Bundeswettbewerb Mathematik: Aufgaben und Lösungen 1992-1997

163 Pages·1998·10.177 MB·German

by  Klaus-R. Löffler (eds.)

Bundeswettbewerb
Mathematik
Aufgabcn und Liisungen 1993 -1991
Herausgegeben von Klaus—R. Léffler
Ernst Klett Verlag
Stuttgart Berlin Leipzig
Der Bundeswettbewerb Mathematik isteine Initiative des Stifterverban-
desfiJrdie DeutscheWissenschaftmitUnterstiitzungdesBundesminis-
teriumsfiir Bildung, Wissenschafl, Forschung undTechnologie und der
Lénder in der Bundesrepublik Deutschland.
Studiendirektor Klaus-R. L6ffler istVorsitzenderdes Aufgabenausschus-
ses des Bundeswettbewerbs Mathematik.
GedrucktaufRecyclingpapier,
hergestelltaus100%Altpapier.
1.Auflage A 1 4 3 2 1 |2002 2001 99 98
AlleDruckedieserAuflagek6nnenimUnterrichtnebeneinanderbenutztwerden,
siesinduntereinanderunveranden. ,
DieIetzteZahlbezeichnetdasJahrdiesesDruckes.
©ErnstKlettVerlagGmbH,Stuttgart1998.
Alle Rechtevorbehalten.
lnternetadresse:http://www.klett.de
Druck:Gutmann&Co.GmbH,74388Talheim
ISBN3-12-710830-3
Inhaltsverzeichnis
Vorwort 4
BildungundBegabunge.V. 6
Wettbewerb1993
Aufgaben 1.Runde 93.1
Aufgaben2.Runde . 93.2
Lésungen 1.Runde 93.3
L6sungcn2.Runde 93.19
Wettbewerb1994
Aufgaben 1.Runde 94.1
Aufgaben2.Runde ~ 94.2
Lfisungen 1.Runde 94.3
Lésungen2.Runde 94.17
Wettbewerb1995
Aufgaben 1.Runde 95.1
Aufgaben2.Runde 95.2
Lésungen 1.Runde 95.3
Lésungen2.Runde 95.14
Wettbewerb 1996
Aufgaben 1.Runde 96.1
Aufgaben2.Runde 96.2
Liisungen 1.Runde 96.3
Lbsungen2. Runde 96.15
Wettbewerb 1997
Aufgaben 1.Runde 97.1
Aufgaben2.Runde 97.2
Lfisungen 1.Runde 97.3
Lfisungen2.Runde 97.13
Vorwort
Vorwort
MitderVorlagediesesFolge-BandeswerdenausweiterenfiinfJahrendieAufga-
ben des Bundeswettbewerbs Mathematik, der im Erscheinungsjahr 28 Jahre be-
stand,mitihrenvielfaltigenLbsungsmfiglichkeitendokumentiert.
HinsichtlichderDurchftihrungdesWettbewerbshatesseitderVorlagedesletzten
Bfindchens in dieser Reihe keine wesentlichen Anderungen gegeben. Wer sich
hier fiir Einzelheiten interessiert, sei auf die Homepage des Bundeswettbewerbs
Mathematik, http://www.bubev.de (don auf ,,Mathematik“ klicken), verwiesen
Oder kann Informationsmaterial von der Geschiftsstelle (Bundeswettbewerb Ma-
thematik,Wissenschaftszentrum,Postfach20 1448,53144Bonn)anfordem.
Kennzeichnend fur die mathematischen Grundlagen der Aufgabenlbsungen ist
wieder, dass siesichimwesentlichenaufdenStoffderSekdndarstufeIbeschrfin-
ken. So werden insbesondere Verfahren der Analysis nicht oder allenfalls ergéin-
zend fiir weitere Ldsungsaltemativen herangezogenuEine Ausnahme von dieser
generellen Feststellung machen einige Verfahren und Sfitze, die wichtig fiir die
Behandlung bestimmter Klassen der Problemmathematik sind und wegen ihrer
grundsfitzlichen Bedeutung zur m'athematischen Allgemeinbildung gehéren; in
diesen'in Rahmen sind z.B. das Verfahren der vollstfindigen Induktion oder das
RechnenmitRestklassenzunennen.DagegenliegendiebendtigtenVerfahrenvor
allemin der Geometric vollstfindig imschulischen Rahmen. Geradebei denAuf-
gaben aus diesemBereichk6nntedieVielfaltderLdsungen auch fiirAnwendun-
genim_UnterrichtvonInteressesein. '
. DieBasisfurdiehiervorgelegtenLésungenbestandnebeneigenenEntwiirfenvor
allemausdenumfangr‘eichenBeweisvorschléigen,dievonMitgliedemdes Aufga-
benausschusses ausgearbeitetwordensind; fiirdiese intensiveMithilfe, die in der
Vielseitigkeit der hier verdffenflichten [fisungen sichtbaren Ausdruck finder,
Vorwort
dankeichandieserStelleherzlich. EinbesondererDankgiltauchdemLeiterder
Geschfiftsstelle, H.-H. Langmann, dutch dessen kritische und sorgfaltige Dutch-
sichtsowohlderjfihrlichenwsungsentwfirfealsauchdesendgiiltigenTyposkxipts
furdiesesBfindchenvieleFehlerkorrigiertwerdenkonnten.
DieMathematikgehértleidernachwievorunterdenschulischenFichernzu den
UnlustquellenersterOrdnung. Die FfihigkeitderMathematik, Freudeund Befrie-
digungzuvermitteln,dieweitfiberdasvordergriindigeErfolgserlebnishinausgeht
und aufder intensiven Erfahrung gewonnener Einsichten und spilrbarer Kompe-
tenzerweiterung beruht, wirdja nut nach ausdauemder, miihevoller und phasen—
weise ergebnislos wirkender Auseinandersetzung mit den jeweiligen Problemen
deutlich. Allerdingsbleibtbei dererforderlichenAusdauerundKonzentrationauf
dasLbsungszielhinderErfolgnichtans.IndiesemSinnewfinscheichdenLesem
beiderBeschfiftigungmitdenAufgabenFreudeundvieleneueErkenntnisse.
LeverkusenimOktober 1998
Klaus-R.L6ffler
BildungundBegabunge.V.
Bildung und Begabung e.V.
DerVerein Bildung und Begabung e.V. wurde vom Stifterverband fur die Deut-
‘sche Wissenschaft ins Leben gemfen. Als private Einrichtung unterstfitzt er Be-
mfihungen. die daraufgerichtet sind, besonders interessiette, begabte und leis-
tungsfiihigejungeMenschenzufindenundzuffirdem.
Der Verein arbeitet mit den staatlichen Institutionen von Bund und Landem
ebenso zusammen wie mit gesellschaftlichen Gruppen, die am Bildungsprozess
generell interessiert sind. Im Mittelpunkt seiner Arbeit stehen die Bundeswett-
bewerbe Fremdsprachen und Mathematik, die deutsche Beteiligung an der Inter-
nationalen Mafltematik-Olyrnpiade, dieOrganisationvonFérdermaBnahmen, hier
insbesondere die DeutscheSchfilerAkademie, und ein Informationsdienst zur
Begabtenférderung. ‘ '
EinKuratoriumberfitdenVereininallenFragenseinesTfifigkeitsbereichsundbe-
schlieBt die einzelnen Mafinahmen. Mitglieder des Kuratoriums sind: der Bim-
desministerfurBildung, Wissenschaft, Forschung undTechnologiesowie einlei-
tender Beamter seines Ministeriums, derPrfisident und 2. Vizeprfisidentder Kul-
tusministerkonferenz als Vertreter der Linder, ein Vorstandsmitglied und der
Generalsekretéirdes StifterverbandesfurdieDeutscheWissenschaftsowieRepri-
sentantenderWirtschaft,derGewerkschaftenundderWissenschaft.
BildungundBegabunge.V.,Geschfifrsstelle: Kennedyallee62—70.53175Homl
A 1993 _ 1.Runde
Aufgaben 1993 1. Runde
1. Alle natfirlichen Zahlen aufler 1 und 2 kénnen als Summe vonipaaxweise
verschiedenen Summanden dargestellt wetden. Fiirjede natfirliche Zahl n
(n23) wird bei allen derartigen Darstellungen von 11 die Anzahl der Sum-
mandengezéhltunddiegréBtevorkommende AnzahlmitA(n) bezeichnet.
ManermittleA(n).
Von einer Menge MausendlichvielenPunktenderEbeneseibekannt:
Ffirje zweiverschiedene Punkte A,Baus Mgibtesstetseinen PunktCaus
M,so dassdasDreieckABCgleichseitigist.
Man bestimme die grBBtmégliche Anzahl von Punkten einer solchen Men-
ge M.
Esgibt PaarevonQuadratzahlenmitfolgendenbeidenEigenschaften:
(1) Ihre Dezimaldarstellungen haben die gleiche Ziffernanzahl, wobei die
erste Zifferjeweilsvon 0verschieden ist.
(2) Hingt man an die Dezimaldarstellungderersten die derzweiten an»,so
entstehtdie DezimaldarstellungeinerweiterenQuadratzahL
Beispiel: 16 und81; 1681 =41’.
Man beweise, dass es unendlich viele Paare von Quadratzahlen mit diesen
Eigenéchaftengibt.
Gegeben sei ein Dreieck ABC mit dem Flicheninhalt Fund den Seitenlén-
gen3.,b,c ( a. =B—C,b=CK,c = A—B). DieSeiteABwirdiiberA hinausuma.
und fiber B hinaus um b verlingert. Entsprechemi wird BC fiber B bzw. C
hinaus um b bzw. c verléngert. SchlieBlich wird CA fiber C bzw. A hinaus
um cbzw. a.verlingert.
Die iuBeren Endpunkte der Verlingerungsstrecken bilden die Eckpunkte
einesSechsecks mitdemFlicheninhaltG. '
Manbeweisezg 2 13.
93.1
2.Runde 1993 A
Aufgaben 1993 2. Runde
1. In éinem reguliren Neuneck seijede Ecke entweder rot oder griin geférbt
Je drei Ecken des Neunecks bestimmen ein Dreieck..Ein solches Dreieck
heiBerotbzw.grin,wennseineEckenallerotbzw. allegriinsind.
Man beweise, dass es bei jeder derartigen Firbung des Neunecks mindes-
tenszweiverschiedenekongruenteDreieckegleicherFarbegibt.
Fiirdiereelle Zahla.gelte,dassesgenan3einQuadratgibt,dessen Ecken al-
leaufderKurve mitderGleichungy=x3 +ax liegen.
ManbestimmedieSeitenl'amgediesesQuadrats
Gegeben sei ein Dreieck ABC. Ferner sei A’ der Schnittpunkt der Winkel-
halbierendenw“ImitderMittelsenkrechtenm(AB),B'derSchnittpunktvon
w19mitm(BC'),C’derSchnittpunktvonw"mitm(CA).
Manbeweise:
1.Du Dreieck ABCistgenaudanngleichseitig, wennA’11ndB’zusammen—
fallen.
2.WenndiePunkte A’,B’,C’verschiedensind,gilt
|s<B’A’0’] =90°7%.|1<BAc|.
Erliutemng
Mitw“wirddie W'mkelhslbierendedc: Innenwinkels BACbenichnet; analogsindw
und w erklirt. Ffirbeliebige verschiedene Punkte X, Y beuichnet m(XY) die Mittef3
senkrechtederStreckeXY.
Gibt_es eine natiirliche Zahl 11, bei der die Dezimaldarstellung von 11! mit
1993 beginnt?
93.2
L 1993 1.Runde
Aufgabe 1
Alle positiven ganzen Zahlen auBer1und 2 kéinnenals Summe von paarwei-
se verschiedenen Summanden dargestellt werden. Fiirjede natiirliche Zahl n
(n23) wird bei allen derartigen Darstellungen von 11 die Anzahl der Sum-
mandengezihltunddiegréfitevorkommendeAnzahlmitA(n)bezeichnet.
ManermittleA(n).
Emishnnns
Eine Summendarstellung der positiven ganzen Zahl n, welche die Form
a + 2.2+”.+akmit paarweise verschiedenenpositivenganzen Zahlen a. (lsisk;
k22) hat,wird1nderfolgenden LésungalszuléssigeDmtellungvon 11xbezeich-
net.
I"'
Fiir jede nat1irliche Zahl R (1:22) sei die Summe der erstefz k gositiven ganzen
Zahlenmits(k) bezeichnet:s(k)—— l +2 +3 +... +k(= k ).
Offensichtlich ist s(k) der kleinste Wert, den eine Summe von kpaarweise ver-
schiedenenpositivenganzen Zahlenhabenkann.
Ist eine vorgelegte natiirliche Zahl n (n23) kleiner als s(k), gibt es also keine
zul'a'ssigeDarstellungmitkodermehrSummanden
Falls dagegen n 2 s(k) ist, liefert 2B. 1 +2 +3 +..+ (k-l) + (k+n —s(k))
einezuléssigeDarstellungvon11mitkSummanden. Darausergibtsich:
Die natiirliche Zahl n liegt genau damn im Intervall [k—gtfl), WI;
wenn A(n): k ist. Dutch Aquivalenzumformung erha'.lt man daher nacheinan—
derauaA(n):
k-(k+ 1) s2n < (k+l)-(k+2) ,
kz+k+;- s2n+4l. (k2+3k+%,
. (k+.i7)2 $2n+4l ((k+%)2,
k+% Mm? < k+g,
W—g— < k 1mg.
Somit ist k die kleinste gauze Zahl, die gréfier als {m —% ist, bzw. die
grBBteganze Zahl,die nichtgriiBeralsm -l( =%-(}/8T+—1— 1) ) ist.
WMn): min{keNIk >~/2n—+7--
Bsmlmng;
Unter Benutzung der GauBfunktion [...] ([x]—-max{ teZ I t< x} fiir x eIR )
kannmandasErgebnis1nderfolgendenFormangeben:
A(n)—— [5-(f8n+1-1)].
93.3
1. Runde 1993 L
Be eweisva. '3. en
Auch alternative Beweise werden den folgenden Grundaufbau habem Bezeich-
netmanfiirk6IN mits(k) diek-te,,Dreiecksza.hl“1 +2 +3 + + k,sogiltfiir
k,neN:
1. Ist nzs(k), so gibt‘es eine Darstellungvon 11 a.LsSumme von k paarweise
verschiedenenSummanden(ansN),alsogiltA(n) zk.
2. Ist n< s(k+1),sogibtes keineDarstellungvon n alsSummevon k+1 ver-
schiedenenSummanden(ansIN),alsogiltA(n) < k+1.
Mit der Formelfiirdie Summe derersten kpositivenganzen Zahlen ergibtsich
damitA(n).
Beachtet man, dass A(n) die3mmmit k-(k+1) s 2n ist, léisst
sich die zweifache Ungleichung des Lésungsbeispiels auf folgende Weise ver—
meiden:
Die Ungleichung k‘(k+1)s2n ist 21.1 (k+% - 1/2n +7i )0:+%+ V2n + 7' ) s0
Equivalent. '
Da. der .Faktor (k+%-+ {Zn+:l ) positiv ist, ist k+%- ¢2n +7' nicht po-
sitiv. Also ist A(n) die gréBte natiirliche Zahl, die —%+ {Zn+ :- nicht iiber-
trifft.
Aufgabe 2
Voneiner Menge MansendlichvielenPunktenderElieneseibekannt:
Fiirje zwei verschiedene Punkte A, B aus Mgibt es stets einen Punkt C aus
M,sodassdasDreieckABCgleichseitigist.
Man bestimme die grBBtmfigliche Anzahl von Punkten einer solchen Men-
ge M.
nbemgfigngzuden Lésungen
Eine endliche Teilmenge M der Ebene, die zuje zwei'Punkten A, B stets einen
dritten Punkt enthilt, der A, B zu den Ecken eines gleichseitigen Dreiecks er-
ginzt, heifie nachfolgend trigonalOffensichtlich sind die leere Menge, einpunk—
tige Teilmengen der Ebene sowie eine aus den drei Ecken eines gleichseitigen
Dreiecks bestehende Menge trigonal. Wenn es eine trigonale Menge mit maxi-
maler .endlicher Elementeanzahl gibt, enthélt diese also mindestens drei Ele-
mente.
Die LésungbestehtjeweilsansfolgendenSchritten:
1. Es wird einetrigonale Menge Mbetrachtet,die mindestens drei Elemente
enthilt.
2. Da. M endlich und nicht leer ist,gibt es eine maximale Entfernungzweier
93.4