Cálculo Avanzado y Aplicaciones

339 Pages·2009·1.95 MB·Spanish

departamento de ingeniería matemática
facultad de ciencias físicas y matemáticas
UNIVERSIDAD DE CHILE
Cálculo Avanzado y Aplicaciones
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Apuntes para el curso MA2A2
Felipe Alvarez
Roberto Cominetti
Juan Diego Dávila
Héctor Ramírez C.
Segunda Edición
04 de Marzo de 2009
ii
Todo comentario que permita mejorar este apunte es bienvenido.
Favor enviar sus contribuciones a:
Felipe Alvarez
[email protected]
Prefacio
El objetivo de estos apuntes es presentar los elementos básicos del cálculo vectorial y de la
teoría de funciones de variable compleja, como asimismo ilustrar su utilización en la resolución
de ecuaciones en derivadas parciales. Hemos escogido un enfoque y nivel de profundidad acorde
a lo que se espera para el curso de Cálculo Avanzado y Aplicaciones, asignatura del segundo
año del Plan Común de la Carrera de Ingeniería Civil de la Facultad de Ciencias Físicas y
Matemáticas de la Universidad de Chile.
EstosapuntessebasanenlasnotasescritasencolaboraciónconmicolegaelProfesorRoberto
Cominetti, y se han beneficiado de una activa participación de los Profesores Héctor Ramírez
Cabrera y Juan Diego Dávila. Buena parte del material referente a la teoría de EDP se debe a
este último. Agradezco a todos ellos las múltiples e interesantes discusiones que hemos tenido
sobre diversos aspectos del curso.
Mis más sinceros agradecimientos a Miguel Carrasco y Claudio Pizarro, quienes en años
anteriores participaron en la confección de una versión previa de este apunte para el curso en
aquel entonces llamado Matemáticas Aplicadas,al transcribir en LATEX buena parte de las notas
manuscritas, elaborar las figuras y sugerir varias ideas para mejorar la presentación. También
debo agradecer a ReginaMateluna, secretaria del DIM, porsu eficiente ysiempre biendispuesta
colaboraciónenestatarea.Luegoesteapuntefuecompletamentereorganizadoyactualizadopor
Germán Ibarra y Emilio Vilches, incorporando nuevo material y revisando cuidadosamente el
queyaexistía, conelfindeadecuarloalprogramadelcursodeCálculoAvanzado yAplicaciones.
Mi reconocimiento para ellos por un trabajo muy bien hecho.
En la presente segunda edición se hicieron varias correcciones formales y de presentación,
fruto de una atenta y constructiva revisión de todos los capítulos y apéndices realizada por
Jorge Lemus y Nicolás Carreño. Vayan mis agradecimientos por su excelente trabajo.
Sin perjuicio de los nombres mencionados anteriormente, la responsabilidad por los eventua-
les errores o inexactitudes que se puedan encontrar en estos apuntes es sólo mía. Estaré muy
contento de recibir cualquier comentario o sugerencia que permita mejorar este apunte en la
siguiente dirección: [email protected]
Finalmente, quisiera agradecer el financiamiento proporcionado por el Departamento de
Ingeniería Matemática de la Universidad de Chile y por el proyecto Fondef IDEA+.
Felipe Alvarez
Santiago, Marzo 2009
iii
iv
Derechos de autoría DIM
Se concede permiso para imprimir o almacenar una única copia de este documento. Salvo
por las excepciones más abajo señaladas, este permiso no autoriza fotocopiar o reproducir
copias para otro uso que no sea el personal, o distribuir o dar acceso a versiones electrónicas
de este documento sin permiso previo por escrito del Director del Departamento de Ingeniería
Matemática (DIM) dela FacultaddeCiencias FísicasyMatemáticas (FCFM) dela Universidad
de Chile.
Las excepciones al permiso por escrito del párrafo anterior son:
(1) Las copias electrónicas disponibles bajo el dominio uchile.cl.
(2) Las copias distribuidas por el cuerpo docente de la FCFM en el ejercicio de las funciones
que le son propias.
Cualquierreproducciónparcialdeestedocumentodebehacerreferenciaasufuentedeorigen.
Este documento fue financiado a través de los recursos asignados por el DIM para la reali-
zación de actividades docentes que le son propias.
v
Distribución Semanal de los Contenidos
Semana Tema Unidad Capítulos
1 Cálculo Vectorial Divergencia, rotor y coord. ortogonales Cap. 1
2 Integral de flujo y teorema de Gauss Cap. 2
3 Integral de trabajo y teorema de Stokes Cap. 3
4 Complementos: divergencia y teo. de Gauss Cap. 4
5 Complementos: rotor y teo. de Stokes Cap. 5
6 Variable compleja El plano complejo y derivación compleja Cap. 6 y 7
7 Funciones en series de potencias Cap. 8
8 Integración compleja Cap. 9
9 Fórmula de Cauchy y Teorema de los residuos Cap. 10 y 11
10 Evaluación de integrales vía variable compleja Cap. 12
11 Análisis de Fourier Series de Fourier Cap. 13
12 Transformada de Fourier Cap. 14
13 EDPs Ecuaciones en Derivadas Parciales Lineales Cap. 15
14 Separación de Variables Cap. 16
15 Transformadas y resolución de EDPs Cap. 17
vi
Índice general
I Cálculo Vectorial 1
1. Elementos de cálculo vectorial 3
1.1. Campos escalares y vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2. Operadores diferenciales del cálculo vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1. Divergencia, laplaciano y rotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2. Identidades vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3. Sistemas de coordenadas ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.1. Triedro ortogonal y factores escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.2. Ejemplos: cilíndricas, esféricas y toroidales . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.3. Gradiente en coordenadas ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.4. Divergencia y rotor en coordenadas ortogonales . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2. Integral de flujo y el teorema de Gauss 21
2.1. Campos de normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2. Superficies orientables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3. Integral de flujo de un campo vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.4. El teorema de la divergencia de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.5. Ejemplos de aplicación del teorema de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.7. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.8. Resolución de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3. Integral de trabajo y el teorema de Stokes 43
3.1. Integral de trabajo (o de línea) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
vii
viii ÍNDICE GENERAL
3.2. El teorema del rotor de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.3. El teorema de Green en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.4. Campos conservativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.6. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4. Complementos sobre divergencia y teorema de Gauss 57
4.1. Caracterización límite de la divergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.2. Fórmulas integrales de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.3. Divergencia en coordenadas ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.4. **Demostración del teorema de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5. Complementos sobre rotor y teorema de Stokes 65
5.1. Caracterización límite del rotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.2. Interpretación física del rotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.3. Bosquejo de la demostración del teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.4. Rotor en coordenadas ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Problemas de recapitulación 71
II Funciones de Variable Compleja 77
6. El plano complejo 79
6.1. Estructura algebraica del plano complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.2. Estructura métrica del plano complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
6.3. Representación polar y raíces de la unidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
7. Continuidad y derivación 85
7.1. Funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
7.2. Derivada compleja: condiciones de Cauchy-Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . 86
7.3. Propiedades básicas de la derivada compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
7.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
7.5. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
8. Funciones en serie de potencias 93
8.1. Definiciones y propiedades básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
ÍNDICE GENERAL ix
8.2. Ejemplos de funciones en serie de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
8.2.1. La función exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
8.2.2. Funciones hiperbólicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
8.2.3. Funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
8.2.4. Función logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
8.2.5. Otras funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
8.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
8.4. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
8.5. Resolución de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
9. Integral en el plano complejo 105
9.1. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
9.2. Propiedades y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
9.3. El teorema de Cauchy-Goursat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
9.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
9.5. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
9.6. Resolución de Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
10.Fórmula de Cauchy y primeras consecuencias 121
10.1.La fórmula de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
10.2.Desarrollo en serie de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
10.3.Otras consecuencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
10.4.Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
10.5.Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
10.6.Resolución de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
11.Teorema de los residuos 129
11.1.Puntos singulares, polos y residuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
11.2.El teorema de los residuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
11.3.Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
11.4.Series de Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
11.5.Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
11.6.Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
11.7.Resolución de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
x ÍNDICE GENERAL
12.Evaluación de integrales vía residuos 157
12.1.Integrales de funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
12.2.Integrales impropias sobre dominios no acotados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
12.3.Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
12.4.Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
12.5.Resolución de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
III Análisis de Fourier 179
13.Series de Fourier 181
13.1.Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
13.2.Convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
13.3.Propiedades y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
13.4.Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
13.5.Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
13.6.Resolución de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
14.La transformada de Fourier 193
14.1.Definición y el teorema de inversión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
14.2.Propiedades fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
14.2.1. La transformada de una derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
14.2.2. El teorema de convolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
14.2.3. Compendio de propiedades de la transformada de Fourier . . . . . . . . . 197
14.3.Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
14.4.Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
14.5.Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
IV Ecuaciones en Derivadas Parciales 203
15.Ecuaciones lineales de segundo orden 205
15.1.Ecuaciones parabólicas y fenómenos de difusión . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
15.1.1. Conducción del calor en una barra unidimensional . . . . . . . . . . . . . 205
15.1.2. Conducción del calor en un cuerpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
15.1.3. Expansión de un gas en un medio isótropo y homogéneo . . . . . . . . . 210