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Bundeswettbewerb Mathematik: Aufgaben und Lésungen 1972-1982 ISBN 3-12-710740-4 l..-\uflag0 1 5 4 3 2 ' I 199] 90 89 88 37 .'\||(' Druckc dicser Auflagc kiinilcn im Unterricht nebcncinandcr benutzt werdcn, sic sind umvrcinanderunveriindcrl. DieIctzteZahlbczeichnc!dasjahrdicscsDruckcs. 1“ Ernst cu VorhgcGmbH u.Co. KG,Stuttgart 1987.AlleRcchtcvorbchaltcn. Drurk:Gulmalm u.(30..Hoilbrpnn Inhaltsverzeichnis Vorwort 4 Einleitung 5 Wettbewerb 1972/73 w'enbewerb 1978 Aufgaben 1. Runde 72.1 Aufgaben 1. Runde 78.1 Aufgaben 2. Runde 72.2 Aul‘gaben 2. Runde 78.2 Lé')sungcn 1. Runde 72.3 lfisungen 1. Runde 78.4 Lésungcn 2. Runde 72.8 Lfisungcn2. Runde 78.12 Wettbewerb 1973/74 Wettbewerb 1979 Aufgaben 1. Runde 73.1 Aufgaben 1. Runde 79.1 Aufgabcn 2. Runde 73.2 Aufgaben 2. Runde 79.2 Liisungen 1. Runde 73.4 Li'isungcn 1. Runde 79.3 Lfisungen 2. Runde 73.11 Lfisungcn 2. Runde 79.15 Wettbewerb 1975 Wettbewerb 1980 Aufgabcn 1. Runde 75.1 Aufgabcn 1. Runde 80.1 Aufgabeh 2. Runde 75.3 Aufgaben 2. Runde 80.2 Lfisungen 1. Runde 75.4 L65ungen 1. Runde 80.3 Lfisungen 2. Runde 75.9 Lfisungen 2. Runde 80.19 Wettbewerb 1976 Wettbewerb 1981 Aufgaben 1. Runde 76.1 Aufgaben 1. Runde 81.1 Aufgabcn 2. Runde 76.2 Aufgaben 2. Runde 81.2 L6sungen 1. Runde 76.3 Li'isungen 1. Runde 81.3 Lésungen 2. Runde 76.14 Ifisungcn 2. Runde 81.23 Wettbewerb 1977 Wettbewerb 1982 Aufgabcn 1. Runde 77.1 Aufgaben 1. Runde 82.1 Aufgaben 2. Runde 77.2 Aufgaben 2. Runde 82.2 Liisungen 1. Runde 77.3 Lbsungen 1. Runde 82.3 Liisungen 2. Runde 77.10 Lésungcn 2. Runde 82.25 Vorwort DiehiervorgelegtcMatcrialsammlungistbereitsdievierteAusgabemitAufgaben und LiisungenausdemBundeswettbewerbMathematik. 1977erschiendieerste Veriifl‘entlichungmitAufgabenundLiisungenvon 1970bis 1975, 1979folgteder BandmitAufgabenundLbsungenausdenjahren 1972his 1978und 1983der AnschluBbandzudenjahren 1979his 1982.AlledreiBiindesindseitlingercm vergrifl'en,sodaBsichderVerlagErnstKlettdankenswerterweiseentschlossenhat, dieMalerialicnvon 1972his 1982durchcincnNachdruckalsDoppelbandzugfing—_ lichzumachen.NochindiesemjahrsollenauchdieAufgabenundLfisungenyon I 1983bis 1986(cllbuch-Nr. 71072)erschcincn. DerBundeswettbewerbMathematikgehfirtnebendemBundeswettbewerbFremd- sprachcnzudenzentralenAufgabcndesVereins,,Bi1dungundBegabung",dersich zumZielgesctzthat,alleBemiihungenzuunterstiitzcn,diedaraufausgerichtetsind, besondersintercssierte,begabteundleistungsfa'higejungeMenschenzufindenund zuiBrdem. DabeiarbeitetderVereinmitdenstaatlichenEinrichtungenvonBund undLfindcrnebensozusammenwicmit~alljenengesellschaftlichenGruppen,dieam Bildungsprozeflgenerellinteressiertsind.ImKuratorium,dasdenVereininallen FragenderBegabtenfiirderungberiit,sindderBundesministerfiirBildungund Wissenschaft,dieStiindigeKonferenzdcrKultusministcrdcrLiinderindcrBundes- republikDeutschland,derStifterverbandflitdieDeutscheWissenschaft,dieWirt- schaft,dieGewerkschaflensowiedieWisscnschaflunddiePolitikvertreten. DerBundeswettbewerbMathematikgehéirtindcrBundesrepublikDeutschlandzu deniltestenundcrfolgreichstenProjektenimBereichderBegabten-undNach- wuchsforderung.DiesnichtzuletztaufGrundderanspruchsvollenundvielseitigen Aufgaben,diehiermitihrenLosungenvorgelcgtwerden IchmochtedieseVerofl'entlichungzumAnlafinehmcn,umalljenenzudanken,die diescnWettbewerb,sciesfinanziell,sciesorganisatorisch,seiesinhaltlich,untcr- stiitzi hahen. Ich\\iinschemir.daBdieserBandgeradeInclorSchulecincmoglichst grolie.undinteressierteLeserschaftfindet. lmjuli 1987 WalterRasch,Senatora.D. VorsitzcnderdesVereins ,,BildungundBegabung“ Einleitung 1. Die Entwicklung des Mathematikwettbewerbs 1970 - 1982 2. Das Aufgabenmaterial 2.1 die Auswahl und Formulierung 2.2 die Bearbeitung durch die Teilnehmer 2.3 die Korrektur 3. Die Lfisungsbeispiele 3.0 Vorbemerkungen 3.1 Ratschlfige ffir den im Aufgabenlésen unerfahrenen Leser 4. Bundeswettbewerb Mathematik und Schule ' 3000 - '— 2000 ' 1000 - . HHH 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82v 1. Das Diagramm zeigt die Entwicklung der Teilneh- merzahlen der 1. Runde beim Mathematikwettbewerb seit seiner Entstehung. Man sieht, daB diese Beteili- gungszahlen stark schwanken. Eine auffallende H6he erreichten sie mit mehr als 3000 in den Wettbewerbsjahren 1977 und 1978. Die Vielzahl der Parameter, von denen die Anzahl der Teilnehmer in jedem Jahr abhfingt, last bfindige Erklfirungen ffir diese Schwankungen kaum zu. Mannahmen der Wettbewerbsveranstalter (Héhe der Preise, Schwierig- keitsgrad der Aufgaben, etc.) wirken sich hier» neben Ursachen aus, auf die der Wettbewerb keinen Einflufl hat wie Abiturtermine Oder der Grad der werbenden Unter- stfitzung und bei Erfolg ggfs. der Anerkennung durch die Schulen. Auch Verfinderungen in der Einstellung der Gesell- schaft und speziell der Schfiler zu Fragen aus dem mathematisch/technischen Bereich, zum Leistungsprinzip usw. spielen sicher eine Rolle. Es entzieht sich naturgemfia der Kontrolle durch den Wett- ‘ bewerb, wie hoch die Anzahl derer ist, die sich intensiv mit den Aufgaben beschfiftigen, ohne anschlienend eine Einsendung vorzunehmen. Aufffillig ffir die Korrektoren beim Wettbewerb ist aber, daB im Gegensatz zu frfiheren Jahren kaum noch Arbeiten eingereicht werden, bei denen alle Auf- gaben unzureichend bearbeitet sind. Rfickfragen und Gesprfiche mit Teilnehmern und Fachlehrern ffihrten 1980 zu vier MaBnahmen, mit denen besonders auf die sich verindernde schulische Situation eingegangen wurde: (1) Verlfingerung der Bearbeitungszeit in der 1. Runde, sowie eine zeitliche Verschiebung nach vorne, um die Weihnachtsferien ausnutzen zu k6nnen. (2) Vermeidunq von Aufgaben mit erheblichem Aufwand an Schreibarbeit und Tabellenuntersuchungen. (3) Verringerung des Schwierigkeitsgrades beim Aufgaben— paket ffir die 1. Runde. (4) Fehlerzettel zur Information fiber Art und Ort der ffir die Preisentscheidung wesentlichen Mingel ffir alle Teilnehmer, die einen ersten Preis verfehlt haben. An eine Verringerung der Schwierigkeit bei den Anforderungen des gesamten Wettbewerbs wurde allerdings zu keinem Zeitpunkt ernsthaft gedacht. Immer schon, besonders seit 1980, hat in ausgeprfigter Weise die 2. Runde auch die Aufgabe. durch hohe Anforderungen an die Teilnehmer das Niveau dieses bundesweiten Leistungswettbewerbes in gleicher Hohe zu halten. Bei allen finderungen in Details stellt dieses Bestreben eine Konstante in der Entwicklung des Wettbewerbs dar. 2.1 Die Auswahl der in der jeweiliqen‘Runde zu stellenden Aufgaben erfolgt rechtzeitig vor Rundenbeginn durch den Aufgabenausschua des Bundeswettbewerbs Mathematik. Das Material ffir die Auswahl ist-ein Aufgabenvorrat, der das ganze Jahr fiber von den Mitgliedern des Aufgaben- ausschusses durch Neuvorschlage, Modifizierungen und Streichungen 'gewartet' wird. Anlfisse ffir Streichungen k6nnen dabei z.B. Verfiffentlichungen Ehnlicher Aufgaben an zugfinglicher Stelle, inhaltliche Unangemessenheit, zu' lange Oder zu komplizierte Aufgabenstellung usw. sein. Bei den Aufgaben sind einige Eigenschaften erwfinscht: Die Aufgaben sollten kurz und einprfigsam zu formulieren und von der Fragestellung Oder vom Ergebnis her interessant und vielleicht fiberraschend sein. ihre Hauptanforderung an den Losenden im heuristischen Bereich stellen, knappe fiberschaubare Lasungen zulassen und insgesamt als Paket in einem nicht zu schmalen Sektor der Elementarmathematik liegen. Da dem Lfisen der Aufgabe durch die Teilnehmer das Verstehen vorausgehen muB, wird der Formulierung der Aufgaben besondere Sorgfalt gewidmet, wobei gelegentlich ausgesprochen griffige Formulierungen zugunsten anderer nicht mieverstandlicher verworfen werden. Nicht immer macht die Prfizisierung der Aufgabenstellung den Einstieg leichter, da manchmal der Eindruck eines komplizierteren Sachverhalts entsteht. Bei einem mfiglichen Mterstfindnis bei einer mehrdeutigen Formulierung wird daher die Einsicht in die vorgesehene Aufgabenstellung dann ohne zusfitzliche Hinweise dem lasenden Schfiler zugemutet, wenn die alternative Deutung auf eine unsinnige oder triviale Fragestellung ffihrt. Bei dem Gebrauch von Begriffen, die zwar mathematisch ele- mentan aber doch nicht jedem Schfiler gelfiufig sind, wird auf den Fachlehrer vertraut, der im Bedarfsfall helfend Auskunft geben kann. Denn lassen sich auch notfalls noch Begriffe wie 'konvex', 'Polyeder' oder 'Minimum' vom Schfiler nachschlagen, so braucht er doch die Erklérung eines Mathematikers, wenn er zum Beispiel nicht weiB, was eine 'Verscharfung' oder was eine 'Verallgemeinerung' eines Satzes ist. . 2.2 Nach der Verfiffentlichung der Aufgaben der ersten Runde in den Schulen bzw. nach Zusendung der Aufgaben an die Teilnahmeberechtigten der zweiten Runde steht jeweils eine Zeit von mehr als zwei Monaten zur Bearbeitung der Aufgaben und Einreichung der selbstfindig erarbeiteten LBSungen zur Verffigung. In der ersten Runde berechtigt bereits die Bearbeitung von drei Aufgaben zur Einsendung, in der zweiten Runde mfissen alle vier gestellten Aufgaben gelast werden. Im Gegesatz zum Klausursystem, nach dem bei der Inter- nationalen Mathematikolympiade (IMO) und bei den meisten anderen nationalen Mathematikolympiaden vorgegangen wird, haben dié Teilnehmer daher Gelegenheit, mit Hilfe von Literatur noch fehlende Grundkenntnisse zu erwerben oder bei anderen Aufgaben auf Lésungsideen zu stoBen. Bei der Einsendung ihrer Bearbeitungen erklfiren die Teilnehmer schriftlich, daB sie die Aufgaben selbstfindig gelfist haben und geben alle zur Lésung benutzten Hilfsmittel an. 2.3 Die Korrektur der Wettbewerbsarbeiten wird von Lehrern aus dem gesamten Bundesgebiet durahgeffihrt, von denen die meisten schon viele Jahre, einige jetzt fiber ein Jahrzehnt Erfahrungen auf diesem Gebiet gesammelt haben. Jeder Korrektor fibernimmt in der Regel acht bis zw61f Arbeiten and hat circa drei Wochen Zeit ffir die Durch- sicht. Alle Arbeiten werden einer 2weitkorrektur unterzogen, wobei in der Regel jeweils ein 2weitkorrektor bis zu hundert Arbeiten fibernimmt. Die ZWeitkorrektur dient nicht nur der Richtigstellung mfiglicher Fehler bei der Erstkorrektur, sie soll auch und vor allem daffir sorqen, daa in Ermessensffillen gleichmfiaig entschieden wird. SchlieBlich werden die Arbeiten, bei denen die Beur- teilung durch Erst- und 2weitkorrektor voneinander abweichen, noch einer Drittkorrektur unterzogen. Bei Ubereinstimmung wird die Zweitkorrektur, im Ausnahmefall der Diskrepanz die Drittkorrektur mit einer Preisfestsetzung abgeschlossen. Dabei erhfilt eine beanstandungsfreie Arbeit einen 1. Preis. Die Preisstufen gehen bis zum 3. Preis, der in der ersten Runde noch dann vergeben wird, wenn nur drei Aufgaben richtig gelést sind; allerdings dfirfen anschlieaend an der 2.Runde nur die teilnehmen, denen in der ersten Runde ein 1. oder 2. Preis zuerkannt worden ist. Das Korrekturverfahren in der zweiten Runde erfolgt entsprechend, wobei jedoch erheblich strengere Maastfibe an die Preiswfirdigkeit einer Arbeit angelegt werden. Selbst bei insgesamt richtiger Lasung der vier gestellten Aufgaben kénnen Mfingel wie Schreibfehler an mathematisch wesentlicher Stelle, kleine Lficken bei Umformungen oder SchluBfolgerungen, fiberflfissige Beweisteile, nicht erlfiuterte Bezeichnungen, Unklarheiten usw. zum Verfehlen des 1. Preises Efihren. Nur die Gewinner eines 1. Preises gelangen in die dritte Runde des Wettbewerbs, die nicht mehr dutch Lasen von Aufgaben,sondern durch Bewfihrung in einem Kolloquium mit Lehrern von Schule und Hochschule besteht. 3.0 Am Ende jeder Runde erhalten die Teilnehmer am Mathematikwettbewerb eine Zusammenstellung von Lfisungen zu den Aufgaben dieser Runde. Dadurch wird ihnen eine Hilfe beim Auffinden von logischen Lficken und anderen Fehlern in den eigenen Ausarbeitungen gegeben, vor allem aber erhalten sie Anregungen durch das Kennenlernen von Varianten oder gfinzlich anderen L65ungen. Die Urfassung dieser Lésungsbeispiele entsteht jeweils in der gleichen Zeit, in der sich auch die Teilnehmer mit den Aufgaben beschfiftigen. Diese Version erhalten dann die Korrektoren zusammen mit den von ihnen durchzusehenden Wettbewerbsarbeiten als Bezugspunkt ffir die entspre- chenden Korrekturhinweise und ggfs. als Hilfe beim Nach- vollziehen schwer verstfindlicher Teilnehmerausffihrungen mit unklarem Gedankenziel. In der Phase der Korrektur werden nun zusfitzliche L65ungs- ideen von Korrektoren und ~ vor allem - ans Teilnehmer- lfisungen gesammelt und gegebenenfalls ergfinzend in die Lfisungsbeipiele eingearbeitet, wo sie den Vorrat an Varianten erweitern oder ein Detail verbessernd ersetzen. Diese Umarbeitungen mfissen rechtzeitig vor Rundenende abgebrochen werden, da dann alle Teilnehmer das Endre- sultat, gewissermaflen ein Gemeinschaftswerk von Aufgaben- kommission und Teilnehmern. ausgehfindigt bekommen. Die hier zusammengestellten Lfisungen geben nahezu voll- stSndig die oben erwfihnten Bearbeitungen wieder. Im Hinblick auf den dokumentarischen und informativen Charakter sind innerhalb der Lésungsbeispiele weder Kfirzungen noch Ergfinzungen vorgenommen worden. Sofern in Vor— oder Nachbemerkungen zu Lfisungen auf bestimmte Fehler oder haufige M3nge1 hingewiesen wurde, sind diese Hinweise auch hier wiedergegeben. Einige Formate wurden gefindert und einige Druckfehler behoben; es ist anzunehmen, daB andere daffir hinzugekommen sind. Im Sprachgebrauch von Korrektoren und Teilnehmern hat sich ffir die Lfisungsbeispiele der Terminus 'Musterlasungen' eingebfirgert. Es versteht sich von selbst, daB in den Lfisungsbeispielen eine lfickenlose Gedankenffihrung, eine klare Gliederung und eine Beschrfinkung auf die wesentlichen Uberlegungen angestrebt wird. Es ist aber im allge- meinen nicht m6glich, die 'ideale L6sung' anzugeben, dies verbietet schon die Inhomogenitfit des Teilnehmerkreises. Wenn auch die Hauptschwierigkeit der Aufgaben im heuristischen Bereich liegt und liegen soll, ist doch die Einstiegshahe in die Aufgabe vielfach durch die mathe- matischen Vorkenntnisse des jeweiligen Teilnehmers bestimmt; die Lésung eines Schfilers aus der Klasse 9 sieht hfiufig trotz mathematischer Vollsténdigkeit anders aus als die eines Abiturienten, der zusfitzliche mathematische Hilfsmittel ins Spiel bringen kann. 3.1 Mancher Leser, der eine der gestellten Aufgaben 165en will und nach einiger Zeit erfolglosen Suchens resigniert im Lfisungsbeispiel nachliest, mag flabei in doppelter Weise enttfiuscht werden: zum einen k6nnten ihm bei manchen Auf— gaben die Lfinge der Lésung, die Ffille der Formeln 0.5. den Eindruck vermitteln, zu Recht die 'L65ungsversuche abgebrochen zu haben, da er vermeintlich auf so komplizierte Dinge ohnehin nicht von alleine gestoBen ware, zum anderen k6nnte es ihn gerade bei kurzen und eleganten L6sungen Staten, dafl da zwar die vollstfindige Durchffihrung einer Lasungsidee steht,. jedoch keinerlei Hinweise gegeben werden, wie man selbst zu dieser Idee gelangt. Dem solcherart Unzufriedenen muB davon abgeraten werden, sich kontinuierlich lesend durch die Lésungen zu bewegen, ein ohnehon allenfalls dann sinnvolles Vorgehen, wenn man ein bestimmtes Stichwort oder Verfahren sucht. Statt- dessen sollte sich der Leser eine der Aufgaben auswfihlen, die von der Prohlemstellung her sein Interesse weckt, und sich intensiv oder zunfichst auch nur spielerisch lfingere Zeit mit ihr befassen. Die Dauer der kritischen Beschfiftigung mit Lasungs- versuchen, auch wenn scheinbar keine Fortschritte Oder gar Erfolge erzielt werden, hat wesentlichen Einflua auf das Finden einer eigenen oder wenigstens das Verstehen und Einprfigen einer vorgefundenen Lésung; es wird gewisser- maaen Speicherplatz reserviert und vorstrukturiert. Der Leser kann sicher sein, nach derartiger intensiver Beschiftigung die Lfisung als Gesamtheit in ihrer Struktur und ihren einzelnen Bestandteilen zu fiberschauen und zu verstehen. Schwieriger als die Frage nach dem Verstfindnis ist jene zu beantworten, wie man die Lfisungen denn selber finden kann. Die mathematische Heuristik gehért nicht zum Standard- stoff der Schulen, so daB man kaum auf dort Gelerntes zurfickgreifen kann. Hilfreich als Lektfire sind hier die Ausffihrungen zur Heuristik in Sewerin: Mathematische Schfilerwettbewerbe (Manzbuch 347) sowie Heft 1/79 der Zeitschrift 'Der Mathematikunterricht' mit Beitrfigen fiber Schfilerwettbewerbe und Problemlésetechniken von Engel und Sewerin. Allerdings ist es auch hier mit dem bloBen Lesen noch nicht getan; ein geeigneter Rahmen zur Erarbeitung k6nnte zum Beispiel auch eine schulische Arbeitsgemeinschaft zum ProblemlBsen sein. Gleichgfiltig,ob das Lésen von Aufgaben in einer Gruppe organisiert oder, wie es meistens der Fall sein dflrfte, in Einzelbeschfiftigung gefibt werden soll, es gilt stets: Das Lésen von Problemen erlernt man nur durch das L65en von Problemen. Der Leser wird ausdrficklich ermuntert und ermutigt, sich nicht durch das Ausbleiben von Anfangs- erfolgen abschrecken zu lassen, sondern sich weiterhin, wenn er Preude an der Mathematik hat, um die Aufgaben— lBsungen zu bemfihen. Dies verlangt Geduld und Optimismus, aber die Geduld lohnt sich, und der Optimismus ist begrfindet. Die Teilnehmer am Wettbewerb in mehreren Jahren stellen immer wieder fest. daa ihnen von Mal zu Mal mit zunehmender Ubung die Lésung schneller von der Hand geht. Der Leser wird bei sich die gleiche Erfahrung machen. IO 1.Runde _ " 1972/73 A Aufgaben 1972/73 1. Runde Eine natflrliche Zahl besitzt eine tausendstellige Dar- stellung im Dezimalsystem, bei der hbchstens eine Ziffer von 5 verschieden ist. Man zeige, dass sie keine Quadrat- 'zah1 ist. . Von den Punkten A und 3 eines ebenen Sees kann man in geradliniger Fahrt jeden Punkt des Sees erreichen. Es ist zu zeigen, dass man von jedem Punkt der Strecke AB ebenfalls jeden Punkt des Sees geradlinig erreichen kann. 3. Gegeben sind n Ziffern a1 bis an in vorgesehener Reihen- folge. Gibt es eine natflrliche Zahl, bei der die Dezimal- darstellung ihrer Quadratwurzei hinter dem Komma gerade mit diesen ziffern in der vorgeschriebenen Reihenfolge beginnt? Das Ergebnis ist zu begrflnden. Um einen runden Tisch sitzen n Personen. Die Anzahl derjenigen Personen, die das gleiche Geachlecht haben Hie die Personen zu ihrer Rechten, ist gleich der Anzahl der Personen, far die das nicht gilt. Han be- weise, dass n durch u teilbar ist. 72.1