Boolesche Algebra und Computer: Ein Informatik-Kurs

108 Pages·1972·3.945 MB·German

by  Gerd Harbeck, Karl-Heinrich Jäschke, Jürgen Küster, Bernd Reimers, Gert Starke (auth.)

Gerd Harbeck
Karl-Heinrich Jaschke
Jurgen Kuster
Bernd Reimers
Gert Starke
Boo/escheA/gebra
und Computer
Ein Informatik-Kurs
Vieweg
Verlagsredaktion: Bernhard Lewerich, Michael Langfeld
ISBN-13: 978-3-528-00801-7 e-ISBN-13: 978-3-322-84371-5
001: 10.1007/978-3-322-84371-5
1972
Alle Rechte vorbehalten
Copyright © 1972 by Friedr. Vieweg + Sohn GmbH, Verlag, Braunschweig
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Medien.
Der VerstoB gegen diese Bestimmung ist nach dem genannten Gesetz strafbar und lost Schadens
ersatzpflichten aus.
Satz: Friedr. Vieweg + Sohn, Braunschweig
Buchbinder: W. Langeliiddecke, Braunschweig
Umschlaggestaltung: Peter Morys, Wolfenbiittel
Vorwort
Kaum eine Maschine wird in so unterschied1ichen Bereichen unserer Gesellschaft
eingesetzt wie der Computer. Warenhliuser erfassen Wareneingang und -ausgang mit
Computern, Banken bedienen sich der elektronischen Oatenverarbeitungsanlage
(EOVA) ftir Buchungen, in statistischen Landesiimtern werden Erhebungsbogen
maschinell gelesen und ausgewertet, und in Stiidten werden Ampelanlagen von
Rechnern so gesteuert, wie es das Verkehrsaufkommen erfordert. Eine besondere
Bedeutung nimmt der Computer in Forschung und Technik ein. Die Raumfahrt
z.B. ist erst durch den Einsatz von Computern moglich geworden.
Moderne Rechner konnen bis zu 10000 000 Additionen in einer Sekunde durch
fUhren und eine fast unvorstellbar groSe Menge von Oaten speichern. Oiese Ge
schwindigkeit der Bearbeitung, diese groSe Speicherfahigkeit und die Exaktheit
der Berechnungen erzeugen im Laien leicht das Geflihl, im Computer seien ,,magische
Krlifte" am Werk, er sei "unfehlbar" und bedrohe die Entscheidungsfreiheit des
Menschen. Yom Computer geht etwas Geheimnisvolles und Faszinierendes, bis
wellen sogar etwas Furchterregendes aus.
Nur derjenige, der Aufbau und Funktionsweise einer Oatenverarbeitungsanlage
kennt, weii ihre Leistungsfahigkeit und Anwendungsmoglichkeiten richtig einzu
schatzen. Dieses Buch solI eine Hilfe sein, die ersten Grundlagen fUr das Verstand
nis des Computers zu erarbeiten. 1m ersten Kapitel werden Aussagenalgebra und
Schaltalgebra als Modelle der Booleschen Algebra entwickelt. Anschlie6end wird
das Modell eines programmgesteuerten Computers aufgebaut, das die wesentlichen
Funktionstelle eines Computers enthiilt und deren Zusammenspiel zeigt.
Die Verfasser
Sankelmark, im September 1972
Inhaltsverzeichnis
1. Moclelle der Booleschen Algebra 1
1.1. Aussageformen 1
1.2. Logische Verkniipfungen 7
1.3. Erstes Modell: Aussagenalgebra 13
1.4. Zweites Modell: Schaltalgebra 17
1.5. Terme und ihre Verkniipfungen 27
1.6. Gesetze der Booleschen Algebra 36
1.7. Dualitiit der Gesetze 42
1.8. Adjunktive Normalform 47
1.9. Anwendungen 57
2. Aufbau eines einfachen Computers 64
2.1. Addition von Dualzahlen 64
2.2. Halbaddierer und Volladdierer 67
2.3. Planung eines Serienaddierwerks 71
2.4. Schieberegister 73
2.5. Autbau eines Serienaddierwerks 77
2.6. Steuerung des Rechenablaufs 80
2.7. Steuerung durch Befehle 84
2.8. Programmgesteuerter Rechner 90
Anhang A. Dualzahlen 96
Anhang B. Axiome der Booleschen Algebra 98
1. Modelle der Booleschen Algebra
Das DenIcen des Menschen besteht zu einem gro~en Tell darin, Aussagen zu neuen Aus
sagen zu verknupfen und aus ihnen Schl~folgerungen zu ziehen. Diese Tiitigkeit l~t sich
mit geeigneten Schaltungen simulieren, well fUr die Verknupfung von Aussagen und die
Zusammensetzung von Schaltungen die gleichen Gesetze gelten. Diese der Aussagenalgebra
und der Schaltalgebra gemeinsamen Gesetze bezeichnet man nach dem englischen Logiker
G. Boole als Gesetze der Booleschen Algebra. Sie unterscheiden sich wesentlich von den
Gesetzen der Algebra der Zahlen. Mit den Gesetzen der Booleschen Algebra und einigen
Anwendungen befa~t sich das erste Kapitel dieses Buches.
1.1. Aussageformen
In vielen Bereichen des tiiglichen Lebens begegnen uns Aussageformen, ohne d~ wir uns
dessen bewu~t werden und diesen Begriff damit in Zusammenhang bringen. Ein Beispiel
dafur geben die beiden folgenden Siitze aus einem Fragebogen:
"lch hei~e ...................... Ich bin am .......... in , .......... geboren."
(Vorname) (Nachname) (Geburtstag) (Geburtsort)
In die "Leerstellen" des Fragebogens ist einzutragen, was fUr die einzelne Person zutrifft.
In der Mathematik benutzt man Aussageformen wie " ... ist eine Prirnzahl" oder " ... ist
eine ungerade Zahl". Die Leerstellen ... geben an, an welcher Stelle des Satzes die Zahlen
einzusetzen sind. In der Mathematik bevorzugt man jedoch zur Kennzeichnung solCher
Pliitze Buchstaben wie x und y und schreibt ,,x ist eine Prirnzahl" oder "y ist eine ungerade
Zahl".
In dem Beispiel aus dem Fragebogen ist unter jeder Leerstelle vermerkt worden, was an die
bezeichnete Stelle eingetragen werden solI. Fur die Leerstellen x und y gibt man statt
dessen die Grundmengen an, deren Elemente an die Stelle von x bzw. y gesetzt werden
durfen.
Die Kennzeichnung von Leerstellen durch Buchstaben beschriinkt sich nicht auf mathema
tische Sachverhalte. In dem Satz "t ist eine Siiugetierart" gibt t den Platz an, an den die
Namen von Tierarten einzusetzen sind. Die Grundmenge ist die Menge der Tierarten.
AIle Zeichen wie ... , x, y, t nennt man Leerstellen, Platzhalter oder Variable.
Definition: Eine Variable (Leerstelle, Platzhalter) ist ein Zeichen, das eine Stelle
angibt, an der Elemente einer vorgegebenen Grundmenge eingesetzt werden kannen. 1)
1) Fiir nachdenkliche Leser: In einem Satz wie "t ist eine Siiugetierart" !ii1lJt sich fUr die Variable t
genau genommen nur der Name einer Tierart einsetzen. Dadurch erhiilt man eine Aussage iiber die
Tierart selbst. Bei dem Satz ,,x ist eine Prirnzahl" sagt man einfacher, da1\ fur x eine Zahl und nicht
der Name einer Zahl eingesetzt wird. Die Sprechweise ist eine Frage der Unterscheidung zwischen
dem Namen eines Objekts und dem Objekt selbst. Diese Unterscheidung ist vielfach von Bedeutung.
Da sie fUr unsere Betrachtungen unerheblich ist, werden wir meist die einfachere Sprechweise
wiihlen.
Ftir den Satz "der Rhein flie6t durch das Bundesland x" solI als Grundmenge die Menge B
=
der Bundeslander der BRD gewiihlt werden. Es ist B {Baden-Wtirttemberg, Bayern, Bre
men, Hamburg, Hessen, Niedersachsen, Nordrhein-Westfalen, Rheinland-Pfalz, Saarland,
Schleswig-Holstein). Setzt man an die Stelle der Variable x des Satzes "der Rhein flie6t
durch das Bundesland x" nacheinander die Namen aller Bundeslander, d.h. aller Elemente
der Menge B, ein, so erhiilt man:
(1) Der Rhein flie6t durch Baden-Wtirttemberg.
(2) Der Rhein flie6t durch Bayem.
(3) Der Rhein flie6t durch Bremen.
(4) Der Rhein flie6t durch Hamburg.
(5) Der Rhein flie6t durch Hessen.
(6) Der Rhein flie6t durch Niedersachsen.
(7) Der Rhein flie6t durch Nordrhein-Westfalen.
(8) Der Rhein flie6t durch Rheinland-Pfalz.
(9) Der Rhein flie6t durch das Saarland.
(10) Der Rhein flie6t durch Schleswig-Holstein.
Von diesen zehn Satzen ist der erste, der siebente und der achte Satz wahr, wlihrend die
tibrigen Satze falsch sind.
Satze, die einen Sachverhalt ausdriicken, der entweder als falsch oder als wahr beurteilt
werden kann, bezeichnet man als Aussagen. Die eben genannten Satze sind also Aussagen.
Der Begriff "Aussage" solI an den folgenden Beispielen naher erliiutert werden:
(1) 2 ist kleiner als 3.
(2) 7 ist eine Primzahl.
(3) Wann bist Du in Stuttgart?
(4) Der Adler ist ein Saugetier.
(5) Hamburg ist eine Stadt an der Elbe.
(6) Fahre bitte nach K6ln !
Der erste Satz ,,2 ist kleiner als 3" driickt einen Sachverhalt aus, der aufgrund allgemeiner
Kenntnisse tiber die natiirlichen Zahlen und ihrer Gr66enbeziehung als zutreffend anzu
sehen ist. Der Satz ist eine wahre Aussage. Ebenso ist der Satz ,,7 ist eine Primzahl" eine
Aussage, die wahr ist. Der vierte Satz gibt einen Sachverhalt wieder, der nicht zutrifft; der
Satz ist eine falsche Aussage. Der flinfte Satz stellt wieder eine wahre Aussage dar. Fragen
und Befehle wie der dritte und der sechste Satz stellen keine Aussagen dar, da sie weder
einen falschen noch einen wahren Sachverhalt zum Ausdruck bringen.
"falsch" (f) und "wahr" (w) bezeichnet man als die Wahrheitswerte von Aussagen. Aus
sagen sind somit Satze, denen man entweder den Wahrheitswert f oder den Wahrheits
wert w zuordnen kann.
Aussagen stehen in enger Beziehung zu den Satzen, die wie die ersten Beispiele Variable
enthalten. Aus dem Satz "der Rhein flie6t durch das Bundesland x" erhiilt man erst eine
Aussage, wenn man fur die Variable x den Namen eines Bundeslandes einsetzt. Der Satz
•
"der Rhein flie6t durch das Bundesland x" selbst ist offenbar keine Aussage. Solche Siitze,
die noch eine Variable enthalten, bezeichnet man als Aussageformen.
2
Die Satze ,,x ist eine Prirnzahl'\ "n ist eine ungerade Zahl", "t ist eine Saugetierart" sind
Aussagefonnen mit nur einer Variablen. Aussagefonnen konnen aber auch mehrere Variable
enthalten. Eine Aussagefonn mit zwei Variablen x und y ist z.B. der Satz ,,x + y = 3". Aus
dieser Gleichung erhalt man eine wahre Aussage etwa dadurch, d:& man fur x die Zahl 1
und fur y die Zahl 2 einsetzt. Es mtissen stets beide Variablen durch Zahlen ersetzt werden,
urn aus der Aussagefonn ,,x + y = 3" eine Aussage zu erhalten. Man sagt, d:& das Variablen
paar (x ;y) durch ein Zahlenpaar ersetzt werden m~. Das Einsetzen des Zahlenpaares
(1; 2) in die Aussagefonn x + y = 3 fiihrt auf die wahre Aussage 1 + 2 = 3. Eine falsche Aus
sage entsteht, wenn beide Variablen beispielsweise durch die Zahl 2 ersetzt werden, wenn
also fur (x; y) das Zahlenpaar (2; 2) eingesetzt wird. Die Grundmenge einer Aussagefonn
mit zwei Variablen ist stets eine Menge von Paaren, eine Paannenge.
In der Aussagefonn (x +y)2 = x2 + 2xy + y2 treten die beiden Variablen x und y mehr
fach auf. In solchen F1illen ist darauf zu achten, daB fUr gleich benannte Variablen stets
auch dieselben Zahlen eingesetzt werden. Mit dem Zahlenpaar (3 ; 4) erh1ilt man dann die
wahre Aussage (3 + 4)2 = 32 + 2·3·4+ 42.
Ein Merkmal fur eine Aussagefonn ist das Vo rhandensein einer Variablen. Dadurch aliein
ist eine Aussagefonn aber noch nicht volIst1indig gekennzeichnet. Auch der Satz "z1ihle
bis n" enthalt eine Variable, fUr die nattirliche Zahlen eingesetzt werden k6nnen. Mit der
Zahl 100 erh1ilt man beispielsweise den Satz ,,z1ihle bis 100", der eine Aufforderung, aber
keine Aussage ist. Aus einer Aussagefonn m~ aber beirn Einsetzen in die Leerstellen eine
Aussage entstehen.
Definition: Eine Aussagefonn mit einer Variable ist ein Satz mit der folgenden
Eigenschaft:
Ersetzt man die Variable durch Elemente der zugehOrigen Grundmenge, so erh1ilt
man aus dem Satz eine Aussage.
Eine Aussageform mit zwei Variablen ist ein Satz mit der folgenden Eigenschaft:
Ersetzt man das Variablenpaar durch Elemente der Grundmenge (paare einer Paar
menge), so erh1ilt man aus dem Satz eine Aussage.
Die Def'mition einer Aussagefonn macht deutlich, wie sie fur eine Aussageform mit n Va
riablen veraligemeinert werden kann. Aussagefonnen sollen mit gro~en Buchstaben unter
Angabe der Variablen bezeichnet werden: A(x), B(x, y), .... FUr jede Aussagefonn ist die
zugehOrige Grundmenge festzulegen.
Setzt man nacheinander alie nattirlichen Zahlen fur die Variable x der Aussageform P(x)
,,x ist eine Prirnzahl" ein, so erh1ilt man fur die Zahlen 2, 3, 5, 7, ... wahre Aussagen.
\2,3,5, 7, 11, 13, ... } ist also die Menge alier Zahlen, fur die man aus P(x) eine wahre
Aussage erh1ilt. Diese Menge bezeichnet man als Losungsmenge der Aussageform.
Definition: Die Losungsmenge A der Aussagefonn A(x) beztiglich der Grundmenge G
ist die Menge alier Elemente aus G, fur die die Aussagefonn in eine wahre Aussage
tibergeht. Dafur schreibt man kurz: A =\x I A(x)}G.
Zur Bestimmung der Losungsmenge einer Aussageform m~ die Grundmenge bekannt sein.
W1ihlt man z.B. fUr die Aussageform U(x) ,,x ist eine ungerade Zahl" die Menge der nattir-
3
lichen Zahlen als Grundmenge, so erhalt man als Losungsmenge die Menge U = (1,3,5, 7,
1
J.
9, 11, 13, ... Mit der Menge P der Prirnzahlen als Grundmenge ergibt sich dagegen die
J,
Menge U =(3,5, 7,11,13, ... die von U verschieden ist.
2 1
Die LOsungsmenge einer Aussageform ist stets eine Teilmenge der zugehOrigen Grund-
. menge. Das laBt sich in einem Mengendiagramm veranschaulichen. Die bekanntesten
Mengendiagramme sind das Venn-und das Karnaugh-Diagramm. In beiden Diagrammen
wird die Grundmenge G meist durch ein Rechteck dargestellt.
1m Venndiagramm ist die Teilmenge A durch die schraffierte, ovale Flache dargestellt
(Bild 1.1.a), im Karnaughdiagramm wird die Teilmenge A durch ein quadratisches "Feld"
veranschaulicht (Bild 1.1.b).
A(x)
~
al b)
Bild 1.2
Bild 1.1 Das Karnaugh-Diagramm fUr die Aus
1m Venn-und im Karnaugh-Diagramm sageform A(x) zeigt den Bereich, in
wird die Teilmenge A durch eine dem man fiir A (x) wahre Aussaged
schraffierte FHiche veranschaulicht. erhiilt.
Wegen des engen Zusammenhangs zwischen einer Aussageform und ihrer Losungsmenge
kann man auch den Aussageformen Diagramme zuordnen. Bild 1.2 zeigt das Karnaugh
Diagramm fUr eine Aussageform A(x). Das Diagramm sagt folgendes aus: Filr· alIe Elemen
te, die sich im schraffierten, mit A(x) bezeichneten Feld des Diagramms befmden, ergibt
die Aussageform eine wahre Aussage. Diesen Sachverhalt solI der Buchstabe w in dem Feld
noch hervorheben.
In Bild 1.1 tritt auEer der schraffierten Teilflache eine nicht-schraffierte Flache auf. Dieses
Flachensttick veranschaulicht die Menge alIer Elemente aus der Grundmenge G, die nicht
zur Menge A gehOren. Diese Menge he~t "Komplementmenge" zu A bezilglich der Grund
menge G; sie wird mit A bezeichnet und durch die Gleichung A = (xix ($: A}G defmiert.
Auch im Karnaugh-Diagramm fUr die Aussageform A(x) bleibt ein Feld unschraffiert
(Bild 1.2). Es solI am Beispiel der Menge A =(x I der Rhein flie~t durch das Bundesland XJB
mit der Grundmenge B alIer Bundesllinder der BRD gezeigt werden, welche Aussageform
durch das Feld veranschaulicht wird und damit die Komplementmenge A als Losungs
menge besitzt. Die Menge A = (Baden-Wilrttemberg, Nordrhein-Westfalen, Rheinland-Pfalz J
hat als Komplementmenge A = {Bayern, Bremen, Hamburg, Hessen, Niedersachsen, Saar
land, Schleswig-Holstein J. Die Aussageform, die die Komplementmenge A als Losungs
menge besitzt, ist "der Rhein flie~t nicht durch das Bundesland x". Diese Aussageform,
die mit A(x) bezeichnet werden solI, ist die Verneinung oder dasNegat der Aussageform
A(x) "der Rhein flieBt durch das Bundesland x".
Das Negat der Aussageform P(x) ,,x ist eine Prirnzahl" ist P(x) ,,x ist keine Prirnzahl". Wie
die weiteren Beispiele zeigen, muE man bei der Formulierung des Negats von Aussage
formen und Aussagen etwas vorsichtig sein.
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FUr die Aussageform U(x) ,,x ist eine ungerade Zahl" ergibt sich das Negat U(x) ,,x ist eine
gerade Zahl" nur dann, wenn man sich auf die Menge der ganzen Zahlen als Grundmenge
en
beschrlinkt. Wahlt man als Grundmenge die Menge der rationalen Zahlen, dann sind die
Aussageformen ,,x ist eine gerade Zahl" und ,,x ist keine ungerade Zahl" nicht mehr gleich
wertig. Fur die Zahl ~ erhiilt man aus der ersten Aussageform eine falsche Aussage, wah
rend die Aussage ,,~ ist keine ungerade Zahl" den Wahrheitswert wahr besitzt.
Das Negat der Aussage "das Wasser ist kalt" kann nicht he~en "das Wasser ist lauwarm"
oder "das Wasser ist warm". Es gibt niimlich viele Moglichkeiten, die Temperatur des
Wassers zu beschreiben: eiskalt, kalt, lauwarm, warm, he~, siedend he~. Das Negat lautet
"das Wasser ist nicht kalt". Ahnlich liegt der Fall bei Aussagen wie ,,Klaus ist alter als
15 Jahre". Das Negat "Klaus ist nicht alter als 15 Jahre" l~t es zu, d~ Klaus 15 Jahre
alt oder jiinger ist.
Die Beispiele machen deutlich, wie wichtig es ist, das Negat einer Aussageform sorgfaltig zu
defmieren. Dazu sollen vorbereitend die beiden Aussageformen A(x) "der Rhein flie6t
durch das Bundesland x" und A(x) "der Rhein flie6t nicht durch das Bundesland x"
betrachtet werden. In Tabelle 1.1 werden die Wahrheitswerte der Aussagen, die sich aus
den Aussageformen ergeben, bestimmt.
TabeUe 1.1
Elemente der G rundmenge Wahrheitswert der Aussage, die sich ergibt aus der Aussageform
A(x): "der Rhein flie1.\t A(x): "der Rhein flie1.\t nicht
durch das Bundesland x" durch das Bundesland x"
Bayem falsch wahr
Baden-Wiirttemberg wahr falsch
Bremen falsch wahr
Hamburg falsch wahr
Hessen falsch wahr
Niedersachsen falsch wahr
Nordrhein-Westfalen wahr falsch
Rheinland-Pfalz wahr falsch
Saarland falsch wahr
Schleswig-Holstein fa1sch wahr
Unabhangig davon, welches Bundesland fur die Variable x der beiden Aussageformen A(x)
und A(x) eingesetzt wird, erhaIt man stets Aussagen mit "entgegengesetzten" Wahrheits
werten. Diese Tatsache kann dazu ausgenutzt werden, die Tabelle wesentlich zu verktlrzen.
TabeUe 1.2
Wahrheitswert der Aussage fUr die Aussageform
A(x) A(x)
falsch wahr
wahr falsch
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Dailt sich aus einer Aussageform A(x) und ihrem Negat A(x) stets Aussagen mit entgegen
gesetzten Wahrheitswerten ergeben, ist offenbar eine charakteristische Eigenschaft des
Negats einer Aussageform. Auf das Element der Grundmenge, durch das die Variable je
weils ersetzt wird, und die entstehende Einzelaussage kommt es dabei nicht mehr an. Ent
scheidend ist allein die Beziehung zwischen den Wahrheitswerten.
Definition: Das Negat einer Aussageform hat folgende Eigenschaften:
1. Das Negat einer Aussageform ist wieder eine Aussageform.
2. Dem Negat A(x) wird der Wahrheitswert f zugeordnet, wenn A(x) den Wahrheits
wert w erhalt, und der Wahrheitswert w, wenn A(x) den Wahrheitswert f erhlilt.
Diese Definition ergibt die in der TabeUe 1.3
nebenstehenden Tabelle angegebene A(x) A(x)
Wahrheitstafel der Negation.
f w
w f
Mit jeder Aussageform l~t sich auch ihr Negat in einem Diagramm veranschaulichen. In
Bild 1.3 sind die Karnaugh-Diagramme fur die beiden Falle gezeichnet, dailt A(x) wahr und
A(x) falsch und dailt A(x) falsch und A(x) wahr sind.
Bild 1.3
1st fUr eine Ersetzung der Variable die Aussageform A(x) wahr,
A(x) A(x) A(x)
also ihr Negat A(x)falsch, so ergibt sich das Karnaugh-Diagramm
~~
(a). Das Karnaugh-Diagramm (b) beschreibt den Fall, da1.\ bei
einer Ersetzung A(x) falsch und A(x) wahr wird. Man nennt (a)
b) A{x) das Karnaugh-Diagramm zu der Aussageform A(x), (b) das
Karnaugh-Diagramm zu der Aussageform A(x).
Aufgabe 1.1: Bestimmen Sie fUr die Aussageformen mit einer Variablen geeignete Grundmengen:
<
(a) x + 4 12,
(b) x2 = 2,
(c) xEN,
(d) 3 EX.
Aufgabe 1.2: Bestimmen Sie fUr die Aussageformen mit zwei Variablen geeignete Grundmengen:
(a) a teilt b,
(b) gist senkrecht zu h,
(c) x ist parallel zu y,
(d) (l+x)n~l+n·x.
Aufgabe 1.3: Bestimmen Sie die Losungsmengen zu folgenden Aussageformen und deren Negaten:
>
(a) x2 - 6x + 8 0,
(b) (x + 4)(x + 7) = x2 + lOx + 28,
(c) x2 -4 <Sx + 2.
Als Grundmenge G wiihle man 1. G1 ={ 1, 2, 3, 4} und 2. G2 ={ 0,1,2,3,4,5 } .
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