Cálculo diferencial e integral

352 Pages·1971·23.911 MB·Spanish

by  Frank Ayers, Jr.

SERIED E COMPENDIOS SCHAUM
TEORIA Y PROBLEMAS
DE
CALCULO
diferenec iinatle gral
FRANK A YRES, JR., Ph. D.
Forrn erly ProfeosnsdoH re od,
Depa rtrn ento fM othernotics
DickinsCoonll ege
•
TRADUCCYI AÓON. -.PTACIÓN
LUIS GUTIÉR0R(EZE Z
Ingeniedreo A rmamento
ANGEL GUTtÉRREZ V ÁZQUEZ
Ingeniedreo A rmamento
LicencieandC o ienciFaíss icas
Diplomadoe nI ngenieNruícal ear
McGRAW-HILL
.
MADRI·DB OGOTÁB UENAOISR ESG UATEMALLAI SBOMAÉ XICO
e e e e e
NUEVA YOPRAKN AMÁS ANJ UAN SANTIAGSOl OP AULO
e e e e
AUCKLANDe HAMBURGO e JOHANNESBURGOe LONDRESe MONTREAL
NUEVAD ELHIe PARÍSe SAN FRANCISCOe SINGAPUR
ST.L OUISe SIDNEYe TOKIOe TORONTO
CALCULO DIFERENCIALE INTEGRAL
No estpáe rmitildara e producctioótnao l p arcidaele stlei brnoi.s ut ratamiento
informátniicl oa,t ransmisdieón ni ngunfao rmoa porc ualquimeedri oy,a s ea
electrónmieccoá,n icpoo,rf otocoppioar,r egistur oot romsé todoss,in e lp er­
misop reviyo p ore scridteo l os titulares del Copyright.
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CALCULUS
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Prólogo
Elp ropódseei sttloei bsriog suiee ncdoom,eo n l ap rimeedriac (ieóinnn glpérso)p,o rcai olnoasr
alumnqousie n icsiueassn t uddeic oásl cuunlsaoe rdiepe r oblreemparse senrteastuiecvloottnsoo ,sd o
detaPlolsreu c.sa ractesrefrasást iimcidasegsm r oau nt ilpiadrlaaode s s tudidaecn iteenesci inagse niería
qunee cesciotnesnuo lr teaprac soanrc efputnodsa mednelt aat leeoysre ínac onetlmr oadrdo e r esolver
cierptroosb lermealsa,c icoonanal dgouasnp al icparcáicóPtnio ocrta rp.aa ratlfie g,u reaner s etdai ción
demostrdaceli ootsne eosr eymd aesd uccdieol nafseó srm uldaeds e riveai cnitóeng rjaucnictóoonn ,
unaam plrieal adceip órno blreemsausey pl rtoopsu etsatmobssi,eép nue udtei lciozmalori bdreto e xto
pardae sarruoncl ulradsreoc álculo.
La disposdielclii bóernsoe , nl íngeeanse raanláelsao,l g ada e l ae dicainótne rCiaodcraa. p ítulo
comiepnozeras tabllaedsce efirn icpiroinnecsyi,t p eioorsed mela osts e maat sr aetnaé rlL .o esj emplos
ilustyrl aotpsir voobslr eemsauseq luteo sf iacg ounrtainn sueha acsnie ólne ccnioos nolacodoe onlo bjeto
dea mploic aorm plleatt eaorrs íiant,oa mbiéenld eqc uoeenla lumandoq uiperráace tnil cafa o rmula­
cióyrn e solduecp iróonb lepmaarqsau; ée s ptuee adpal irceapre tidlaomse nptrefi unncdiapmieonst ales
yp arqau leae nseñsaenvaze ar dadereafimceapnzat;rpe ar eveannitlreald sei ficulctoqanud neeo sr mal­
mensteet ropeilpe rzian ciyp,fii naanltmeep natrmeao, s terlaa mrp lciaom peone lq ueelc álctuileon e
aplicaEcnl iaeó xnp.l icdaelc oipsór no blreemsauses leit nocsl nuuymeenr doesmaoss trdaecti eoon­es
remyas ser azondaent,a lladlaormsee snutletP,aa drsoaas ce.al mr á ximo pdaeer stltiiedb obr ioes,ne
utilciocmteoe xstuop lemebniteacnro mitooe ,x ptroo piadmiecnhetosen, e ceseasrtiuodd eitaern ida­
menltoeps r oblreemsause Elntc oasdu.an od ee llhoasay l gqou aep renydl eomr á sp rácsteirqcáuo e
ela lumlnoovs u elarv eas olverj uéslt ifislcoosalsuno cd,e os piavsoooes st apdaels om si smDoese .s ta
fornmoas ee ncontgrraarnáddnie fisc ulptaarrdaee sso llamv aeyrop ra rdtele o psr oblpermoapsu estos.
Ela umendteao,p roximaduancm iennctuepe,on crti ae nqtuohe,a e xperimeelcn otnatdeon ido de
esetdai csiedó enb seo,le onp aratl ea,as d iciroenseesña andtaesr ioOrtmreiannstn eo.v aqcuimeoe n­es
relcaep endae stsaocenale r s tumdáiso comdpeclloe ntcoed pelt iom idtele ac, o ntinduefi udnacdi ones
yd el asse riinefisn iatscaíos m,lo ai ntrodmuáccsei xótne qnusseae h ad adaol ovse cteonre elps l ano
ye ne le spacio.
Cono bjedteqo u lea p aretneq usee e xpolnaeansp licamcáiseo lneemse ndtela ail netse g,r ación
comsoo enlc álcdueál roe vaosl,ú meentecss.ep,, u eedsat uednio arrdd eenc apítduilfoesra elqn utee
aquaip areescteho,as sn i deox puedsf"ft oorsqm uaee n s um ayopra rstepe u edaasni miulnvaaer ez,s ­
tudialodssoe spi rsi meArsoíqs,u. i eunteisl eisctteeenx c toom loi bdreco o nsous lutpal emeennctoon,­
traproácna s dipfiacruaalc toamdoedasas rulnsoe cesidades.
Ela utqouri earper ovelcaoh paorr tudneip doaddee xrp rseusg arra tail tauS dc haPuumb lishing
Compapnoysr u m agnícfiocoap eración.
fRANK AYRESJ,R .
TABLAD E MATERIAS
.
Págs.
Capitulo1 · VARIABLES Y FUNCIONES. ........· :.. /· .......................... .......
Capítul2o , LIMITES. . ................../.. ............ ...................�. ..9.. ......
Capítul3o CONTINUIDAD...........................................................I 8
Capítul4o DERIVADA...............................................2.2.. .............
Capítu�lo DERIVAClON DE FUNCIONES ALGEBRAICAS....................2.8.. ...
Capítul6o DERIVA CION DE FUNCIONES IMPLICIT AS... ... ... . . . . 3.5 . . . . . . . . . . . . . . .
Capítulo7 .T ANGENTE Y NORMAL................... .. . . . .. .. ... ... ... .3.. 7 . .. .. . . . .
Capítul8o MAXIMOS Y MlNIMOS. ....................�........... .........4.2. ......
Capitul9o PROBLEMAS DE APLJCACIOND E MAXIMOS Y MINIMOS. ... . . 5.Q. . . . . .
54
Capítu1l0o ..M OVIMIENTO RECTILINEOY CIRCULAR..............................
Capítu1l1o :..V ARIACIONESC ON RESPECTO AL TIEMPO........................5.7.. .
Capítu1l2o ) DERIVADA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS. ....:... ......60. .
Capítu1l3o DERIVADA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS ÍNVERSAS. .... 66
Capítu1l4o DERIVADA DE LAS FUNCIONES EXPONENCIALESY LOGARITMICAS. 69
CapítuIlSo DERIVADA DE LAS FUNCIONES HIPERBOLICA.S. ............... ..7.5..
Capítu1l6o REPRESENTACION DE CURVAS EN FORMA PARAMETRICA. ........7 .9
Capítu1l7o CURVATURA ...................................................... ..8..I. ..
86
Capítu1l8o VECTORES EN EL P.LANO. ..................................... ........
94
Capítu1l9o MOVIMIENTO CURVILINEO. ..................................... .......
Capítu2l0o COORDENADAS POLARES. .................................... .I.OO. .......
108
Capítu2l1o TEOREMAS DEL VALOR MEDIO ............................... .........
114
Capítulo 2F2O RMAS INDETERMINADAS. .................................. .........
Capítu23l o DIFERENCIALE.S. ...................................... ..I.I..9. ...........
Capítu24l o TRAZADO DE CURVAS ......................................... ..I.2..3. ..
r, I29
Capítu2Sl o FORMULAS FUNDAMENTALES DE INTEGRACION. .................. .
138
Capítu2l6o INTEGRACION POR PARTES. ............................... ............
143
Capítu2l7o INTEGRALES TRIGONOMETRICAS. ................................... ...
. 147
Capítu2l8o CAMBIOS DE VARIABLES TRIGONOMETRICOS. .................. .....
150
Capítu2l9o INTEGRACION POR DESCOMPOSICIONE N FRACCIONES SIMPLES ..
154
Capítu3l0o DIVERSOS ·CAMBIODSE VARIABLE. ......................... ..........
I57
Capítu3l1o INTEGRACION DE FUNCIONES HIPERBOLICA.S. ................. .....
159
Capítu3l2o APLICACIONES DLEA S INTEGRALES INDEFINIDA.S. ............ ....
162
Capitu3l3o INTEGRAL DEFINIDA. .............................................. ....
170
Capítu3l4o • CALCULO DE AREAS PLANAS POR INTEGRACION...................
176
Capítu3l5o . VOLUMENES DE SOLIDOS DE REVOLUCION..........................
180
Capítu3l6o . VOLUMENES DE SOLIDOSD E SECCION CONOCIDA..................
Págs.
Capítu3l7o CENTRO GEOMETRICO.-AREAS PLANAS Y SOLIDOSD E REVOLUCION. 183
,
Capítu3l8o MOMENTO DE INERCIA.-AREASP LANAS Y SOLIDOSD E REVOLUCION. 189
�
Capítu3l9o PRESION DE LOS FLUIDOS 193
........... . . . .o . . .o . . . .o .o . . .o o o o oo .o . o o o. o.
Capítu4l0o TRABAJO MECANICO. .. o . . 196
o.o .. .. ... ................... .. . . . . . . . .o . . o..
Capítu4l1o LONGITUD DE UN ARCO . 199
. . . . . . . . .o . o .o o o. . . . . .o . o o o .o . .o . . . . . . . . . . . ..
Capítu4l2o AREA DE LA SUPERFICIED E REVOLUCION . 202
. ....... ..... 00..... . . . . ..
Capítu4l3o CENTRO GEOMETRICO Y MOMENTO DE INERCIA0-ARCOS Y SU-
PERFICIES DREE VOLUCIONo o o o o o. 20.5
. o . o . o o o. o o o. o. o .o . . .. o. o o. o • • • • • • •o
Capítu44l o AREA PLANA Y CENTRO GEOMETRICO DE UN AREAO-COORDE-
NADAS POLARES .. 207
.. o . . . .o ........... o. o.o . o ••••o o. o o . .o • • • • • • ••••••o ...
Capítu4l5o LONGITUD Y CENTRO GEOMETRICO DE UN ARCO.-AREA DE UNA
SUPERFICIED E REVOLUCION.-COORDENADAS POLARES. .o . 211
o ...o .o o
Capítu4l6o INTEGRALES IMPROPIAS . 214
........ . . . .. . . . . . ... . . . .0 0 o . . . . . .0 0 0 0 . . . . .....
Capítu4l7o SUCESIONESY SERIES . 219
..... . . . . .o . . . .. . .. 00 . . . .0 0 o . . . ......o . .. . . . . . . . .
Capítu4l8o CRITERIOS I;>E CONVERGENCIA Y DIVERGENCIA DE LAS SERIES
DE TERMI�S POSITIVO.S. .0 0 00 224
. . . ..... . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . ...........
l
Capítu4l9o SERIESD E; TERMINOSN EGATIVOS 00 o . 230
....0 0 . . . . . .0 0. . . ... . • ... . o.....
CapítuSlOo ALGEBRA DE LAS SERIES ' 233
..... ......o ......o . . . . . . . . . .. .......... . .o ...
CapítuSlIo SERIESD E POTENCIAS . . 237
. . . .......... . . . . . . . .o . . . . . . . . . . . . .o .o . o o . . . .o o
Capítu5l2o DESARROLLO EN SERIE DE POTENCIAS 242
. . . . . . . . . .o .o . o .o ... . . . . .o o. o o
Capítu5l3o FORMULAS DE MACLAURIN Y TAYLOR CON RESTOS...........2.4.8. .
Capítu5l4o CALCULOS CON SERIESD E POTENCIAS . 2.51
...... . . . . o ..............o . . .o
Capítu5l5o INTEGRACION APROXIMADA 254
......o .o . o 00 . . .0 0 00..... . . . . . . . . . . ........
Capítu5l6o DERIVADAS PARCIALES 258
....o ..•.• . • • . . • . • • • . . •o .. o . o o. . . . . . .o • • • . • •o . . . .
Capítu5l7o DIFERENCIALESY DERIVADAS TOTALES. o 263
o o o. ....o o .o . . . . . . . .o .o o ..o
Capítu5l8o FUNCIONES IMPLICITAS . 270
...o .. o ....o 00. . . . . . . . . . . . . . . . . . .o . . . . . . .......
Capítu5l9o CURVAS Y SUPERFICIESE N EL ESPACIO 273
...o ............. . . ..........
Capítu6l0o DERIVADAS SEGUN UNA DIRECCION.-MAXIMOS Y MINIMOS. 278
o ••o .
Capítu6l1o VECTORES EN EL ESPACIO . . .2 83
....... . . . . . .o . . . . . . • . • . • . • . . . . . . • . • .o ....
Capítu6l2o DERIVACION E INTEGRACION VECTORIAL. . . 294
..... . . ... o.o . . .o . . . . . . . .
Capítu6l3o INTEGRALES DOBLE E ITERADA . . ; 305
"; . . . . .o . 00 ... . .o ....0 0 o . . .. . .. . . .. .o
Capítu6l4o CENTRO GEOMETRICO Y MOMENTOS DE INERCIA DE AREAS PLA-
,,
NASo-INTEGRAL DOBLE . . 00........3.1.1
....... . . . . . . . . . ..... . . . . . . . . . . . . .
Capítu6l5o � VOLUMEN LIMITADO POR UNA SUPERFICIE.-INTEGRALD O�E... 316
CapítuIJl6o AREA DE UNA SUPERFICIE.-INTEGRALD OBLE. 319
.) o •••••••o .......o .o o.
Capítu6l7o INTEGRAL TRIPLE . 323
v . . . . . . ... ....o o ...o .. o o .. o .. o .. o • • • ••••••••••o .......
Capítu6l8o CUERPOS DE DENSIDAD VARIABLE . 331
....... .0 0 0 0. . . . . . . . . . . . . . o ••o . . ..
Capítu6l9o ECUACIONES DIFERENCIALES . o. . . . .. .3 3.5 . . .
... o . . . . . . . o o .. o. o . .... o o. o..
Capítu;loo ECUACIONES DIFERENCIALES DES EGUNDO ORDEN o 340
. .o . .o .o o o oo .o o
IND ICE o o 344
......o • • • • • • • • •o . . .o . . . .o . . . . . . o. o. o o. o.o .o o.o ...o . o. o o ..o o o .o o o o. . o o oo .o o..
Capítulo
1
Variablfeusn ciones
y
ELC ONJUNTOD E LOS NUMEROSR �EALES estfáo rmadpoo re ld el osn úmerorsa cion(aelnetse ros
positiyv noesg ativcoesry,o losf ra naridoesl af ormaaf bs ienadoy b n úmeroesn teryo se)l
�
de losn úmeros irrac(idoein nanlietsac si frdaesc imalceosm,o p ore jemplv'2o = 1,42.1 .4
.
y n 3,5194. 1.q uen os ep uedeenx prescaorm ou nar elacieónnt reen teros).
= .
Elá lgebdreal osn úmeros compnloej juoesg aanq upía peall gunyo c omon op uedhea berc on­
fusisóine mpqruee s eh abldee u nn úmeros,es obrentenqdueesr eát ratdaeu nn úmerroa el.
EL VALORA BSOLUTOO NUMERICO( INdeIu )nn úmer(or eaNl s)e d efinpeo r:
=
!NI Ns iN esc eroo u nn úmerpoo sitivo,
IN=I - N siN esu nn úmernoe gativo.
Pore jemplo, = =
131 1-3=1 3,1 3-51= 15-31 2,
lx-a=l x-as ix �a y lx -a=l a -x"' ix a<.
En genersaial ,y b s ond osn úmerocsu alesquiera,
lal1al
la± b=l lb± all;a =b lla l;· lb-l b=F o,·
b- b'
l+abl� l la-lbl;l -abl:i$; la+l l bl;
l+a bl:i$; !la +bl ;il a-bl� l a-llb.l
UNA ESCALA NUMERIeCsuA n ar epresentgarcáifiócan ldoens ú merorse alpeosrm edidoe l osp untos
deu nar ectAa .c adan úmerloe c orrespounnds eo lpou ntdoe l ar ectya r ecíprocamPeonrtt aen.t o,
losv ocablnoúsm eryo punt(oe nu nae scanluam éricsaep) u edeunt iliiznadri stintamente.
Parae stabluencaee rs calnau mériscoab ruen ar ecthaa yq uee fectluaassri guieonpetreasc iones:
(it)o maurn p untcou alquideere al lcao moo ri(gaesing nánedl0o l)(e,i ie)l eguinrs entipdoos itivo
(sei ndipcoar m edidoe u naf lechya ()ili c)o nu nau nidadde m edidaad ecuasdiat uealrp unt+o J
a unad istandceilOa i guaal d ichuan idaLdo.s n úmero(sp untoNs y) - N estáan a mbosl ados
deO y aI NuIni daddeesé l.
-S -15/2- 2 -8/2- 1 o 1/2 1 ..¡¡ 2
2 VARIABLESF UYN CIONES [CAP1.
Sia yb sond osn úmerodsi ferenat e<bs ,s ignifiqcuaea estsái tuadloa i az quiedredbae nl a
escalmai,e ntrqausea > b quiedreec iqru ea estaá l ad erecdheab .
Els egmendtior igiddeo a a bv ienree presentpoardb o - a,s iendnoe gat\isviao >b y pos\i­
tivsoi a < b.E n cualquideere as tocsa sobs ,e staá u na distdaena c iigau aal b - a\= la-b .
INTERVALFOISN ITOS.
Seana yb dosn úmerotsa leqsue a <b . Elc onjundteot odolso sn úmeroxs
comprendiednotsr ae y b recibelen ombrdee intervaablioe rdteoa a b y see scriab e< x b<.
Losp untoas y b recibeelnn ombrede e xtremdoesli ntervaUlno i.n tervaalboi erntooc ontiene
a suse xtremos.
·
Eli ntervaablioe rat o< x b< j untcoo ns use xtremao ysb recieblen ombrdee intervcael­o
rraddoe a a by see scriabe ::::;<; b .x
b b
intervaablioe rtao <: z < b intervcaelror adao ::: :!:z: :: :!:: b
INTÉRAVL OSI NFINITOS.
Seaa unn úmercou alquiEelrc ao.n jundteot odos.nlúomse roxs t alqeuse
x < rae ciebel n ombrdee i ntervianlfion iOttor.o isn tervailnofsi nitos dseofinn ildpooossr x ::a::;,;
x> a y x �a.
(VePr roblemla-2s. )
CONSTANTE VARIABLE.
Y En lad efinicidóenli ntervaa l<o x b<:
(i) cada udneol oss ímbolao ysb represenutnas no lnoú merqou es ed enominuan ac onstante.
()ü els ímbolxo r epreseunnt naú mercou alquideerlca o njundteon úmeroys s ed enominvaa­
riable.
Elc ampod ev ariacidóenu nav ariabelsoe t rcaar acterísdetlic coanj untdoe n úmeroqsu e. ella
represePnotrae .j emplo:
(1)
six esu n librdoe u nc onjunftoor madpoo rd ievzo lúmeneelsc ,a mpod ev ariacdieóx n e s
elc onjuntfoo rmadop orl osn úmeroesn ter1o,s2 ,3 ,. .., 1 0.
(2) Six esu nd íad elm esd ej ulisou,c ampo vdaer iaceisótna froár madpoo re lc onjundteon ú­
merosl ,2 ,3 ,. .. ,3 1.
(3) Six esl ac antiddaeda gua( enl itrqouse)s ep uedsea cadre u nd epósiltloe ndoe d ielzi tros,
suc ampod ev ariaceisóe nli ntervOa<l ox< 10.
LASD ESIGUALDADES,
comop ore jempl2ox- 3 > Oy x*- 5x- 24< O,t ambiédne finiennt er­
valosso bruen ae scanluam érica.
Ejempl1o: Resolvelra d esigual(daa2x)d- 3 > O, (bx)1 -Sx-24:: ::;O .
(a)Se resuel2xv-e 3 =O y se obtiexn e= 3/2c;o nsideralmoosis n tervalxo <s 3/2y x > 3/2. Puanr vaa lor
cualquideerx ad eli ntervaxl <o 3/2t,a lc omox = O,se verifi2xca- 3 <O;p arau n valocru alquideerx ad el
intervaxl >o 3/2t alc omox = 3,se verifi2xca- 3 > O.P ort ant2xo-, 3 > O parat odo vadleox r pe rte•
necienatlie n tervaxl >o 3/2.
(b)Se resuelxv1-e Sx-24= (x+ 3)( x- 8)= O y se obtienxe = -3 y x 8;=c onsiderelmoosis n tervalos
x < -3,- 3 < x < 8,x > 8.A horab iexn 1- Sx- 24> O parat odosl osv alordeesx perteneciean ltoess
intervalxo <s -3 y >x 8. Poro trapa rtxe1 -Sx-24< Op aral osv alordeesl i nterva-l3o < x < 8.
Port antxo,• -Sx-24� O ene li nterv-a3l os; x � 8.
(VePrr oble3m.a)
CAP. 1] VARIABLESY FUNCIONES 3
FUNCIOND E UNA VARIABLES.e d icqeu eu nav ariabyl eesf uncdieóo nt rxa ,c uandaom base stán
relacionadfaosr mdqaeu ep arac adav alodre x p erteneciaes nuct aem pod ev ariaclieóc no rresponde
unv alodre y .L a variabyl,ce u yov alodre penddee lq uet omex ,r ecieblen ombred ev ariadbel­e
pendiemnietnet,r qause x esu nav ariaibnldee pendLia erenltaec.iq óune l igaa laf unciócno nl a
variabpluee dsee ru nat abldae v aloreensc orresponde(npcoieraj .u,n at abldae l ogaritmuonsa) ,
gráfioc uan ae cuación.
Ejemp2l:o
La ecuacixó2n- y = 10s,i endxo l av ariable independiuennv tael,o ara ysp iagnraca a dav aloqru es ed éa x.
Laf uncidóenfi nideasy = x2- 10L.a mismae cuacitóonm,a ndao yc omov ariabilned ependiehnatcee c,o rrespon-
derd osv alordeesx conc adau nod el osq ues ed ena y .P ort antsoe,p uededne findiorsf unciodneey s: x =Vfb + y
V
y X= - JO+ y.
Algunoasu tordeesfi nean y comof uncióden x ,c uandao cadav alodre x ,p erteneciae snut e
campod ev ariacilóenc ,o rrespondeo muánsov alordeesy .A síp,u ese,n e lE jempl2o,y esu na
funciuónn ifodremx e,m ientrqause x esu naf uncimónu ltifodreym .eS ine mbargoen,e lC álculo,
esc onveniente descloamsfp uonnceiro nmeusl tiforemned so so másf uncionuensi formes.
Pore llola, d efiniciqóuneh emosd adod ef uncilólne viam plícitap reosptiae ddaedu niformidad.
Els ímbolfo( xs)el ee« funcidóenx » o bienf d ex ,p eron unca« fv ecexs» .S ie nu n mismo
problemian tervieonternaf su nciondeesx see mplearláent rdaisf erenptaersad enominargla(sx:) ,
h(xF)(,x O)(,x .).,.
Parap odere studiuanra f uncióyn= f(xs)en ecesistiae mprceo noceerlc ampod ev ariación
del av ariabilned ependieqnutete a,m biérne cieblen ombred ed omindiedo e finicdeil óafn u nción.
Ejemp3l:o
11
(a)la función/=( xl)B x-3x'e stdáe finipdarata o dvoa lodre x ;
esd eciqru,e s iempqruee x sea un númerroe al1,8 x-3x2 tam­
.b iélno e sP. orc onsiguieelnc tamep od ev ariacdióexn od omi­
niod ed efinicidóeln a f uncieósnt fáo rmadpoo re lc onjundteo
losn úmerorse ales.
(b)S i el áread e un rectángudleot erminavdioe ned adap or
y= J8x-3x2,s iendxo uno de susl adost,a ntxo como
l8x-3x2d ebense r positivDeo sl.af iguardaj unot ab iedne l
Problem3a( ase) deduceq uee ld ominidoe d efinicieósne l
intervOa l<o x < 6.
(e)E ld ominidoe d efinicidóenl af unciyó n= x2- 10d elE jem­
plo2 ese lc onjundteol os númerorse aleEsn. l asf unciones
x= v'JO+Y y x = _y¡o::¡:y esn ecesarqiuoe 1 0+ y ;:::O ;
port antoe,ld ominidoe d efinicidóen c adau nad ee llas es
y;:::- 10. Fig.l-1
Sed icqeu eu naf unciónfe(sxt)dá e finideanu ni ntervacluoa,n dloo e steán u np untco ualquiera
ded ichion tervalo.
Sif(xe)su naf uncidóenx y ae su nv alodre s ud ominidoe d efinicilóaen x,p resiónsfi(gan)i fica
elv alonru méricoob teniadlos ustitxu picrr a e nf (xo) s eae lv aloqru et omaf (xc)ua ndxo a.
=
Ejemp4l:o Sif ( x)= x3- 4x+ 2,t endremos
/(1) = (1)3-4+( 12 =) 1-4+ 2 =- 1,
/(-2=) (- 2)-34-(2)+ 2 =- 8 + 8 + 2 2,=
/(a=) a3- 4a+ 2,e tc.
(VePrr oblem4a-s1 3.)
4 / VARIABLESY FUNCIONES LCAP.1
UNA SUCESIONI NFINITeA su naf uncdieóu nn av ari�arbelper esneonrtmaadlam enn)tc eu ypoo r
campdoe vareisatfcáoi rómnap doeorl c onjudnelt oons ú meernotse proossi tPioveroj se.m plo,
l_
cuanndv oat ornanldovosa lo1r2,e, 3 s,4 ,. ..,l af unc_ión__ d al ugaal ras ucedseit óénr rni­
n+ l
no¡s,} , !.! ..,.L as ucesseid óenn omiinnfianp iatriaan diqcuanero t ieúnlet itméor mino.
1
Elt érm-i-n-o- del as uceasnitóenrr eicoeirlb en odmetb érrem giennoeo rt aélr meinnéos imo.
n+ 1
�n{l}
Unas ucesseri eópnr epsoesrnu tt éar mgiennoee rnacle rernatdroe llavoeb si einn dican-
1
doa lgudnelo osts é rmqiunleoac s o mpo¡n,el n.1, !.. . ..,- n - -+1 ,. .
. (Veprr obl1e4m-a1s5 ).
Problemarse sueltos
l. Enunciya rd ibujlaorsi nterval(oas-):3 < x <5 ,( b2)� x � 6,( e-4) < x �O(,d x) >5 ,( ex) s; 2.
(a)T odosl osn úmeromsa yoreqsu e- 3 y menoreqsu e5 .
-3 6
(b)T odosl os números oi mgauyaolrq ue2 e iguaol m enor que 6. 2 6
(e)T odosl osn úmeromsa yoreqsu e-4 e iguaol m enorq ueO . 4 o
-
Estien tervfianliotq ou ec ontienuen oda e s use xtremroesc, ieblen ombrdee i ntervsaelmo iabierto.
(d)T odosl osn úmeromsa yoreqsu e5 .
(e)T odosl osn úmeroisg uaol m enorq ue2 .
2
2. Enunciya rd ibujlaors i ntervalos:
(a)ix l< 2;( b)l x>l 3; (el)x -13< l; (d)lx - 21< ó,ó >O; (eO)< lx+ 31< ó,ó >O.
(a)I ntervaablioe r-t2o< x <2 .
-2 2
(b)D osi ntervailnofisn itxo s<:- 3 y x >3 .
-3 3
(e)I ntervaablioe rqtuoe c ontieanlep unto3 .P arah alllaors e xtremhoasce mosx - 3 1,c onl oc ualx, 4 y
= =
3-x 1,d ed ondex 2.( Hayq uet eneern cuentqau el x-31 x- 3 6 3-x segúne lv alodre x .L)o s
= = =
extremos 2sy o 4n y eli nterveasle ol2 < x4 <.O bsérveqseu ee li nterveasltofá o rmadpoo rt odolso sp untos
cuyad istanac 3iase a menorq uel .
2 8 4
(d)S iendóo u nn úmero positiveol i ndtaedrov,2a l-o ó < x +< 6 e2s tfáo rmadpoo rt odolso sp untocsu yad is­
tanciaa 2 seam enorq ueó .E stien terveaslu on entodrenlpo u nt2o .
(e)La desigualldxa+ d 3 1< ód efinee li nterv-a3l -o ó < x <- 3 + ó quec ontieanlpe u nt-o3 . La condición
O <l x+ 31i mpliqcuae x =1= -3. Port anteol,ca mpo dev ariacdieóx n e stá forpmoardl oo sd osi ntervaalboise r­
to-s 3- ó < x -<3 y -3< x <- 3 + ó.L osd osi ntervalos coneslet inttuoyrreennd ou cdiedlp oun t-o 3.
--e�------�o�--------�o�------
----- -3-& -3 -3+&