Cálculo aplicado: Competencias matemáticas a través de contextos, Tomo III

282 Pages·2015·6.024 MB·Spanish

by  Norma Patricia Salinas Martínez

CÁLCULO APLICADO
Competencias matemáticas a través de contextos
TOMO III

CÁLCULO APLICADO
Competencias matemáticas a través de contextos
TOMO III
Norma Patricia Salinas Martínez
Juan Antonio Alanís Rodríguez
José Luis Garza García
Ricardo Pulido Ríos
Francisco Xavier Santos Leal
Julio César Escobedo Mireles
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Luciana Rabuffetti Cálculo aplicado. Competencias matemáticas
a través de contextos. Tomo III.
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Composición tipográfica:
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Contenido
Prefacio vii Tema 1.4 Gráicas de funciones de dos
variables y de ecuaciones de tres 59
Unidad 1: Gráicas en el espacio 2
Situación-Problema 6 (SP-6) 59
Tema 1.1 Sistemas de referencia para Discusión de la Situación-Problema 6 60
el espacio 4 Consideraciones alrededor de la Situación-
Problema 6 62
Situación-Problema 1 (SP-1) 4
Tarea 4 77
Discusión de la Situación-Problema 1 5
Consideraciones alrededor de la Situación- Unidad 2: Introducción a las derivadas,
Problema 1 6 diferenciales e integrales
Situación-Problema 2 7 en el cálculo de varias
Discusión de la Situación-Problema 2 8 variables 80
Consideraciones alrededor de la Situación-
Problema 2 12 Tema 2.1 Derivadas parciales 82
Tarea 1 14 Situación-Problema 7 (SP-7) 82
Discusión de la Situación-Problema 7 83
Tema 1.2 Flujo y funciones de dos variables 18
Consideraciones alrededor de la Situación-
Situación-Problema 3 (SP-3) 18 Problema 7 87
Discusión de la Situación-Problema 3 19 Tarea 5 91
Consideraciones alrededor de la Situación-
Tema 2.2 Modelo lineal 94
Problema 3 20
Situación-Problema 4 (SP-4) 20 Situación-Problema 8 (SP-8) 94
Discusión de la Situación-Problema 4 21 Discusión de la Situación-Problema 8 95
Consideraciones alrededor de la Situación- Consideraciones alrededor de la Situación-
Problema 4 24 Problema 8 100
Tarea 2 35 Situación-Problema 9 (SP-9) 114
Discusión de la Situación-Problema 9 115
Tema 1.3 Funciones de dos variables,
Tarea 6 116
otros contextos 37
Tema 2.3 Función potencial y teorema
Situación-Problema 5 (SP-5) 37
fundamental de las integrales
Discusión de la Situación-Problema 5 38
de línea 119
Consideraciones alrededor de la Situación-
Problema 5 41 Situación-Problema 10 (SP-10) 119
Tarea 3 55 Discusión de la Situación-Problema 10 120
Contenido • v
Consideraciones alrededor de la Situación- Unidad 3: Teoremas fundamentales
Problema 10 126 para los campos vectoriales 176
Resolución de ecuaciones diferenciales
exactas 133 Tema 3.1 Fórmula general para el flujo
Tarea 7 136 y teorema de la divergencia 178
Situación-Problema 12 (SP-12) 178
Tema 2.4 Derivada direccional,
Discusión de la Situación-Problema 12 180
curvas de máximo crecimiento
Consideraciones alrededor de la Situación-
y líneas de un campo 140
Problema 12 184
Situación-Problema 11 (SP-11) 140 Tarea 9 225
Discusión de la Situación-Problema 11 141
Tema 3.2 Circulación y teorema
Consideraciones alrededor de la Situación-
Problema 11 143 del rotacional 235
Regla de la cadena 170
Situación-Problema 13 (SP-13) 235
Tarea 8 172
Discusión de la Situación-Problema 13 236
Consideraciones alrededor de la Situación-
Problema 13 239
Tarea 10 265
vi • Contenido
Prefacio
CÁLCULO APLICADO
Competencias matemáticas a través de contextos
TOMO III

Este libro corresponde al tomo III de la serie de Cálculo aplicado. Competencias matemáticas
a través de contextos. Con esta obra se culmina una propuesta que destaca el qué, cómo
y para qué enseñar-aprender el Cálculo de una y varias variables.
La obra refleja nuestro interés por lograr en los estudiantes el aprecio del conocimiento
matemático en su calidad de herramienta útil para resolver problemas en contextos reales
afines a sus aspiraciones académicas; de esta forma respondemos a la cuestión de para
qué se enseña o se aprende Cálculo.
Qué enseñar o aprender de Cálculo se construye en atención al para qué. Nociones, pro-
cedimientos y objetos matemáticos surgen como herramientas óptimas para el tratamiento
de las problemáticas propuestas.
Cada tomo de esta colección se centra en una problemática cuyo tratamiento provoca
un quehacer matemático donde nociones, procedimientos y objetos matemáticos encuen-
tran una razón de ser. En el tomo I se analiza la problemática de predecir el valor de una
magnitud que está cambiando. El tratamiento a esta predicción conduce a construir y dar
significado a nociones y procedimientos asociados a la razón de cambio y al cambio acumu-
lado. Las nociones de derivada e integral junto con los procesos de derivación e integración
surgen con el significado adecuado y preciso para esta práctica.
En el tomo II, la atención se centra en la problemática de calcular el valor de una mag-
nitud asociada a un todo, dividiéndolo en partes. El tratamiento a esta problemática da
lugar al surgimiento de la noción de diferencial como el valor de una magnitud infinitamen-
te pequeña, junto con el de suma o integral. Dividir el todo en partes infinitamente peque-
ñas, calcular las magnitudes correspondientes a ellas y sumarlas es parte de un proceso
medular que responde precisamente al requerimiento de la problemática en cuestión.
La idea de tomar un elemento diferencial para luego calcular la magnitud completa (la
íntegra, la entera) integrando, surge de esta misma práctica. Es importante mencionar
que la idea de la toma del elemento diferencial constituye una estrategia frecuentemente
utilizada en ingeniería para explicar fórmulas o conceptos propios de ésta. De hecho,
la consideración para la enseñanza-aprendizaje de estas nociones y procedimientos, que
constituyen poderosas herramientas para la comprensión profunda de los fenómenos
que se estudian en ingeniería, establece una distancia significativa entre esta propuesta
y las tradicionales en cuanto éstas ni siquiera reconocen la existencia de tales herramien-
tas matemáticas.
En este tomo III se considera la problemática de dar sustento matemático o, dicho de otra
manera, de matematizar dos nociones fundamentales de la Física: el flujo y la circulación.
Surgidas de la Hidrodinámica, estas nociones fueron pronto utilizadas en otras áreas de la
Prefacio • vii
Física, por ejemplo: del flujo eléctrico, circulación del campo magnético, flujo de calor, etc.
Para demostrar la importancia que tienen estas dos nociones para la Física y, por lo
tanto, para la ingeniería, basta señalar lo que afirma Richard Feynman en su libro de Física,
volumen 2: “Solamente con estas dos nociones —flujo y circulación— podremos describir de
una vez las leyes de la electricidad y el magnetismo”.
En el tomo actual buscamos que el estudiante logre comprender la lectura que en términos
de flujo y circulación se da en la Física en el estudio de fenómenos de diversa naturaleza con
las diferentes representaciones matemáticas que la acompañan. Así, por ejemplo, si bien es
cierto que las leyes de la electricidad y el magnetismo pueden describirse en términos de flujo
y circulación, es importante que el estudiante comprenda el porqué de las expresiones mate-
máticas involucradas en estas leyes.
Ahora bien, cómo lograr tal propósito corresponde con la forma en que van construyéndo-
se los objetos matemáticos en atención a problemáticas que, iniciando con el tratamiento a
situaciones particulares, simples y conocidas, desembocan en aquellas donde la generalidad
predomina. Así, aunque la idea es arribar finalmente a la expresión matemática del flujo de
un campo en general con la que conceptos como el flujo del campo eléctrico, por ejemplo,
son representados, el estudio del flujo se inicia con el fenómeno que originó el término: el
flujo de agua, que en principio resulta familiar al estudiante.
El campo de velocidades del agua en movimiento dará paso a la idea de campo vectorial
en general. El cálculo de flujo en situaciones simples como aquellas donde el campo de
velocidades es constante y la superficie a través de la cual se calcula es plana, devendrá
en el cálculo del flujo de un campo a través de una superficie curva en general. Con la mis-
ma idea de transitar de lo restrictivo, aunque simple y familiar, a lo más general, el primer
acercamiento a la circulación es mediante el concepto de trabajo en su versión más simple:
el trabajo efectuado por un campo de fuerzas constante en dirección de un desplazamiento
rectilíneo; eventualmente la operación de calcular el trabajo es extendido al caso de tener
un campo y una curva en general.
En este tránsito, del campo de fuerzas o de velocidades constantes a campos vectoriales
en general, del desplazamiento rectilíneo al curvo, de superficies planas a curvas en general,
se despliega el pensamiento infinitesimal. Valorado ya en los tomos anteriores como una
poderosa herramienta para la significación y construcción de conceptos clave del Cálculo
de una variable, como la derivada, la integral y el Teorema fundamental del Cálculo, apren-
deremos ahora productivas extensiones de las consideraciones geométrico algebraicas de
ese pensamiento, en el análisis y construcción de objetos más elaborados acorde con las
nuevos requerimientos problemáticos. Así, como las curvas en lo infinitamente pequeño
son rectas y el valor de una magnitud (la razón de cambio) se supone constante en un tra-
mo infinitesimal, las superficies curvas son planas en lo infinitamente pequeño, y un campo
vectorial puede suponerse constante sobre un área infinitesimal de una superficie.
De hecho, las ideas de flujo y circulación llevadas a lo infinitamente pequeño, mediante
el pensamiento infinitesimal, dan paso a la construcción de “nuevas derivadas” como la
divergencia y el rotacional de un campo y a sus respectivos teoremas, el de la divergencia
de Gauss y el del rotacional de Stokes, y con ellos a una forma poderosa para la caracte-
rización de los campos vectoriales; entre éstos, por supuesto, el eléctrico y el magnético.
Si comparáramos este libro con uno tradicional de Cálculo de varias variables, podríamos
decir que en cuanto a objetos matemáticos se trata, contienen lo mismo: derivadas parcia-
les, derivada direccional, funciones de varias variables, integrales de línea, de superficie, de
volumen, gradiente, divergencia y rotacional; son comunes en este espacio y cualquier otro.
viii • Prefacio
La diferencia que ofrece esta obra es cómo estos objetos se construyen y estructuran,
dando lugar a un qué, y a pesar de poder nombrarlos aquí, aquí se les ha dotado de significados
más “ricos”. Se da un enfoque del para qué de acuerdo con la matemática, es decir, como una
herramienta útil para el estudio y comprensión de los fenómenos propios de las carreras
universitarias. Esto nos diferencia de los libros tradicionales, en los que parece que el afán
es aumentar el edificio matemático por sí y mostrar lo que a su parecer es lo impecable de
su razonamiento, el cual, por cierto, excluye aquel pensamiento infinitesimal por cuestiones
filosóficas en desuso. Si se piensa que en la Física, y, por lo tanto, en la ingeniería este
pensamiento infinitesimal es reconocido y utilizado frecuentemente, los estudiantes enten-
derán las dificultades que deberán sortear para aprender las herramientas matemáticas
necesarias que aplicarán en los cursos de ingeniería.
Los autores
PPrreeffaacciioo •• iixx