Boletín del Centro Naval

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Boletín del Centro Naval
Tomo XXXVIII Mayo y Junio de 1920 N.° 422
(Los autores son responsables del contenido de sus artículos.)
Determinación de la situación de un punto por
medio de visuales a otros puntos de
coordenadas conocidas.
SOLUCION GRAFICA—METODO DE HATT
He creído conveniente publicar el presente trabajo sobre el mé­
todo Hatt, porque después de un estudio minucioso y comparativo
con los otros empleados para el mismo fin, he encontrado que él es
de marcada utilidad. Este método es extensamente empleado en el
servicio hidrográfico de Francia. Balu, en su folleto "Determina-
tión du point par relévement, 1919", lo describe, analiza, y da nor­
mas prácticas para su empleo; de manera que sólo debe conside­
rarse como una traducción comentada del trabajo de Balu, adaptado
a notaciones que nos son más familiares, tales como la división se­
xagesimal del círculo, azimutes a contar del Norte, etc.
DESCRIPCION SUMARIA DEL METODO
El método es sólo una ampliación del conocido por “de Pothe-
not” o problema de la carta.
Cuando desde una estación, se mide el ángulo que forman las vi­
suales a dos puntos de coordenadas conocidas, queda determinado un
lugar geométrico de posiciones que es un círculo de situación, seme­
jante en un todo al conocido por círculo de alturas, cuando se ob­
serva la altura de un astro.
Si en lugar de tenerse visuales a dos puntos se las tiene a tres,
se dispondrá de dos (*) círculos de situación, cuyas intersecciones
(*) En realidad son tres los círculos de situación que pueden trazarse cuan­
do se conocen los ángulos formados por visuales a tres puntos, pero como siempre
el punto de intersección es común a los tres círculos, se toman dos de cualquiera
de los tres círculos para la determinación del punto.
2 BOLETÍN DEL CENTRO NAVAL
dan la posición ocupada por la estación de observación. Así presen­
tado se tiene el conocido en navegación como “problema de la carta”,
que se resuelve prácticamente con ayuda del Station Pointer, o cal­
co transparente, evitándose el trazado de los círculos de situación.
En hidrografía se aplica el mismo principio, pero haciéndose uso de
la solución analítica con la que se llega a la determinación de las
coordenadas del centro de estación. (Véase: Idrografía, Cattolica,
parte I, pág. 270) .
Cuando se tienen visuales a más de tres puntos, el problema es
menos sencillo por la indeterminación de las situaciones dadas por
los cortes de los círculos de situación, cuyo número es sien-
do n el número de puntos visados. En el caso de cuatro puntos vi­
sados, Cattolica (Idrografía, parte I, pág. 277), solo emplea tres de
ellos para la determinación analítica de las coordenadas y aprovecha
la visual al cuarto punto, solamente corno “visual de control’', o sea,
considera una de las visuales solamente como recurso para juzgar
que no se hayan cometido errores groseros en la determinación de
coordenadas;
El método Hatt es absolutamente general, y consideramos que
debe ser de aplicación exclusiva en Hidrografía, para casos en que se
tengan visuales a más de tres puntos. Es análogo al que se emplea
en navegación (método St. Hilaire) para la determinación del pun­
to por corte de círculos de altura, o de las tangentes a dicho círculo
que son las rectas de altura.
Hatt emplea un punto aproximado con el cual, en un gráfico a
gran escala, empleando elementos determinativos análogos al Δh y
azimut del método St. Hilaire, traza la recta de situación y deduce
las coordenas del punto de estación por corte de dichas rectas, o más
generalmente, como centro de gravedad del polígono que ellas deter­
minan .
Conviene naturalmente que el “punto aproximado” sea elegi­
do lo más próximo posible al verdadero y para determinación de sus
coordenadas es aconsejable hacer uso de un gráfico en escala grande
cuya construcción se facilita mucho si se prepara una plancheta cua­
driculada que podrá utilizarse para todos los casos que se presen­
ten. Puede naturalmente calcularse las coordenadas del punto apro­
ximado, resolviendo analíticamente el problema, eligiendo visuales
a tres de los puntos, pero este sistema aunque dará un punto aproxi­
mado que difiera muy poco del real es más largo que el sistema grá­
fico .
SITUACIÓN DE UN PUNTO POR VISUALES A OTROS 3
Plancheta cuadriculada y determinación del punto aproximado
(*). — Se cuadricula decimétricamente, con gran cuidado en tinta
china, una hoja de papel de dibujo de gran formato y este cuadri­
culado se subdivide en cuadrados de cinco centímetros. Se podrá
representar un kilómetro con los lados del gran cuadriculado, o del
pequeño y se tendrán las escalas respectivamente.
Cuando la estación y los puntos colimados estén comprendidos en un
perímetro pequeño, se podrán usar escalas mayores.
Los puntos visados serán situados en la plancheta por sus coor­
denadas con la mayor precisión, inscribiéndose el nombre en cada
uno de ellos.
Sobre una hoja de papel transparente de dimensiones suficientes, so
trazarán mediante un talco de precisión, o con la ayuda de una tabla
de tangentes naturales, lo que será más exacto, las direcciones de los
puntos colimados por un trazado fino, y deslizando el calco sobre la
plancheta cuadriculada se buscará la coincidencia de las direcciones
en los puntos respectivos, y cuando esta condición esté satisfecha se
fijará la posición del punto aproximado pinchando con una alfi­
ler el centro de estación. Se determinará en seguida gráficamente
las coordenadas de este punto, las que se escribirán en la parte alta
y derecha de la planilla de cálculos agregada al final. Si por mala
determinación, las coordenadas del punto aproximado difieren mu­
cho de las del punto verdadero, que luego se deduzca, será necesario
rehacer el cálculo tomando como nuevo punto aproximado el punto
más exacto deducido del primer cálculo y construcción gráfica. Se
ve, pues, cuanta atención debe prestarse al trazado de direcciones y
a la deducción do las coordenadas del punto aproximado.
TEORIA
Por dos cualesquiera de los puntos visados A y A y por el
1 2
punto de estación P , bagamos pasar una circunferencia (fig. 1),
θ
prolonguemos una de las visuales A P hasta el punto P (punto
1 θ a
aproximado), supuesto situado sobre esta prolongación.
Por el supuesto P tracemos la tangente RR’ a la circunferen­
e
cia A A P y por el punto P tracemos la tangente QQ’ a la
1 2 θ a
circunferencia determinada por los puntos A A P.
1 2 a
Podemos admitir que las tangentes RR’ y QQ’ son paralelas, por
la pequeñez de PP relativamente a las distancias a y a .
a θ 1 2
(*) Pnede usarse papel milimetrado exacto.
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Tracemos desde el P una perpendicular P D a A A o a su
θ θ 1 2
prolongación, y del punto P la perpendicular PH a RR’ que tam­
a a
bién lo será a QQ’; unamos el punto P con el A . El ángulo P A P
a 2 θ 2 a
que lo designaremos por ε, representa la diferencia entre el ángulo
observado en P y el ángulo en P que luego se calculará.
θ a
Los elementos determinativos que es necesario conocer son: el
valor del ángulo ε ya definido, la longitud Δh, distancia entre las
paralelas que pasan por el punto aproximado P y el punto exacto o
a
de estación P , y la orientación de la tangente RR’. Estos dos últi­
θ
mos elementos son utilizados para el trazado de la recta de situación
que por intersección con las otras rectas correspondientes a cada par
de puntos visados determinan el polígono o punto de situación ver
dadero.
Nota.—Cuando en el cálculo se necesiten a y a ; como no co­
1 2
nocemos P, tomaremos esas distancias a partir de P. Con ello no
e a
cometeremos error sensible, por cuanto el ρ (distancia entre P y
a
P ) es muy pequeño con relación a a y a ; variación que en na­
θ 1 2
da influye en la magnitud del Δh.
SITUACIÓN DE UN PUNTO POR VISUALES A OTROS 5
Determinación del Δh. — Los ángulos A A P y A P R son
1 2 θ 1 θ
iguales por inscripto y semi-inscripto en el mismo arco; y A P R
1 θ
es igual al HP P por opuesto por el vértice.
θ a
De los triángulos rectángulos P HP y P A D, semejantes por
θ a θ 2
tener un ángulo igual se deduce:
Del triángulo A A P , y del tri­
1 2 θ
ángulo DA P : P D = a sen A ; reemplazando sen A por su
2 θ θ 1 2 2
valor tendremos:
Sustituyendo en la expresión (1) P D por su valor (3), tendre­
θ
mos:
En el triángulo P PA
θ a 2
y substituyendo en (4)
Como el ángulo o difiere muy poco del ángulo es sensi-
blemente igual a la unidad, y se tiene:
Orientación de la tangente.—La orientación de la tangente, es
igual a la suma de las orientaciones de las direcciones a los dos pun­
tos, menos la orientación del segmento base (fig. 2) .
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orient. T = orient. a + orient. a — orient. S.
1 2
En la figura se ve que son iguales los ángulos A P T y A A P
1 θ 1 2 θ
por semi-inscripto e inscripto respectivamente en el mismo arco; de­
signémoslo por ȣ
Tomando orientaciones desde una dirección cualquiera N (valo­
res menores que 180°), la figura dá:
vértice P Orient. T. = Orient. a — γ
θ 2
» A Orient. S. = Orient. a + γ
2 1
de donde se deduce;
Orient. T. = Orient. a + Orient. a — Orient. S
1 2
NATURALEZA DE LOS CÁLCULOS A EFECTUAR
Para la resolución del problema, o trazado de las rectas de
situación, deberemos pues, para cada par de puntos elegidos:
SITUACIÓN DE UN PUNTO POR VISUAL.ES A OTROS 7
1.° Calcular el valor del ángulo, diferencia entre el ángulo ob­
servado (o) en la estación, y el calculado (c) del punto aproximado.
2.° Conocido este valor, aplicar la fórmula
que da Δh, o distancia entre el punto aproximado y la tangente que
pasa por el punto exacto P .
θ
3.° Obtener la orient. de dicha tangente por la fórmula.
Orient. T. = orient. a + orient. a — orient. S
1 2
El punto de estación se encontrará teóricamente en la intersec­
ción de todas estas tangentes o rectas de situación y prácticamente
en el centro de gravedad del pequeño polígono que ellas forman.
NOTACIONES EMPLEADAS
L, —Valores de las direcciones a cada punto colimado deducidos
en el terreno, contadas de izquierda a derecha a partir de una direc­
ción origen.
P , — Punto exacto o adoptado después de trazadas las rectas
θ
de situación.
X Y, — Coordenadas de P
θ
P, — Punto aproximado.
a
x y , — Coordenadas de P
0 0 a
x y, — Coordenadas del punto visado.
(x — x ). (y — y ), coordenadas relativas del punto co­
0 0
limado con relación al punto aproximado. No omitir el signo + o —
θ, Valor angular absoluto (menor que 90° y sin signo) dado
por la fórmula:
V’, — Orientaciones de las visuales que parten de P hasta los
a
puntos colimados. Se deducen con los valores de θ según los signos
+ o — de (x—x ) e (y—y ) y con ayuda del círculo agregado en la
0 0
hoja de cálculos. El objeto del círculo es evitar la comisión de po­
sibles errores, si se dedujeran directamente los valores del V’ por la
fórmula algebraica que da el valor de θ.
V' V' las V’ correspondientes a cada uno de los dos puntos
1 2
que forman el segmento que se considera.
V, — Orientaciones de las visuales llevadas de P a cada punto
θ
colimado. Son obtenidas sumando algebraicamente a las V’ las co­
rrecciones α deducidas en el cuadro IV de la hoja de cálculos.
8 BOLETÍN DEL CENTRO NAVAL
V —, Valor angular que habrá que sumar a las L para conver­
o
tir las direcciones en orientaciones.
(V adoptado) — Es el valor medio deducido de la compara­
o
ción de todos los V
a, — Distancias (calculadas u obtenidas gráficamente) desde P,
a
hasta cada punto colimado.
a a , — Las a correspondientes a cada uno de los dos puntos
t 2
que forman el segmento que se considera.
d, — Distancias desde P a cada punto colimado,
θ
o, — Angulo observado entre dos puntos que constituyen seg­
mento ; se le obtiene por diferencia de las direcciones L correspon­
dientes.
c, — Angulo calculado, obtenido por la diferencia de los V’ co­
rrespondientes .
o-c = ε, — diferencia entre el ángulo observado y el calculado,
expresado en minutos y fracción decimal .
S, — Longitud calculada u obtenida gráficamente que une los
dos puntos visados que constituyen el segmento.
VS, — Orientaciones de los segmentos que unen dos a dos los
puntos colimados. Su valor se saca del gráfico en la plancheta cua­
driculada y debe tomársele siempre menor que 180°.
VT, — Orientaciones de las tangentes y de las rectas de situa­
ción que les son paralelas. Su valor se deduce de la expresión
VT = V' + V' — VS y debe ser siempre menor que 180°, por lo
1 2
que debe restársele 180° si excede de esa cantidad.
Δh, — Distancias desde P hasta cada recta de situación,
a
s, — Sensibilidad lineal; variación en por minuto de diferen­
cia entre o y c.
ρ, distancia entre P y P ; se la obtiene del gráfico,
a θ
v, orientación de ρ; se la determina a transportador en el grá­
fico, lo más exactamente posible.
α, corrección angular a sumar a las orientaciones V’ para ob­
tener las orientaciones V.
PREPARACION DE LOS CALCULOS
Datos iniciales. — En la hoja de cálculos del modelo agregado
se escribirá:
a) en la parte superior el nombre de la estación, fecha, etc.

SITUACIÓN DE UN PUNTO POR VISUALES A OTROS 9
b) en la parte superior izquierda, número de lecturas efec­
tuadas, procedimiento empleado en la medición de los án­
gulos, la naturaleza del instrumento utilizado y el valor
de una división del nonio.
c) en la primer columna del cuadro I; el nombre y la natura­
leza de los puntos visados, en orden de izquierda a dere­
cha a partir de la dirección origen.
d) en la segunda columna del cuadro I, el valor de las direc­
ciones .
e) en la parte superior cuadro segundo, de izquierda a dere­
cha, el nombre de los puntos visados en el mismo orden de
la columna primera del cuadro I.
f) sobre la línea x del cuadro II, las abscisas de los puntos co­
limados.
g) sobre la línea y, del segundo cuadro: las ordenadas de los
puntos colimados.
h) en la línea x del cuadro II, se repetirá el valor de la ab-
0
cisa del P; y en la línea y el valor de la ordenada del P.
a 0 a
CROQUIS DE SITUACION
TRAZADO Y ELECCIÓN DE SEGMENTOS.
En el cuadro ad hoc de la hoja de cálculo se hará un croquis en
escala adecuada, situando por sus coordenadas los puntos colimados
y el P indicando el nombre o distintivo de cada punto y marcando
a
con un doble círculo el P.
a
En el croquis se unirán dos a dos los puntos visados, eligiendo
aquellos cuyas visuales formen ángulos no menores de 30°; estos
segmentos son cuerdas de la circunferencia que pasa respectivamen­
te por esos dos puntos y por el aproximado.
Se numerará cada uno de los segmentos y se inscribirá en las
cabezas de columna del cuadro III y bajo el número correspondien­
te al segmento, los nombres de los dos puntos que lo constituyen.
Cuando uno de los puntos visados está muy próximo a P (y
a
por consiguiente a P ), comparativamente a los otros que con él
θ
forman segmento, todas las tangentes relativas a estos segmentos
serán sensiblemente paralelas en razón de la pequeñez del arco com-
prendido entre P y el colimado cercano, por cuya causa deberá evi­
a
tarse emplear más de uno de los segmentos así constituidos.
E l número de segmentos posibles es igual si el nú-
mero de puntos visados n es grande no es necesario utilizar todos los
segmentos; bastará elegir una cantidad variable de 6 a 12, eligiendo