calculo diferencial e integral con aplicaciones a la economía

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CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL CON APLICACIONES A LA
ECONOMÍA, DEMOGRAFÍA Y SEGUROS.
NORA GAVIRA DURÓN
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INDICE
Introducción..............................................................................................................6
Capítulo I
Funciones.
1.1 Aplicaciones a la economía.
1.1.1 Funciones costo......................................................................................8
1.1.2 Funciones demanda e ingreso................................................................12
1.1.3 Funciones bene…cio...............................................................................16
1.2 Aplicaciones a la demografía y la actuaría.
1.2.1 Grupos de edad.......................................................................................19
1.2.2 Función supervivencia...........................................................................21
1.2.3 Función defunción.................................................................................21
1.2.4 Función población total.........................................................................23
1.2.5 Función fecundidad................................................................................25
Capítulo II
Derivadas.
2.1 Aplicaciones a la economía.
2.1.1 Costo marginal........................................................................................27
2.1.2 Ingreso marginal......................................................................................32
2.1.3 Bene…cio marginal..................................................................................35
2.2 Aplicaciones a la demografía y la actuaría.
2.2.1 Incremento anual de la población...........................................................38
2.2.2 tasa anual de crecimiento de la población..............................................39
2
2.2.3 Densidad anual de nacimientos..............................................................41
2.2.4 Densidad anual de defunciones..............................................................42
Capítulo III
Máximos y mínimos.
3.1 Aplicaciones a la economía.
3.1.1 Función costo.........................................................................................44
3.1.2 Función ingreso......................................................................................48
3.1.3 Función Bene…cio..................................................................................56
Capítulo IV
Dibujo de grá…cas.
4.1 Aplicaciones a la economía.
4.1.1 Análisis de las funciones lineales de costo............................................60
4.1.2 Análisis de las funciones cuadráticas de costo......................................63
4.1.3 Análisis de las funciones cúbicas de costo............................................67
4.1.4 Análisis de las funciones de costo polinomiales de orden superior.....71
4.1.1 Análisis de las funciones de costo exponenciales.................................75
4.2 Análisis de algunas funciones demográ…cas.
4.2.1 Población total........................................................................................79
4.2.2 Función fecundidad................................................................................81
Capítulo V
Integración.
5.1 Aplicaciones a la economía y a la actuaría.
5.1.1 Costo marginal........................................................................................83
5.1.2 Ingreso marginal......................................................................................84
5.1.3 Bene…cio marginal..................................................................................85
5.1.4 Excedente del consumidor......................................................................85
3
5.1.5 Excedente del productor.........................................................................92
5.2 Aplicaciones a la demografía.
5.2.1 Tiempo vivido.........................................................................................99
5.2.2 Población total......................................................................................100
5.3 Integración numérica.......................................................................................102
Capítulo VI
Ecuaciones difernciales de primer orden.
6.1 Ecuaciones diferenciales separables.
6.1.1 Interés compuesto..................................................................................106
6.1.2 Utilidad neta...........................................................................................107
6.2 Ecuaciones diferenciales homogéneas.
6.2.1 Costo de manufactura............................................................................109
6.2.2 Tasa de incremento en el costo..............................................................111
6.3 Ecuaciones diferenciales exactas.
6.3.1 Modelo precio-demanda........................................................................114
6.4 Ecuaciones diferenciales lineales.
6.4.1 Un ejemplo de costos.............................................................................116
6.5 Ecuaciones diferenciales no lineales.
6.5.1 Dinámica del precio de mercado, con dos variables.............................117
Capítulo VII
Introducción a varias variables.
7.1 Derivadas múltiples
7.1.1 Interrelación de la demanda de varios productos..................................122
7.2 Máximos y mínimos.
7.2.1 Modelo de …jación de precios................................................................126
7.3 Integrales múltiples.
7.3.1 Probabilidad como una integral doble...................................................135
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Conclusiones............................................................................................................138
Bibliografía...............................................................................................................140
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INTRODUCCION
Por logeneral, enlos cursos deCálculoDiferencialeIntegral1 que seimpartenenlaUNAM,
conrespectoalascarreras deeconomía,demografía,administracióny actuaría,se tiene que,los
cursos sebasanenlos conceptos puramentematemáticoso físicos,loquedacomoresultadoque
los alumnos de dichas carreras tengan un alto índice de reprobación en las materias de cálculo.
El índice de reprobación en los cursos de cálculo de los estudiantes de las carreras antes
mensionadas es muy alto ya que se debe a diversas causas, que considerando sólo el lado del
estudiante pueden ser: la mala preparación en el nivel medio superior, la falta de estudio de la
materia, la falta de interés, el poco tiempo que le dedican a su estudio y la falta de asistencia
a las clases.
Al considerar que los cursos de cálculo tradicionales in‡uyen de manera importante en
el alto índice de reprobación de la materia, y dado que el enfoque común se da a través de
temas de la física o de las matemáticas ( lo que es muy natural ya que fueron los problemas
físicos, principalmente, los que dieron origen al cálculo), dicha motivación no es su…ciente
para los estudiantes de dichas carreras, pues consideran que el cálculo tiene poca aplicación
a su disciplina. Es cierto que algunos profesores incluyen en su exposición algunos problemas
adecuados para motivar a los estudiantes de las carreras socio-económicas pero, generalmente,
no es su…ciente ya que la inclusión de tales problemas a veces no es naturalo resulta ser tardía
y cuando se llega a estos problemas, el interés en los estudiantes por los cursos de cálculo ha
decaído.
1En laexposición se dirá,en adelante, sóloCálculoen lugar de CálculoDiferenciale integral.
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El presente trabajo tiene por objeto que los estudiantes de las carreras socio-económicas
encuentren una motivación más genuina, con base en problemas similares a los de la física
que dieron origen al cálculo, pero con otro tipo de lenguaje, y a ejercicios que les ayuden a
desarrollar y rea…rmar los conceptos básicos del cálculo y, además,que los estudiantes de física
y matemáticas también puedan tener un panorama más amplio en cuanto a la aplicación que
se le puede dar alcálculo.
En este trabajose presentauna exposición de cómose puedenenriquecer algunos temas del
cálculo, sin pretender que se impartan cursos dirigidos sólo a estas especialidades, con lo que
se espera que los estudiantes de dichas carreras, que llevan un curso clásico de cálculo en la
UNAM,cuentenconunmaterialpropioextra clase que leayudea entendery …jarlos conceptos
vistos en el aula, puedan mejorar su rendimiento.
Asimismo,se pretendequeelprofesordecálculotengaunmaterialque leayudeaenriquecer
elenfoquedesumateriayque,apartedemotivarasusalumnosdelascarrerassocio-económicas,
brinden más posibilidades de aplicación a los alumnos de las carreras de física y matemáticas,
y así puedan apreciar mejor la potencialidad del cálculo. De esta forma se considera que se
ayudaría a abatir el índice de reprobación anteriormente señalado.
En los siguientes capítulos se muestran diversas aplicaciones de los temas de funciones,
derivadas, máximos y mínimos, dibujo de gra…cas, integración, ecuaciones diferenciales ordi-
narias de primer orden y una introducción a varias variables.
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Capítulo 1
FUNCIONES.
El capítulo que se presta,de manera natural, para comenzar a presentar ejemplos relacionados
con las materia de actuaría, economía, etc. es el de funciones, por lo que es el que aparece en
primer lugar.
1.1 APLICACIONES A LA ECONOMÍA.
Cuando se produce un bien o se presta un servicio se genera un costo para una organización,
que puede ser de tipo comercial, industrial, etc.
1.1.1 Funciones Costo.
Ahora se considera distintos tipos de costo,que sonfunciones delsiguiente tipo:
Función costo total.
La función costo total Q(x) es una relación cuyo dominio es un subintervalo A de R+ que
representa la cantidad de producción y cuyo codominio es R+ =(0; )1; es decir,
1
Q:A R+ R+
½ x ! Q(x)
!
1En laexposiciónse,expresaráR+=(0; );en adelante, sólocomo R+:
1
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Esta función representa el dinero que sale de una organización y se encuentra de…nida en
términosdedoscomponentes: costovariable ycosto …jo. Dondeloscostosvariablesrepresentan
los costos de las materias primas y los costos relacionados conla manode obra,entre otros; los
costos …jos representan los costos en los que se incurre, por ejemplo, por concepto de renta del
edi…cio y manutención de la organización. Ambas componentes deben sumarse para obtener el
costo total, así:
Costo total= Costo variable + Costo …jo
Observación : Es claroque el dominio de lafuncióncosto es unsubconjunto de los números
reales (en la práctica es un conjunto discreto); por esta razón los economistas aproximan las
funciones de…nidas en este conjunto por medio de métodos estadísticos o por extrapolación.
Lasfuncionescostotratadasenestecontextosonpolinomialesoexponencialesysuspropiedades
son:
1.- Cuando la cantidad de unidades producidas x es igual a cero, el costo total es nulo o
positivo,es decir Q(0) 0:SiQ(0) =0,entonces Q(0) representalos costos …jos deproducción.
¸ 6
2.- El costo total es no decreciente ( se incrementa a medida que aumenta x) y dentro de
un intervalo en donde el costo de los insumos es constante, la funcióncosto totales creciente..
3.- Si la función costo total es exponencial o polinomial a lo más de grado dos, entonces,el
costo total por producir una cantidad grande de cualquier artículo alcanza un punto a partir
delcual si x crece, la función costo total crece con mayor rapidez, sin embargo, para funciones
costo total, polinomiales, de grado mayor que dos el comportamiento puede ser distinto, como
es elcaso delafunción costototalcúbica, comosepuede ver enlapágina( ) de lasecciónsobre
el dibujo de grá…cas.
Considérese un costo total dado por la siguiente relación
Q(x) =(a+b)x+c :
f
donde a representa los costos de la materia prima, b los costos de la mano de obra y c los
f
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costos …jos,así tenemos los siguientes
EJEMPLOS :
1.- Una empresa desea adquirir un auto más, para el reparto de sus productos; el costo
de adquisición del nuevo auto es de $50,000 se ha estimado que el costo por operar el auto es
de $2 por kilómetro recorrido y que puede recorrer 100,000 kilómetros antes del primer ajuste.
Determinar la función costo total para este caso, considerando la obtención y operación del
nuevo auto.
Solución:
50,000 representa el costo total …jo.
2 representa el costo total variable.
Sea x el número de kilómetros recorridos,entonces :
Q(x) =2x+50;000 donde x (0;100 000) R+:
2 ½
representa elcosto del auto al recorrer x kilómetros.
2.- En una fábrica se desea encontrar la función costo total Q(x) para una máquina que
tiene un valor enlibros de $10,000,un costo por combustiblede $5por semana,un costo por el
pago del operador de $10 por semana y cuenta con garantía de 5 años. Determinar la función
costo total que represente el caso anterior.
Solución:
Sea x el número de semanas que va a estar en funcionamiento la máquina, 5 años son 260
semanas, entonces,
Q(x)= 15x+10;000 donde x (0;260) R+;
2 ½
representa el costo de la máquina si se utiliza x semanas.
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