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1 CALCUL DE WICK EN DIMENSION INFINIE BERNARD LASCAR Abstract. On prouve ici des résultat de bornes inférieures à la Melin-Hörmander en grandes dimension par la méthode du calcul de Wick. 3 1 Soit m R et k N, k 1, et Λ 1 le paramètre spectral; on note 0 ∈ ∈ ≥ ≥ 2 Definition 1. Soit m,2k(Rn,Σ) la classedesopérateurspseudo-différentiels N n classiques de symboles p(x,ξ,Λ) qui ont la propriété : a D J x P(x, ,Λ)u(x) = 3 Λ n (0.1) x+y Λdξ ] p( ,ξ,Λ)exp(iΛ(x y)ξ)u(y,Λ)dy , P ZZ 2 − (cid:18) 2π (cid:19) A ou` u (Rn) . h ∈ S t a (0.2) p(x,ξ,Λ) Λmp (x,ξ)+...+Λm jp (x,ξ)+... m − m j m ∼ − [ ou` pm−j ∈ S(1,Γ), avec Γ = |dX|2 et pm−j(X) = O(d(Σ2k−2j)+)(X). Avec d la distance euclidienne à une sous-variété lisse symplectique 2 Σ v de Rn Rn, de codimension 2d et donc d n. ⊕ ≤ 9 2 Une condition comme (2.1) est invariante par transformation canon- 3 ique et donc on peut supposer que 5 . Σ = (x,ξ);x = ξ = 0 , (x ,ξ ) Rd Rd. 2 ′′ ′′ ′′ ′′ { } ∈ ⊕ 1 On change par souci de commodité les notations et X” devient X 2 1 Rd Rd tandis que la variable le long de Σ, X Rn d Rn d es∈t n − − v: not´⊕ee Xn. ∈ ⊕ i On suppose : X r Hypothèse 1. i) P = P, p d2k. a ∗ m ≃ Σ ii) En tout point ρ Σ, le symbole de Wick du localisé P est un ρ ∈ symbole uniformément avec (ρ,Λ,d) elliptique dans S(Λm k(1+ − |z])2k,G) ou` G = (1|+dzz|2)2 | | Théorème 0.1. Sous les hypothèses (H ), il existe deux constantes 1 C > 0 et C > 0 telles que : 0 1 (0.3) (Pu,u) C Λm k 1 u 2, pour u (Rn) 0 − − ≥ − k k ∈ S uniformément pour dΛ 1 C et (n d) C 1, − ≥ 1 − ≤ 1− ou bien-suˆr si d est fixe et Λ . → ∞ 1 avec une annexe de R. Lascar [email protected] 1 Remarque 1. Quand k = 1 il s’agit du théorème [3]. On effectue comme dans [5] une dilatation près des caractéristiques, (0.4) u(x,x ) v(y,y ,Λ) = u(Λ 1/2y,y )Λ d/4, dans le domaine n n − n − → E = (Y,Y ); Y εΛ1/2,Y V(ρ ) , (Y,Y ) Rn Rn ε n n 0 n { | | ≤ ∈ } ∈ ⊕ En effet, lorsqu’on change x en Λ1/2x, ξ est changé en Λ 1/2ξ mais − comme on quantifie le nouvel opérateur pseudo-différentiel en Weyl- (1,Λ), c’est que ξ devient Λ1/2ξ, on retrouve donc une bonne ho- mogénéité, et c’est le symbole de Weyl qui est transformé exactement. 1. L’argument de Melin-Ho¨rmander en dimension n. x+y (1.1) (Qv)(y,y ,Λ) = q( ,η,Λ)v(y,Λ) n ZZ 2 n d d Λ − dydη exp[i(x y)η+Λ(x y )η ] dy dη n n n n n − − (cid:18)2π(cid:19) (cid:18) 2π (cid:19) ou` q(Y,Y ,Λ) = p(Λ 1/2Y,Y ,Λ). n − n On rappelle que L. Boutet de Monvel [1] a introduit pour m,k R la ∈ classe : (1.2) S˜m,k(Rn,Σ) = {f˜∈ C∞(Rn);|DXp DXqnf˜X,Xn)| ≤ ΛmdΣk−p(X,Xn)} avec d (X,X ) = Λ 1/2 + X . Σ n − | | La métrique correspondante [2] est dX 2 (1.3) g˜ = | | + dX 2 X d2(X) | n| Σ Le poids est m˜(X) = Λmdk(X). Donc la dilatation produite en (4.8) Σ produitlaclasseS(Λm k/2d(Y)k,g)pourf(Y,Y ) = f˜(Λ 1/2Y,Y )avec − n − n dY 2 (1.4) d (Y) = (a2 + Y 2)1/2, et g = | | + dY 2, avec a = 1. a | | Y d2(Y) | n| a On voit facilement que : d (X +Y) (1.5) d (X +Y) d (X) Y , a 1 g (Y)1/2 a a a,X | − | ≤ | | | d (X) − | ≤ a Donc les métriques g sont lentes dès que a > 0. a Puis : 1 1 (1.6) 2(1+g (Y)) d2(X) ≤ d2(X +Y) a,X a a 2 La tempérance résulte donc de la lenteur et de h 1 qui est assurée a ≤ dès que a 1. ≥ (1.7) h (Y) = max(d 2,Λ 1) a −a − ω = σ +Λ 2σ , et donc (1.8) Y − Yn gω = d2 dY 2 +Λ 2 dY 2 min(d 4,Λ 2)g a a| | − | n| ≥ −a − a Il faut donc que d (Y) 1, ce qui donne bien a 1. a ≥ ≥ ˜ Une autre remarque est que si f(X,X ) S(1,Γ) alors f(Y,Y ) n n ∈ ∈ S(1,Λ 1 dY 2 + dY 2), il faut donc imposer aussi la condition Λ 1 − n − | | | | ≤ C d 2, soit aussi , ce qui impose de se limiter à une zone comme E et 1 −a C de prendre aussi 1 a CΛ1/2. Alors f˜ S(1,Γ) f S(1,g), au ≤ ≤ ∈ ⇒ ∈ moins dans E . Et donc h d 2. C a ∼ −a Le calcul mixte d de classes S(m,g )#S(mg ) S(mm,g ) a ′ b ′ min(a,b) ⊂ et h d 1d 1. a,b ∼ −a −b ˜ Si on part de f S(m˜,g ), alors f S(m,g ), avec m(Y) = ∈ ˜b ∈ Λ1/2˜b m˜(Λ 1/2Y). − (1.9) f˜ S(Λmdβ,g ) f S(Λm β/2dβ ,g ) ∈ µ µ ⇒ ∈ − µΛ1/2 Λ1/2µ Enparticuliersif˜∈ Sα = S(hXiα, |dXX|22),alorsf ∈ S(dαΛ1/2Λ−α/2,gΛ1/2). Ce qui fait que si f˜ (Rd Rd), f h i S(dα Λ α/2,g ). ∈ S ⊕ ∈ α R− Λ1/2 − Λ1/2 Comme on peut toujours partir d’unTpro∈blème microlocalisé au sens usuel près de Σ on sera toujours pour q(Y,Y ,Λ) dans la classe : n (1.10) q(Y,Y ,Λ) S(dα Λm α/2,g ) d=ef m(Rn,Σ) avec µ = 1. n ∈ µΛ1/2 − µΛ1/2 Tµ α\R− ∈ Onchoisiraconvenablement µ > 0etunepartitiondel’unité(χ ) , µ µ N ∈ χ S(1,g ), telle que µ µ ∈ χ2(X) = ζ (X), ou` ζ C (Rn Rn), µ 0 0 ∈ 0∞ ⊕ (1.11) µXN ∈ ζ 1 près de (0,ρ ) et est supportée près de ce même point. 0 0 ≡ On aura donc remplacé q(Y,Y ,Λ) par q = χ q avec χ (Y,Y ) = n ν Λ,µ Λ,µ n χ2(Λ 1/2Y,Y ) ou` les χ sont données par (1.11). Le nouveau grand µ − n µ paramètre de deuxième microlocalisation est de la forme ν = Λ1/2µ, avec ν grand et µ = Λ 1/2ν petit. − Si ε 1, on peut former le développement de Taylor à l’ordre N ≤ 1 (1.12) f(Y,Y ) = Dj f(0,Y ) Yj +R ((f)Y,Y ) n j! Y n N n X 0 j N 1 ≤ ≤ − 1 (1 τ)N 1 avec R (f)(Y,Y ) = − − DNf(τY,Y )YNdτ. N n Z (N 1)! Y n 0 − 3 ˜ Comme Y S(d ,g ) a; et que si f S(1,Γ) alors a a ∈ ∀ ∈ (1.13) C > 0 dans E , R (f)(Y,Y ) S(Λ N/2dN,g ). ∀ C N n ∈ − a a Si maintenant f˜ m,2k, alors R (f)(Y,Y ) S(Λm N/2dN,g ) et ∈ N N n ∈ − a a Dj f(0,Y ) = 0 pour j 2k 1, donc Y n ≤ − (1.14) f(Y,Y ) = R (f)(0,Y )+R (f)(Y,Y ) n j n N n X 2k j N 1 ≤ ≤ − Lesconditionsd CΛ1/2 entraˆınentalorsquef(Y,Y ) S(Λm k/2dk,g ) a ≤ n ∈ − a a et R (f)(Y,Y ) S(Λm N/2dN,g ) pour tout N et R (f)(0,Y ) = 0 N n ∈ − a a j n pour j < 2k. (1.15) q(Y,Y ) =  R (q )(0,Y )+R (q )(Y,Y )+ n j m−l n Nl m−l n X X 0≤l≤k2(k−l)≤j≤Nl−1  q +...+q +... m k 1 m k M − − − − Si on choisit N = 2(k l)+1 dans (4.17), on obtient : On a donc l − Proposition 1.1. Si P m,2k alors ∈ N (1.16) q(Y,Y ) = R (q )(0,Y )+R (q )(Y,Y ) n 2(k l) m l n 2(k l)+1 m l n − − − − 0Xl k(cid:0) (cid:1) ≤≤ +q +...+q +... m k 1 m k M − − − − et donc (1.17) q(Y,Y ) = n R (q )(0,Y )+R (q )(Y,Y ) +S(Λm k 1/2d2k+1,g ) 2(k l) m l n 2(k l)+1 m l n − − a a − − − − 0Xl k(cid:0) (cid:1) ≤≤ ou` a est arbitraire pourvu que 1 a Λ1/2. ≤ ≤ Le Corollaire de (4.19) à l’aide des arguments de seconde microlocalisation évoqués plus hauts conduisent au théorème optimal [5] suivant: Théorème 1.1. Sous les hypothèses : Hypothèse 2. i) P = P, p d2k. ∗ m ≃ Σ ii) En tout point ρ Σ, l’opérateur localisé P 0 sur L2. ρ ∈ ≥ on déduit : pour tout n N, il existe C > 0 tel que n ∈ (1.18) (Pu,u) C Λm k 1/2 u 2 u (Rn). n − − ≥ − k k ∀ ∈ S 4 2. Espace de Fock et calcul de Toeplitz Ontravailledirectement surl’espace deFockcommutatif d’unespace de Hilbert complexe H de dimension quelconque, dont on supposera qu’il est le complexifié d’un espace de Hilbert réel H séparable. 1 On note z la norme de H et pour k N, l’espace W = H, et k k | | ∈ ⊗ V le sous-espace engendré par les tenseurs symétriques, l’opérateur de k symétrisation total opère bien de W W dans V est a bien pour k l k+l ⊗ norme 1. Si n = dimH il est clair que dimV = (n+k)! = (Nk) quand n k n!k! O → . Donc plus la dimension N augmente plus V verra sa dimension k ∞ augmentée avec k. L’espace de Fock F(H) = V avec la convention de somme hilber- k k ⊕ tienne : zα (2.1) Φ = Φ , Φ V Φ (z) = Φ k k ∈ k k αα!1/2 X X k α=k | | et donc Φ 2 = Φ 2 = Φ(z) 2dν (z) α ′ k k | | Z | | Xα H Dans (2.1), ν est la mesure gaussienne sur H de variance 1/2, ν = ′ ′ exp( z 2)L(dz) quand dimH = n. −| | πn Donc F(H) = L2(H,ν ) , ou` est l’espace des fonctions entières, ′ ∩E E avec juste une convention à expliquer quand dimH = car H est ∞ de mesure nulle dans L2(H,ν ) et donc ne peut avoir véritablement de ′ fonctions continues et entières les simples polynoˆmes comme z 2k étant | | presque partout infinis dès que k 1 ce qui est la source véritable des ≥ infinis de renormalizations. Il y a bien un projecteur orthogonal de L2(H,ν ) sur F(H) noté par ′ π donné par la formule de la TFBI [7] : (2.2) πf(z) = f(w,w)exp(zw)dν (w); ′ Z H π(f) = f si et seulement si f est holomorphe e = exp(zw) est bien pour z H est dans L2 et donc la` il n’y a plus z ∈ w d’ambiguité de différentiabilité. e est l’état cohérent en z. z La` c’est purement L2 car une difficulté connue (calcul de Malliavin par exemple) est que π n’a plus de raisons d’opérer dans Lp. Lp pour p = 2 est donc une autre théorie. 6 On peut définir des opérateurs non triviaux dans F par la formule : (2.3) A(Φ) = π(aanti wickΦ) ou` aanti wick L − − ∈ ∞ν′ kAk ≤ kaanti−wickkL∞ν′ avec une inégalité stricte en général car F n’engendre pas L2. 5 Nous dirons que aanti wick est l’anti-symbole de Wick de A, il est − bien suˆr uniquement défini par (4.8) on note alors A = (aanti wick)w et − on définit le symbole de Wick awick(z,z) = π˜(aanti wick)(z,z). − π˜ est encore une TFBI à deux variables cette fois que l’on restreint a` la diagonale (w,z) H H;w = z , awick(z,z) est lui bi-holomorphe { ∈ × } et dans L2(H,ν ) L2(H,ν ) , cette fois est l’espace des fonctions ′ ′ 1 1 ⊗ ∩E E bi-holomorphes en (z,z) et on a aussi l’autre égalité : (2.4) awick(z,w) 2dν (z)dν (w) = aanti wick(w,w) 2dν (w). ′ ′ − ′ Z | | Z | | H H H × Soit le polynoˆme d’Hermite obtenu par la formule : k,l H zkzl (2.5) exp( z +w 2) = ( 1)k+l (w,w) exp( w 2) k,l −| | − H k!l! −| | kX,l N ∈ Les polynoˆmes d’Hermite obtenus par (4.10) sont deux a` deux or- thogonaux dans L2(H,ν ) et les H = (k!l!) 1/2 sont la base or- ′ k,l k,l − H thonormée de L2(H,ν ) obtenue par orthonormalisation des zkzl. Il ′ résulte alors de (4.10) que (2.6) π˜(f)(z,z) = exp( z 2) f(w,w)exp(zw +zw)dν (w) = ′ −| | Z zlzk ( 1)k+l f(w,w) (w,w) dν (w) k,l ′ − Z H k!l! X k,l zkzl = ( 1)k+lf ou` f = (f,H ) − k,l(k!l!)1/2 k,l k,l X k,l Ce qui prouve (4.9) et aussi que : 1 (2.7) π˜(f)(z,z) = exp(∂ ∂ )f(z,z) = ∂θ∂θf(z,z) z z θ! z z θXNN ∈ La formule (4.12) s’inverse par : 1 (2.8) f(z,z) = exp( ∂ ∂ )f(z,z) = ( 1)θ ∂θ∂θπ˜(f)(z,z) − z z − | |θ! z z θXNN ∈ Les formules (4.11) et (4.12), montre que si l’opération f π˜(f) ne → pose pas de problème, l’opération inverse ne se produit pas dans les distributions tempérées. Le calcul du composé C de B et A; ou` B et A sont des opérateurs ayantpouranti-symbolesdeWickrespectivement lesfonctionsbanti wick − 6 et aanti wick, au moins formellement C est lui donné par la formule : − (2.9) ( 1)j canti wick(z,z) = − tr(Djbanti wick) (Djaanti wick)(z,z)). − j! z − ⊗ z − Xj N ∈ La formule (4.14) est exacte quand aanti wick ou banti wick est un − − polynoˆme. 3. Opérateurs de création et d’annihilation dans l’espace de Fock. Avant de regarder des opérateurs de Toeplitz abstraits on considère les annihilateurs a = Dk et les créateurs a = zj. On définit un espace k z ∗j de Sobolev Definition 2. Soit s R, l’espace de Sobolev Fs(H) est l’ensemble ∈ des Φ(z) telles que : ∈ E zα Φ = Φ , Φ V ,Φ (z) = Φ k k k k α ∈ α!1/2 X X (3.1) k α=k | | et Φ 2 = Φ 2(1+k)s < k ks | k| ∞ X k On constate que Proposition 3.1. a (Fs,Fs k V ) et a sup (1 + q k)s k(1+q) s q! .k ∈ L − ⊗ k k kk ≤ q≥k − − − (q k)!k! − Donc par passage à l’adjoint : Proposition 3.2. a (Fs V ,Fs k) et a sup (1 + q k)s k(1+q) s q! .∗k ∈ L ⊗ k − k ∗kk ≤ q≥k − − − (q k)!k! − On peut construire des oscillateurs harmoniques d’ordre m par A = a a a , a (V ,V ) ∗k k,l l k,l ∈ L l k (3.2) k+Xl m ≤ et ainsi A (Fs,Fs m) pour tout s R. − ∈ L ∈ Il est facile de voir que l’on constitue ainsi une algèbre d’opérateurs différentiels à coefficients polynomiaux et que les symboles principaux (3.3) a (z,z) = trz k a z l m ⊗ k,l ⊗ ⊗ X k+l=m se multiplient, et que A a pour anti symbole de Wick la fonction ∗ aanti wick(z,z). − Quand dimH = n, l’anti symbole de Wick de A(z,D ) est donné z par la formule : ( 1)τ (3.4) aanti wick(z,z) = − tr DτDτawick(z,z). − τ! τ z z X k+l m,τ min(k,l) ≤ ≤ 7 Il résulte de (4.7) = que pour 0 p k et 0 q l ≤ ≤ ≤ ≤ (3.5) kDzpDzq(ak,l(zk,zl))kL(Vp,Vq∗) ≤ C|z|k+l−p−q DτDτA(z,z) (V ,V ), la dimension de V étant dimV = (n+τ)! = z z ∈ L τ τ∗ τ τ n!τ! (nτ), O (3.6) trDτDτA(z,z) = ( z k+l 2τnτ). z z O | | − Remarque 2. Quand k = 1 et l = 1, c’est l’oscillateur harmonique; il y a deux termes (az,z), a (H) se comporte comme z 2 quand a est ∈ L | | inversible positif, et a donc une norme L1 égale à n, le deuxième terme loc est tra n; ils ne se compensent pas, même en moyenne quadratique ≃ puisque la norme L2 vaut : (3.7) n n (az,z) tra) 2dν (z) = λ H 2dν (z) = λ2 n a 2 Z | − | ′ Z | j (j),(j)| ′ j ≥ k k H H Xj=1 Xj=1 4. Calcul symbolique de Toeplitz Soit θ C soit Nθ l’opérateur d’anti-Wick nθ = ( z 2 + n)θ2 S((n1/2 +∈z )Rθ,G)). | | ∈ | | Onintroduitdonclatranslationsymplectiqueunitaire,τ estl’opérateur Y : 1 (4.1) τ = (a )anti wik ou` a (Z,Z) = exp(i(YZ +YZ)+ Y 2) Y Y − Y 2| | Et donc : (4.2) τ τ = τ exp( iσ(Y ,Y )) Y1 ◦ Y2 Y1+Y2 − 1 2 lorsqu’on identifie Y = (y +iη) Cn avec Y = (y,η) Rn Rn. ∈ ∈ ⊕ Soit 1 (4.3) fanti wick(Z,Z) = exp(i(YZ +ZY)+ Y 2)m(Y)dY − Z 2| | Alors (4.4) 1 F = (fanti wick)wick = τ m(Y)dY = τ m˜(Y)exp( Y 2)(2π) ndY − Y Y − Z Z −2| | puisqu’on posera 1 (4.5) m˜(Y) = exp( Y 2)m(Y)(2π)n 2| | avecunefonctionm(Y) L 1(Rn Rn),lasuperpositionF desτ m(Y)dY Y ∈ ⊕ donne un opérateur F = τ m(Y)dY de norme 1 Y Z ≤ (4.6) dès que m(Y) dY 1 ou encore si m˜ L∞ 1 Z | | ≤ k k ≤ 8 Composant deux opérateurs donnés par les formules (4.6) et relatifs a` deuxpoidsm etm intégrablesonobtientparcompositionl’opérateur: 1 2 (4.7) F = F F = τ exp( iσ(Y ,Y ))m (Y )m (Y )dY dY 3 1 ◦ 2 ZZ Y1+Y2 − 1 2 1 1 2 2 1 2 Au moins formellement (4.8) F = ((f )anti wick)wick 3 3 − 1 ou` f (Z,Z) = exp(i((Y +Y )Z +(Y +Y )Z)+ Y +Y 2) 3 1 2 1 2 1 2 ZZ 2| | exp(( iσ(Y ,Y ))m (Y )m (Y )dY dY 1 2 1 1 2 2 1 2 − On écrit l’intégrale (4.8) sous la forme : 1 (4.9) f (Z,Z) = exp(i(Y Z +Y Z)+ Y 2)dY 3 3 3 3 3 Z 2| | 1 1 m ( Y +Y ))exp(iσ((Y ,Y ))m ( Y Y ))dY . 1 3 4 3 4 2 3 4 4 Z 2 2 − avec Y = Y +Y et Y = 1(Y Y ), si 3 1 2 4 2 1 − 2 1 1 (4.10) m (Y ) = m ( Y +Y )m ( Y Y )exp(iσ(Y ,Y ))dY 3 3 1 3 4 2 3 4 3 4 4 Z 2 2 − Pour monter que l’intégrale (4.10) converge vers vers une fonction tempéréeenexp 1 Y 2m (Y )onabesoind’extension danslecomplexe, on revient donc à2|la3|not3atio3n de Y = (y,η) Rn Rn, et on fait des prolongements dans Cn de y et η. ∈ ⊕ On déforme donc simplement le contour d’intégration de On suppose que i) La fonction m˜(y,η) se prolonge en une fonction holomorphe et bornée dans le domaine de Cn Cn : ⊕ = (y,η), I(y,η) < (θ2 + R(y,η) 2)1/2 θ (4.11) D { | | | | } pour un nombre positif θ à préciser. Soit Γ le contour d’intégration Y3,ε (4.12) y˜ = y +iεη ,η˜ = η iεy 4 4 3 4 4 3 − Les fonctions m˜ (1Y Y )) sont bien holomorphes dans le domaine de j 2 3± 4 déformation de contours si ε 1. | | ≤ 2 9 Sur ce contour les exponentielles de (4.11) deviennent oscillantes et on a : 1 1 (4.13) m˜(Y ) = exp( Y 2) m˜ ( Y +(y˜ iεη ,η˜ +iεy )) 3 3 1 3 4 3 4 3 4| | Z 2 − 1 m˜ ( Y (y˜ iεη ,η˜ +εy )) 2 3 4 3 4 3 2 − − exp[ (y˜2 +η˜2))+ε2(y2 +η2)+i2ε(y˜ η η˜ y )] − 4 4 3 3 4 3 − 4 3 exp[i(y˜ η η˜ y )+ε(η2 +y2]2 nπ ndy˜ dη˜ 4 3 − 4 3 3 3 − − 4 4 Le choix de ε = 1 est optimal et donc : −2 (4.14) m˜ (Y ) = 3 3 1 1 1 1 1 1 m˜ ( Y +(y˜ +i η ,η˜ i y ))m˜ ( Y (y˜ +i η ,η˜ i y )) 1 3 4 3 4 3 2 3 4 3 4 3 Z 2 2 − 2 2 − 2 − 2 2 nπ nexp [y˜2 +η˜2]dy˜ dη˜ − − − 4 4 4 4 Si on se contente d’un embryon de calcul symbolique a` savoir que le composé de deux antiwick est modulo un opérateur compact un opérateur d’antiwick on a à priori besoin de beaucoup moins. On écrit donc : 1 (4.15) exp(iσ((Y ,Y )) = 1+iσ(Y ,Y ) exp(iτσ((Y ,Y ))dτ 3 4 3 4 3 4 Z 0 Ce qui revient à changer dans le reste intégral de (4.15); le premier terme de (4.15) donne F (Z,Z)F (Z,Z) le reste intégral domine un 1 2 opérateur borné par : (4.16) R (Fs,Fs+1) k kL ≤ C ( m + m )(Y)dY ( m + m (Y))dY Y 1 1 Y 2 2 (cid:18)Z |∇ | | | (cid:19)(cid:18)Z |∇ | | | (cid:19) En effet appliquer Fs dans Fs+j consiste à étudier les normes dans (Bs) des opérateurs D l B = (Z⊗lF(Z,Z)) qui correspondent k · kL Z ◦ aux fonctions m (Y) = (i∂ Y )lm(Y); ceci pour 0 l j. l Y − 2 ≤ ≤ Corollaire 1. Si N = (n+ z 2)α)anti wick, alors α − | | (4.17) N #N = N +R R (Bs,Bs R(α+β) 1). α β α+β − − ∈ L On se ramène en effet aux cas ou` Rα et Rβ < 0 et on écrit (4.18) N (Z,Z) = α − dt Y 2 dY ∞exp( (1+n)t)tαexpi(YZ +YZ) exp( | | ) ZZ − Γ(α) − t πntn 0 10