Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach.

14 Pages·2008·0.11 MB·French

Chapitre 7
Calcul fonctionnel holomorphe
dans les alg`ebres de Banach
L’objet de ce chapitre est de d´efinir un calcul fonctionnel holomorphe qui
prolonge le calcul fonctionnel polynˆomial et qui respecte les principales propri´et´es
alg´ebriques et spectrales.
7.1 Aspect alg´ebrique : calcul fonctionnel ra-
tionnel
Soit A une alg`ebre unitaire complexe (non n´ecessairement norm´ee) et x ∈ A.
On suppose que σ(x), le spectre de x, est non vide (c’est automatique si l’alg`ebre
A est une alg`ebre de Banach unitaire, comme on l’a vu au th´eor`eme 6.2.1; en
g´en´eral, c’est un sous-ensemble assez quelconque de C). Pour un polynˆome p ∈
C[X],
N
p(X) = a Xi,
i
i=0
X
il est naturel de d´efinir
N
p(x) = a xi.
i
i=0
X
Il est facile de v´erifier (exercice!) que l’application
ϕ : C[X] −→ A
p 7−→ p(x)
99
`
100CHAPITRE7. CALCULFONCTIONNELHOLOMORPHEDANSLESALGEBRESDEBANA
est un morphisme d’alg`ebres unitaires. De plus, le lemme 6.2.2 affirme que ϕ
pr´eserve les propri´et´es spectrales, dans le sens ou` σ(p(x)) = p(σ(x)). D’un point
devuepurementalg`ebrique,nousallonstoutd’abord´etendrececalculfonctionnel
aux fractions rationnelles.
Pour un sous-ensemble K de C, contenant le spectre de x, on note R l’en-
K
semble des fractions rationnelles `a coefficients complexes et `a pˆoles hors de K.
Il est facile de voir que R est une sous-alg`ebre du corps C(X) des fractions
K
rationnelles `a une ind´etermin´ee sur C et d`es que K est infini, R s’identifie `a
K
une alg`ebre de fonctions sur K (contenue dans l’alg`ebre des fonctions continues
sur K et holomorphe `a l’int´erieur de K).
Proposition 7.1.1 Le calcul fonctionnel polynˆomial ϕ : C[X] −→ A, ϕ (p) =
x x
p(x), s’´etend de fa¸con unique en un morphisme d’alg`ebres unitaires ϕ : R −→
x K
A. On notera encore
f(x) = ϕ (f), pour f ∈ R .
x K
De plus, pour toute fraction rationnelle f ∈ R , on a
K
σ(f(x)) = f(σ(x)).
Preuve : • Unicit´e : soit ϕ : R −→ A un morphisme d’alg`ebres unitaires
x K
p
qui ´etend le calcul fonctionnel polynˆomial. Soit f ∈ R . Alors f s’´ecrit f = ,
K
q
1
avec p,q ∈ C[X], q ne s’annulant pas sur K. En utilisant l’´egalit´e q. = 1 dans
q
R et le fait que ϕ est un morphisme d’alg`ebres unitaires, on a
K x
1
ϕ (f) = ϕ (p)ϕ = ϕ (p)ϕ (q)−1 = p(x)q(x)−1.
x x x x x
q
(cid:18) (cid:19)
p p
Pour l’unicit´e, il reste `a remarquer que si f = = 1, avec p,p ,q,q ∈ C[X] et
q q 1 1
1
q,q ne s’annulant pas sur K, on a
1
p(x)q(x)−1 = p (x)q (x)−1. (7.1)
1 1
´
7.1. ASPECT ALGEBRIQUE : CALCUL FONCTIONNEL RATIONNEL 101
Pour cela, notons que p(x)q(x) = (pq)(x) = (qp)(x) = q(x)p(x) implique que
q(x)−1p(x) = p(x)q(x)−1. Par cons´equent, on en d´eduit que
(7.1) ⇐⇒q(x)−1p(x) = p (x)q (x)−1
1 1
⇐⇒p(x)q (x) = q(x)p (x)
1 1
⇐⇒(pq )(x) = (qp )(x),
1 1
et cette derni`ere ´egalit´e d´ecoule du fait que dans C[X], on a pq = qp .
1 1
p
• Existence : soit f ∈ R . Alors f s’´ecrit f = , avec p,q ∈ C[X], q ne
K
q
s’annulant pas sur K. Comme σ(q(x)) = q(σ(x)), on obtient que 0 6∈ σ(q(x)).
Autrement dit, q(x) est inversible. On pose alors
ϕ (f) := p(x)q(x)−1.
x
D’apr`es le raisonnement pr´ec´edent, cette d´efinition a bien un sens car le membre
`a gauche p(x)q(x)−1 ne d´epend pas du choix de p et q dans la repr´esentation de
la fraction rationnelle f. De plus, il est clair que cette d´efinition prolonge bien
le calcul fonctionnel polynˆomial. Nous allons v´erifier que ϕ est un morphisme
x
p p
d’alg`ebre unitaires. Pour f = 1,g = 2 ∈ R et λ ∈ C, on a
K
q q
1 2
λp p
ϕ (λf +g) =ϕ 1 + 2
x x
q q
(cid:18) 1 2(cid:19)
λp q +p q
=ϕ 1 2 2 1
x
q q
(cid:18) 1 2 (cid:19)
=(λp q +p q )(x)(q q )(x)−1
1 2 2 1 1 2
=(λp (x)q (x)+p (x)q (x))q (x)−1q (x)−1
1 2 2 1 2 1
=λp (x)q (x)−1 +p (x)q (x)−1
1 1 2 2
=λϕ (f)+ϕ (g).
x x
`
102CHAPITRE7. CALCULFONCTIONNELHOLOMORPHEDANSLESALGEBRESDEBANA
De mˆeme, on a
p p
ϕ (fg) =ϕ 1 2
x x
q q
(cid:18) 1 2(cid:19)
=(p p )(x)(q q )(x)−1
1 2 1 2
=p (x)p (x)q (x)−1q (x)−1
1 2 2 1
=p (x)q (x)−1p (x)q (x)−1
1 1 2 2
=ϕ (f)ϕ (g).
x x
Enfin, on a ϕ (1) = e! En conclusion, ϕ est bien un morphisme d’alg`ebres
x x
unitaires qui prolonge le calcul fonctionnel polynˆomial.
p
• Montrons la propri´et´e spectrale : soit λ ∈ σ(x) et f ∈ R . Ecrivons f = ,
K
q
avec p,q ∈ C[X], q ne s’annulant pas sur K. Comme λ ∈ σ(x) ⊂ K, on peut
consid´erer la fraction rationnelle g(X) d´efinie par
f(X)−f(λ)
g(X) = ,
X −λ
et on a
p(X) − p(λ) p(X)q(λ)−p(λ)q(X)
p(λ) q(λ)
g(X) = = .
X −λ q(λ)q(X)(X −λ)
Comme
p(X)q(λ)−p(λ)q(X)
∈ C[X],
X −λ
on en d´eduit que g ∈ R . D’ou` f(x)−f(λ)e = (x−λe)g(x) = g(x)(x−λe) et
K
si f(x)−f(λ)e est inversible, l’´egalit´e pr´ec´edente implique que x−λe est aussi
inversible, ce qui est absurde. Par cons´equent, f(x)−f(λ)e n’est pas inversible,
autrement dit, on a f(λ) ∈ σ(f(x)). Finalement, on a prouv´e que f(σ(x)) ⊂
σ(f(x)).
R´eciproquement,montronsqueσ(f(x)) ⊂ f(σ(x)).Soitλ ∈ σ(f(x)).Ecrivons
p(X) p(X)−λq(X)
f(X)−λ = −λ =
q(X) q(X)
N
(X −α )
i
= α Yi=1 ,
q(X)
´ ´ ´
7.2. DEFINITIONSETPROPRIETESDUCALCULFONCTIONNELHOLOMORPHE103
ou` α ∈ C et (α ) est la suite des z´eros (compt´es avec multiplicit´e) du
i 1≤i≤N
polynˆome p(X)−λq(X). On peut bien suˆr supposer que α 6= 0 (sinon le r´esultat
est trivial!). En utilisant le fait que ϕ est un morphisme d’alg`ebres, on a
x
N N
f(x)−λe = α (x−λ e) q(x)−1 = αq(x)−1 (x−λ e) .
i i
! !
i=1 i=1
Y Y
Comme f(x)−λe n’est pas inversible, on en d´eduit qu’il existe i, 1 ≤ i ≤ N, tel
que α e− x n’est pas inversible. Donc α ∈ σ(x) et f(α ) = lambda ∈ f(σ(x)).
i i i
D’ou` σ(f(x)) ⊂ f(σ(x)).
(cid:3)
Dans le cas ou` A est une alg`ebre de Banach, le calcul fonctionnel, dit de
”Dunford-Schwarz”, ´etend ϕ `a l’alg`ebre des fonctions holomorphes dans un voi-
x
sinage du spectre de x. Pour le d´evelopper, nous allons exploiter la th´eorie des
alg`ebres de Banach du chapitre pr´ec´edent et la th´eorie des fonctions holomorphes
`a valeurs dans un espace de Banach (dont on a fait un bref r´esum´e dans l’Annexe
B).
7.2 D´efinitions et propri´et´es du calcul fonction-
nel holomorphe
7.2.1 Formules de Cauchy pour le cas polynˆomial et ra-
tionnel
Nous allons commencer par une formule qui va justifier notre d´efinition du
calcul fonctionnel holomorphe.
Lemme 7.2.1 Soit A une alg`ebre de Banach unitaire et x ∈ A. Alors, pour tout
n ∈ N, on a
1
xn = λn(λe−x)−1dλ, (7.2)
2iπ
ZΓr
ou` Γ est le cercle de centre 0 et de rayon r positivement orient´e, avec r > r(x).
r
`
104CHAPITRE7. CALCULFONCTIONNELHOLOMORPHEDANSLESALGEBRESDEBANA
Preuve : Remarquons tout d’abord que pour λ ∈ Γ∗, on a |λ| = r > r(x) et
r
donc λ ∈ ρ(x). Par cons´equent, la fonction λ 7−→ λn(λe−x)−1 est continue sur
un voisinage de Γ∗ et l’int´egrale dans la formule (7.2) a bien un sens. En utilisant
r
la param´etrisation Γ (t) = reit, t ∈ [0,2π], on a, par d´efinition de l’int´egrale
R
curviligne,
1 1 2π
λn(λe−x)−1dλ = rn+1ei(n+1)t(reite−x)−1dt. (7.3)
2iπ 2π
ZΓr Z0
Notons maintenant que le lemme 6.2.1 implique que pour |z| > kxk, on a
1 x −1 ∞ xk
R(z,x) = (ze−x)−1 = e− = . (7.4)
z z zk+1
(cid:16) (cid:17) Xk=0
Comme z 7−→ R(z,x) est holomorphe pour |z| > r(x), la s´erie enti`ere dans
l’´egalit´e (7.4) converge en fait normalement dans tout domaine |z| ≥ ρ > r(x).
Ainsi, on en d´eduit que
∞ xk
(reite−x)−1 = ,
rk+1ei(k+1)t
k=0
X
avec convergence uniforme de la s´erie par rapport `a la variable d’int´egration
t ∈ [0,2π].Enutilisant(7.3),onpeutdoncpermuterlesigne”sommeetint´egrale”
et ´ecrire que
1 ∞ 1 2π
λn(λe−x)−1dλ = xkrn−k ei(n−k)tdt.
2iπ 2π
ZΓr k=0 Z0
X
Comme
1 2π 0 si p 6= 0
eiptdt =
2π Z0 (1 si p = 0,
on en d´eduit que
1
λn(λe−x)−1dλ = xn,
2iπ
ZΓr
ce qui ach`eve la preuve du lemme.
(cid:3)
Par lin´earit´e, on obtient imm´ediatement le corollaire suivant :
´ ´ ´
7.2. DEFINITIONSETPROPRIETESDUCALCULFONCTIONNELHOLOMORPHE105
Corollaire 7.2.1 Soit A une alg`ebre de Banach unitaire et x ∈ A. Alors, pour
tout polynˆome p, on a
1
p(x) = p(λ)(λe−x)−1dλ, (7.5)
2iπ
ZΓr
ou` Γ est le cercle de centre 0 et de rayon r positivement orient´e, avec r > r(x).
r
En utilisant une premi`ere fois la formule de Cauchy, nous allons montrer que la
formule (7.5) s’etend aux fractions rationnelles.
Proposition 7.2.1 Soient A une alg`ebre de Banach unitaire, x ∈ A, f une
fraction rationnelle `a pˆoles hors de σ(x) et Γ un syst`eme de courbes ferm´ees de
classe C1 par morceaux et qui entoure σ(x) dans l’ouvert C\{pˆoles de f}. Alors,
on a
1
f(x) = f(λ)(λe−x)−1dλ. (7.6)
2iπ
ZΓ
Preuve : En vertu de la d´ecomposition en ´el´ements simples d’une fraction
rationnelle et de la lin´earit´e (par rapport `a f) des deux membres de la formule
(7.6), il suffit d’´etablir sa validit´e pour les polynˆomes et les fonctions
g : λ 7−→ (λ−z)−n, n ∈ N,z 6∈ σ(x).
z,n
Pour les polynˆomes, la formule (7.6) d´ecoule imm´ediatement du corollaire 7.2.1
et du th´eor`eme de Cauchy version vectorielle (voir th´eor`eme B.3.3). Il reste donc
`a montrer que, pour z 6∈ σ(x), pour n ≥ 0, on a
1
I (z) := (λ−z)−n(λe−x)−1dλ = (x−ze)−n. (7.7)
n
2iπ
ZΓ
Nous allons montrer la formule (7.7) par r´ecurrence sur n. Pour n = 0, la formule
(7.7) correspond `a la formule pour les polynˆomes avec p(X) = 1. Supposons la
formule vraie au rang n. Montrons qu’elle est vraie au rang n + 1. Rappelons
(voir (6.5)) que pour λ,z 6∈ σ(x), on a
(λe−x)−1 = (ze−x)−1 +(z −λ)(λe−x)−1(ze−x)−1.
`
106CHAPITRE7. CALCULFONCTIONNELHOLOMORPHEDANSLESALGEBRESDEBANA
En utilisant cette ´equation et la proposition B.2.1, on obtient que
1 1
I (z) = (λ−z)−(n+1)dλ (ze−x)−1− (λ−z)−n(λe−x)−1dλ (ze−x)−1.
n+1 2iπ 2iπ
(cid:18) ZΓ (cid:19) (cid:18) ZΓ (cid:19)
Par hypoth`ese de r´ecurrence, on a
1
(λ−z)−n(λe−x)−1dλ = (x−ze)−n.
2iπ
ZΓ
De plus, comme Γ entoure σ(x) dans l’ouvert C \ {z}, on a n(Γ,z) = 0, ce qui
implique que
1
(λ−z)−(n+1)dλ = 0.
2iπ
ZΓ
Avec ces deux ´equations, on obtient alors
I (z) = −(x−ze)−n(ze−x)−1 = (x−ze)−(n+1) = g (x).
n+1 z,n+1
Par r´ecurrence, la formule (7.7) est donc d´emontr´ee pour les fonctions g , n ≥ 0,
z,n
ce qui ach`eve la preuve de la proposition.
(cid:3)
7.2.2 D´efinition du calcul fonctionnel de Dunford-Schwarz
En vertu de la proposition 7.2.1, il est naturel de poser la d´efinition suivante.
D´efinition 7.2.1 Soit A une alg`ebre de Banach unitaire, x ∈ A et Ω un ouvert
de C contenant le spectre de x. Pour f ∈ Hol(Ω) et Γ un syst`eme de courbes
ferm´ees, de classe C1 par morceaux qui entoure σ(x) dans Ω, on pose
1
f(x) = f(z)(ze−x)−1dz. (7.8)
2iπ
ZΓ
Remarque 7.2.1 La formule (7.8) d´efinit bien un ´el´ement de A qui ne d´epend
pasduchoix deΓ d’apr`esle th´eor`emedeCauchyversionvectorielle(voirth´eor`eme
B.3.3).
´ ´ ´
7.2. DEFINITIONSETPROPRIETESDUCALCULFONCTIONNELHOLOMORPHE107
7.2.3 Propri´et´es du calcul fonctionnel de Dunford-Schwarz
Le th´eor`eme suivant r´esume l’essentiel des propri´et´es du calcul fonctionnel
holomorphe.
Th´eor`eme 7.2.1 Soient A une alg`ebre de Banach unitaire, x ∈ A et Ω un
ouvert de C contenant le spectre de x. Consid´erons
ψ : Hol(Ω) −→ A
f 7−→ f(x).
Alors
a) ψ est un morphisme d’alg`ebres unitaires.
b) ψ est continue, si on munit Hol(Ω) de la topologie de la convergence uni-
forme tout compact. Autrement dit, si f ,f ∈ Hol(Ω) et (f ) converge
n n
vers f uniform´ement sur tout compact de Ω, alors f (x) tend vers f(x), si
n
n → +∞.
c) Pour toute fonction f ∈ Hol(Ω), on a
σ(f(x)) = f(σ(x)).
d) Soit f ∈ Hol(Ω), U un ouvert contenant f(σ(x)) et g ∈ Hol(U). Alors
(g ◦f)(x) = g(f(x)).
Preuve :
a) • la lin´earit´e de ψ ne pose pas de probl`eme et est laiss´e en exercice.
• Montrons que, pour f,g ∈ Hol(Ω), on a (fg)(x) = f(x)g(x). Pour ε > 0,
notons
Ω := {λ ∈ C : dist(λ,σ(x)) < ε}.
ε
Comme σ(x) est un compact contenu dans l’ouvert Ω, il existe ε > 0 (suffisam-
ment petit) pour que Ω soit contenu dans Ω. D’apr`es la proposition B.1.2, on
ε
peut alors choisir deux syst`emes de courbes ferm´ees Γ et Γ , de classe C1 par
1
`
108CHAPITRE7. CALCULFONCTIONNELHOLOMORPHEDANSLESALGEBRESDEBANA
morceaux telles que Γ entoure le compact σ(x) dans Ω et Γ entoure le compact
ε 1
Ω dans Ω. Pour f,g ∈ Hol(Ω), on peut alors ´ecrire, par d´efinition, que
ε
1
(fg)(x) = f(λ)g(λ)(λe−x)−1dλ.
2iπ
ZΓ
Mais la formule de Cauchy version scalaire (voir proposition B.1.4) implique que,
pour λ ∈ Γ∗, on a
1 f(ω)
f(λ) = dω.
2iπ ω −λ
ZΓ1
D’ou`
1 f(ω)
(fg)(x) = dω g(λ)(λe−x)−1dλ.
(2iπ)2 ω −λ
ZΓ(cid:18)ZΓ1 (cid:19)
En utilisant l’´equation de la r´esolvante (voir (6.5))
(λe−x)−1 = (ωe−x)−1 +(ω −λ)(λe−x)−1(ωe−x)−1
on obtient que (fg)(x) = I +I , avec
1 2
1 f(ω)g(λ)
I = (ωe−x)−1dωdλ,
1 (2iπ)2 ω −λ
ZΓZΓ1
et
1
I = f(ω)g(λ)(λe−x)−1(ωe−x)−1dωdλ,
2 (2iπ)2
ZΓZΓ1
On a facilement que
1 1
I = f(ω)(ωe−x)−1dω g(λ)(λe−x)−1dλ = f(x)g(x).
2 2iπ 2iπ
ZΓ(cid:18) ZΓ1 (cid:19)
D’autre part, en utilisant le th´eor`eme de Fubini, on a
1 g(λ)
I = dλ f(ω)(ωe−x)−1dω.
1 (2iπ)2 ω −λ
ZΓ1(cid:18)ZΓ (cid:19)
Or pour tout ω ∈ Γ∗, on a n(Γ,ω) = 0, donc
1
g(λ)
dλ = 0, ∀ω ∈ Γ∗.
ω −λ 1
ZΓ
On en d´eduit donc que I = 0. Ainsi (fg)(x) = I = f(x)g(x).
1 1