Brückenkurs Mathematik: für Studieneinsteiger aller Disziplinen

449 Pages·2019·4.053 MB·German

by  Guido Walz, Frank Zeilfelder, Thomas Rießinger

Guido Walz
Frank Zeilfelder
Thomas Rießinger
Brückenkurs
Mathematik
für Studieneinsteiger aller Disziplinen
5. Auflage
Brückenkurs Mathematik
(cid:2) (cid:2)
Guido Walz Frank Zeilfelder
Thomas Rießinger
Brückenkurs Mathematik
für Studieneinsteiger aller Disziplinen
5. Auflage
GuidoWalz ThomasRießinger
Darmstadt,Deutschland Bensheim,Deutschland
FrankZeilfelder
Mannheim,Deutschland
ISBN978-3-662-58640-2 ISBN978-3-662-58641-9(eBook)
https://doi.org/10.1007/978-3-662-58641-9
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Einleitung und Vorwort
DieMathematikalsFachgebietistsoernst,dassmankeineGelegenheitversäumensollte,
diesesFachgebietunterhaltsamerzugestalten.
BlaisePascal
Auch heute noch soll es ab und zu vorkommen, dass jemand in einer stillen Stunde ein
Buch in die Hand nimmt, um darin zu schmökern;das wird allerdings in den seltensten
Fällen ein Mathematik-Buchsein, aberdasliegtnichtso sehr an derMathematik selbst,
sondern an der Art und Weise, wie sie in vielen Büchern dargestellt wird. Wenn Ihnen
hierbei Begriffe wie ‚trocken‘, ‚spröde‘ oder ‚unverständlich‘ einfallen, sind wir schon
aufeinemgutenWegezueinergemeinsamenEinschätzung.
DieMathematikhatinderGesellschaftleidereinenhohenIgitt!-Faktor,unddasliegt
nicht selten an traumatischen Schulerlebnissen und schlechten Lehrbüchernfür Schüler.
Mit einemsolchen schulischen Werdeganghatman abermeist Angstvor denmathema-
tischen Teilen des Studiums, und ganz im Sinne einer selbst erfüllenden Prophezeiung
bekommtmandanndaauchwirklichProbleme.
Mit diesem Buch versuchen wir, Ihnen diese Einstiegsprobleme zu ersparen, indem
wir Ihnen auf unterhaltsame Weise eine Brücke bauen, die Sie sanft über alle Untiefen
hinweginsInnerederHochschulmathematikhineingeleitet.DieseBrückebeginntaufder
einen Seite beim einfachen Zahlenrechnen, wie es Ihnen vermutlich in der Mittelstufe
schon begegnetist, und führt Sie hinüber bis zu den Grundlagen von Linearer Algebra,
DifferenzialrechnungundWahrscheinlichkeitsrechnung,diedieHauptinhalteIhrerersten
Semesterdarstellenwerden.DiesenInhaltenwerdenSiedortimmergegenüberstehen,und
beiderenBehandlungkönnenSiedannberuhigtsagen:„Kenn’ichschon!“
DasBuchwendetsichanStudierendeallerFachrichtungen,dieimLaufedesStudiums
oderauchBerufslebensmitMathematik inBerührungkommen.EinesunsererHauptan-
liegen ist es, zu beweisen, dass es möglich ist, ein Mathematik-Buch zu schreiben, das
man von vorne bis hinten einfach lesen kann, ohne im Formalismus oder in humorlo-
ser Trockenheitverloren zu gehen, das einem nach dem Lesen aber dennoch das nötige
WissenunddiefachlicheSicherheitfüreinenerfolgreichenMathematikteildesStudiums
vermittelthat.
V
VI EinleitungundVorwort
EinegroßeZahlvon Übungsaufgaben,derenLösungen Sie am Endedes Buchesfin-
den,hilftbeiderweiterenVertiefungdesGelesenen.GanzbewussthabenwiraufBeweise
größtenteilsverzichtet–damitwerdenSiesichimVerlaufIhresStudiumsnochgenügend
oftherumschlagenmüssen–,vielmehrwollenwirIhnenganzeinfachLustaufMathema-
tikmachen,auchwennIhnendasmomentannochalsGegensatzerscheinenmag.
Ein großes Ärgernis ist in unseren Augen der ‚Krankenschwestern-Plural‘, den viele
LehrbuchautorenandenTaglegen(„Wiegeht’sunsdennheute?“,„Morgenwirdunsalso
dieLeberherausoperiert!“,„JetztintegrierenwirmaleineFunktion!“).Schrecklich!(Dies
beziehtsichwohlgemerktnuraufdieseFormulierungsunart,nicht aufdenBerufsstandder
Krankenschwestern und -pfleger, eine Gruppe, deren Vertreter jeder für sich vermutlich
mehrfürdieMenschheitleistetalsalleMathematikprofessorenderWeltzusammen.)Wir
habenuns,umdieseUnsittezuvermeiden,dafürentschieden,SieinjedemKapitelganz
persönlich im Ich-Stil anzureden – jeder von uns hat diejenigen Kapitel verfasst, deren
Inhalte er kompetent und (hoffentlich) instruktiv vermitteln kann, und dieses soll auch
durchdenSchreibstilausgedrücktwerden.
Undnun(unddasmeinenwirernst!):VielSpaßbeimStudiumderfolgendenSeiten!
Sommer2005 GuidoWalz
FrankZeilfelder
ThomasRießinger
VorwortzurzweitenAuflage
Die erfreulich gute Akzeptanz unseres Buches machte bereits jetzt eine zweite Auflage
erforderlich. Wir haben die Gelegenheit genutzt, um einige kleinere Fehler im Text, auf
diewirvonaufmerksamenLeserinnenundLesernhingewiesenwurden,zubeseitigen.
AußerdemhabenwireinneuesKapitelüberdieGrundlagenkomplexerZahlenaufge-
nommen.Wirhoffen,dassIhnendiesesebensovielSpaßmachtwiederrestlicheText.
Frühjahr2007 GuidoWalz
FrankZeilfelder
ThomasRießinger
VorwortzurdrittenAuflage
Trotz aller Bemühungenum Fehlerfreiheit – ein Zustand, den wohl kein Buch der Welt
jemalserreichenwird–fandensich inderzweiten AuflageimmernocheinpaarDruck-
fehler,diewirnunkorrigierthaben.
EinleitungundVorwort VII
DiesedritteAuflageenthältalsNeuerungeineFormelsammlungzumHerausnehmen,
in derSiediewichtigsten FormelndesBuchsinkomprimierterFormfindenunddieSie
fürjedeGelegenheitbeisichtragenkönnen.
Frühjahr2011 GuidoWalz
FrankZeilfelder
ThomasRießinger
VorwortzurviertenAuflage
DieungebrochenstarkeNachfragenachunseremBuchhatwiederumeineneueAuflage
notwendiggemacht,worüberwirunssehrfreuen.WirnutzendieseGelegenheit,umeinige
Druckfehler in der letzten Auflage zu eliminieren, und danken allen Lesern, die uns auf
dieseaufmerksamgemachthaben.
WieschonbeidenvorangegangenenNeuauflagengibtesauchdiesmaleineNeuerung:
WirhabendasBuchumeinKapitelüberdeskriptiveStatistikerweitert.
Sommer2014 GuidoWalz
FrankZeilfelder
ThomasRießinger
VorwortzurfünftenAuflage
Wiederumist eine Auflage dieses Buches vergriffen,und wiederum freuen wir uns sehr
über das nach wie vor große Interesse der Leserschaft, das eine Neuauflage nötig und
möglichgemachthat.
Sowohl um den Umfang dieses Buches nicht unverhältnismäßig groß werden zu las-
senalsauchumseinenCharakteralsBrückenkursnichtzuzerstören,habenwirdiesmal
auf dieAufnahmeeinesweiteren neuenThemasverzichtet. Stattdessen wurdenein paar
immernochhartnäckigverbliebeneFehlerkorrigiertundeinigewenigeStelleninhaltlich
optimiert.
Des Weiteren finden Sie nun am Anfang jedes Kapitels eine stichwortartige Zusam-
menfassungdessenInhalts,damitSiegleichzuBeginnwissen,wasSieaufdennachfol-
gendenSeitenerwartendürfen.
Frühjahr2019 GuidoWalz
FrankZeilfelder
ThomasRießinger
Inhaltsverzeichnis
1 ElementareRechenmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Grundrechenarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 BruchrechnungundrationaleZahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Klammerrechnung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4 PotenzenundWurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5 SpezielleAusdrückeundNotationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2 GrundlegendesüberFunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.1 Definitionsbereich,WertevorratundBildmenge . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2 VerkettungvonFunktionen;MonotonieundUmkehrbarkeit . . . . . . . . 41
2.3 Potenz-undWurzelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.4 PolynomeundrationaleFunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.5 Exponential-undLogarithmusfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3 GleichungenundUngleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.1 LineareGleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.2 QuadratischeGleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.3 PolynomgleichungenhöhererOrdnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.4 Wurzel-undExponentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3.5 Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
4 Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4.1 DreieckeundtrigonometrischeFunktionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.2 EbenegeometrischeFiguren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
5 EinführungindieLineareAlgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
5.1 Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
5.2 Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
5.3 LineareGleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
5.4 AnalytischeGeometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
IX
X Inhaltsverzeichnis
6 Differenzial-undIntegralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
6.1 ErsteAbleitungvonFunktionenundAbleitungsregeln . . . . . . . . . . . 243
6.2 AnwendungenvonAbleitungenundKurvendiskussion . . . . . . . . . . . 269
6.3 IntegrationvonFunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
7 GrundlagenderWahrscheinlichkeitsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
7.1 Kombinatorik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
7.2 RelativeHäufigkeitundklassischeDefinitionderWahrscheinlichkeit . . 334
7.3 AxiomatischeDefinitionderWahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . 341
7.4 BedingteWahrscheinlichkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346
8 DeskriptiveStatistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
8.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
8.2 Darstellungsmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
8.3 Lage-undStreumaße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
9 KomplexeZahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
9.1 DieimaginäreEinheiti unddieMengederkomplexenZahlen . . . . . . 370
9.2 GrundrechenartenfürkomplexeZahlen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
9.3 Die Gauß’sche Zahlenebene und die trigonometrische Form
komplexerZahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
9.4 PotenzenundWurzelnkomplexerZahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379
9.5 VollständigeLösungquadratischerundbiquadratischerGleichungen. . . 386
10 Formelsammlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391
10.1 Kapitel1:Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391
10.2 Kapitel2:Funktionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392
10.3 Kapitel3:GleichungenundUngleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394
10.4 Kapitel4:Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395
10.5 Kapitel5:LineareAlgebra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397
10.6 Kapitel6:Differenzial-undIntegralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . 401
10.7 Kapitel7:Wahrscheinlichkeitsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404
10.8 Kapitel8:DeskriptiveStatistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405
10.9 Kapitel9:KomplexeZahlen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407
LösungenderÜbungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411
WeiterführendeLiteratur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435
Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437
Über die Autoren
Guido Walz ist Professor für Angewandte Mathematik
und Studienleiter Mathematik an der Wilhelm-Büchner-
Hochschule Darmstadt sowie Dozent an der Dualen
Hochschule Baden-Württemberg in Mannheim. Er ist Her-
ausgeberdesLexikonderMathematikundAutorzahlreicher
Fachveröffentlichungen und Lehrbücher, u.a. Mathematik
fürFachhochschuleunddualesStudium.
Frank Zeilfelder ist seit 2002 habilitierter Mathematiker.
Neben verschiedenen Forschungsaufenthalten im Ausland
war er am MPI für Informatik in Saarbrücken und als
Hochschuldozent an der Universität Mannheim, Universität
Duisburg-Essen und der TU Darmstadt tätig. Er ist Lehrer
für Mathematik und Informationstechnik an der Carl-Benz-
Schule in Mannheim und Fachberater für Mathematik am
RegierungspräsidiumKarlsruhe.
XI