Calcul stochastique appliqué à la finance

95 Pages·2015·0.62 MB·French

Calcul stochastique appliqué à la finance
Romuald ELIE & Idris KHARROUBI
.
Table des matières
1 Notiond’arbitrage 5
1.1 Hypothèsessurlemarché . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Arbitrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Comparaisondeportefeuilles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 RelationdeparitéCall-Put . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5 Prixd’uncontratForward . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 Modèlebinomialàunepériode 11
2.1 Modélisationprobabilistedumarché . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Stratégiedeportefeuillesimple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3 Probabilitérisqueneutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4 Evaluationetcouvertured’unproduitdérivé . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3 Modèlebinomialàplusieurspériodes 21
3.1 "Rappels"deprobabilité:processusdiscretetmartingale . . . . . . . . . . . 21
3.2 Modélisationdumarché . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.3 Stratégiedeportefeuille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.4 Arbitrageetprobabilitérisqueneutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.5 Duplicationd’unproduitdérivé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.6 Evaluationetcouvertured’unproduitdérivé . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4 Optionsaméricainesdanslemodèlebinomial 33
4.1 Notiondetempsd’arrêtentempsdiscret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.2 ArrêtoptimaletenveloppedeSnell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.3 Evaluationdesoptionsaméricaines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3
4 TABLEDESMATIÈRES
5 Calculstochastique 41
5.1 ProcessusetMartingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.1.1 Processus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.1.2 EspacesLp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.1.3 Filtration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.1.4 Martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.1.5 Processusgaussien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.2 Mouvementbrownien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.3 Variationtotaleetvariationquadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.4 Intégralestochastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.5 Formuled’Ito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.6 Processusd’Ito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.7 EquationDifférentielleStochastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
6 ModèledeBlack&Scholes 77
6.1 Hypothèsessurlemarché . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
6.2 Modélisationprobabilistedumarché . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
6.3 Probabilitérisqueneutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6.4 Portefeuillesautofinançants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6.5 Duplicationd’unproduitdérivé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6.6 FormuledeBlackScholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.7 Sensibilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
Chapitre 1
Notion d’arbitrage
1.1 Hypothèses sur le marché
Danstoutelasuite,nousferonsleshypothèsessimplificatricessuivantes:
1. Lesactifssontdivisiblesàl’infini;
2. Lemarchéestliquide:onpeutacheterouvendreàtoutinstant;
3. Onpeutemprunteretvendreàdécouvert;
4. Leséchangesontlieusanscoûtsdetransaction;
5. Onpeutemprunteretprêteraumêmetauxconstantr.
Ces hypothèses, bien que n’étant pas toujours vérifiées dans la réalité, constituent une pre-
mière modélisation ayant l’avantage de pouvoir fournir une évaluation des produits dérivés,
notammentàl’aidedelanotiond’arbitragequenousprésentonsdanslasuite.
1.2 Arbitrage
De manière générale, la notion d’opportunité d’arbitrage fait référence à une situation où
un individu rationnel a la possibilité de prendre une décision qui lui permet de tirer profit de
manière certaine de l’avenir. Afin de formaliser cette notion, il faut donc mettre en place une
modélisationdel’incertitudeliéeàl’évolutionfuturedumarchéfinancier.
5
6 CHAPITRE1. NOTIOND’ARBITRAGE
Quellessontlesévolutionspossiblesdumarché?
Ω:ensembledesétatspossiblesdumarché;
P:Probabilitéréelle(ouentoutcasanticipée)desurvenancedechacundesévènements.
Toujoursdanslebutdeformalisercettenotiond’arbitrage,ilnousfautpréciserlamanière
dontpeutintervenirnotreagentsurlemarché.
Quellessontlesstratégiesd’investissement?
Définition1.2.1 Un portefeuille autofinancant est une stratégie (non anticipative) d’achat
ou de ventede titres, actions, prêts etemprunts à la banque, etplus généralement de produits
dérivés dont la valeur n’est pas modifiée par l’ajout ou le retrait d’argent. Pour t ≤ T, on
noteraX lavaleurentduportefeuilleX.
t
Fixerunportefeuillerevientdoncsimplementàsedonneruncapitalinitialetunestratégie
dynamiqued’investissementdanslesactifsdumarchéàpartirdececapitaldedépart.
Qu’estcequ’unestratégied’arbitrage?
Définition1.2.2 Unarbitrageentrelesinstants0etT estunportefeuilleautofinançantX de
valeur nulle en t = 0 dont la valeur X en T est positive et strictement positive avec une
T
probabilitéstrictementpositive:
X = 0, X ≥ 0 et P(X > 0) > 0 .
0 T T
Absenced’arbitrage. Onsupposeradanslasuitequelemarchévérifiel’hypothèsed’absence
d’opportunités d’arbitrage (AOA en abrégé et NFL en anglais pour no free lunch) entre les
instants0etT :
{X = 0 et X ≥ 0} ⇒ P(X > 0) = 0
0 T T
L’hypothèsesignifiesimplement:"Simarichesseaujourd’huiestnulle,ellenepeutdeve-
nirpositiveetnonidentiquementnulle",soit"Onnepeutgagnerd’argentsanscapitalinitial".
Le raisonnement (défaitiste) est : "Si il y avait un arbitrage, quelqu’un en aurait déja pro-
fité".Sachantqu’ilyadanslesbanquesbeaucoupd’arbitragistes,cettehypothèseestcohérente
surlesmarchés.
1.3. COMPARAISONDEPORTEFEUILLES 7
1.3 Comparaison de portefeuilles
Nous notons dans la suite B(t,T) le prix en t d’un zéro coupon de maturité T i.e. un
actif dont la valeur en T vaut 1. La valeur B(t,T) dépend du modèle choisi. Dans le cas d’un
modèle en temps continu, la présence du taux d’intérêt r conduit à B(t,T) = e−(T−t) alors
quedansunmodèleentempsdiscretB(t,T) = (1+r)−n oùndésignelenombredepériodes
entretetT.
Proposition1.3.1 En AOA, si deux portefeuilles autofinançants X et Y ont même valeur en
T,ilsontmêmevaleuren0:
X = Y ⇒ X = Y .
T T 0 0
Démonstration. Supposons X < Y et proposons la stratégie suivante : A l’instant t = 0,
0 0
achat de X, vente de Y et placement de Y −X > 0 à la banque. La valeur du portefeuille à
0 0
l’instantt = T estX −Y pluscequ’arapportél’argentàlabanque,quiesttoujours> 0.
T T
en0 enT
AchatdeX X X
0 T
VentedeY −Y −Y
0 T
Placementdugainàlabanque Y −X > 0 (Y −X )/B(0,T) > 0
0 0 0 0
Valeur 0 > 0
Donc AOA implique X ≥ Y et, de manière similaire, on obtient X ≤ Y si bien que
0 0 0 0
X = Y . (cid:50)
0 0
Remarque1.3.1 Pour créer un arbitrage, on a acheté le moins cher et vendu le plus cher.
Etantdonnéqu’ilsontmêmevaleurenT,l’opérationfournitungainpositif.
Proposition1.3.2 En AOA, si deux portefeuilles autofinançants X et Y ont même valeur en
T,ilsontpresquesûrementmêmevaleurentoutinstantt ≤ T.
X = Y ⇒ X = Y pourtout t ≤ T P−p.s.
T T t t
Cerésultatestuneconséquencedirectedelapropositionsuivante.
Proposition1.3.3 EnAOA,considéronsdeuxportefeuillesautofinançantsX etY,alors:
X ≤ Y ⇒ X ≤ Y pourtout t ≤ T P−p.s.
T T t t
8 CHAPITRE1. NOTIOND’ARBITRAGE
Démonstration.Soitt ≤ T.Proposonslastratégiesuivante:
en0:jenefaisrien.
en t : Sur {ω ∈ Ω,X (ω) > Y (ω)}, j’achète le portefeuille Y au prix Y , je vends le porte-
t t t
feuille X au prix X et je place la différence X −Y > 0 à la banque. Sur {ω ∈ Ω,X (ω) ≤
t t t t
Y (ω)},jenefaisrien.
t
Finalement, en T, sur {X > Y }, je touche Y −X ≥ 0 plus ce qu’a rapporté l’argent à
t t T T
labanquequiesttoujours> 0,soitunevaleur> 0,etsur{X ≤ Y },lavaleurduportefeuille
t t
estnulle.
ent enT
Sur{X > Y } AchatdeYent Y Y
t t t T
VentedeXent −X −X
t T
Placementdugainàlabanque X −Y > 0 (X −Y )/B(t,T) > 0
t t t t
Valeur 0 > 0
Sur{X ≤ Y } Valeur 0 0
t t
DoncAOAimpliqueP(X > Y ) = 0. (cid:50)
t t
1.4 Relation de parité Call-Put
UncalldestrikeK etd’échéanceT surlesous-jacentS apourpayoff(S −K)+;notons
T
C sonprixàl’instantt.
t
UnputdestrikeK etd’échéanceT surlesous-jacentS apourpayoff(K −S )+;notonsP
T t
sonprixàl’instantt.
Nous rappelons qu’un zero-coupon d’échéance T est un produit financier de valeur 1 en T.
SonprixentestnotéB(t,T).
Alors, en AOA, les prix des calls et des puts en t sont reliés par la relation de parité call
put:
C −P = S −KB(t,T)
t t t
Eneffetconsidéronslesdeuxstratégiesdeportefeuille:
1.5. PRIXD’UNCONTRATFORWARD 9
ent enT
Port.1 Achatd’unPuteuropéenent P (K −S )+
t T
Achatd’unactifrisquéent S S
t T
Valeur P +S (K −S )+ +S
t t T T
Port.2 Achatd’unCalleuropéenent C (S −K)+
t T
AchatdeK actifssansrisqueent KB(t,T) K
Valeur C +KB(t,T) (S −K)+ +K
t T
Remarquonsquel’ona:
(K −S )+ +S = K1 +S 1 = (S −K)+ +K
T T {ST≤K} T {K≤ST} T
Donc, les deux portefeuilles ont des flux finaux égaux, et donc en AOA des valeurs égales à
toutinstantt ≤ T cequinousdonnelarelationdeparitéCall-Put.
Remarque1.4.1 Cette relation est intrinsèque à l’absence d’opportunité d’arbitrage sur le
marchéetnedépendenriendumodèled’évolutionimposéauxactifs.
1.5 Prix d’un contrat Forward
LecontratForwardestuncontratsignéàladatet = 0quiassurel’échangeenT del’actif
risqué S contre un prix F(0,T) fixé en t = 0. Il n’y a aucun échange d’argent à la date t = 0.
Pour déterminer le prix F(0,T) du contrat, considérons les deux stratégies de portefeuille
suivantes:
en0 enT
Port.1 Achatdel’actifS en0 S S
0 0 T
VentedeF(0,T)zéroscouponsen0 −F(0,T)B(0,T) −F(0,T)
Valeur S −F(0,T)B(0,T) S −F(0,T)
0 T
Port.2 AchatducontratForwarden0 0 S −F(0,T)
T
SousAOAonadonc
S
0
F(0,T) = .
B(0,T)
Remarque1.5.1 Demanièreplusgénérale,onobtient:
S
t
F(t,T) =
B(t,T)
pourtoutt ≤ T.
10 CHAPITRE1. NOTIOND’ARBITRAGE