BÖLÜM 6 DAİMİ, İKİ-BOYUTLU, SIKIŞTIRILAMAZ POTANSİYEL

28 Pages·2007·0.72 MB·Turkish

BÖLÜM 6
DAİMİ, İKİ-BOYUTLU, SIKIŞTIRILAMAZ
POTANSİYEL AKIMLAR
6.1 Giriş
6.2 Hız Potansiyeli için formülasyon
6.3 Akım Fonksiyonu için formülasyon
6.4 Kompleks düzlemde formülasyon
6.5 Potansiyel Akımların Süperpozisyonu
6.6 Basit Akımlar
6.7 Dairesel silindir etrafındaki simetrik ve sirkülasyonlu akımlar
Daimi, İki-boyutlu, Sıkıştırılamaz Potansiyel Akımlar 6-1
6.1. Giriş
Yüksek Reynolds sayılarında üniform paralel akım içinde çok yüksek olmayan hücum
açılarında yer alan bir kanat profili etrafındaki akım örneğinde olduğu gibi, sınır tabaka ve
iz etkilerinin küçük olduğu durumlarda ilk yaklaşımda akım alanının çevrisiz (irrotasyonel)
olduğu yaklaşımıyla inceleme yapmak mümkündür. Bu durumda akım alanı genellikle
“potansiyel” olarak nitelendirilir.
Bu yaklaşım, akımın daimi, sıkıştırılamaz kabul edilmesiyle de birlikte akımı yöneten
denklemlerin hayli basit bir hale getirilmesini sağlar. Böylece nispeten kolay ve ucuz
yöntemlerle çözümler elde etmek mümkün olur.
Potansiyel akım problemlerini reel düzlemde bir hız potansiyel fonksiyonu cinsinden veya
iki-boyutlu halde akım fonksiyonu cinsinden modelleyerek bu fonksiyonlardan birisi için
çözmek mümkün ve yeterlidir. Ancak bu iki fonksiyonu birleştirerek problemi kompleks
düzlemde modellemek de mümkündür. Kompleks düzlem reel düzleme kıyasla bazı işlem
kolaylıkları sağlar.
6.2. Hız Potansiyeli için formülasyon:
∂ρ ( r)
Süreklilik denklemi +∇ρ⋅V =0
∂t
∂
Daimi akım kabulü ≡0 ⇒ ⇓
∂t
Sıkıştırılamaz akım ρ= Sb ⇒ ⇓
r
∇V =0
r
Çevrisiz (irrotasyonel) akım ∇×V =0
⇓
r
Hız potansiyeli V =∇φ ⇒ ⇓
∇(∇φ)=0
Laplace denklemi ∇2φ=0
Problem, akım alanı olarak tanımlanan bölge içerisinde Laplace denkleminin, uygun sınır
şartlarıyla birlikte, φ potansiyel fonksiyonu için çözülmesinden ibarettir.
Bir potansiyel akım alanında potansiyel fonksiyonunun φ(x,y)=φ şeklinde sabit değerler
i
aldığı noktaları birleştiren eğrilere “potansiyel eğrisi (potansiyel çizgisi)” adı verilir. Bu
eğrilerle hız vektörleri arasında özel bir ilişki vardır. Şöyle ki;
Hız vektörü potansiyel fonksiyonunun gradyantına eşit olduğu için potansiyel
fonksiyonunun herhangi bir doğrultudaki türevi bu doğrultudaki hız bileşenine eşit olur.

UCK 351 Aerodinamik 2006-2007 Güz Yarıyılı Ders Notları M. Adil Yükselen
Daimi, İki-boyutlu, Sıkıştırılamaz Potansiyel Akımlar 6-2
Örneğin (x,y,z) kartezyen koordinat sisteminde hız bileşenleri u, v ve w olarak
tanımlanırsa
r r r r ∂φr ∂φr ∂φr ∂φ ∂φ ∂φ
V =∇φ → ui +vj +wk = i + j + k → u = , v = , w =
∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z
olduğu görülür.
Buna göre, bir potansiyel eğrisi φ=φ3
φ=φ
boyunca φ=Sb olduğu için 2
φ=φ
1
potansiyel fonksiyonunun bu
eğrinin herhangi bir noktasında
teğeti doğrultusundaki türevi ve
dolayısıyla teğet doğrultusundaki
hız bileşeni sıfır olacak, bunun
sonucu olarak da bu noktadaki
hız bileşeni potansiyel eğrisine
dik olacaktır.

Kanat profili için problem:
Özel bir durum söz konusu olmadıkça genel olarak bir kanat profilinin üniform paralel
akım içerisinde yer aldığı varsayılır.
Akım bölgesi, kanat profilinin yüzeyi olarak tanımlanan bir iç sınır ile sonsuzda yer aldığı
varsayılan bir dış sınır arasındaki geniş bölgedir. Problem, hız potansiyeli için yazılmış
Laplace denkleminin bu bölge içerisinde, bölgenin belirtilen sınırları üzerinde
tanımlanacak sınır şartlarıyla birlikte çözümünden ibarettir. Çözümden kastedilen, akım
alanının her bir noktasında potansiyel fonksiyonunun değerinin elde edilmesidir.
y→+∞ φ→φ D
∞
A
∇2φ=0
x→+∞
x→-∞
Vn=∂φ/∂n=0 φ→φ
∞
φ→φ
∞ y
V
∞ x
p
∞
ρ
∞
B
y→-∞ φ→φ∞ C

Dış sınırındaki sınır şartını üniform paralel akım büyüklükleri belirler. Kanat profilinin
yüzeyi üzerindeki sınır şartı ise akımın yüzeye teğet olması şeklinde ifade edilebilir.

UCK 351 Aerodinamik 2006-2007 Güz Yarıyılı Ders Notları M. Adil Yükselen
Daimi, İki-boyutlu, Sıkıştırılamaz Potansiyel Akımlar 6-3
Dış sınır üzerindeki sınır şartı matematiksel olarak şimdilik
φ=φ
∞
şeklinde belirtilebilir. İlerleyen paragraflarda üniform-paralel akıma ait potansiyel
fonksiyonunun nasıl tanımlanacağı gösterilecektir.
Yüzey üzerindeki sınır şartını ise matematiksel olarak çeşitli şekillerde ifade etmek
mümkündür: Örneğin akımın yüzeye teğet olması yüzeye dik hız bileşeninin sıfır olması
şeklinde yorumlanarak:
Vr⋅nr=0 → (∇φ)⋅nr=0 → ∂φ=0
∂n
yazılabilir.
Pratikte, elde edilecek çözümden nasıl yararlanılacağı da önemlidir:
- Laplace denkleminin çözümü akım alanının her bir noktasında φ(x,y)
fonksiyonunun değerini verecektir.
r
- V =∇φ bağıntısı yardımıyla her bir noktadaki hızı elde etmek mümkündür.
(r )
- Bernoulli denkleminin sonucu olan C =1− V /V 2 bağıntısı yardımıyla her bir
p ∞
noktadaki basınç katsayısını elde etmek mümkündür.
- Yüzey üzerindeki basınç dağılımının integrasyonu yardımıyla taşıma ve yunuslama
katsayılarını verecek bilgiler elde etmek mümkündür.
C ∝ ∫C dx, C ∝ ∫C xdx
l p m p
6.3. Akım fonksiyonu için formülasyon:
Daimi akım halinde akışkan zerrelerinin yörüngeleri akım çizgisi olarak adlandırılır. Nasıl
ki potansiyel fonksiyonu bir takım potansiyel eğrilerini tanımlıyorsa iki-boyutlu halde akım
çizgilerinin de benzeri şekilde bir akım fonksiyonu ile tanımlanmaları mümkündür.
Akım çizgileri katı cidar gibi akışkanın bir taraftan diğer tarafa geçmesine izin vermeyen
çizgiler olduğundan iki akım çizgisi arasında ilerleyen akımın debisi akım boyunca sabit
kalacaktır. Bu özellikten akım fonksiyonunun tanımlanmasında ve hız bileşenleriyle
ilişkilendirilmesinde yararlanılır.
Şekilde görüldüğü gibi birbirine çok d
yakın iki akım çizgisi boyunca akım
ψ=c
fonksiyonunun c1 ve c2 gibi sabit c 2 ∆n
değerler aldığını varsayalım. Akım b
V
fonksiyonunun değerleri arasındaki
farkı ∆ψ ile gösterelim ve bu farkın
akım çizgileri arasından geçen debiye
ψ=c
eşit olduğunu farzedelim. a 1

Akım çizgileri birbirine çok yakın olduğu için ∆n aralığının her noktasında hızın aynı
olduğu kabul edilebilir. Buna göre:

UCK 351 Aerodinamik 2006-2007 Güz Yarıyılı Ders Notları M. Adil Yükselen
Daimi, İki-boyutlu, Sıkıştırılamaz Potansiyel Akımlar 6-4
∆ψ
c −c = ∆ψ=ρV∆n → =ρV
2 1 ∆n
veya limit alarak
∆ψ dψ
lim → =ρV
∆n→0 ∆n dn
elde edilir.
Akım fonksiyonu için yazılan bu denklemi hız ψ=c2 d
bileşenleri cinsinden daha kullanışlı bir biçime
getirmek mümkündür. -∆x
c
Örneğin şekilde görüldüğü gibi (x,y) kartezyen ∆n
koordinat sisteminde iki akım çizgisi arasında V ∆y b
dik üçgen şeklinde belirtilen kontrol hacmine
v ψ=c
giren ve çıkan debiler eşit olacağından u 1
y
∆ψ=ρV∆n =ρu∆y +ρv(−∆x)
a
veya limit alınarak x
dψ=ρu dy −ρv dx
Diğer taraftan bir ψ(x,y) fonksiyonun tam diferansiyeli kısmi türevleri cinsinden
∂ψ ∂ψ
dψ= dx + dy
∂x ∂y
şeklinde ifade edilebilir. Bu iki bağıntı karşılaştırılarak
∂ψ ∂ψ
ρu = , ρv = −
∂y ∂x
olduğu görülür. Sıkıştırılamaz akımlar halinde bu bağıntılar
∂ψ ∂ψ
u = , v = −
∂y ∂x
şeklini alır. Bu son bağıntılar daha önce potansiyel fonksiyonunun türevleri için verilen
bağıntılarla birleştirilirse
∂φ ∂ψ
u = =
∂x ∂y

∂φ ∂ψ
v = = −
∂y ∂x
yazılabilir. Bu son eşitlikler Cauchy-Riemann bağıntıları olarak bilinir

UCK 351 Aerodinamik 2006-2007 Güz Yarıyılı Ders Notları M. Adil Yükselen
Daimi, İki-boyutlu, Sıkıştırılamaz Potansiyel Akımlar 6-5
Potansiyel çizgileri hız vektörlerine dik ve
akım çizgileri de hız vektörlerine teğet
olduğu için potansiyel ve akım çizgileri
birbirlerini dikey olarak keserler.
ψ
5
Cauchy-Riemann bağıntıları da bunu
ψ
4
doğrulayarak potansiyel ve akım
ψ
fonksiyonlarının dik-kesişen (ortogonal) 3
fonksiyonlar olduğunu göstermektedir. ψ2
ψ1 φ4
Şimdi potansiyel akımın çevrisiz olma
şartı yeniden hatırlanırsa, örneğin (x,y,z) φ1 φ2 φ3
kartezyen koordinat sisteminde matris
formda bu şart
r r r
i j k
r ∂ ∂ ∂ ∂w ∂vr ∂u ∂w r ∂v ∂ur
∇×V =0 → = − i + − j + − k =0
   
∂x ∂y ∂z  ∂y ∂z ∂z ∂x  ∂x ∂y 
u v w
şeklinde yazılabilir. İki-boyutlu halde, hızlarla akım fonksiyonu arasında yukarıda bulunan
ilişkiler de kullanılarak
∂v ∂u ∂  ∂ψ ∂ ∂ψ ∂2ψ ∂2ψ
− =0 → − −   =0 → − +  =0 → ∇2ψ=0
   
∂x ∂y ∂x  ∂x  ∂y  ∂y  ∂x2 ∂y2 
şeklinde yine Laplace denklemine gelinir. Yani potansiyel akım problemi akım fonksiyonu
için de Laplace denklemi ile temsil edilmektedir.
Kanat profili için problem:
Kanat profili için problem daha önce potansiyel fonksiyonu halinde belirtilen aynı sınırlar
içerisinde, ama bu defa akım fonksiyonu için Laplace denkleminin çözümünden ibarettir.
Bununla birlikte, sınır şartlarının da akım fonksiyonu cinsinden verileceği
unutulmamalıdır.
y→+∞ ψ→ψ∞ D
A
∇2ψ=0
x→+∞
x→-∞
ψ→ψ
ψ→ψ∞ y ∞
ψ=Sb
V
∞ x
p
∞
ρ
∞
B
y→-∞ ψ→ψ∞ C

UCK 351 Aerodinamik 2006-2007 Güz Yarıyılı Ders Notları M. Adil Yükselen
Daimi, İki-boyutlu, Sıkıştırılamaz Potansiyel Akımlar 6-6
Dış sınır üzerindeki sınır şartı matematiksel olarak şimdilik yine
ψ=ψ
∞
şeklinde belirtilebilir. Yüzey üzerindeki sınır şartını ise, yüzeyin bir akım çizgisi olacağını
dikkate alarak yüzey boyunca akım fonksiyonunun sabit olması şeklinde uygulamak
mümkündür:
ψ=ψ = Sb
w
Laplace denklemi akım fonksiyonu için çözüldükten sonra türevler yardımıyla hızlara,
daha sonra basınç katsayılarına geçilebilir. Yüzey boyunca basınç katsayılarının
integrasyonundan taşıma ve yunuslama katsayıları elde edilir.
6.4. Kompleks düzlemde formülasyon:
Potansiyel akım problemlerini her ne kadar reel düzlemde potansiyel veya akım
fonksiyonu cinsinden tanımlayarak çözmek mümkün ise de, kompleks düzlem
kullanmanın birçok avantajı vardır.
Kompleks düzlemde bir sınıf fonksiyon vardır ki, “analitik” olarak nitelendirilen bu sürekli
fonksiyonların reel ve imajiner kısımları Laplace denklemini ve Cauchy-Riemann şartlarını
sağlarlar. Bu bakımdan bir potansiyel akıma ait potansiyel ve akım fonksiyonlarını
f(z)=φ(x,y)+iψ(x,y)
şeklinde “kompleks potansiyel fonksiyonu” adı verilen bir analitik fonksiyon içerisinde
birleştirmek mümkündür.
Kompleks düzlemde akım hızı da
iy
w
w =u +iv =Veiβ
v
β
şeklinde “kompleks hız” adı verilen bir u
büyüklükle tanımlanabilir. Nasıl ki potansiyel ve -β -v
akım fonksiyonlarının türevleri hız bileşenlerini
w*
tanımlıyorsa, kompleks potansiyel fonksiyonunun
türevi de x
df
=u −iv = w *
dz
şeklinde kompleks hızın eşleniğini (kompleks eşlenik hız) verir.
Not:
Analitik fonksiyonlar sürekli fonksiyonlar olup bir nokta etrafındaki türevleri hangi
doğrultuda alınırsa alınsın aynı değeri verirler. Buna göre türev örneğin x doğrultusunda
alındığı taktirde
df df d(φ+iψ) ∂φ ∂ψ
= = = +i =u−iv=w*
dz dx dx ∂x ∂x

UCK 351 Aerodinamik 2006-2007 Güz Yarıyılı Ders Notları M. Adil Yükselen
Daimi, İki-boyutlu, Sıkıştırılamaz Potansiyel Akımlar 6-7
olduğu görülür. Türevin (iy) doğrultusunda alınmasıyla aynı sonucun elde edilebileceğinin
gösterilmesi öğrenciye bırakılmıştır.
Örnek:
f(z)= sh−1(z / c), (c = sb) analitik fonksiyonunun temsil ettiği akım alanını analiz ediniz.
f(z)=φ+iψ, z = x +iy konularak fonksiyon reel ve imajiner kısımlarına ayrılabilir.
φ+iψ= sh−1x +iy  → x +iy = c sh(φ+iψ)= c [shφ⋅ch(iψ)+sh(iψ)⋅chφ]
 c 
x = c shφ⋅cosψ
x +iy = c shφ⋅cosψ+i c sinψ⋅chφ →
y = c sinψ⋅chφ
Bilinen trigonometrik bağıntılarla
y2 x2
ch2φ−sh2φ=1 → − =1 hiperbol
c2 sin2ψ c2 cos2ψ
y2 x2
cos2ψ+sin2ψ=1 → + =1 elips
c2sh2φ c2ch2φ
elde edilir. Bu bağıntılarda φ=sb ve ψ=sb yazılarak ve sabitlerin değerleri değiştirilerek
şekilde görüldüğü gibi çeşitli akım çizgileri ve potansiyel çizgileri çizilebilir.
φ=Sb
iy
ψ=Sb
x

z
Kompleks potansiyel fonksiyonu = shf → z = c shf
c
Diferansiyel alınarak dz = c chf df = c 1+sh2 f df
z2 z2
Düzenlenerek dz = c 1+  df = c 1+  df = c2 +z2 df
c c

UCK 351 Aerodinamik 2006-2007 Güz Yarıyılı Ders Notları M. Adil Yükselen
Daimi, İki-boyutlu, Sıkıştırılamaz Potansiyel Akımlar 6-8
df 1
Kompleks hız tanımı gereği w* = → w* =
dz c2 +z2
elde edilir. Bu bağıntı yardımıyla istenilen noktalardaki hız bileşenlerini kolaylıkla
hesaplamak mümkündür.
6.5. Potansiyel Akımların Süperpozisyonu
Daimi, iki-boyutlu, sıkıştırılamaz potansiyel akımları potansiyel ve akım fonksiyonu ile
temsil eden Laplace denklemi lineer bir adi-diferansiyel denklem olup, bu özelliği
süperpozisyon olanağı verir. Bu da potansiyel akım problemlerinin çözülmesinde büyük
kolaylık sağlar.
Laplace denklemlerinin aynı (x,y) kartezyen koordinat sisteminde potansiyel fonksiyonu
için φ,φ,φ,.. gibi çeşitli çözümlerini göz önüne alalım. Bunlar için sırasıyla
1 2 3
∂2φ ∂2φ
∇2φ =0 → 1 + 1 =0
1 ∂x2 ∂y2
∂2φ ∂2φ
∇2φ =0 → 2 + 2 =0
2 ∂x2 ∂y2
....
yazmak mümkündür. Bu denklemler karşılıklı olarak toplandığı taktirde
∂2φ ∂2φ ∂2φ ∂2φ
1 + 1 + 2 + 2 +...=0
∂x2 ∂y2 ∂x2 ∂y2
∂2 ∂2
(φ +φ +...)+ (φ +φ +...)=0
∂x2 1 2 ∂y2 1 2
∂2φ ∂2φ
veya φ +φ +...=φ yazılarak + =0
1 2 ∂x2 ∂y2
elde edilir.
Görüldüğü gibi Laplace denkleminin çözümleri toplandığı taktirde elde edilen fonksiyon da
Laplace denkleminin yeni ve farklı bir çözümü olmaktadır. Buna göre Laplace denkleminin
basit bazı çözümleri bilindiği taktirde daha karmaşık hallere ait çözümleri, basit çözümleri
toplayarak elde etmek mümkün gözükmektedir. Yapılan bu toplama işlemine literatürde
süperpozisyon adı verilmektedir.
Süperpozisyonun benzeri şekilde akım fonksiyonları, kompleks potansiyel fonksiyonları ve
kompleks hızlar için de yapılması mümkündür.
φ +φ +...=φ
1 2 → (φ +iψ )+(φ +iψ )+...=φ+iψ → f + f +...= f
ψ +ψ +...=ψ 1 1 2 2 1 2
1 2
df df df
1 + 2 +...= → w * +w * +...= w * → w +w +...= w
dz dz dz 1 2 1 2

UCK 351 Aerodinamik 2006-2007 Güz Yarıyılı Ders Notları M. Adil Yükselen
Daimi, İki-boyutlu, Sıkıştırılamaz Potansiyel Akımlar 6-9
6.6. Basit Akımlar
Literatürde basit akımlar olarak tanımlanan ve potansiyel akım problemlerinin
çözümlerinde kullanılan akımları:
- Üniform-paralel akım
- Kaynak (kuyu) akımı
- Girdap akımı
- Duble akımı
olarak sıralamak mümkündür.
Üniform-Paralel Akım:
Şekilde görüldüğü gibi x ekseni ile β açısı iy
yapan V hızındaki üniform paralel akım göz
∞
önüne alınırsa potansiyel fonksiyonu φ, hız V
∞ v
bileşenleri u ve v olmak üzere
V u
∞
β
∂φ
u = =V cosβ
∂x ∞ x
∂φ
v = =V sinβ
∂y ∞

bağıntıları yazılabilir. Bu bağıntılar integre edilerek
φ=V cosβ⋅x + A(y)
∞ → φ=V (x ⋅cosβ+y ⋅sinβ)+C
φ=V sinβ⋅y +B(x) ∞
∞
Akım fonksiyonu için de benzeri işlemler yapılarak
∂ψ
u = =V cosβ
∂y ∞
→ ψ=V (y ⋅cosβ−x ⋅sinβ)+D
∞
∂ψ
v = − =V sinβ
∂x ∞
Buradaki C ve D sabitleri ne x ve ne de y ’ye bağlı olmayıp, değerleri keyfi olarak sıfır
alınabilir.
Potansiyel ve akım fonksiyonları bir kompleks analitik fonksiyon şeklinde birleştirilerek
f(z)=φ+iψ=V [(x⋅cosβ+ y⋅sinβ)+i(y⋅cosβ−x⋅sinβ)]
∞
f(z)=V [(x +iy)cosβ+(y −ix)sinβ]=V [zcosβ−i(iy +x)sinβ]
∞ ∞
[ ] [ ]
f(z)=V zcosβ−izsinβ =V z cosβ−isinβ
∞ ∞
sonuç olarak Kompleks potansiyel fonksiyonu için

UCK 351 Aerodinamik 2006-2007 Güz Yarıyılı Ders Notları M. Adil Yükselen