c´alculo vetorial & geometria analítica

163 Pages·2016·1.68 MB·Portuguese

www.im.ufrj.br/cvga
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CALCULO VETORIAL
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GEOMETRIA ANALITICA
livro 2: o espac¸o & outros espac¸os
Felipe Acker
Instituto de Matema´tica
Universidade Federal do Rio de Janeiro
marc¸ode2016
copyright(cid:13)c 2016byFelipeAcker
Este trabalho foi contemplado com aux´ılio financeiro, no aˆmbito do edital de Apoio a`
produc¸a˜odematerialdida´ticoparaatividadesdeensinoe/oupesquisa,2014,da
Suma´rio
Prefa´cio i
1 Vetores 1
1.1 Segmentosorientadosevetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Vetoresecombinac¸o˜eslineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Retaseplanos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5 Omiste´riodaSant´ıssimaTrindade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Oprodutoescalar 9
2.1 Definic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Equac¸a˜odoplano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3 Segmentoseconjuntosconvexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3 Treˆsproblemasexemplares 15
3.1 Amendoimtorradinho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2 Medindoopapel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.3 Comquemesta´ oanel? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4 Oquee´ umabase? 25
5 Espac¸osvetoriais 29
5.1 O IRn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.2 Outrosespac¸os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.3 Espac¸osvetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
6 Basesedimensa˜o 39
6.1 Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6.2 Dimensa˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
7 Produtoescalar,denovo 45
7.1 Distaˆnciaseaˆngulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
8 Basesortogonais 53
8.1 Basesortogonaiscomvetoresflechinhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
8.2 Construindobasesortonormais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
8.3 Projec¸o˜esecomplementoortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
8.4 Basesortonormaiseprojec¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
iii
8.5 OprocessodeGram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
9 Odeterminante 63
9.1 A´reas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
9.2 Orientac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
9.3 A´reascomsinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
9.4 Volumescomsinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
9.5 Afo´rmula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
9.6 Orientac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
10 Quate´rnionseprodutovetorial 77
10.1 Osquate´rnions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
10.2 Oprodutoescalareoprodutovetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
10.3 Interpretac¸a˜ogeome´tricadoprodutovetorial . . . . . . . . . . . . . . . . 79
10.4 Determinantesevolume,denovo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
10.5 Omo´dulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
10.6 Quate´rnionserotac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
11 Vistaemperspectiva 87
11.1 Oproblema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
11.2 Osistemadecoordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
11.3 Asoluc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
11.4 Pontosdefuga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
12 Compactificac¸o˜esdoplanoedoespac¸o 93
12.1 Aprojec¸a˜oestereogra´fica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
12.2 Oplanoprojetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
13 Transformac¸o˜eslineares 99
13.1 Emtreˆsdimenso˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
13.2 Otrepa-trepacatala˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
13.3 Transformac¸o˜eslineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
13.4 UmpouquinhodeA´lgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
13.5 Isometrias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
14 Amatrizdeumatransformac¸a˜olinear 109
14.1 Noplano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
14.2 Matrizdeumatransformac¸a˜olinear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
14.3 Ocasogeral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
15 Mudanc¸asdebase 117
15.1 Umexemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
15.2 Outrosexemplosem IR3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
15.3 Matrizesortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
15.4 Ocasogeral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
16 OTeoremadoNu´cleoedaImagem 123
16.1 OTeoremadoNu´cleoedaImagemem IR3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
16.2 Ocasogeral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
17 Odeterminante,denovo 129
17.1 Determinantedetransformac¸a˜olinearem IR3 . . . . . . . . . . . . . . . . 129
17.2 Formastrilinearesalternadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
17.3 Formasdemedirvolumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
17.4 Permutac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
17.5 Odeterminantecomoformadevolume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
17.6 Odeterminantedetransformac¸a˜olinear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
17.7 Determinantedematriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
17.8 Orientac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
17.9 Adimensa˜odoespac¸odasformas p-linearesalternadas . . . . . . . . . . 145
18 Quandooexemplovemdecima 147
18.1 Umexemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
18.2 Deondeveio? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
18.3 Decimaparabaixo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
I´ndiceremissivo 153

Prefa´cio
Este livro 2 do Ca´lculo Vetorial e Geometria Anal´ıtica foi sendo constru´ıdo aos
pedac¸os e acabou aproveitando a viagem pela Geometria Anal´ıtica a treˆs dimenso˜es
paraapresentar,tambe´m,umaintroduc¸a˜oa` A´lgebraLinear.
Subvertendo um pouco a ordem tradicionalmente aceita, apresento, assim que me
pareceu poss´ıvel, treˆs situac¸o˜es em que a Geometria (plana e espacial) oferece um
suporte intuitivo e um charme decisivos para o tratamento de questo˜es em que o
nu´mero de varia´veis e´ naturalmente bem maior do que treˆs. Da mesma forma, preferi
colocar logo, claramente, o desafio de definir a dimensa˜o de um espac¸o vetorial.
Considerando que a proposta e´ um minicurso de 4 semanas, para alunos de primeiro
per´ıodo, e´ prova´vel que alguns cap´ıtulos, como o que trabalha de forma detalhada o
determinante (apo´s uma primeira abordagem simplificada), acabem ficando de fora
das aulas. Mas na˜o e´ ma´ ideia teˆ-los ali, ao alcance dos olhos de um ou outro
leitor mais curioso. Os v´ıdeos das aulas podem ser acessados a partir da pa´gina
www.im.ufrj.br/cvga.
Agradec¸o mais uma vez ao colega Diname´rico Pombo Jr., pela revisa˜o do texto (mas
assumo os erros que introduzi, alterando posteriormente o que ja´ parecia fechado),
e a Bernardo da Costa, Monique Carmona, Orestes Piermatei Filho, Ricardo Rosa,
Waldecir Bianchini (que criou os applets) e Umberto Hryniewicz, que contribu´ıram
paraqueotextoviessea` luz.
FelipeAcker
SantaTeresa,fevereirode2016
i

Cap´ıtulo 1
Vetores
Adotaremos neste texto um ponto de vista algo ”leviano”, com relac¸a˜o a` Geometria
Sinte´tica. Isto significa afirmar va´rias coisas sem demonstrac¸a˜o, tomando-as como
o´bvias. Acreditamosquee´ razoa´velprocederdessamaneira: oleitorja´ deveteralguma
experieˆncia pre´via com a Geometria, de forma que, provavelmente, na˜o se sentira´
ofendido.1
1.1 Segmentos orientados e vetores
Comonocasodoplano,adotaremosaseguintedefinic¸a˜oinformaldevetornoespac¸o:
um vetor e´ uma flechinha que pode ser transladada para qualquer ponto de espac¸o.
Paraesclarecerumpoucomelhoroqueissosignifica,podemosconvencionar:
Definic¸a˜o:
(i) Uma flechinha com pe´ em A e ponta em B e´ representada pelo par ordenado
(A,B);
(ii)Duasflechinhas(A,B)e(C,D)representamomesmovetorseossegmentos AB
e CD sa˜o paralelos e teˆm o mesmo comprimento e, ale´m disso, sa˜o tambe´m paralelos
e teˆm o mesmo comprimento os segmentos AC e BD (segmentos degenerados em um
ponto, tipo (A,A), sa˜o paralelos a qualquer segmento; dois segmentos sobre a mesma
retasa˜o,sempre,paralelos).
Os exerc´ıcios a seguir da˜o sustentac¸a˜o a` definic¸a˜o de vetor e a`s definic¸o˜es das
operac¸o˜es com vetores. Se voceˆ nunca demonstrou rigorosamente os resultados
ba´sicos da Geometria Euclidiana, podem ser muito dif´ıceis e trabalhosos. A ideia na˜o
e´ que voceˆ pare agora e va´ rever toda a Geometria,mas vale a pena dar uma olhada
e, pelo menos, conferir se acredita na veracidade das afirmac¸o˜es que os exerc´ıcios
conteˆm. Assim, uma atitude razoa´vel e´ trocar, nos enunciados, o comando mostre por
convenc¸a-se. Em qualquer circunstaˆncia, fazer as figuras correspondentes a cada um
dosexerc´ıciospodeserquaseta˜ou´tilquantofazerasdemonstrac¸o˜es.
Exerc´ıcio1.1 Suponha que os segmentos AB e CD sa˜o paralelos e teˆm o mesmo comprimento e, ale´m
disso,sa˜otambe´mparaleloseteˆmomesmocomprimentoossegmentos ACeBD. Suponha,tambe´m,que
1A verdade, honestamente, e´ mais dura: demonstrar todos os fatos geome´tricos que aceitaremos
comoo´bviosexigiria,certamente,umcursointeirodeGeometriaEuclidiana
1
2 Cap´ıtulo1: Vetores
os segmentos CD e EF sa˜o paralelos e teˆm o mesmo comprimento e, ale´m disso, sa˜o tambe´m paralelos e
teˆm o mesmo comprimento os segmentos CE e DF. Mostre que os segmentos AB e EF sa˜o paralelos e
teˆmomesmocomprimentoe,ale´mdisso,sa˜otambe´mparaleloseteˆmomesmocomprimentoossegmentos
AEeBF. Concluaque,noconjuntodosparesordenadosdepontosdoespac¸o,representaromesmovetor
e´ umarelac¸a˜odeequivaleˆncia,istoe´:
(i)(A,B)e(A,B)semprerepresentamomesmovetor,quaisquerquesejamospontos Ae B;
(ii)se(A,B)eC,D)representamomesmovetor,enta˜o(C,D)e(A,B)representamomesmovetor;
(iii) se (A,B) e C,D) representam o mesmo vetor e (C,D) e (E,F) representam o mesmo vetor,
enta˜o(A,B)e E,F)representamomesmovetor.
Exercı´cio1.2 Conclua, do exerc´ıcio anterior (mesmo que na˜o o tenha feito), que os pares ordenados de
pontos do espac¸o esta˜o divididos em classes de equivaleˆncia, dadas da seguinte forma: a classe de
equivaleˆncia do par (A,B) e´ o conjunto de todos os pares (C,D) tais que (A,B) e (C,D) representam
o mesmo vetor. Um vetor e´, precisamente, uma tal classe de equivaleˆncia. A classe de equivaleˆncia de
−→ −→
(A,B)e´ notadapor ABechamadadevetor AB.
−→ −→ −→
Exercı´cio1.3 SejamABumvetorePumponto. Mostrequeexisteumu´nicopontoQtalquePQ=AB.
−→ −→
Mostrequeexisteumu´nicopontoQ(cid:48) talqueQ(cid:48)P=AB.
Exercı´cio1.4 Sejam A e B pontos distintos e t um nu´mero real na˜o negativo. Mostre que existe um
u´nicopontoC,nasemirretaquecomec¸aem Aepassapor B,talqueocomprimentodosegmento ACe´ t
vezesocomprimentodosegmento AB.
−→ −→
Exercı´cio1.5 Mostreque PP=QQ,quaisquerquesejamospontos PeQ.
−→
(cid:126)
Definic¸a˜o:Se Pe´ umpontoqualquerde E,ovetor PPe´ chamadodevetornuloee´ notadopor0.
−→ −→
Exercı´cio1.6 Mostreque,se AB=CD,enta˜oossegmentos ABeCDteˆmomesmocomprimento.
−→ −→
Definic¸a˜o:Anormadovetor AB,notadapor| AB |,e´ ocomprimentodosegmento AB.
−→ −→ −→ −→
Exercı´cio1.7 Mostreque,se AB=A(cid:48)B(cid:48) eCD=C(cid:48)D(cid:48),enta˜ooaˆnguloentreasretas ABeCDe´igualao
aˆnguloentreasretas A(cid:48)B(cid:48) eC(cid:48)D(cid:48).
−→ −→
Definic¸a˜o:Oaˆnguloentreosvetores ABeCDe´ o(menor)aˆnguloentreasretas ABeCD.
−→ −→ −→ −→
Exercı´cio1.8 Mostreque,se AB=CD,enta˜o BA=DC.
−→ −→ −→ −→ −→
Definic¸a˜o: Sejam ABeCDdoisvetores. Asoma AB + CDe´ ovetor AE,sendooponto
−→ −→
E talque BE=CD.