BÖLÜM-6 6.1 SÜREKLİ SİSTEMLERİN NORMAL MODLARI VE FOURİER ANALİZİ Şimdiye kadar ...

79 Pages·2015·1.34 MB·Turkish

by  Hüseyin Çelik

BÖLÜM-6
6.1 SÜREKLİ SİSTEMLERİN NORMAL MODLARI VE FOURİER
ANALİZİ
Şimdiye kadar çeşitli kesikli sistemlerin titreşim hareketlerini inceledik. Bu
bölümde ise gerilmiş bir ip ve tel gibi sürekli sistemlerin titreşimlerini ele alacağız.
Elde edilecek sonuçların birçok alanda uygulama bulduğunu göreceğiz. Daha
sonra titreşim modlarının incelenmesinde Fourier serilerinin kullanışını ele
alacağız. Bunun için kısaca Fourier serilerinden söz edeceğiz.
6. 2 GERİLMİŞ BİR İPİN ( veya TELİN) SERBEST TİTREŞİMLERİ
Titreşen tel üzerinde yapılan çalışmalar uzun bir geçmişe sahiptir. Bildiğiniz gibi
gerilmiş tellerin titreşimi çeşitli müzik aletlerinde kullanılmaktadır. Gerilmiş bir ip
veya tel, çok sayıda kütlenin yan yana gelerek oluşturduğu sürekli bir sistem
olarak düşünülebilir.
İki ucu bağlı L uzunluğunda bir ip Şekil-6.1'de görüldüğü gibi doğal titreşim
modlarına sahiptir. Bunlara kararlı titreşimler denir ve ip üzerinde her nokta,
sabit genlik ve aynı titreşim frekansı ile BHH yapacak şekilde enine titreşir. Böyle
titreşimler ipin normal modları olarak adlandırılır. Gerilmiş ip üzerinde N tane
parçacıktan oluşmuş sistemin N tane modunun olabileceğini daha önce
tartışmıştık. Sürekli bir sistem ise teorik olarak sonsuz tane moda sahip olacaktır.
Gerilmiş bir ipte kararlı titreşimler elde etmek için basit bir düzenek Şekil-1.6a’da
verilmiştir. Böyle bir deneyi Fizik Lab-I dersinde yaptınız. Kararlı titreşim yapan
ip üzerinde en düşük mod (birinci mod) hariç diğerlerinin hepsinde yer
değiştirmelerin her zaman sıfır olduğu noktalar vardır. Bunlara düğüm noktaları
(N) denir. Maksimum genlikli konumlara ise karın noktaları (A) denir. Böyle bir
düzenekle yapılmış bir deneyde ilk üç modun titreşimi Şekil-1.6b’de verilmiştir.
Bu bölümde bu deneysel sonuçların fiziğini anlamaya çalışacağız.
1
Şekil-6.1. a) Deneysel düzenek (şematik), b) Gerilmiş bir ipin ilk üç modun
titreşimi (deneysel).

6.2.1 Gerilmiş ipin hareket denklemi
Şimdi iki ucu sabitlenmiş L uzunluğunda gergin bir ipin titreşimlerinin dinamiğini
inceleyeceğiz. Bunun için 𝑥 = 0 ve 𝑥 = 𝐿 sabit noktaları arasına, T gerilimi
altında bağlanmış, çizgisel kütle yoğunluğu  olan bir ipi ele alalım. İpin herhangi
bir yerine enine bir darbe vurduğumuzda ip titreşmeye başlayacaktır. Enine
titreşim hareketi yapan ipin küçük bir parçasının herhangi bir andaki görünümü
Şekil-6.2’deki gibi olacaktır. Şekil karışmasın diye ipin küçük bir parçası abartılı
bir şekilde gösterilmiştir.
2
Şekil-6.2 Enine titreşen telin küçük bir parçasının kuvvet diyagramı.
Şekil-6.2'deki ipin 𝛿𝑠 ≅ 𝛿𝑥 kadarlık küçük bir parçasına etkiyen net kuvvetin 𝑥 ve
𝑦 bileşenleri (𝐹 𝑣𝑒 𝐹 )
𝑥 𝑦
𝐹 = 𝑇𝑐𝑜𝑠(𝜃 + 𝛿𝜃) − 𝑇𝑐𝑜𝑠𝜃 (6.1a)
𝑥
𝐹 = 𝑇𝑠𝑖𝑛(𝜃 + 𝛿𝜃) − 𝑇𝑠𝑖𝑛𝜃 (6.1b)
𝑦
şeklinde yazılabilir. Buradaki 𝜃 ve 𝜃 + 𝛿𝜃 açıları, 𝑥 ve 𝑥 + 𝛿𝑥 noktalarında ipin
teğetleri ile yatay doğrultu arasındaki açılardır. Burada enine yer değiştirmenin
(𝑦) küçük olduğu varsayımından hareket ederek 𝑇gerilimini sabit, 𝜃 ve 𝜃 + 𝛿𝜃
açılarının da küçük olduğunu kabul edeceğiz. Küçük açılarda,
𝑠𝑖𝑛𝜃 ≅ 𝜃 ve 𝑠𝑖𝑛(𝜃 + 𝛿𝜃) ≅ 𝜃 + 𝛿𝜃 (6.2a)
𝑐𝑜𝑠𝜃 ≅ 1 ve cos(𝜃 + 𝛿𝜃) ≅ 1 (6.2b)
alınabileceğini biliyorsunuz. Bu yaklaşımlar altında (6.1a) ve (6.1b) denklemleri
𝐹 = 𝑇(𝑐𝑜𝑠(𝜃 + 𝛿𝜃) − 𝑐𝑜𝑠𝜃) ≅ 𝑇[1 − 1] ≅ 0 (6.3a)
𝑥
𝐹 = 𝑇[𝑠𝑖𝑛(𝜃 + 𝛿𝜃) − 𝑠𝑖𝑛𝜃] ≅ 𝑇[𝜃 + 𝛿𝜃 − 𝜃] ≅ 𝑇𝛿𝜃 (6.3b)
𝑦
olacaktır. Sonuç olarak ipin küçük bir parçasına etkiyen net kuvvet 𝐹 = 𝐹
𝑛𝑒𝑡 𝑦
olacaktır. Böylece 𝛿𝑚 kütleli ip parçasının enine titreşimini temsil eden hareket
denklemi 2. Newton yasası kullanılarak,
𝜕2𝑦
𝛿𝑚 = 𝐹 = 𝑇 𝛿𝜃 (6.4)
𝜕𝑡2 𝑦
şeklinde yazılabilir. Burada y, x ve t’nin fonksiyonu olduğu için zamana göre
ikinci türev için kısmi türev gösterimi kullanılmıştır. Şekildeki diferansiyel
elemanın kütlesi için
3
𝛿𝑚 ≅ 𝜇 𝛿𝑥 (6.5)
ifadesini kullanak hareket denklemi için,
𝜕2𝑦
𝜇𝛿𝑥 = 𝑇 𝛿𝜃 (6.6)
𝜕𝑡2
yazabiliriz. Burada  ipin boyca kütle yoğunluğudur. Bu eşitlikteki 𝛿𝜃 terimini 𝑥
ve 𝑦 koordinatları cinsinden ifade edebilmek için ipin geometrisinden
yararlanacağız. İpe herhangi bir noktada çizilen teğetin eğimi,
𝜕𝑦
𝑒ğ𝑖𝑚 = 𝑡𝑎𝑛𝜃 = (6.7)
𝜕𝑥
şeklinde yazılabilir. Her iki tarafın x'e göre türevini alırsak,
𝜕2𝑦 𝜕𝜃 𝜕2𝑦
= 𝑠𝑒𝑐2𝜃 veya 𝛿𝑥 = 𝑠𝑒𝑐2𝜃 𝛿𝜃 (6.8)
𝜕𝑥2 𝜕𝑥 𝜕𝑥2
1
yazabiliriz. Küçük açı yaklaşımı nedeniyle 𝑠𝑒𝑐2𝜃 = ≅ 1 alınabilir. Bu
𝑐𝑜𝑠2𝜃
durumda 𝛿𝜃 için
𝜕2𝑦
𝛿𝜃 ≅ 𝛿𝑥 (6.9)
𝜕𝑥2
yazabilir. Bunlar (6.6) denkleminde kullanılarak
𝜕2𝑦 𝜕2𝑦
𝜇 𝛿𝑥 = 𝑇 𝛿𝑥
𝜕𝑡2 𝜕𝑥2
yazabiliriz ve buradan
𝜕2𝑦 𝜇𝜕2𝑦
= (6.10)
𝜕𝑥2 𝑇 𝜕𝑡2
ifadesini elde ederiz.
Bu ifadedeki 𝜇⁄𝑇 'nin boyut analizini yaparsak
𝜇 [𝑀⁄𝐿] 𝑡2 1 1 1
= = [ ] = = = (6.11)
𝑇 𝑀[𝐿𝑡−2] 𝐿2 [𝐿⁄𝑡]2 (ℎ𝚤𝑧)2 𝑣2
olduğunu görürüz. Başka bir deyişle 𝑇⁄𝜇 'nin boyutu hızın karesi boyutundandır.
Bu durumda 𝑣 için
1
𝑣 = (𝑇⁄𝜇) ⁄2 (6.12)
yazabiliriz. Bu ise, T ve 𝜇 değerlerine sahip bir ip üzerinde ilerleyen dalganın
hızıdır (Bunu ilerleyen dalgalar konusunu incelerken göreceğiz).
Bu değeri (6.10) ifadesinde yerine koyarak,

4
𝜕2𝑦 1 𝜕2𝑦
= (6.13)
𝜕𝑥2 𝑣2 𝜕𝑡2
denklemini yazabiliriz. Bu ifade bir boyutlu dalga denklemidir. Bu denklem
sadece gerilmiş bir ip (veya tel) üzerindeki küçük genlikli dalgaları değil, aynı
zamanda gazlar, sıvılar ve esnek katılardaki küçük genlikli boyuna dalgaları (ses
dalgaları gibi) da tasvir eder.

6.2.2 Dalga denkleminin N-tane çiftlenimli salınıcıdan hareketle elde edilmesi
𝑁 tane çiftlenimli salınıcıyı incelerken 𝑝’inci kütlenin hareket denklemi için
𝑑2𝑦
𝑝 + 2ω2𝑦 − ω2(𝑦 + 𝑦 ) = 0 (6.14)
𝑑𝑡2 0 𝑝 0 𝑝+1 𝑝−1
ifadesini yazmıştık. Burada 𝜔2 = 𝑇⁄𝑚𝑙’dir.
0
Bu denklemi yeniden
𝑑2𝑦
𝑝 = ω2[𝑦 + 𝑦 − 2 𝑦 ] (6.15)
𝑑𝑡2 0 𝑝+1 𝑝−1 𝑝
şeklinde yazılabilir. N sayısını çok büyüttüğümüzde sistemin sürekli hale gelmeye
başlayacağını tartışmıştık. Kütleler birbirine çok yakın olduğunda, aralarındaki
𝑚
uzaklığı l yerine 𝛿𝑥 olarak tanımlarsak, boyca kütle yoğunluğu 𝜇 = olacaktır.
𝛿𝑥
Bu durumda (6.15) denklemini
𝜕2𝑦(𝑥,𝑡) 𝑇
= [𝑦(𝑥 + 𝛿𝑥,𝑡) + 𝑦(𝑥 − 𝛿𝑥,𝑡) − 2𝑦(𝑥,𝑡)] (6.16)
𝜕𝑡2 𝑚 𝛿𝑥
şeklinde yazabiliriz. Bu denklemi 𝑚 = 𝜇 𝛿𝑥 alarak
𝜕2𝑦(𝑥,𝑡) 𝑇 𝑦(𝑥+𝛿𝑥,𝑡)+𝑦(𝑥−𝛿𝑥,𝑡)−2𝑦(𝑥,𝑡)
= [ ] (6.17)
𝜕𝑡2 𝜇 (𝛿𝑥)2
şeklinde ifade edebiliriz.
Buradaki 𝑦(𝑥 + 𝛿𝑥,𝑡) ve 𝑦(𝑥 − 𝛿𝑥,𝑡) fonksiyonlarını 𝑥'e göre Taylor serisine
açabiliriz (Belli bir anda yani t=sabit iken):
𝜕𝑦(𝑥,𝑡) 1 𝜕2𝑦(𝑥,𝑡) 1 𝜕3𝑦(𝑥,𝑡)
𝑦(𝑥 + 𝛿𝑥,𝑡) = 𝑦(𝑥,𝑡) + 𝛿𝑥 + (𝛿𝑥)2 + (𝛿𝑥)3 +
𝜕𝑥 2! 𝜕𝑥2 3! 𝜕𝑥3
1 𝜕4𝑦(𝑥,𝑡)
(𝛿𝑥)4… (6.18)
4! 𝜕𝑥4
5
𝜕𝑦(𝑥,𝑡) 1 𝜕2𝑦(𝑥,𝑡) 1 𝜕3𝑦(𝑥,𝑡)
𝑦(𝑥 − 𝛿𝑥,𝑡) = 𝑦(𝑥,𝑡) − 𝛿𝑥 + (𝛿𝑥)2 − (𝛿𝑥)3 +
𝜕𝑥 2! 𝜕𝑥2 3! 𝜕𝑥3
1 𝜕4𝑦(𝑥,𝑡)
(𝛿𝑥)4… (6.19)
4! 𝜕𝑥4
Denklem (6.18) ve (6.19) taraf tarafa toplanarak,
𝜕2𝑦(𝑥,𝑡) 1 𝜕4𝑦(𝑥,𝑡)
𝑦(𝑥 + 𝛿 ,𝑡) + 𝑦(𝑥 − 𝛿 ,𝑡) = 2𝑦(𝑥,𝑡) + (𝛿 )2 + (𝛿𝑥)4 + ⋯ (6.20a)
𝑥 𝑥 𝜕𝑥2 𝑥 4! 𝜕𝑥4
veya
𝜕2𝑦(𝑥,𝑡) 1 𝜕4𝑦(𝑥,𝑡)
𝑦(𝑥 + 𝛿 ,𝑡) + 𝑦(𝑥 − 𝛿 ,𝑡) − 2𝑦(𝑥,𝑡) ≅ (𝛿 )2 + (𝛿𝑥)4 (6.20b)
𝑥 𝑥 𝜕𝑥2 𝑥 12 𝜕𝑥4
elde edilir. Bu denklemin her iki tarafı (𝛿𝑥)2 bölünürse
𝑦(𝑥+𝛿 ,𝑡)+𝑦(𝑥−𝛿 ,𝑡)−2𝑦(𝑥,𝑡) 𝜕2𝑦(𝑥,𝑡) 1 𝜕4𝑦(𝑥,𝑡)
𝑥 𝑥 = + (𝛿𝑥)2 (6.21)
(𝛿𝑥)2 𝜕𝑥2 12 𝜕𝑥4
eşitliğini elde ederiz. 𝛿𝑥 →0 durumunda her iki tarafın limiti alınırsa
lim [𝑦(𝑥+𝛿𝑥,𝑡)+𝑦(𝑥−𝛿𝑥,𝑡)−2𝑦(𝑥,𝑡)] = lim [𝜕2𝑦(𝑥,𝑡)+ 1 𝜕4𝑦(𝑥,𝑡)(𝛿𝑥)2]= 𝜕2𝑦(𝑥,𝑡) (6.22)
𝛿𝑥→0 (𝛿𝑥)2 𝛿𝑥→0 𝜕𝑥2 1⏟2 𝜕 𝑥4 𝜕𝑥2
𝑠𝚤𝑓𝚤𝑟𝑎 𝑦𝑎𝑘𝑙𝑎ş𝚤𝑟
ifadesini elde ederiz (Türevin tanımı). Bu durumda denklem (6.17) yeniden
düzenlenirse,
𝜕2𝑦(𝑥,𝑡) 𝑇 𝑦(𝑥 + 𝛿 ,𝑡) + 𝑦(𝑥 − 𝛿 ,𝑡) − 2𝑦(𝑥,𝑡) 𝑇𝜕2𝑦(𝑥,𝑡)
𝑥 𝑥
= [ ] =
𝜕𝑡2 𝜇⏟ ( 𝛿 𝑥) 2 𝜇 𝜕𝑥2
𝜕2𝑦(𝑥,𝑡)
= (6.22 𝑏𝑎ğ𝚤𝑛𝑡𝚤𝑠𝚤𝑛𝑑𝑎𝑛)
𝜕𝑥2
𝑇
eşitliği elde edilir. Bu ifade denklem (6.13) ile verilen dalga denklemidir (𝑣2 = ):
𝜇
𝜕2𝑦(𝑥,𝑡) 1 𝜕2𝑦(𝑥,𝑡)
= (6.23)
𝜕𝑥2 𝑣2 𝜕𝑡2
Bu sonuç kesikli sistemden sürekli sisteme geçişte aynı sonuca gittiğimizi gösterir.

6.3 DALGA DENKLEMİNİN DEĞİŞKENLERİNE AYIRA YÖNTEMİ
İLE ÇÖZÜMÜ
Kararlı titreşim olarak adlandırılan fiziksel duruma uyan
𝜕2𝑦(𝑥,𝑡) 1 𝜕2𝑦(𝑥,𝑡)
= (6.24)
𝜕𝑥2 𝑣2 𝜕𝑡2
denklemini değişkenlerine ayırma yöntemi ile çözebiliriz. 𝑦(𝑥,𝑡) fonksiyonunu
𝑦(𝑥,𝑡) = 𝑋(𝑥)𝑇(𝑡) (6.25)
6
şeklinde yazabiliriz. Burada 𝑋(𝑥) sadece x’e, 𝑇(𝑡) ise sadece t’ye bağlı
fonksiyonlar olduğuna dikkat ediniz. 𝑦(𝑥,𝑡) fonksiyonunun 𝑥'e ve 𝑡'ye göre ikinci
türevleri için
𝜕2𝑦 𝑑2𝑋(𝑥)
= 𝑇(𝑡) (6.26a)
𝜕𝑥2 𝑑𝑥2
𝜕2𝑦 𝑑2𝑇(𝑡)
= 𝑋(𝑥) (6.26b)
𝜕𝑡2 𝑑𝑡2
yazabiliriz. Bunları (6.24) denkleminde yerine yazarak (Bundan sonra kısa
gösterim amacıyla 𝑋(𝑥) yerine 𝑋 ve 𝑇(𝑡) yerine 𝑇 yazacağız),
𝑑2𝑋 1 𝑑2𝑇
𝑇 = 𝑋
𝑑𝑥2 𝑣2 𝑑𝑡2
veya
1𝑑2𝑇 1𝑑2𝑋
= 𝑣2 (6.27)
𝑇 𝑑𝑡2 𝑋𝑑𝑥2
elde ederiz. 𝑋(𝑥) ve𝑇(𝑡) fonksiyonları birbirinden bağımsızdır. Burada (6.27)
denkleminin her iki tarafını −𝜔2 gibi bir sayıya eşit alabiliriz. Çünkü X(x)
fonksiyonu x’e göre, T(t) fonksiyonu da t’ye periyodik fonksiyonlar olması
𝑑2𝑋(𝑥)
beklenir. Bu durumda X(x) ile onun ikinci türevi olan fonksiyonu zıt
𝑑𝑥2
işaretli olmalıdır. Bu nedenle 1𝑑2𝑋’nin işareti negatif olmak zorundadır. Benzer
𝑋𝑑𝑥2
şekilde 1𝑑2𝑇’nin de işareti negatif olacaktır.
𝑇𝑑𝑡2
𝑣2 𝑑2𝑋 1𝑑2𝑇
= −𝜔2 ve = −𝜔2
𝑋 𝑑𝑥2 𝑇 𝑑𝑡2
Buradan
𝑑2𝑋 𝜔 2
+ ( ) 𝑋 = 0 (6.28a)
𝑑𝑥2 𝑣
ve
𝑑2𝑇
+ 𝜔2𝑇 = 0 (28b)
𝑑𝑡2
yazabiliriz. Bu iki denklem BHH'in denklemine benzemektedir. Bu nedenle bu
denklemlerin çözümü için,
ω ω
𝑋(𝑥) = 𝑎sin 𝑥 + 𝑏𝑐𝑜𝑠 𝑥 (6.29a)
𝑣 𝑣
𝑇(𝑡) = 𝑐𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡 + 𝑑𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 (6.29b)
ifadelerini yazabiliriz. Bu durumda 𝑦(𝑥,𝑡) için
7
ω ω
𝑦(𝑥,𝑡) = X(x)T(t) = [𝑎sin 𝑥 + 𝑏𝑐𝑜𝑠 𝑥][𝑐𝑠𝑖𝑛ω𝑡 + 𝑑𝑐𝑜𝑠ω𝑡 ] (6.30)
𝑣 𝑣
çözümünü yazabiliriz. Burada sadece 𝑥'e bağlı olan 𝑋(𝑥)'e normal fonksiyon adı
verilir.
Şimdi iki ucun bağlı olması durumunu ele alalım. İki ucu sabit (bağlı) olan ip için
sınır koşullarının
i) 𝑥 = 0  𝑦(0,𝑡) = 0
ii) 𝑥 = 𝐿  𝑦(𝐿,𝑡) = 0
ile tanımlı olacağı açıktır.
i) koşulundan :
0 = 𝑏[𝑐𝑠𝑖𝑛ω𝑡 + 𝑑𝑐𝑜𝑠ω𝑡 ]
yazabiliriz. Bunun olması için gerek ve yeter koşul 𝑏 = 0 olmasıdır. Bu durumda
𝑦(𝑥,𝑡) fonksiyonu için
ω
𝑦(𝑥,𝑡) = (𝑎sin 𝑥)(𝑐𝑠𝑖𝑛ω𝑡 + 𝑑𝑐𝑜𝑠ω𝑡) (6.31)
𝑣
yazılabilir.
ii) koşulundan :
𝜔
0 = (𝑎sin 𝐿)(𝑐𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑡 + 𝑑𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡)
𝑣
yazılabilir. 𝑎 ≠ 0 olduğuna göre
𝜔
sin 𝐿 = 0
𝑣
olmalıdır. Buradan
𝜔
𝑛
𝐿 = 𝑛𝜋
𝑣
veya
𝑛𝜋𝑣
ω = , 𝑛 = 1,2,3,… (6.32a)
𝑛
𝐿
yazabiliriz. Bu, iki ucundan bağlı titreşen ipin doğal açısal frekanslarıdır. Doğal
frekanslar için ise
𝑛𝑣
𝑓 = , 𝑛 = 1,2,3,… (6.32b)
𝑛
2𝐿
ifadesi elde edilir.

8
Sürekli ip, sonsuz sayıda 𝑚 kütleli parçacığın kütlesiz ip üzerinde dizilmişi gibi
düşünülebilir. Bu nedenle iki ucundan bağlı titreşen ipin sonsuz sayıda titreşim
modu olacaktır. İki ucu bağlı gerilmiş ipte dalga denkleminin çözümü için
ω
𝑦 (𝑥,𝑡) = 𝑎sin 𝑛𝑥[𝑐𝑠𝑖𝑛ω 𝑡 + 𝑑𝑐𝑜𝑠ω 𝑡] (6.33)
𝑛 𝑛 𝑛
𝑣
yazılabilir. Burada a sabitini de köşeli parantezin içine atabiliriz, yani
𝜔
𝑛
𝑦 (𝑥,𝑡) = sin 𝑥[𝑎𝑐𝑠𝑖𝑛𝜔 𝑡 + 𝑎𝑑𝑐𝑜𝑠𝜔 𝑡]
𝑛 𝑛 𝑛
𝑣
yazabiliriz. Burada ac ve ad çarpımları da sabitlerdir, bunların yerine
𝐴 = 𝑎𝑑 𝑣𝑒 𝐵 = 𝑎𝑐
𝑛 𝑛
alabiliriz. Bu durumda çözüm için
ω
𝑦 (𝑥,𝑡) = sin 𝑛𝑥[𝐴 𝑐𝑜𝑠ω 𝑡 + 𝐵 𝑠𝑖𝑛ω 𝑡] (6.34a)
𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛
𝑣
ifadesini yazabiliriz.
𝜕𝑦(𝑥,𝑡)
Başlangıç koşulu olarak t=0 anında ipin durgun yani | = 0 olduğunu
𝜕𝑡 𝑡=0
kabul edersek,
𝜕𝑦(𝑥,𝑡) ω ω
𝑛 𝑛
| = sin 𝑥[−𝐴 ω 𝑠𝑖𝑛ω 𝑡 + 𝐵 ω 𝑐𝑜𝑠ω 𝑡]| = sin 𝑥[𝐵 ω ]
𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑡=0 𝑛 𝑛
𝜕𝑡 𝑣 𝑣
𝑡=0
= 0
elde edileceği açıktır. Bunun olması için 𝐵 =0 olmalıdır. Bu durumda
𝑛
ω
𝑦 (𝑥,𝑡) = 𝐴 sin 𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠ω 𝑡 (6.34b)
𝑛 𝑛 𝑛
𝑣
yazılabilir. İki ucundan bağlı ve başlangıçta durgun olan ipin titreşimlerini
tanımlayan genel çözüm,
∞
ω
𝑛
𝑦(𝑥,𝑡) = ∑𝐴 sin 𝑥𝑐𝑜𝑠ω 𝑡
𝑛 𝑛
𝑣
𝑛=1
veya
𝑦(𝑥,𝑡) = ∑∞ 𝐴 sin𝑛𝜋𝑥𝑐𝑜𝑠ω 𝑡 (𝑛 = 1,2,3,….), (6.35)
𝑛=1 𝑛 𝑛
𝐿

ifadesi ile verilir.

9
Bu ifade iki ucu bağlı titreşen ipin 𝑦(𝑥,𝑡) yer değiştirmesi çok sayıda doğal
modların üst üste gelmesi ile oluştuğunu söyler. Burada
1
⁄
𝑛𝜋𝑣 𝑛𝜋 𝑇 2
ω = = ( ) = 𝑛ω (6.36a)
𝑛 1
𝐿 𝐿 𝜇
ve
1
⁄
𝑛𝑣 𝑛 𝑇 2
𝑓 = = ( ) = 𝑛𝑓 (6.36b)
𝑛 1
2𝐿 2𝐿 𝜇
olduğunu tekrar hatırlamada fayda vardır. Eşitlik-6.36 ile verilen 𝜔 ve 𝑓
𝑛 𝑛
ifadelerinin, daha önce boyuna titreşim hareketini incelerken N’nin çok büyük
olduğu durum için bulduğumuz değerlerle aynı olduğuna dikkat ediniz.

Temel mod frekansı (𝑓 ), titreşen bir telin karakteristik bir notasını ve belli bir
1
kütle ve uzunluktaki bir telden belli bir nota elde etmek için gerekli gerilmenin (𝑇)
bir ölçüsünü verir.
Herhangi bir anda herhangi bir temel modda ipin şeklini tanımlamanın en kolay
yolu, ipin toplam uzunluğunun yarım sinüs eğrilerinin tam katlarına uyduğunun
farkına varılmasıdır. Böylece 𝑛 ’inci modla ilgili olarak dalga boyu 𝜆 ’i
𝑛
tanımlayabiliriz
2𝐿 λ
λ = veya 𝐿 = 𝑛 𝑛 (6.37)
𝑛
𝑛 2
𝜔 𝑥
Bu tanımlamadan sonra 𝑛 için
𝑣

𝜔 𝑥 2𝜋𝑥
𝑛 = (6.38)
𝑣 λ
𝑛
yazabiliriz. Bu durumda ipin n’inci modunun şeklini

2𝜋𝑥
𝑦 (𝑥,𝑡) = A sin 𝑐𝑜𝑠ω 𝑡 (6.39)
𝑛 n 𝑛
λ
𝑛
ifadesi ile tanımlayabiliriz. İki ucu bağlı bir ipte oluşan ilk üç titreşim modunun
davranışı için Şekil-6.1’e tekrar bakınız.

10