Breymann, Gustav Adolf, Costruzioni in pietra e strutture murali, Milano 1885

67 Pages·2010·15.73 MB·Italian

COSTLIUZIONE DEI COPEltTl IN PIE'l%A NATURALE ED IN MATTONI
XSTRUZIONI DEI COPEItTI I.\ PIETDA NATURALE
ED IM MATTOXI.
Per coperto intendiamo no11 solo la delimitaziono
per di sopra dei locali, ma anche quella delle aper-
OUINTA EIJIZIONE wEnAnmrsH IFATI'A
ture nei muri o fra spalle.
DA
In genere si distinguono tre diverse forme di
1-1. LANR
coperti. I1 piu semplice ed il piu naturale di tutti i
C~~isisiifCic-i po iltlla Priibh'i-lie Coiiniiiom "el Pnliiwiiiu) md Cclsnilir
coperti e incontrastabilrnente, quello dove una sola
pielra o lastra di sufficicnte graiidczza e resistenza
TKADUZIONE appoggia sui muri, che terminan0 1' ambiente o 1'8-
DELL'INC CARL0 VALENTIN1 pertura per morlo,, che questi abbiano ad essere ehiusi
CON NOTE per disopra, ussia muuiti di una copertura.
DCLL'INC.A CANTALLWI Se lo spazio da coprirsi 6 troppo grande, o la
resistonz:i relativa delle pietro o lastre disponibili non
Altri argomenti del volume primo
Murature di laterizi, pietre, terra, calcestruzzo
Muri pis6 - Scale
Copertura dei tetti - Pavimenti - Intonaci
6 sufTicienlemento grandu, per portarm il peso pro-
prio ed il sovraccarico sovrapposto al vano, allora
il coperto pu0 farsi ancora 1101 seguente modo. Dai
due muri contrapposti, o da tutti i muri che con-
tcrminano il locale si elevano dei filari orizzontali,
cho pur posando in modo sicuro sui corsi sottostanti,
abbiano a mano a mano a sporgere sempre piu in
,
avanti nell'interno dell' ambiente fino a ridurne il
vano in modo da poterlo ooprire con una pietra o
con una lastra sola. Qucsta strnttura fu nota ancho
UOSTRUZIOHE DEI COPERTI IN PIETRA NATURALE ED IN MATTIJNI.
alla piu remota antichita, come ce lo attestano liechitti e la loro stability riposa jl principle della della volte la qiiale & sostenuta dab loro ossatura, tie asse la forma di un mezzo anello di circolo; ma
Vinlerno delle piramidi e i cosi detti tesauri o itruttura a volta. ossia dalle costole, o nervature che dire si vogliano. elle seguenti definizioni, bisogna ritenere la forma
case del tesoro, e Ie tombe dei re delta Grecia. Sono queste costole, che caratterizzano la volta go- ella volta come generics.
La fig. 304 ci mostra nna diqueste strutture, tica, che ne costituiscono Ie parti portanti, e che 1) PiedrUli o muri di piedritto, si chiamano
nota sotto il nome di invece, quella di gran lunga maggi per 1'al~puntot endono, a ci6 die nei muri di perime- uei muri AA, che delimitano lo spazio da coprirsi
Quest! due modi ii dice resistenza aka pressione. Per la prima strut- tro esercitano i contrafforti.
cosi detto coperto a strati orizzoniali. ura si richiedono pietre grandi e 1' impiego della I1 grande processo dal lato costruttivo sta
11 terzo mod0 o sistema di coperto infine con- nalta pu6 essere del tutto lasciato; mentre nel- appunto nel sistema di foggiare i piedritti e lo volte
side nel comporre la copertura con pietre o late- 'ultima si possono impiegare piccolo pietre o piccoli a costole od a rete, sistema, che fa parte integrante del
rizi foggiati a cuneo, ciascuno dei quali per la sua nattoni, assegnando una parte non trascurabile alla periodo gotico. Mentre la volta romana ha per forma
forma e posizione 6 impedito a muoversi ed 6 tenuto nalta. L'uso della volta, doveva come nessun3altr:i primitiva la superficie curva, la volta gotica nasce
in posto da quelli che gli stanno vicini, e cosi il co- itruttura portare la mente a pensare il modo di da archi ornati, liberamente sospesi e leggieri, che
perto, nell'ipotesi che i muri di perimetro siano :omperla colle proporzioni di stability degli antichi determinando la forma della volta stessa, preparano
immobili, saldamente serrato e portato da qnesti. ? di ricercarno delle move ; compito che doveva la sna ripartizione in campi. In cib solo sta l'idea,
Un tale coperto A detto in gene1.de volta. irovare la sua completa soluzione solo del periodo che ha razionalmente servito di gnida nella forma-
Non 6 quindi la forma esterna, a linea circolare shiamato gotico. zione delle volte, e che ancora oggidi serve di norma.
od a linea curva qualunque, che fa di una coper- Questo possiamo provarlo in breve col premettcre Di tutti i coperti indiscutibilmente il pih potente on volta, sui quali la volta stessa trova un appog-
tura una volt% perch& questa forma la si pub otte- she il confronto delle parti delle volte esercitauti 6 la volta, sembrando che essa vinca il peso della ;io, e che in forza della loro stabiliti offrono resi-
nere anche colla sovrapposizione dei fihi poco so- sarico , doveva naturalmente trascinare con s&l a materia, ragione per cui potremmo chiamare la voila iteuza alla pressione della volta.
pra descritta. I1 distintivo della volta, & che i pezzi sonsideraziono anche di quelle che Ie portano o sor- la struttura morale per eccellcnza (1). 2) Muri di testa. Si dicozo quei muri B nel pe-
che la compongono per la loro forma e per la reggono, ossia dei muri. Passiamo dapprima alle volte eppoi ai coperti hetro di uno spazio coperto da volta, che non sono
i
lor0 disposizione siano tenuti" sospesi sopra e fra I Romani coil' adottare 1' uso delle volte non iu- con strati orizzontali. 1ie3ritti. Quando essi mancano, come, per es., avviene
I muri immobili, in form dell' equilibria , che si trodussero dal lato static0 alcuna innovazione nei iel:e volte dei ponti, allora la volta si dice aperta.
esercita fra la pressione derivante dal loro peso muri di perimetro, in quanto quest! erano divenuti 3) La 'premie o la testa di una volta & la sua
e dal loro sovraccarico e la resistenza opposta piedritti, e li costruivano interamente a spessore iezione C, che apparisce all0 spettatore.
dai muri. La forma curva di un coperto non & eguale, tanto se la. volta esercitasse una pressione 4) Eslradosso o sopraimbotte di una volta si
,
l'assoluta caratteristica di una volta, sebbene ne uniforme, come nelle volte a botte e nelle cupole, lice la sua superficie esterna E.
Nomenclatura delle parti della volta.
sia la forma s o h , perch& la cosi detta piatta- quanto se la esercitasse solo su alcuni punti isolati, 5) Iniradosso od imbofte dicei invece la su-
banda, pur essendo un coperto pcrfettamente piano, come avviene nella volta a crociera. I1 passaggio lerficie interna di una volta D, quella che si vede
I1 nome di volta per solito lo ricevono i coperti
corrisponde anche interamente a1 suesposto con- fra il contorno dei piedritti e quello della volta av- ial di sotto. Si pub imaginarla prodotta dal movi-
in pietra od in mattoni, solo quando coprono interi
cetto della volta. veniva tutto di seguito, apparendo il complesso come mento continuo di nn arco il cui centro si mantenga
locali, perch6 quando coprono delle aperture nei muri,
I Romani furono i primi a dare estensione al- un sol muro incurvato, ci6 che si pub dire essere il in una data linea, ed il cui piano si conservi sempre
allora ricevono quello di arc0 o di voUiw, nome
l'impiego della volta, che essi avevano appreso dagli caso particolare della volta di getto. I1 carattero normale a questa linea.
quest'nltimo, che si applica specialmente quando il
Etruschi, i quali eseguivano giA volte semicircolari del piedritto passava perci6 uolla volta e viceversa. 6) La linea, che 6 generata dal centro dell'arco,
coperto costituisce una superficie piana orizzontale
con piccoli cunei di pietra, prima che i Romani con- Noi troviamo la volta anche uel periodo go- ii dice asse della volta (Nell'esen~pio della figura
(la piattabanda della porta o della finestra). Ma una
quistassero la Greoia. Ma coll'introduzione della volta tico; ma il piedritto e divenuto tutt' altra cosa del questa linea 6 una retta).
differenza essenziale tra l'arco e la volta non esiste
incornincia anche una nuova epoca nella storia del- piedritto romano, e no & consegueutemente derivata perch6 un arco una volta, che ha per lunghezza 7. ogni posizione dell'arco generatore dicesi
l'architettura, nessuna cosa essendo piu atta di que- ancho una razionale innovazione statica nelle con- wrua rl; /nfradosso.
lo spessore del muro, nel quale trovasi praticata I'a-
sto elemento costruttivo a causare una energica ri- dizioni di pressione della volta ; quests' si pot&e se- 8) 11 pih alto punto dell'arco si dice il suo ver-
pertura.
forrna nelle proporzioni urchitettoniche. guire piu sottile, perchi fa munita qua e li da oppor- fzce, od il suo punto di ckiave o di serraglia; e la
Le singole parti di una volta o di un arco hanno
II fabbricare massiccio, ma pesaute e limitato tuni rinforzi e nervature. Ebbe perci6 luogo anche linea da lui descritta (nella generazione della supcr-
peso nomi diyersi, e per imparare a conoscerli, ci
degli antichi, che riposa solo sulla pressione e con- una spiccata ripartizione dei muri in senso verticale, ficie d'intradosso), la linea di chime o di serraglia
riferiamo, come tiPo, alla volta indicata nella fig. 305,
tropressione in senso verticale, cessa a poco a poco i quali nelle volte a crociera, di cosifreqnente uso, della volta.
che nella sua forma rappresenta la meti di un ci-
coll'applicazione della volta, sviluppandosi da questa poterono essere divisi nella parte, che fa veramente 9) I'iede opeduccio della volta si dice la parte
lindro retto, vuoto, tagliato da un piano passante per
una form fin allora incognita contro i piedritti, forza sforzo, cio& nei contrafforti e nei piloni, e nella parte inferiore della volta, quella che posa sul piedritto.
il suo asse, presentando cosi la sezione normale a
che agisce normdlmente alla loro direzione, e che di semplice riempitivo. Questa partizione nei muri 10) I1 piano d'imposta della volta e quella su-
si fa tanto piu pericolosa per loro quanto piu in si mostra pure anche in quelle volte composte, che perficie, con cui il peduccio od il piede della volta
genere agisce in alto. In questa mutua azione fra si dividono, secondo diverse figure geometriche, in (1) Si veda in propsito il Semper à per Styl v 2 vol. pag. 389 posa sulla sommitA del piedritto e che nella figura
5 165: i due moment! capital! nella storin, delle coslrurioni it
la pressione normale alla direzione od all'asse dei campi piccoli o grandi, i quali, formano il riempitivo si 6 indicate con a b c d,
pielm ed in matloni.
COSTRUZIONE DEI COPERTI IN PIETRA NATURALE El) IN HATTOXI.
11) Le linee, secondo cui l'intradosso taglia i iione perpendicolare all'asse risulta una n~ezzac ir- perch6 di frequente iropiego, particolarmente nelle Le parti A ed A' si chiamano cappe o manti,
piani d'imposta, diconsi linec d'imposta; due punti zonferenza di circolo dello stesso raggio, e l:i snetta volte degli antichi ponti, l'arco a paniere. L' arco a Ie parti B e B' zinghie o fusi. La differenza fra que-
che appartengano a queste l inee ed insieme siano in 3 monta della volla e eguale alla mczza corda. paniere consta di parecchi archi di circolo, aventi ste due parti evidentemente sta in cid, che le un-
uno stesso piano normale all'asse della volta, si di- Ma questa forma regolare e suscettibile cli molto centro e raggio diversi, ma collegati fra lorn in modo r/hie B e B' hanno un' imposta yettilinea, e per in-
con0 punti corrispondeizli d'imposla. mutazioni, secondo che variano Ie condizioni di po- continuo. Nelle costruzioui 6 frequentemcnte preferito trodosso hauno un triangolo, che e costituito &a una
12) Coda od aperiura o sottesa di una volta sizione e di forma delle diverse parti della volla nil' clisse, perch&c oil' arco elittico risulta incomoda la
dicesi la distanza fra Ie projezioni orizzontali di due la eseguirsi. doterminazione della direzione dei dunti; eppoi l'arco
punti corrispondenti d'imposta. L'indicare tutte Ie variazioni possibili, sarcbbe a paniere, colla grande indeterminatezza della sua
13) Monta, saetia od anche sfogo della volta e troppo lungo ed anche inutile. Noi vogliamo impararc Ibrma, accorda nna grande liberty di tracciamento,
la maggiore perpendicolare, che si pub inalzare dalla a conoscere solo Ie piu usitate e ci accontentiamo e offre quindi la facnltk di aumentare, secondo i bi-
relta che unisce due punti corrispondenti d'imposta di notare che variando la forma rettilinea, In egua- sogni, lo spazio sotto 1' ambiente da voltarsi, cid cho
fino all'arco. glianza di lunghezza, l'orizzontalitd ed il parallelismo con Ie altre curve di forma definita non possibile.
14) Se si taglia la volta con un piano verti- delle linee d'imposta, d'asse e di serraglia, e variando In generale un arco si dice sempre a monta
cale passante per la linea di chiave, allora si di- anche la forma della curva d'intradosso possono na- ibassala, se la sua saetta e minore della semicorda,
vide la volta in due metA. Qnando nna ddle due li- scerne quasi innumerevoli Forme di volte a botte, c si dice invece a mania rialzaia se la sua saetta
nee d'imposta coincide colla linea di chiave, allora nelle quali non sara quasi pit1 riconoscibile la forrna & maggiore della semicorda. Si snppone poi, che il
si ha solo una mezza volia. Ciascuna meti di un originaria. prolungamento della direzione dei piedritti in uua
arco o di una piattabanda considerata in sA dicesi Le formc ili volta a bottc solite sonn le se- sezionn perpendicolare all'asse sia tangents alla cnrva
coscia dell'arco o della piattabanda. gueuti: 11' intradosso nei punti d' imposta. Per solito si nsa linea retta e da due hoe curve, il cni punto pih do-
15) I mattoni o le pietre foggiate a cuneo, che La volta swiicircolwe ossia a pieno cenh'-o od ilualificare l' arco quanclo sia ribassato , indicandonc vato Torma parte della chiave della volta; hanno
formano la volta, si dicono cunei od anche conci; a tulto sesto od a lulla mania (la volta roinana), il rapport0 tra la saetta e la cerda; cosi, p., es., si quindi per imposta una linea e per chiave un punto.
quell0 fra questi, che trnvasi piu elevato dicesi czineo dicesi appunto quella scelta poco snpra comu tip, dice che un arco e ribassato di un term, quando la Le capp A ed A' invece hanno solo i punti aa
di chiave o di serraglia; e quelli pit1 bassi cunei la cni curva d'intradosso in ogni sezione normale saetta sta alia coda come 1 sta a 3, e cosi via. per irnposta, e la loco superficie di intrado'sso e UII
di pie& o di peduccio. I primi formano la scrraglia all'asso rappresciita una semicirconfereuza di circolo. Una volta od un arco poi si dice a collo d'oca triangolo costituito da tre linee curve, e la sua linea
della volta, g}[ ultimi il peduccio. So l'arco di circolo minore della scmicircon- o claudicanle, o soppo, se Ie sue linee di imposta, piu elevata fa parte della linea di chiave dolla volta
16) Gimti della volh si dicono quelle commes- ferenza, allora la volt& corrispondente dicesi volta pur essendo ciaschednna per se orizzontale, non si che si considera, eppercid Ie cappe hanno per chiave
sure, che appariscooo visibili sulla fronte delh volt& ribassala, od a monta depressa o a sesto scemo. trovano nello stesso piano orizzontale; e si dice in- una linea, e per irnposta due punti.
come ef e gh, fig. 305. 1 prolungamenti dei giunti La monta o saetta riesce allora minore della mexza vece rampante quando le linee di imposta sono in Con queste came e con queste un9hie si pos-
concorrono nel centro dcn'elemento d'arco, od in corda. Quests vo'ta poi si dice anche piatia, special- uno stesso piano, e due punti d'imposta corrispon- souo costruire diverse forme di volte, che al pari dei
allre parole sono normali a questo elemento. mcnte quando la saetta ti di molto sorpassala dalla clenti si trovano anche sulla stessa orizzontale, ma diversi elementi, di cui constano, devono rilevare
Lo spessore della solla e dato dalla lunghezza mezzn cortla, ossia quando la volta e molto schiac- bensi il piano delle liuee d' imposta lion e orizzontale notevoli differenze.
dei giunti di fronte della volta stessa. ciata. iiiclinato. Anzitutto possiamo gia in precedenza notare, che
Quando la curva d'intradosso non e una linea Una volta si chiama veiia,, se le projezioni oriz- nna volta composta di unghie ha per chiave un
DLLLE
FOR1IE DI VOLTA, continua, ma consta di due archi, che in chiave for- zontali delle sue fronti sono perpendicolari all' asse, unico punto, ed ha invece tante rette di irnposta
n~anoa n flesso, allora si ha la volta art arco acufo, obliqua se non lo sono. quanti sono i lati dell' ambiente da vollarsi ; nna
ossia la vollaogivale, o la volta gotka. Una voNa dicesi annlare, se il suo asse A una volt,^ composla di cappe, a1 coutrario, ha per im-
La forma principalc di tutte Ie volte, per quanto Se I11 curva d'intradosso 6 uua mezza elisso, Iinea cnrva orizzontale, ed elicoidale od a chiocciola, posts tanti punti, quanti sono gli angoli del perime-
quoste possano variare, e quella della volta a botte. allora la volta si dice elittica; e propriamente a se il suo asse e un elica. tro dello spazio da coprirsi con volta, e tante hoe
La volta a botte piti semplice e piu regolare, mania depressa od a sesto scemo, se il semiasse Le qui suesposte denominazioni valgono propria- di chiave, quante sono le cappe, di cui e costituita
<i ha, qnando ci imaginiamo un mezzo anello di minore la xaetta, e I'asse maggiore 6 la corda; mente solo per Ie forme di volte a botte, ma per6 la volta, ovvero sia quanti sono i lati della base.
ci~colo,c he si muova continuamente e verticalmente oppure a mania rialzata oil a sesto rialzato, se a1 si applicano pure a diverse altre volte, come si ve- La fig. 307 rappresenta nna volta composta con
su un piano orizrontale in modo che la linea retta contrario il semiassa maggiore & la saetta, 'e l'asse dri in seguito. \\ quattro unghie e la fig. 308 una volta costituita di
generata dal centro del circolo sia sempre perpen- minore e la corda. Per cnrva d'intrailosso pub sce- quattro cappe su uno spazio quadrangolare, dove
dicolare alla rroiezione orizzontale dclla superficie gliersi anche un'altra curva, una parabola, nna ca- si vedono abbastanza chiaramente Ie snin4icate dif-
piana dcll'anello. In una volta generatain questo modo, tenaria, e cosi via, ed allora la volta ne prende la Se si imagina nna volta a botle (regolare per ferenze.
l'intradosso prende la forma della superficie di un forrna ed il nome. Se la linea d'intradosso 6 la amore di semplificazione) segata da due piani diagonal! Dove si tagliano le superfici di intradosso di
mezzo cilindro rettn; le linee d'imposta e quella retta, ailora la volta si dice piattabanda. vertical! ne nascono quattro parti AA' BB' fig. 306, due unghie attigue, si forma uno spigolo approfon-
di serraglia risultano rette orizzontali parallele ed Fra Ie diverse h e , c he pub assumere la curva delle quali le opposte sono cgnali c 10 contigue dito con angolo che sporge verso 1' esterno : invece
eguali all'asse; la cnrva d'intradosso in ogni se- il'intradosso d'una volta, merits speciale menzionc sono cssenzkilmontc diverse. dove si incontrano le superfici di iutradosso di due
COSTRUZIONE DEI COPEIZT1 IN PIETRA NATURALE EB IN MATTONI.
cappe attigue si forma uno spigolo rialzato, a schiena Nel caso particolare, ma molt0 frequente, che si chiamano anche v6lte da nicchia, perch6 esse
Se la cupola ksovrapposia ad un mnro d'ambito (1i
B con angolo, che sporge verso l'interno. forma anulare allora questo ne forma insieme l' impo- la pianta del locale sia un quadrato e la vdlta sia frequentemente servono a coprire Ie nicchie.
st&,e la linea d' imposta 6 una circonforenza orizzon- generata da un semicircolo di diametro eguale alla 2.' La c6lla a conca, or1 anche v6Ua a botte con
tale. Ma si puo imaginare anche che la cupola si diagonale del quadrato, la seaione verticale passante teste di padiglione, rappresentata nella fig. 310 e
Le piu usilate Sea Ie volte ad unghie semplic per una delle due diagonali dd, per linea meridians chiamata nel primo modo, a motivo della sua somi-
elevi sopra un spazio a contorno rettilineo, cosiccli u
sono Ie seguenti: solo alcuni punti della cupola incontrino prima i muri una semicirconferenza e la sezione verticale passante glianza con una conca, si ha quando si congiun-
La volla a padiglione, fig. 307, che si forme d' imposta segati orizzontalmonte, come aa e Id), per la chiave e parallels ad una delle pareti da uu gano su uno spazio rettangolare quattro fusi od un-
quando si prendano i niuri di perimeiro di un locale 2 fig. 309, A, e la superficie di intradosso prosegua arco di circolo dello stesso diametro. La linea d'im- ghie tutte di eguale sactta e di corda rispettivamente
tre, quattro o pid laticome imposte di altrettanti fusi 01 posta poi forma sulle quattro pareti quattro semi- eguale alla lunghezza dei lati del rettangolo; in guisa
circonferenze congruenti, che convergono negli an- che questi servano tutti di imposta. Gli spigoli for-
goli. Anche i muri di perimetro possono aprirsi in mano inoltre come nella v61ta a padiglione, costole
forma d'arco, e allora si ha una cupola sorretta da approfondite con angolo sporgente all'infuori, cd in
quattro pilastri o colonne o sopporti disposti negli an- proiezione orizzontale danno delle linee rette, le quali
goli e collegati da archi in muro. La fig. 309 da A per6 non concorrono in un punto, ma fanno due
a C rappresenta una vdlta simile in pianta e nelle triangoli i cui vertici sono uniti dalla linea di chiave.
due suaccennate sozioni trasversali. La vQlta a conca quindi consta nella sua parte in-
Tanto la vdlla a cupola, die la vfllta a padiglione termedia di una vera v6lta a botte, ed ai due estremi
possono anche trovarsi in guisa che una loro parto 6 chiusa da due mezze vdlte a padiglione , che
sia tagliata via da un piano verticale passante per la hanno la stem curvatura della prima.
HE.3 07. Fig. 3C8 chiave e, parallel0 ad uno dei lati del coutorno ,
unghie, che si incontrino col loro vertice in un pimto
fig.
il punto di chiave della volta a padiglione. In quest( Coil' impiego delle cappe o dei manti AA', 306
punto percio devono concorrere anche tutti gli spi si forma la v6tta a crociera, fig. 308. Lo spazio da
goli della volta; e nella proiezione orizzontale delk coprirsi pub, come nelle vdlte a padiglione, mere
volta questi spigoli formeranno linee rette, che rag. pianta poligona regolare od irregolare a tre, o quat-
giando da un puuto, la proiezione del puuto di chiave: tro, o piu lati. Nessuno di questi lati appare come
si dirigono a guisa di stella ai vertiii della figura; imposta, ma solo gli angoli appaiono tali. La vdlta
che forma la pianta. a crociera percib no11 ha linee d'imposta, ma solo
Siccome il numero dei lati della figura, che forms punti di irnposta e pub quindi solo essere portata da
la pianta della volta a padQZione, pub essere illimitato: sopporti (colonne pilastri) disposti negli angoli della
cosi possiamo assumere quell0 tanto grande ed i lati figura di base. Se lo spazio da coprirsi con v61ta 6
tanto piccoli, da diventare il contorno dello spazio da tutto chiuso, allora tutti i muri di perimetro sono
voltarsi una linea curva chiusa; in tal caso gli spigoli muri di testa o di fronte. Gli spigoli sono a forma
spariscono e dallavolta a padiglione nasce la cupola. In di schiena, con angolo che sporge all'interno, e sulla
pratica non 6 facile l'incontrare una linea diversa della loro proiezione orizzontale vale lo stesso, che s' 6 gid,
circonferenza come contoruo dello spazio da voltarsi; detto per Ie vdlte a padiglione.
e allora si genera una volta, che in tutte Ie sezioni Ogni dlta a crociera semplice consta di tante
trasversali verticali passanti per la sua chiave ma- cappe o manti, qnanti lati ha la sua pianta; queste
nifesta sempre figure congruent'!. Se queste figure cappe formano in proiezione orizzontale dei triangoli
Fiij. 309, A-C
congruenti sono archi di circolo, allora si ha la, volta rettilinei, i cui vertici si uniscono in un punto che 6
sfeiica. ?oi ancora sotto questi finch6 iucontri tutti i muri di la proiezione dell'intersezione delle linee di chiave di
Amn~essoc he il contorno sia circolare, possiamo iontorno formando i pennacchi cc. La linea d'im- ogni singola cappa, e Ie cui basi coincidono colle proie-
anche imaginare, che la cupola sia generata da un )osta allora non 6 mai retta ed orizzontale; ma zioni dei lati del perimetro della pianta. Le basi di
arc0 di circolo (che pub essere anchouna semicirconfe- una linea in forma d'arco, che come attorno se questo 6 poligonale, restando cosi lo spazio vol- questi triangoli sonole proiezioni orizzontali delle teste
3
renza), da una mezza elisse, is. una parabola, daun'iper- ii muri d.'amhito e che ha i saoi punti piu de- tat0 aperto dalla parte riel piano stesso. Cosifatte delle cappe, Ie quali trovano solo negli angoli della
bole, da una catenaria; che rotando attoroo all' asse jressi negli angoli del locale, e quelli piu elevati volte sono sovente utilizzate nelle chiese per il coro pianta iloro puntid'imposta. Ma i peduccidevono essere
verticale forma la superficie di intradosso della cupola; lei punti di contatto aa e bb. Una simile cupola e per Ie cappellfi, epperci6 hanno pure preso i1 nome formati solo mediante i due lati dellc cappe. Cib che si
questa second0 la cnrva piglia il nome di cupola lotrebbesi chiamare cupola sospesa, perclie la volta, di dlle da coro. Quando queste vdlte sono piccole ottiene in mod0 particolare collo sviluppare degli ar-
sferica, elit,l,ini, parabolica, ecc. iende all' ingii~n egli angoli dell' ambiente. ed hauno nn quarto di superficie sferica per intradosso chi zopni (0 spigoli arcuati) dagli angoli della figura
13
COSTRUZIONE DEI COPERTI IN PIET;
ove i muri di contorno formano imposta, e per Ie dare in questc combinazioni, richiamando tutte le
con una costola sporgentc dalla superficie di in- acuto come curva generatrice, specialmcntc quando
ultimo quelle ove i muri di contorno formano pareti svariate forme delle vblte a botte. Alcuni fra i casi
tradosso. la pianta non e quadrata, ma rettangola. Noi abbiamo
di 'testa di fronts. Ma nella combinazione di una piu frequenti li considereremo piu avanti.
La forma di nna simile vblta, rapprcsentata in scclto il quadrate nel dare la definizione genorica per
vblta con un'altra nonsempre necessita l'ipotesi della
sezione nelle due figure B e C, ed in vista per di- la ragione, che esso si prcsta assai meglio a far ca-
monta eguale, come ad esempio occorre di frequent0
sopra nella fig. D, dipcnde da quella della curva ge- pire la gcnesi di qnesta vblta,
nclla disposizionc delle aperture da finestra o da Col comporre e combinare fra loro Ie vdlte
neratrice; e per la costruzione 6 porfettamente indif- Se prendiamoin generalcun rettangolo, fig. 314, A.
porta, di cui la fig. 315 dd un paio di esempi. Qneste considerate in addietro, si ottiene un gran numcro
ferente, che se ne scelga una forma pinttosto che un'al- conio forma della pianta, e come generatrice un arco
parti (per solito perb piccole), che entrano in com- di vblte, che si comprendono sotto la dcnominazione
tra. Se la curva generatrice e tale (la avcrc in chiave di circolo avente il raggio eguale o maggiore alia
binazione colla vb1ta principale si dicono ordinaria- gencrica di vSlle composte e delle quali vogliamo
una tangente orizzontale, allora la parte di mezzo semidiagonalc del rettangolo, possiamo anche imma-
mente lunette da fincstra o da porta. Si comprcn- ora imparare a conoscere Ie piU usitate.
ed orizzontale della vblta riesce sempre tangenziale ginare la superficie d'intradosso imbutiforme gene-
derA facilmente quanta forme complesse si possano Se si divide un locale poligono, preferibilmente
con quella arcuata. Per6 si trova spesso anche l'arco rats, da costole molt0 strette 6 di un'unica cnrva-
rettangolo, fig. 316, A, con D fi evidente. che invece
tura che salgano dai quattro e la vblta a padiglione e la
nno o piu archi paralleli ad delle v6ltc a botte o delle
angoli ingrossando a mano a cupola hanno solo un punto
uno dei muri di contorno cupole si possono impiegare
(
mano, fino a compenetrarsi per chiave. La piattabanda
in due o piu campi, pari- fra gli archi anche Ie vblte
mutuamente, e che in proie- si pub considerare come una
mente rettangoli e si co- a padiglione od a crociera
zione orizzontale siano rap- v6lta il cui raggio di cur-
prono qucsti con vbltc a o quella qualunque altra
presentatedalineeretterag- vatura sia infinitamente
botteribassate, facendofun- vblta che si voglia, e ne
gianti dagli angoli. In form grande; e si pub supporre
zionare dove sia necessario scaturiscono quindi altret-
di questa compenetrazione derivata tanto dalla vblta a
gli archi come imposte, ep- tantc forme diverse di vblte,
nascono spigoli, chein proie- botte dove due sole fra Ie
perb tenendo la chiave di salle qnali importa solo di
zione orizzontale formano Ie pareti di 'contorno fnnzio-
questi piu bassa :almeno di osservare, che bisogna igni
linee rette ah e cd, fig. 314, nano come imposte, quanto
alcnni centimetri della li- volta fare una scelta abile
parallele ai lati della pianta, dalla vdlta a padiglione dove
nea d'imposta di quelle, ne c conforme allo scopo. La
ma cho in sezione sono rap- funzionano come iali tutti
nasce un sistema di volte fig. 318 presenta la pianta
presentate dalle c,urve rial- lati del perimetro. Per so- e
che assai usitato nella di una vblta a crociera
zantisi a' b', fig. B, c c' d', lito la piattabanda si incon-
Germania Scttentrionale e composta e propriamente
fig. C. Cosi resta soppressa tra solo come arco in ispes-
la prte orizzontale della sore di muro, pigliando poi 4 specialmente in Prussia, il con o senza archi trasver-
il quale, second0 Gilly ed al- sali, ciob con o senza se-
vblta, come indica la fig. D frcquentemente anche il no-
tri scrittori prcndc il nome parazionc fra le singole
nilla vista per disopra, e Fig. 313 A-D. me di arco di scarico, di v6lta a capped La fi- volte a crociera.
l'insieme torna a prendere speciahnente quando copre
gura 316,B ne dd una rap- Inveceche con muri si
ancora l'apparenza di una vblta a crociera ad arco Ie aperture di finestra o di porta. ~reaentazione. Pig. Sli, A-D. pub pure cingcre ed attra-
acuto, nella quale sono scomparsi gli spigoli diago-
SC invece di vblte a botte ribassate fra gli archi versare lo spazio da vflltarsi con pilastri collegati fra
nali e nella quale Ie sezioni orizzontali passanti per i
si svolgono dclle cupole ribassate, fig. 317, A-C, si loro mediante archi, per procurare 1e necessarie impo-
vertici della pianta rappresentano archi di circolo. Possianio pure immaginare generate le vdlte a
hanno delle vblte, che si chiam.ino boeme e nelle ste allc vdlte. Quests, proprieb delle vdlte composte
La piaifabanda Forma un coperto piano, eppercib padiglione e Ie vbltc a crociera dalla combinazione
quali, per quanto abbiamo appreso indietro, Ie lime Ie ?ende atte a coprire spazi grandi, potendosi disporre
ha una superficie per chiave, rnentre invece la vdlta o compenetrazione di due o piu v61te a botte di
d'imposta scorrono su tutte Ie pareti in forma d' arco. nell' interno gli occorenti sopporti (pilastri o colonne).
a botte e quellaa crociera hanno so!o linee per chiave, oguale monta, per Ie prime conservnndo solo je parti
COSTRUZIONE DEI COPSRTI IN PIETRA NATURALS ED IN MATTONI.
Anche la vijlta ad imbuto o a ventaglio si pub 'insegnamenio e la trattazione delle medesime ri-
utilizzare in molti modi per coprire spazi grau- guarda la leoria delle curve, una parte della mate-
diosi. Ponendo vicino fra loro due o piu delle sud- natica, che dobbiamo qui supporre nota.
descritte volte, invece degli anzi accennati quadranti, Abbiamo gik dislinte le volte in voile a tutto sesio
ne nascono in proiezionc orizzontale, fig, 319, dei sc- semicircolari) e volte ribassate e rialzate, ed ora ci
micircoli o dei circoli interi, il cui centro deve es- iccuperemo solo delle due ultimo, supponendo noto il
sere sorretto da pilastri o da colonne. Queste vijlle nodo di tracciare il circolo. Escludiamo pure 1' area
icuto, perchis cornposto di due archi di circolo; e con-
,ideriamo solo l'arco di circolo quando gia di raggio
uolto graude, che non possa piii descriversi coll'aiuto
lei compasso, e che i singoli suoi punti devano es-
sere calcolati per coordinate, descrivcndo gli archi
ntermedi: a due punti cosi calcolati col fissare due
ipilli nei punti stessi e col muovere lung0 questi
lati di angolo a, supplementare dell' angolo p,
she equivale a met& dell'angolo a1 centro corrispon-
iente all'arco che si considera, mentre una ma-
;ita nel vertice del prima angolo descrive l'arco,
some chiaramente dimostra la fig. la della tav. 43.
Pig. 319.
Nelle linee d'intradosso ribassate e rialzate di-
che ebhero origine nel medio evo, si trovano ancora
itinguiamo il caso in cui la corda dell'arco & oriz-
applicate con ricche ed eleganti disposizioni se non
iontale, da quell0 in cui la corda & inclinata, ossia
nel continente, in Inghilterra. In questi ultimi tempi
I'arco 6 a collo Coca. In tutti i casi, che si possono
i 6 ricorso a questo sistema di volte sostenute da
Fig. 316, B, iare, in genere si pub porre il problema cosi: Si
colonne per coprire la sala della nuova Borsa a
tracci una curva, che passi per tre punti dati, e
Francoforte sul Meno, e cosi 'pure 'per il castello
che sia taogente a tre linee rette passanti per questi
della principessa Alberto di Russia a. Camenz in
punti. Ohe il problema ammetta in ogni caso, piti di
Slesia, progettato da Schinkel, e per la villa del re
una soluzione & chiaro dalla sua natura stessa, se
del Wilrtemberg a Stuttgart.
non si determina maggiormente la qualit&d ella curva.
DeUe molte e svariate curve noi vogliamo qui
considerare solo le pii'i usitate in pratica e anche
queste, solo per alcuni casi speciali. Queste curve
che piU frequentemente si incontrano nell'uso sono
l'elisse e la linea a paniere o policenlrica od ovale.
Tracciamento della linea d'intradosso.
Quando facciamo l'ipolesi, che la linea retta che
Per costruire una vijlta, traiine poche eccezioni congiunge due punti d'imposta corrispondente deve
anzitutto sono neccssarie le centine, che sono arma- esserc orizzoiitale, introduciamo anche un'altra de-
ture provvisorie che snperiormente presentano dise- terminazione nel problema generale snindicato, per-
gnata in tutto od in parte la superficie di intra cbe si viene a fissare la direzione delle tre linee
dosso, e sopra cuihpoi si costruisce, in guisa dl rette, che devono essere tangenti alla curva da trac-
mantello, la vijlta stessa. ciarsi. Cioe Ie due rette pawdi per i piedi dell'arco
La trattazione di queste centinatwe spetta a1 devono esswe verticali, e la terza passante per la
campo delle costruzioni in legno, e noi la tratte- chiave deve essere orizzontale.
remo ailora in quel volume, toccando ora in breve Infiue se la curva deve essere un'elisse, questa is
Fig. 318. solo della costruzione e del tracciamento dclle linee interamente determinata, quando siano fissati un'asse
di intradosso. Del rcsto ci accontentiamo di indicare come coda dell'arco, e la meti dell'arco come saetta;
solo il metodo per disegnare queste linee giacche cosicclie non ci rimanc piu a dire, che i metodi usati
COSTRUZIONE DEI COPERTI IN PIETRA NATURALE ED IN MATTONI,
la distanza fra i punti A e D 6 eguale al semiasse Abbiamo gii visto, che la dirczione delle com-
solitamente nella praiica per tracciare un a ~ do'e- Per descrivere in grande un'elisse si pub pure
minore dell'elisse; tutto il resto & come prima. messure di una vAIta devono essere normal; a1 cor-
lisse in grande. pplicare l'elissografo Lrovato diz D. Eichberg ,1 che
Un problems, che nella pratica pub occorrere fre- rispondente elemento d'arco : deveai quindi poter tro-
erve a dare siniultaneamente la normale>n ogni
queiitemente, pub trovare esso pure qui posto. Sia data vare per ogni commessura di un arco elittico la
Se si accontenta di determinare solo alcuni punti ,unto dell'elisse. Esso consta di tee regoli--a, b e d
la corda di un'elisse, ossia l'intero asse AB, fig. 6, corrispondente uormale. Se son0 individyati i fuochi,
del contorno dell'elisse, per poi congiungere gli stessi ig. 320. I1 regolo d 6 fissato nel centro dell'elisse
tav. 43, e la condizione: che all'altezza CD la retta allora si con&~nge il punto cho si considera cos\i
a mano libera, si ricorre frequentemente al metodo
stessi, e la retta bisettrice dell'angolo compreso fra
seguente, die t,alvolta dicesi di proiezione.
dette congiungenti di la direzione della normale. So
Siano, tav, 43, fig, 2 e 3, AB la corda e CD la
nou sono noti i fuochi dell'elisse, allora si pub ap-
monta dell'arco, e si tiri CD perpendicolare ad AB
prossimativamente condurre la normale all'elisse in
nel suo punto di mezzo. Da A si tiri una retta
un punto p, fig. 6, tav. 43, se per ciascuua parte
ABf = 2 CD, la quale faccia un angolo qualunque
di p si pigliano due segment! eguali ma non troppo
colla retta .AB. Si descriva sulla AB' una semicir-
lunghi e si tira una perpendicolare alla vw pas-
conferenza di circolo e si divida la linea AB' (per
sante per p.
maggiore comoditd simmetricamente dal mezzo verso
Se poi si vuol ottenwe la normale con preci-
i due estremi) in un numero qualunque di parti uguali
o diseguali abcl. . . . , e si elevino dai punti, che di- sione, senza conoscere previamente i fuochi dell'elisse,
si pub servirsi della costruzione rappresentata nelle
vidono fra loro queste parti, leperpendicolari alla AB',
fig, 7 e 8 della tav. 43. Sia p un punto dell' elisse
le quali incontrano la semicirconferenza di circolo
nei punti I, m, n, . . . . Si divida poi la AB in altret- ACB, pel quale devasi tirare la normale. Su uno
degli assi si descriva il quarto di circolo AD, si con
tante parti eguali fra loro o proporzionali alle parti
Fig. 321, doca per p una parallela mn al seconrlo asse, si tiri
determinate sulla ABr, e dai punti af bf df si Lirino
orizzontale EF (ED = FD) debba essere una corda mo cd in m la tangente. n q alla circonferenza di
pure delle perpendicolari alla AB, eguali rispettiva-
dell'elisse, ossia che E ed F debbano essere punti circolo perpendicolarmente alla ?no fino ad incontrare
mente in lunghezza alle perpendicolari condotte da
a, 6, d, . . . . e si ottengono cosi i punti lf ?nf nf . . . , L-J Fig, 320 dell'elisse. Si deve trovare l'altezza CH dell'arco, su q l'asse oA prolungato. Se poi si tira la pa, questa
ossia l'altro asse dell'elisse, per poter poi tracciarla. risulta tangente all'elisse nel punto p e la perpen-
che appartengono alla periferia della chiesta elisse,
che si termina poi a mano libera. Nei casi di forte id un tavolone verticale 1' (che pub far parto della Si descriva su AB una sen~icirconferenza di dicolare TS A la normale domandata.
.
curvatura sari meglio di prendwe piu piccolo Ie ientinatura), in modo da poter girare attonlo a C a circolo, si prcnda CK = E2P, si tiri da K una per- -
parti prossime agli estremi A e B'. serniera, ed pure fissato a cerniera in F col
pendicolare KM all8 AB fino alla periferia del semi- Nell'intento di fare pih robusta I'apertura del-
Un altro metodo, che d i immediatamente l'elisse regolo a, e propriamente in n~anierac hela lunghezza
circolo, si conduca DE parallela ad AB e la retta l'arco nei puuti d'imposta e di chiave e di evitare
e che torna assai comodo, perch6 non richiede grandi GF sia precisamente eguale alla differenza dei due
MC che taglierA laED in un punto G. I1 segmento la incomoditd di dover trovare la direzione speciale
misure, si serve dei fuochi dell'elisse. semiassi dell'elisso. I1 terzo regolo 6 e fissato a cer-
CG determinate su MC &A il secondo asse richiesto per ogni singolo giunto, frequentemente invece del-
Siano ancora AB e CD, tav. 43, fig. 4 e 5, niera on quello d in E, nel mezzo di CF, e porta
ossia la inonta dell'arco. L'esattezza della costruzione, l'elisse si adopera la linea a paniere ossia la linea
rispettivamente la corda e la monta dell' arco. Si in A una punta a cui si appoggia il regolo a per
che cioi E sia un punto dcll'elisse, si fa evidente poVcenlrica.
trovino sull'asse maggiore dell'elisse cosi det~~minataa ccompagnare b quando si muove. 11 regolo b porta
subito ohe dell'arco GH si completi la semicirconfe- Come s'b gid visto, qnesta linea consiste di una
i fuochi E ed Ef, faceudo centro in un estremo del- pure un'altra punta in D la qaale 6 disposta in modo
renza; poich6 allora apphando uno degli altri me- aerie di archi di circolo descritto con raggi diver.-ii
l'asse minore prendendo come raggio la met& del- &a poter scorrere in una scanalatura n che si trova
todi noti per il tracciamento dell'elisse subito si vede e da centri diversi disposti in modo da succedersi con-
l'asse maggiore e segando quest0 nei punti E ed E' nel tavolone P. La. distanza fra A- e D e eguale al
che E e un punto che Ie appartiene. Se si vuole tinuamente l'un l'a1tro.S~la rettachecongiunge i piedi
in modo che DE = DE' = AC, oppure facendc semiasse maggiore piu ED semidifferenza dei due
determinare col calcolo il semiasse minorc dell'elisse, dell'arco 6 orizzontale, e quindi 6 pure orizzontale la
tsuemrai anss ic oinn smtao dpoe r clhoe pEiuD d=i= EuuFa =fe EssCn. rLa a psrcaatuicaalata- xi ponga AC = S, KC = ED =- a, EK = DC = tangente in chiave, allora il centro del segmento, che
h, e CH ==: a. Si ha quindi: contiene il punto di chiave deve essere sulla verticale
ove con S si indica la corda AB, e con H la monta DC in un'assicella, che s'inchioda al tavolone P.
Nei fuochi si fissino due spilli, ed a questi si avvolga ur I1 movimento dtil complesso e tale, che, mentre MMI<K -; .¥Â:SCM === EhK :: HaC cnhuem epraos sda epi ecre ulatr ic dheiallvae c sutervssaa ,i ne ppearr ocloa ndseevgeu eenszsae riel
fcihloe s henaz la'u fninoe d, elai icnuoic lluini gdhaollz'zeas tsrieamegitu~ap lieu allloan tdainstaa ndzeal- ldae spcurnivtae iiln c oDn stocronrore d neelll'leali ssscea neda lialt luerma b12o, ild eplu nretog olAo inoltre MK = I/ MC - -OK 2 impari. 11 numero minimo quindi dei centri, con
l'asse maggiore, oppnrealperimetro del triangolo EDE a, che passa per A, dA sempre la normale. MK =; [/ ,iaa3 cui pub costruirsi una lineea policentrica, quando la
fig. 4, o EAEI fig. 5. Poi si disponga net filo uno stih Qualora non si potease disporre verticalmento o per conseguenza sua corda sia orizzontale, di tre. Oltre a cib il nu-
S. h mere dei cectri 6 assolutamente illimitato, perch&
od una matita, c la punta, quando la si muov: la scanalatura n, sipub anche ricorrere alla dispo-
ogni arc0 della policentrica rappresenta una invilup-
tenendo sempre teso il filo compress0 fra gli spilli fis sizione della fig. 321. In questa la scanalatura n,
pante, la cui inviluppata & il tratto d'una poligonale
sati nei fuochi, doscrive la cliiestii clisse. in cui scorre ancora la punta in D, fe orizzontale; e
16
COSTRUZIOSE DEI COPERTI IN PIEFRA NATURALE ED IN MATTONI.
e quindi si pub trovare l'inviluppata che corrisponde semicorda AC = S, la monta CD = H e per Pi16 inoltre essere dato il punto K, fig. IS, S'+tPÑS
a ciascuna inviluppante. 31 maggior numero di centri VAC + 2 :IT. 43, ossia rapporto AK : KC. Sia per es.: 1) a; = e
fuisna tqou ip eard ogtltia taor cinh ip drealt ipcoan ptea rdei Ncheeu islliya qcuoesltlrou tdtoi 1d1a, -Ie v\irt A.S -9s i+ iu Hdi3c hcio nla Zl.i neFaa AciDlm =ent e si ottiene Hal lo=ra A(AKK; +KC K =C) m: A :K n ,= se (nme tdne)d :u cme 2) y = 2- so2 H (H - ---!/)-- (8 %-+ I.P)
2 (a; S)
Perronet. Dalla proprietd die la linea policent,rica S:y-==:(m+n):m
Per un noto principio trigonometrico & poi,
deve essere una linea inviluppante, ne deriva che i
raggi di curvatura dei singoli archi devono decre- 1) y=S-- m ossia (S -EG y sesenn a .4 5= == E F(S se-n H9 ) sen 75
çz-4n
scere dalla chiave alle imposte; perci? si potranno -
S sen 45 (S-13) sen 75
porre ulterior! condizioni alla linea policentrica per ove per maggior cornoditd nei casi numerici, si in- e dalla (a;-y)2=(S-y)i¥+(a;-H) e quindi y =
la determinazione del minimo del raggio minore, e mdnrri previamente il valore dl Z. a; = S fS-2vl"+ , , H3 - sen 45 -
H sen 75 S (sen 75 sen 45)
del massimo del raggio maggiore. A1 raggio maggioro Da uno sguardo alla figura si ottiene facilmente 2 (H-Y) ossia y =
sen 45
difficilmente si assegna una lunghezza suporiore al e, post0 invece di y il suo valore,
proporzione MC: KC S: H. Allora, se invece
i == Ma dalle tavole trigonocietriche del Vega si ha
doppio della corda dell'arco, perch6 questo in chiave S9(n-m+IP (mtn)
ell'angolo a1 centre so, 6 dato il rapporto
nvoecne dsiiv edAn ti streomppproe p tiaaltet om; ies ua1ra r,a cghgeio l ap iluin epaic cpoolloic einn-- KC : MC = m : n -- 2) a; = 2 \Qlm t71) - sW&[ sseenn 4753" ' = 00,, 790676 e
trica a1 piede assuma tma certa ripiditd ed acqnisti e ne desume pure KC : KM ==- m :- [/'m 3-f n' e 1; ultima formola, che di il valoro di a;, mostra luincli, se si sostituiscono nuesti valori numerici:
con cib una maggiore apertura. Peronnet nel succi- 'er conseguenza MC : ICM- =- n : [I nP+n2, epper6 che il rapporto AK: KC non 6 interameute arbi- 3) Y = S - 1,366 (S - H).
Lf
tato ponte prese il raggio piu piccolo eguale ad \^ x-H), : (a;-y) == n : m'-'+n2,d a cui rario, ma che AK deve sempre essere pih piccolo Infine se si pone qnesto valore di y in 1) si ha
+
della corda. Ma, siccome dove si succedono due archi * H /m'-l-n3,-ny di DC. Infatti se uella proporzione AK : KC = m: n 4) a; = S 1,366 (S - H).
ddie llcai rvc6olltoa duni pduivnetros ap iuc udrevbaotlue,r ac,o ssi ib iostotigennae pnrienlcl'aiprcaol- Inoltre si h=a (-S-11} i/.-: ('xm-.H ) =-= m n : n e( 1q uindi sni -po nme =m S= - H 2, Ha,l leo rdai v7ez n=tan oS y- = H H, ned + am; in =fin itaS-, DF =Se ApoEi n=ell Sa -fig . H1;4 ,A tGav .= 43 G, Fs i =f=a ED A=F; eD Csi;
mente aver cura di prendere il rapporto di due rag& + mente grande, perch& il denominatore nella suddetta ?leva da G una perpendicolare su AD, che incontra
nS-ny Bin nS-m+Hm
successivi prossimo all'uniti il pid che sia possibile. ie deriva ec = - , Y =---- formola diventa eguale a zero. a AC in K ed il prolungamento di DC in M, K ed
Ora vogliamo impamre a conoscere solo i pih m n II tracciamento della fig. 12 della tav. 43, si VT sono i centri ed AK = KO e MO == MD i raggi
usitati fra i tracciamenti delle linee policeutriche. Sostituendo questi valori di a; e di y nell'equa- ottiene facilmente nel mod0 segueute. Dopo che li una semiovale a 3 centri, che si avvicinii. abba-
sia sia convenientemeute determinate SC calla condi- itanza all' eke. Per calcolare poi i raggi so == DM
zione AKc 13, si faccia DF = KA, si tiri KF, e si ?d ;/ = AK, si osserva cho hanno luogo Ie seguenti
- divida quests per met& in G. Si elevi poi da G una iroporzioni :
L~NEPEO LICENTRICIIE A TRE CENTRI. S~XIC perpendicolare su KF e la si prolunghi finche iucontri
date in AC la semicorda ed in CD la monta, fig. Â 1) MD : GD = AD : CD,
1 prolungamento di DC in M, e si tiri la MK; M e K.
tav, 43; vogliasi costruire la linea a paniere o po- 2) AK : AG = AD : AC,
souo i centri ed AK = ICE, e ME = MD sono i .
licentrica, o semiovale anche, come pure hquen- Se per esempio fosse dato m : n = 3 : 4, al- GD A-E
raggi della liuea policentrica clie passa per A e per D. donde MD =:GO =: -
temente si' suol dire, sotto Ie seguenti condizioni lora si caverobbe AC
Sia inoltre data la condizione che ciascuno dei
che l'angolo a1 centro corrispondeute all'arco in- 1) a = 2 s - H ed
due archi di circolo, che compongono la semiovale
termedio sia = 2u, eguale cioe ad un angolo 1; 3H-S
abbia un angolo a1 centro cli GO0. Si costruisca su
2) y  ¥ 2'
cui tangente equivalga il rapporto fra la saetta ( AC, fig. 13, tav. 43, un triangolo equilatoro AEC, si Si ponga, poi come prima AC =: S : DC = o
la semicorda, cio6 sia = DC Per determinare poi i punti M e K mediante faccia CF = CD e si tiri per F e D una retta fino ier hevita AD =Z =--I/ '-S,Ã-+‘ Hz. allora
.. - tracciamento, si osservi che saranno
ad incontrare in G la AE. Una retta parallels alla
Si completi il rettangolo ACDE, si bisechin( 4
AIC=a;-H=2(S-H)= -(S-11) EC condotta da G iucontra poi la AC in I< ed it pro-
l'angolo EDA e quello DAE, mediante Ie rette DI 2
ed AG, che si tagliano in un punto H. Da quest( 3 - lungamento di DC in M; questi due punti sono i y = Z-(Sz-Hs ) --.z
e ICC=S-!/=- CH). centri cercati, come Kt1 = GK ed MG r=M D sono
sit iri poi una retta perpendicolare su AD, fino a( 2
i raggi. Se si .~ogliono deterruinare col calcolo i
incontrare in K la AC, ed in M il prolungamento d Quindi nella fig. 11, tav. 43 si tagli EC = CD Se Jato il rapporto Ira il raggio maggiore e
DC; K ed M sono allora i due ccntri, come pun =I1 sn AC == S, allora AE = S - H; si divida poi raggi DM =: a;, cd AK = y, si osservi die 7 = GOR, a corda, in modo che si possa porre a; = m S, al-
AK = KH ed MK == MD sono i raggi della curv: AE in due parti eguali e si portino tre di queste ora dalla suaccennata formola generale
- +
domandata, di cui la figura per risparmio di spazii parti da C verso I<, e quattru da C verso M, e cosi ri- 2ecH (p Hy
sintedsiscaa csoolsot rnlaz iomneet ip. erL au uf iga. rc1o0 , ritaalvz.a to4,3 , mostra I: sullano KC= 5 (S-H) ed MC =. . a-4 (S-H). . . ' =134 =1 845.O0 I~n+o(l tpre~) =s' i1 h8a0 IC-w (=60 I+CC725 +)= C w1 8o0s s-ia Ira si ottiene IJ = 2 (a;- --- S) -
-
Se si vogliono determinare col calcolo i ragg Si pub quindi percib condurre una linea retta per (a; yV = (S-yf+(s- H)", e percib Ie formole ge-
DM ed AK, allora si ponga DM ¥== a;, ed AK = y I< ed M, e fare ICP = KA, e resta anche MF = MD. nerali per tntte lo scmiovali cosifattc sono:
COSTRUZIONE DEI COPERTI IN PIETRA NATURALE ED IN MATTONI
Si desume quindi subito da questa, che m deve were maggiore ed il secondo minore della semi- a 5 centri, il cui raggio piu grande sia eguale La costruzioue non 6 interamento esatta per
essere sempre maggiore di 1 se si vuol ottenere per orda. alla corda. xtti i rapporti di DC: AC, ma l'errore A cosi pic-
y un valore possibile. Se poi si determina il maggiore od il minore Si prendano su CB ad arbitrio i duo punti E solo da essere trascurabile nella costruzione.
Sia per es. m == 2, e quindi a; = 2S, ossia ei raggi conformemeute a ci6 in guisa, che siano ed 17, perb in modo che BF < DC, si tiri MK per
eguale all' intora corda, come pure DM = AE nella ati i punti a' od M, e si dividano Ie linee Cat e CM E, si tracci da M l'arco DK, si faccia KN = BF,
fig. 15, tav, 43; allora si tiri AM, la si tagli per elle parti necessarie secondo la ipotesi assunta, al- si tiri SF, si tagli qnesta per met& in G, e la NM LINEEP OLICENTRI~~IAE 7 CENTRI. -. Si deva de-
met& in T, e si clevi la TN perpendieohre alla AM ira la equazione di condizione deve essere; iucontri in H la GH conilotta perpendicolarmente icrivere una semiovale a 7 centri su AB, fig. 9,
+ + + +
si faccia CN = CO e si tirino Ie rette MNV ed 1C CD = Mm mm' m1 ndl m'1 m'" alla NF e si tiri I-IL per F: i punti H ed F sono tav. 44. Siano CD = '/,_ AB, DM -= AB. Si divida
MOIL; allora 0, M eel N sono i centri della semio- m'"+ a' + a' A gli altri due centri. BC in quattro parti eguali nei punti E, F, G, si
vale cercata, come A0 = OR, MD == MR ed NV ssia, se poniamo MC = x Per costruzione si ha NK = BF, HN = HF; faccia MN = NK = '1. MC, si tirino SM per E, NT
= HE ne sono i raggi. DC = H per conseguenza HF 4- BF = HN -I- NK, ed ME1 per F, e KV per G, si tracci da M 1' arco DS,
La costruzioneb sempre la stossa per ogni va- AC = S + HF + FB = MH + IXS + MI< = MI< = DM. e da 0 1' arco ST, si faccia BR = TP , si tiri
lxo-r^e d^il> m o>pp u1re; peegrucahlee pae r3 /Ain d e=lla 1c or'Idga ossis ifaa cpceiar Min + mm' + 7 dm Claft += m y'f me." ' + m'll a' = Z, portoL eali pDoCs izaiodn eA dBe;i qpuuanntdi oE D Oed =I? d *iIpse nAdBu , dsail h raa pla- RdiPco ela rsmi ednettee rmdailn ip nmnetod iadni tem leaz zLoH dci oRndPo ttial ppnenrptoe nH-;
nella fig. 1 tav. 44, AM = DM ='/, AB = 'IÃ S 1) a ; + H = Z + S Ã ‘ y curvatura Piu aggradevole, se si prende CE = El! allora i punti IT, P, 0 ed M sono i centri, come
si tiri EM, la si bisechi in L e si elevi la LN per- Se inoltre 6 determinate il rapporto MC: Ca' = *IÃ BC. MD == MS, OS = OT, PT = PV, ed HV = EB
pendicolare alla EM; N ed M sono i centri cer- miii a; : y come 772: n, allora si pub risolvere il Si prenda ora nella fig. 6, tav, 55 ancora come sono i raggi della semiovale xercata.
cati. Nella fig. 15, tav. 43 il punto E venne a coin- iroblema medianto una figura simile ausiliaria, com- nolla fig, 5, DM = AB ; si prenda E ad arbilrio, s Si hanuo+ R H = HP, R+B = TP e consegnen-
cidore con 11, perch@s i pose la condizione DM = 2S )letameote nota, come nella fig. 4, tav. 44. tiri per N la KM, si tracci da M l'arco DK, si prenda temente PI1 HB = RH HB = RB = PT;
= AB; del resto la costruzione b affatto identica, Inhtti nellii fig. 4, date Ie linee VW = ni-, e sulla EM il punto H ad arbitrio, per6 in modo che inoltre OT = OS, MO .= MO ed MS = DM, per
+ + +
So in > 2, allora nella fig,, 2 tav. 44, il puntc VP = n, o diviso qneute come la CM e la Ca' nella KH BE, si faccia BG = KH, si tiri GH e si de- cui MO OP PH HB = DM. Nella nostra
E cade fnori s o p B ; do1 resto ci6 non cambia per ig. 2, cd indicato con q la somma dei lati della po- termini il punto F mediante la retta LF elevata per- figura i punti G ed H cadono quasi insieme, ma ci6
niente la costruzione, perchb in ambedue lo figure igonale compresa fra W e P, in mod0 die rn, n e pondicolarmente alla GI3 nel suo punto di mezzo. S A solo per caso.
'1,
si ha; 7 rappresentnno quantiti note (cib che b chiaro perch& 1 tiri la HN per F ; H ed F vono i centri, che mancano Siano ancora, fig. 10 tav. 44, CD = AB.
+
7 lo si pa6 determinare modiante lo quantiti date), Si ha GF = FIX, quindi GB = € FB, m; DM = AB, e BF ossia il raggio piu piccolo eguale
MD = IIP = AE =NE +Nil = NM+ PN, ( i ha, GB = KH, e conseguentemente MH + HF + FI ad della coda = 7- BC. Si tiiccia MG = GH
poichb NE NM cd AN == AN, cosi sommand(
+ "== = MI< = DM. MC, si tiri EH per F, si tracci da 17 l'arco
NE AN=NM+AN=NM+PNedAN=PN a;: y = m : n, ossia a;=-777y27 , Se DC = '1, AB, si fa meglio a prendere 01 -E2 B,3 1s,i faccia PF = i/, HF, si tiri NK per P e G,
e per la similitudine delle figure = 41- BC, ed EH = HM. i descriva da P l'arco EK, si faccia KN = DM,
Se il raggio maggiore e piu grande della corda si elevi dal punto di mezzo di qnesta retta la per-
Quando il rapporto fra la saetta dell' arco e 1. per es. DM = ^f-& AB, come nella fig. 7, tav. 44 pendicolare LR e si tiri la MO per R.
sua corda e minore di circa 3: 8, allora si suole ri Se si sostituiscono queati valori di as e di Z nella allora si prendano a piacimento i punti Fed H. pan Si hanno BF = FE, PE = PK, RK = RO
+
correre alla semiovale con piu di 3 centri, perch sovrascritta equazione l), si ottiene. in modo che siano BF < CD, ed MI3 > CF, si tir e conseguentementi! RP 4- PI? FB == 110,
clao sst ollaid idtJif fdeorelln' zaar cfor ar ie srtaag gain matetnigtautia .s i fa minore, ;m y +IT== [nIV t S-y OONN =peDrM 1%, edsi Fti,r is iN Mtra cec is id ad eFte rlm'aricnoi Bil Oc, esni tfraoc ci(; hinao lptruer es i MhRa N+R R=P +RM P, FN -IK- F=B D=M ,N pKe r =cu i OMst
Quando devesi descrivere un arco a paniere ossi (S-H)n mediante la LG elevata perpendicolarnionte sul mezz. = DM.
una semiovalo con piu di 3 conlri, il problema i donde 2) y= m tn-q - di NM, e si tiri MP per G; i punti G cd F sono E facile capire che in modo del tutto analogo si
via generate pub essere cosl formulato. I1 numero Cost per il caso, che si considera, si possono tro- centri cercati. pub descriverc nna semiovale a 9 o ad 11 centri.
dei centri & indeterminate, ma dove essere dispar~ vase a; cd y, eppercih onche i punti a' ed M. Non Si hanno+ B F = FO, NG = MG, e p+er conse
cairacshciu ndai cmirecto&lo d, esluhp speomstioo vcahlee dnc vseia c ounns tnaurem deir on- 24d-- ocicrccoorlQroeu sedosint oo dmnireeett, o dpcouh ne6t i ibM uc,o enmnot ,r i cmod,m eiem d''gi.ve.en .res ri ataer, cmhia dei gOpurNae nn=dzaa BDMMFG . ePe.r, GC;FDB/ C '=B eFd 1M1=, EA1 BNc Gier c Da+M = C=F '1 . 'fMs CFAO. B = s pub pPuerre tsraecrvciirasrie duenl as esgeumeniotov amlee tsoidmoi.l eS iaalnl'oe lrisisspee, ts-i
Se si vuole tracciare una policentrica che si; tivamente OA, fig. 322, ed OB la semicorda e la
span. In altrettante parti si divide la semicord discretamente prolisw; per cai vogliamo far appren-
AC; fig. 3, ti'iv, 44, eel in una meno il prolungamen1 dere alcune costruzioni, che menano piu facilmente il piu possibile simile all'elisse, si faccia nella fig. f monta ; si traccino con 011, e con OB due q+uar ti di
CM della saetta CD, se si couducono i raggi corr allo scopo nei casi che occorrono nelh pratica tat-. 44, FC -=C=D , si divida AF in 5 parti egual circolo ed un terzo con raggio OC = BO AO.
si portino 7 di queste da C verso K e da C vers Si tirino a piacimento i raggi 01, 011, 0111 ecc., e
spondenti a ciascun arco.
N e solo una da N verso M, si faccia inoltre I<l si determinino nella maniera che risulta chiaramente
I1 rapporto di queste parti fra loro 13 arbitrarii
-
cosi pure lo souo Ie dimensioni del raggio maggiol LINEEP OI.ICENTRIC1IE A 5 CENTRI. Devasi de- = KC, si tiri OM per E e PN per I< ; allor dalla figura, i punti m, n, p, ecc. del contorno del-
e di quello minor", perb evidentcmente il primo de\ scrivere su AB, fig. 5, tav. 44, un arco a paniere K ed L sono i due ceutri cercati. l'elisse che passa per i punti A, B, e si tirino Ie
COSTRUZIONE DEE COPERTI IN PIETRA NATURALE ED IN MATTONI.
rette passanti per 111 e p, per I1 ed n, ecc. ; queste I1 metodo, che in pratica piti si usa 6 qucllo ad ac e lid; esso risulta quindi dato per il suo punto Se come nella fig. 7, tav. 45, si hanno eb = 'ia ae
rette second0 un principio trovato dal professore detto di proiezione, perch6 Ie linee sussidiarie che vi di mezzo die si trova in //", ed in f si ha il panto a bd = be (proporzioni assai freqnenti nelle di-
Reusch, sono normali all'elisse nei punti n, m, p, ecc. occorrono sono di facile costruzione, mentre cogli di contatto per la linea di chiave. Si tiri flg perpcn- sposizioni di scale), allora la costruzione seguente
quindi su queste rette altri metodi se lo sorio sulla carta, non 10 sono al- dicolarc a cd e la si faccia eguale ad af = fb fornisce la curva corrispondente per' un arco a
D- si trovano i centri di l'atto. pratico. = ab, si tin gf e si tagli questa per met& in collo coca.
I ;..
! ,' ., curvaturadeicorrispon- Se la distanza verticale fra la linea di chiave Ti, si tiri hf e la si prolunghi fino ad incontrare in Si determini come prima il punto di chiave f,
'---
iI ,,1 ,< ; \S denti elementi elittici. cd e la retta inclinata ab 6 eguale alla semicorda 15 l'arco di circolo descritto da 71 con raggio hf; la in mod0 che sia cf = ac, e si tiri dapprima la fh
! , , Se si prolungano que- ae, fig. 1, tav. 45, eppure 6 eguale a metA della retta condotta per / e A d& la direzione dell' asse perpendicolare alla cd, ma con lunghezza indetermi-
ste normali lino ad in- retta inclinata ab, fig. 2, si clescriva sopra queste maggiore, a1 quale resta perpendicolare quello mi- nata, e rimarcando il punto g d' incontro colla ae.
',
contrarsi Ie une colle rette la semicirconferenza di circolo, si tagli il dia- nore, che quindi risulta parirnente data in direzione. Snlla gf si pigli ad arbitrio il punto 15 e da questo
altre nei punti 1, 2, 3, metro in un numero qualunque di parti, e dai punti Si faccia poi sulla hg, hr = 11,/'/, e allora la fr'clh si descriva con raggio- Af una circonferenza di cir-
3',
di divisionc f, g, h, 15, I, ecc. si elovino Ie perpen- la lunghezza del scmiasse maggiore, e la ffh quellu colo, che incontra il prolungamento di be in i ed in
.
dicolari fino alla circonforenra di circolo. Si tirino del semiasse minore, per cui l'elissc stessa si pud fa- m. Si conduca per 6 la corda no parallela ad ae
A serie di archi succes- poi per gli stcssi punti f, g. h . . lo fl ', fl,h h'l . . , cihnente costruire. (perpendicolarmente alla ac od alla bd), si fac&no
!, I i.3;, , sivi &a loro descritti , parallelead am, ossia a h i e si facciano queste lunghe Se si vuole costruire la curva di un arc0 zoppo bp = bo e bq == bl; si porti da 6 verso T la dif-
r1
una semiovale che poco a partire dalla retta ascendente d,qu anto Ie corri- con due arclii di circolo descritti da due diversi fcrenaa fra il diametro fh ed il segment0 di corda
3
differenzia dau'elisse, e spondenti perpendicolari if", w', 1111 ' . . . e se si centri, siano dapprima dati in posizione i due punti np, si tiri la retta qi', e la parallela ins. Fatto poi
Fig. 122. che Ie si pub appros- congiungono fra loro i punti a, I", h", fl g" h" d'imposta a e 6, ed in clirezione la linea di chime b t z b s, e tirata la retta Im per k e per f, si ot-
simare quanto si vuole e b mediante una curva continua si e risolto il cd (parallela ad ab), ma non sia data la sna distanza tengono in g il centro per l'arco af, in k il centro
coll'aumentare il numero [lei centri, ci6 che riesce problema. da ab. Si tin cd ad una distanza arbitraria da ab per l'arco fu ed in t infine quello per ub.
facile. Sc nella fig. 3, tav. 45, la distanza verticale ed a lei parallela, e si prolunghino le am e 7x7 fine Se nella fig. 8, tav. 45, si di anche il punto di
della lineadi chiave dalla retta ascondente 6 dataa pia- ad incontrare la cd in c ed in d, si taglino su cd chiaye /; si tiri f1z perpendicolare a cd, si pigli il
Per descrivere un arc0 a collo d' oca ossia cimento eguale ad ft", si deacrive ancora sulla retta i segmenti ca' =c a e db' = db e si tirino lo rette punto k ad arbitrio e si faccia ah ==. fk. Devesi pert
zoppo, un arco cioh, i cui punti d' imposta corri- ascendente ab una sen~icirconferenzad i circolo, se ne bbl ed ad. I1 punto f d'incontro di queste lime di porre attenzione che 11g riesca minore di gis. Poi si
ft"
spondenti no11 sono in un piano orizzontale, in ge- tira il raggio perpendicolare ad ab e lo si divide in il punto di chiave dell' arco. Da questo si conduca tiri hi: e si elevi dal suo punto di mezzo 9nn perpen-
norale hisogna risolvere il problema di tracciare una un nuuiero qualsiasi di parti. Da questi punti di divi- unaperpendicolare a &,fino ad incontrare in g la rettn dicolare ad lift fino ad incontrare la ae e si tin kt
curva passante per tre pnnti dati, e tangents a tre sione si tirino rette parallele ad ah fino ad incontrare' ae perpendicolare alla am; g A il centro per l'arco per n. Si tin inoltre per 6 la bl parallela ad eae e
rctte di direzione pure data. Due dei punti dati sono la circonferenza di circolo, si congiungano fed f11; aff ; e:si tirila b/i parallela ad ae flno ad incontrare in si prenda i ad arbitrio, in modo pert che questo
i sempre i punti di imposta: il terzo, quando e dato, in linea retta, e si tagli la /7s colle parallele me- I! la fii; e cost resta trovato in 11 il centro per il
I h il punto di chiave. Due fra Ie rette date sono i diante f ft', die si conduce per i punti di divisione S ~ C O I ~~~IOW Of b. It
I
prolungamenti all'insii dclle fronti dei muri d'imposta, della ff. Per i punti di divisione trovati sulla ffl/ Si vede chiaramente quindi, che deve ossere c'f
la term e una retta passante per la chiave. Dei si tirino pure delle rette parallele ad ab e si fac- = fid' == c'a = dlb,ossia che la distanza verti-
pnnti d' imposta in qualche caso pub esserne dato ciano rispettivamente lunghe come le parallele con- cale della linea di chiwe dalla retta ascendente deve
anche uno solo, ma perb la retta in cui glace il se- dotte per i corrispondenti punti di divisione della ff", were eguale alla mctA di quest'ultima, se pert queste
condo, & sempre determinata. allora gli estremi delle linee, condotte per i punti due rette devono essere parallele.
Possiamo risolvere il problema di descrivere la della (T", quando siano uniti in modo conlinuo, danno Se non ha luogo questa condizione, e se A data
curva dell'arco zoppo, tracciandola come una parte la curva domandata. la distanza deb linea di chiave cd dalla retta ascen-
dell'elisse, oppure come una serie di diversi archi chiaro che con questo metodo si ottengono dente all a lei parallela, per costruire un arco zoppo
di circolo successivi. Nell'ultimo caso concorre an- curve tanto piii esatte, qnanto piu punti si determinano. a tre ccntri, si pub adottare il metodo seguente. Si
Cora l'antoccdente condizione che il numero dei cen- Se si vuole costruire l'elisse col mezzo del filu determini il punto di chiave f, in mod0 che sia cf ==
.. ., tri degli archi di circolodeve essere impari. senza fine, o con qualche altro metodo allora A ne- ca, si tiri fg perpendicolare sulla cd fino ad incontrare
Le piii usitate costruzioni a questo riguardo cessario di detenuinare prim in posizione ed in la ae elevata peFpendicolarmente su ac dal punto a; il
sono la seguenti. grandezza i due assi. punto g e il centro per I'arco af; dopo si tiri hn paral-
Siano date nella fig. 1, tav. 45, ah parallela a Si osserri che la linea ascendente ab 6 un dia. lela ad ae, si prenda il segmento bk ad arbitrio. per0 'unit0 11011 coincida con o, si faccia fp == bi, si tiri
cd ed am parallela a bn come pure la corda oriz- metro, e che i puuti di imposta a e 6 sono vertici minore di 61, si faccia fh = bk, si tiri 1~12, si bisechi 'p c si elevi dal suo punto di mezzo la perpendico-
zontale dell'arco ae, e la sua monta eb e la distanza dell'elissc. 11 centro di quest' ultima trovasi allora questa in n, e da n si elevi la nm perpeudicolare alia are qr fino ad incontrare la Ib, e si tiri 17s per r ;
della linea di chiave cd dalla linea ascendente ab; nel punto di mezzo di ab in f. Siccome cd & paral- I115 fino ad incontrare la bm; allora dopo cho s'e illora È l:, 12 ed r sono rispettivamente i centri
devasi tracciare la curva dell' arco zoppo , come lela ad all, e cos! pure ac is parallela a bd, cosi condotto rat per h, si ~ttienei l punto /A per centro e r i quattro archi (11, if, fs eel sb.
un'elisse. anche il diametro coniugato di ab con-era parallelo dell'arco ft, ed m per centro delterzo arco ib. Se si ha il caso speciale, che put benissimo ca-