learning
Argentina, una división de Cengage Learning
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Impreso en Argentina.
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
EN UNA VARIABLE REAL
Tomo I
Alba Gregoret | Miguel Albione | Armando Núñez

ÍNDICE GENERAL
CAPÍTULO 1
NÚMEROS REALES Y FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL 1

1. INTRODUCCIÓN ......................................................................................................1
2. AXIOMÁTICA DE LOS NÚMEROS REALES................................................................2
2.1. AXIOMAS .........................................................................................................2
2.2. Algunas definiciones importantes ......................................................................4
2.3. Raíz n-ésima ......................................................................................................6
3. EJERCICIOS RESUELTOS ...........................................................................................6
4. EL CONCEPTO DE FUNCIÓN..................................................................................24
5. EJERCICIOS RESUELTOS .........................................................................................26
6. OPERACIONES CON FUNCIONES..........................................................................37
6.1. Composición de funciones ...............................................................................37
6.2. Una clasificación de funciones y la función inversa ...........................................40
7. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN...................................................42
7.1. Tabulación de funciones...................................................................................42
7.2. Otra clasificación de funciones ........................................................................43
8. FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA.......................................................44
9. PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS....................................................................45
9.1. Gráfico de la función logarítmica......................................................................46
9.2 Un poco de historia de los logaritmos...............................................................50
9.3 Un poco de historia acerca de la Trigonometría ................................................50
10. LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS..................................................................51
11. EJERCICIOS RESUELTOS .........................................................................................60
12. LAS FUNCIONES HIPERBÓLICAS...........................................................................68
13. ECUACIONES PARAMÉTRICAS ..............................................................................71
13.1. Un bello problema de Física - Perspectiva histórica - Curva del tiempo mínimo .72
14. EJERCICIOS RESUELTOS .........................................................................................75
vi Cálculo diferencial e integral en una variable real Gregoret | Albione | Núñez
CAPÍTULO 2
LÍMITE DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL 83

1. INTRODUCCIÓN ....................................................................................................83
1.1. Un poco de historia (s. XVI – XVII)....................................................................83
2. ¿QUÉ ES EL CÁLCULO? ...........................................................................................84
2.1. Límite finito de una función en un punto ..........................................................85
2.2. Límites laterales...............................................................................................88
2.3. Condición necesaria y suficiente para la existencia
del límite de una función en un punto...............................................................89
3. PROPIEDADES DE LÍMITES.....................................................................................89
3.1. Límites infinitos ...............................................................................................94
3.2. Infinitésimos....................................................................................................95
3.3. Propiedades de los infinitésimos ......................................................................96
3.4. Comparación de infinitésimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .97
4. EJERCICIOS RESUELTOS .........................................................................................99
4.1. Límites en el infinito ......................................................................................104
5. OTROS LÍMITES INDETERMINADOS....................................................................108
6. EJERCICIOS RESUELTOS .......................................................................................108
7. UN CASO PARTICULAR DE FUNCIONES:
LAS SUCESIONES DE NÚMEROS REALES.............................................................133
7.1. Un poco de historia........................................................................................134
7.2. Representación gráfica de sucesiones de números reales................................135
7.3. Aspecto práctico de la definición ...................................................................137
7.4. Sucesión de Cauchy .......................................................................................140
8. EJERCICIOS RESUELTOS .......................................................................................141
9. LÍMITE FUNDAMENTAL ALGEBRAICO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
9.1. Más Ejemplos y Ejercicios Resueltos...............................................................151
10. ASÍNTOTAS DE UNA FUNCIÓN............................................................................158
10.1. Asíntota horizontal ........................................................................................159
10.2. Asíntota oblicua.............................................................................................160
10.3. Asíntota vertical ............................................................................................160
11. EJERCICIOS RESUELTOS .......................................................................................163
PRELIMINARES vii
CAPÍTULO 3
CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO 167

1. CLASIFICACIÓN DE DISCONTINUIDADES...........................................................169
1.1. Continuidad lateral en un punto.....................................................................171
2. PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES CONTINUAS EN UN PUNTO .......................172
3. PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES CONTINUAS EN INTERVALOS CERRADOS .172
3.1. Enunciado intuitivo del teorema de los ceros de Bolzano (1781-1848)................174
3.2. Método de la bisección ..................................................................................175
3.3. Teorema de los valores intermedios de Darboux (1842-1917)...........................176
3.4. Propiedades interesantes...............................................................................176
3.5. Máximo y mínimo absolutos o globales ..........................................................177
3.6. Teorema del máximo y del mínimo absolutos de Weierstrass (1815-1897) ........178
4. EJERCICIOS RESUELTOS .......................................................................................178
CAPÍTULO 4
LA DERIVADA 195

1. INTRODUCCIÓN HISTÓRICA A LA DERIVADA ....................................................195
2. INTRODUCCIÓN AL CONCEPTO DE DERIVADA ..................................................196
2.1. El concepto físico de la derivada.....................................................................196
3. EL CONCEPTO GEOMÉTRICO DE LA DERIVADA
¿CÓMO DEFINIR LA RECTA TANGENTE?..............................................................198
4. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO.....................................................201
5. SIGNIFICADO DE LA DERIVADA ..........................................................................202
5.1. Continuidad de las funciones derivables.........................................................204
6. SIGNIFICADO GRÁFICO DE LA DERIVADA: SUAVIDAD.......................................206
7. LA ECUACIÓN DE LA RECTA NORMAL ................................................................207
8. FUNCIÓN DERIVADA. REGLAS DE DERIVACIÓN.................................................208
9. CÁLCULO DE DERIVADAS....................................................................................210
9.1. Derivación de funciones compuestas .............................................................210
9.2. Derivabilidad de la función inversa.................................................................210
9.3. Cálculo de algunas derivadas .........................................................................211
9.4. Funciones de clase C1....................................................................................212
9.5. Derivadas sucesivas .......................................................................................215
9.6. Aplicaciones físicas de las derivadas sucesivas................................................216
9.7. Razones de cambio afines ..............................................................................217
viii Cálculo diferencial e integral en una variable real Gregoret | Albione | Núñez
9.8. Derivación de funciones definidas implícitamente por una ecuación ...............218
9.9. Derivación logarítmica...................................................................................222
10. DERIVADA DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES...................................................223
10.1. Derivada de funciones definidas en forma paramétrica................................224
11. DIFERENCIABILIDAD............................................................................................225
11.1. Aproximación lineal. Linealización................................................................225
12. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN .........229
13. PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES DIFERENCIABLES ........................................230
14. EJERCICIOS RESUELTOS .......................................................................................232
PRELIMINARES ix
ÍNDICE DE FIGURAS Y TABLAS
FIGURAS
Figura 1. Función parte entera de x ...............................................................................29
Figura 2. Función mantisa o parte decimal de x .............................................................30
Figura 3. Figura del ejercicio 16.....................................................................................35
Figura 4. Diagrama de composición de funciones..........................................................38
Figura 5. Función logarítmica (base >1) ........................................................................46
Figura 6. Función logarítmica (0<base<1) .....................................................................46
Figura 7. Función logarítmica (base = 2) ........................................................................47
Figura 8. Función logarítmica (base = 1/2) .....................................................................47
Figura 9. Funciones exponencial y logarítmica con base 2..............................................47
Figura 10. Función exponencial (base >1) .....................................................................48
Figura 11. Función exponencial (0<base<1) ...................................................................48
Figura 12. Función exponencial (bases e y 2) .................................................................48
Figura 13. Función exponencial (bases e-1 y 2-1)..............................................................48
Figura 14. Circunferencia trigonométrica......................................................................51
Figura 15. Función cos x ................................................................................................53
Figura 16. Función sen x................................................................................................53
Figura 17. Función tg x ..................................................................................................54
Figura 18. Función sec x ................................................................................................54
Figura 19. Función cot x ................................................................................................55
Figura 20. Función cosec x ............................................................................................55
Figura 21. Función sen x ................................................................................................56
Figura 22. Función arc sen x ..........................................................................................56
Figura 23. Función cos x................................................................................................57
Figura 24. Función arc cos x..........................................................................................57
Figura 25. Función tg x..................................................................................................57
Figura 26. Función arc tg x............................................................................................57
Figura 27. Funciones sh x y ch x....................................................................................68
Figura 28. Función th x ................................................................................................69
Figura 29. Funciones arg senh x y arg cosh x ..................................................................70
Figura 30. Función arg th x............................................................................................70
Figura 31. Gráfica de la relación de la tabla 1..................................................................71
Figura 32. Camino del tiempo mínimo...........................................................................72
Figura 33. Braquistócrona.............................................................................................72
Figura 34. Cicloide .......................................................................................................73
Figura 35. Circunferencia generatriz .............................................................................73
Figura 36. Catenaria.....................................................................................................74
Figura 37. Cardioide .....................................................................................................74
Figura 38. Astroide.......................................................................................................74
Figura 39. Límite de una función en un punto con imagen .............................................87
Figura 40. Límite de una función en un punto sin imagen ..............................................87