Calcul quantique : algèbre et géométrie projective

186 Pages·2017·2.2 MB·French

Calcul quantique: algèbre et géométrie projective
Anne-Céline Baboin
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Anne-Céline Baboin. Calcul quantique: algèbre et géométrie projective. Mathématiques générales
[math.GM]. Université de Franche-Comté, 2011. Français. ￿NNT: 2011BESA2028￿. ￿tel-00600387v2￿
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abroad, or from public or private research centers. publics ou privés.
N◦ d’ordre : Ann´ee 2011
`
THESE
pr´esent´ee `a
L’UFR DES SCIENCES ET TECHNIQUES
DE L’UNIVERSITE´ DE FRANCHE-COMTE´
pour obtenir le
GRADE DE DOCTEUR
DE L’UNIVERSITE´ DE FRANCHE-COMTE´
sp´ecialit´e Sciences Pour l’Ing´enieur
`
CALCUL QUANTIQUE : ALGEBRE
´ ´
ET GEOMETRIE PROJECTIVE
par
Anne-C´eline Baboin
Soutenue le 27 Janvier 2011 devant la Commission d’Examen :
Pr´esident et Rapporteur M. Maurice Kibler Professeur des Universit´es
Universit´e Claude Bernard, Lyon 1
Rapporteur M. Metod Saniga Charg´e de recherches
Astronomical Institute, Slovak Academy of Sciences
M. Patrick Sole´ Directeur de recherche CNRS
E.N.S.T. , Paris
Examinateur M. Pascal Vairac Professeur des Universit´es
E.N.S.M.M. de Besan¸con
M. Fabrice Bouquet Professeur des Universit´es
Universit´e de Besan¸con
Directeur de th`ese M. Michel Planat D.E. - Charg´e de Recherche CNRS
Institut FEMTO-ST, Besan¸con
Codirecteur de th`ese
———————————–
Remerciements
Je remercie Michel Planat d’avoir ´et´e mon directeur de th`ese, de m’avoir prodigu´e plu-
sieurs conseils et de m’avoir expliqu´e dans le d´etail certains aspects de ses travaux. Je
suis tr`es reconnaissante `a l’´egard de Maurice Kibler pour sa disponibilit´e tant scienti-
fique qu’humaine, pour ses nombreuses remarques pertinentes, pour avoir apport´e grand
nombre de corrections `a cet essai. Il a vraiment´et´e d’un bon soutien quand j’ai´et´e oblig´ee
de terminer la r´edaction de ma th`ese `a Lyon. Je sais gr´e au directeur de l’´ecole docto-
rale sciences pour l’ing´enieur et microtechniques (ED SPIM), E´ric Lantz, d’avoir su tenir
compte de circonstances particuli`eres et de m’avoir accord´e un an d’interruption de th`ese.
Cette d´emarche m’a ´et´e conseill´ee par Rachel Langlet et je ne la remercierai jamais as-
sez. Merci beaucoup `a Metod Saniga pour m’avoir aid´ee `a mieux appr´ehender les droites
projectives et pour m’avoir permis de faire un s´ejour en Slovaquie, s´ejour qui fut `a la fois
scientifique et culturel. Je suis ´egalement ravie que le directeur du laboratoire d’informa-
tique de Franche-Comt´e, Jacques Julliand, m’ait donn´e la possibilit´e de suivre des cours
d’informatique th´eorique en master 2 en candidat libre. J’ai ´egalement eu l’opportunit´e
d’acqu´erir quelques notions en intelligence artificielle, grˆace `a Fabrice Bouquet et Chris-
tophe Lang, et je tiens `a les citer mˆeme si ceci ne concerne pas directement l’objet de cette
th`ese. Philippe Jorrand me fut ´egalement d’un grand secours durant cette th`ese, surtout
en ce qui concerne le calcul quantique bas´e sur la mesure. Je remercie´egalement Monsieur
Dupont, mon professeur de physique en math sp´e, car il m’a transmis son amour pour la
physique et Monsieur Brachet, mon professeur de math´ematiques en math sup, pour des
raisonssimilaires.C’estgrˆaceauxtravauxd’AlanTuringetaulivredeSimonSingh[Sin99]
que je me suis int´eress´ee `a l’informatique th´eorique et quantique. Pour finir, je remercie
Jo¨elle Berthelot, la secr´etaire de l’accueil, pour sa gentillesse; dans la mˆeme veine, il y a
Aline Chagrot, Bernard Desmoulin qui s’occupe de la reprographie `a l’ENSMM, certains
th´esards et, bien suˆr, mes parents et mon fils Alb´eric, auxquels je d´edie cette th`ese. Sans
oublier, naturellement, des remerciements anticip´es au jury.
i
Chez toi la mesure est source de d´emesure,
M´ecanique Quantique es-tu si diabolique?
Dame R´ealit´e devient une imposture
Donc sous quelle optique pourrait le scientifique
Te rendre loquace `a moins que la vanit´e
Ou la quˆete de la v´erit´e, restons juste,
Ne l’aveugle et qu’il ne mesure la beaut´e
De ne pouvoir percer tous les desseins qu’ajuste
La divinit´e. Il est de ces particules
Qui naissent plusieurs en une, sont indiscernables.
L’Amour Absolu r´egit-il ces corpuscules?
Ensemble ils prennent une densit´e palpable.
Est-ce plutˆot Passion qui pour l’individu
Est d´el´et`ere? Incapable d’exister, il
Fusionne en l’autre, se d´elocalise, perd son duˆ,
Oblit`ere une communion qui sur l’ˆıle
De la F´elicit´e l’emm`enerait entier.
D’autres ´evoluent dans un ´etat extatique,
A plusieurs se superposent et prennent pied
Dans un monde ´etrange dans lequel ils ne tiquent.
Quatre postulats, une singularit´e,
Apportent leur magie au monde du calcul.
D’aucuns le disent froid, avec s´ev´erit´e,
A tort car il est le Verbe V majuscule :
Alphabets, mots, langages, grammaires, conjugaisons,
Ses serviteurs et amis, Ses enfants b´enis,
Apportent leur contribution avec raison
ii
A l’´edifice de l’union de deux g´enies :
l’Informatique Th´eorique et la Quantique.
En parall`ele, ils d´eploient des tr´esors d’astuce.
Des multi-univers, des oracles s’appliquent
A satisfaire cet embryon d’octopus.
Sp´eciale d´edicace `a Alb´eric et `a mes parents
iii
iv
Table des mati`eres
Introduction g´en´erale 1
I Le calcul dans tous ses ´etats 5
1 Excursion au sein de l’informatique th´eorique 7
Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1 Le concept de probl`eme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2 Les mod`eles de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.1 La machine de Turing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.2 Les circuits logiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3 Les challenges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3.1 La calculabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3.2 La complexit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2 Les d´ebuts du calcul quantique 25
Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1 La m´ecanique quantique version informatique . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2 Syst`eme `a un qubit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2.1 Le qubit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2.2 Manipulations sur 1 qubit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2.3 Syst`emes `a 2 qubits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2.4 G´en´eralisation / famille universelle de portes logiques . . . . . . . . 39
2.3 Exemples de calcul quantique par requˆete `a un oracle . . . . . . . . . . . . 41
2.3.1 D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.4 E´tat de l’art en terme d’algorithmes quantiques . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.5 «Concr`etement»... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
v
TABLE DES MATIE`RES
3 Le calcul quantique revisit´e 55
Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.1 Le «one-way quantum computer» (1WQC) . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.1.1 Les ressources utilis´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.1.2 Un mod`ele universel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.2 Le calcul quantique bas´e sur la t´el´eportation. . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.2.1 E´tape 0 : la t´el´eportation pour 1 qubit (Bennett et Brassard) . . . . 61
3.2.2 E´tape 1 – M. Nielsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.2.3 E´tape 2 – D. Leung / Concept . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.2.4 E´tape 3 – D. Leung / Ressources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.2.5 E´tape 4 – S. Perdrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
II Approches alg´ebriques et g´eom´etriques du calcul quantique 73
4 Approche alg´ebrique 75
Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.1 Le contexte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.1.1 Historique et discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.1.2 Le th´eor`eme de Kochen et Specker et les travaux de Peres et Mermin 79
4.2 Un ingr´edient math´ematique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.2.1 Le corps fini `a 4 ´el´ements ou plus : F4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.2.2 Un hi´eroglyphe d´ecouvert : la table de Pauli . . . . . . . . . . . . . . 82
4.3 Formulation math´ematique de la compl´ementarit´e quantique . . . . . . . . 83
4.3.1 Un outil : la table de multiplication des 16 op´erateurs intervenant
dans l’interaction de deux spins 1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.3.2 Structure cach´ee dans le carr´e de Peres et Mermin . . . . . . . . . . 84
4.3.3 Bases mutuellement non biais´ees (MUBs pour Mutually Unbiased
Bases) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.4 Corps de Galois cach´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.4.1 Le groupe multiplicatif de F∗4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.4.2 Les 2 qubits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.4.3 La fonction trace et les caract`eres additifs sur F4 . . . . . . . . . . . 88
4.4.4 Les op´erateurs g´en´eralis´es de Pauli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.5 Anneaux de Galois cach´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.5.1 L’anneau de Galois R42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.5.2 Les caract`eres additifs de l’anneau R42 . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.5.3 Les vecteurs propres communs des MUBs . . . . . . . . . . . . . . . 93
Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
vi
TABLE DES MATIE`RES
5 Un formalisme original des relations de commutation : approche g´eom´e-
trique 95
Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.1 Cas des 2 qubits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.1.1 Le graphe de Pauli pour 2 qubits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.1.2 Trois partitions du graphe de Pauli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.1.3 Unification des trois partitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.1.4 Autre description du graphe de Pauli. . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.2 G´en´eralisation `a N qubits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.2.1 Les 3 qubits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.2.2 Les N qubits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.3 Les syst`emes composites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.3.1 Motivations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.3.1.1 Les espaces de Hilbert composites . . . . . . . . . . . . . . 112
5.3.1.2 Les syst`emes composites par l’alg`ebre . . . . . . . . . . . . 113
5.3.2 Le syst`eme qubit-qutrit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.3.3 Le syst`eme qutrit-qutrit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.3.4 Les qudits en dimension 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.3.5 Les qudits en dimension 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.3.6 G´en´eralisation et discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
Conclusion g´en´erale - Perspectives 127
ANNEXES 131
A Un peu d’alg`ebre 133
A.1 Les groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
A.1.1 D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
A.1.2 Exemple de table . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
A.1.3 Quelques remarques sur les groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
A.2 Les anneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
A.2.1 D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
A.2.2 Notion d’id´eal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
A.2.3 Notion de module . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
A.3 Les corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
A.3.1 D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
A.3.2 Les corps de Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
A.3.3 Extension de corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
A.4 Les morphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
vii