Bir-Yönlü ANOVA

55 Pages·2011·0.62 MB·Turkish

Giri‡
MatematikselModel
ModelVarsay(cid:25)mlar(cid:25)
ParametreTahmini
HipotezTesti
ANOVATablosu
BeklenenKarelerOrtalamas(cid:25)
DengeliOlmayanBir-Y(cid:246)nl(cid:252)ANOVA
Bir-Y(cid:246)nl(cid:252)ANOVAi(cid:231)inKay(cid:25)pG(cid:246)zlemler
Bir-Y(cid:246)nl(cid:252) ANOVA
(Tamamen Rasgele Tasar(cid:25)m)
(cid:157)statistiksel Deney Tasar(cid:25)m(cid:25)
Birdal (cid:147)eno§lu
(cid:147)(cid:252)kr(cid:252) Ac(cid:25)ta‡
(cid:157)statistikselDeneyTasar(cid:25)m(cid:25) (cid:147)eno§lu&Ac(cid:25)ta‡
Giri‡
MatematikselModel
ModelVarsay(cid:25)mlar(cid:25)
ParametreTahmini
HipotezTesti
ANOVATablosu
BeklenenKarelerOrtalamas(cid:25)
DengeliOlmayanBir-Y(cid:246)nl(cid:252)ANOVA
Bir-Y(cid:246)nl(cid:252)ANOVAi(cid:231)inKay(cid:25)pG(cid:246)zlemler
(cid:157)(cid:231)indekiler
1 Giri‡
2 Matematiksel Model
3 Model Varsay(cid:25)mlar(cid:25)
4 Parametre Tahmini
LS Tahmin Edicilerinin (cid:214)zellikleri
5 Hipotez Testi
Genel Kareler Toplam(cid:25)n(cid:25)n Par(cid:231)alan(cid:25)‡(cid:25)
(cid:157)ndirgenmi‡ Model-Tam Model Yakla‡(cid:25)m(cid:25)
6 ANOVA Tablosu
7 Beklenen Kareler Ortalamas(cid:25)
Beklenen Deneme Kareler Ortalamas(cid:25)
Beklenen Hata Kareler Ortalamas(cid:25)
8 Dengeli Olmayan Bir-Y(cid:246)nl(cid:252) ANOVA
9 Bir-Y(cid:246)nl(cid:252) ANOVA i(cid:231)in Kay(cid:25)p G(cid:246)zlemler
(cid:157)statistikselDeneyTasar(cid:25)m(cid:25) (cid:147)eno§lu&Ac(cid:25)ta‡
Giri‡
MatematikselModel
ModelVarsay(cid:25)mlar(cid:25)
ParametreTahmini
HipotezTesti
ANOVATablosu
BeklenenKarelerOrtalamas(cid:25)
DengeliOlmayanBir-Y(cid:246)nl(cid:252)ANOVA
Bir-Y(cid:246)nl(cid:252)ANOVAi(cid:231)inKay(cid:25)pG(cid:246)zlemler
Varyans analizi, (cid:252)(cid:231) ya da daha fazla grup ortalamas(cid:25) aras(cid:25)nda istatistiksel
olarak farkl(cid:25)l(cid:25)k olup olmad(cid:25)§(cid:25)n(cid:25) test etmek amac(cid:25)yla kullan(cid:25)lan bir
y(cid:246)ntemdir. Grup ortalamalar(cid:25)n(cid:25)n kar‡(cid:25)la‡t(cid:25)r(cid:25)lmas(cid:25), deneyin sonunda ba§(cid:25)ml(cid:25)
de§i‡kende meydana gelen de§i‡kenli§in ne kadar(cid:25)n(cid:25)n fakt(cid:246)r(ler)den, ne
kadar(cid:25)n(cid:25)n hatadan, v.b. kaynakland(cid:25)§(cid:25)n(cid:25)n belirlenmesi, bir ba‡ka deyi‡le
toplam varyans(cid:25)n bile‡enlerine ayr(cid:25)lmas(cid:25) yard(cid:25)m(cid:25)yla yap(cid:25)l(cid:25)r.
Bir-y(cid:246)nl(cid:252) ANOVA (one-way ANOVA), ANOVA n(cid:25)n (cid:246)zel bir halidir ve
tasar(cid:25)mlar i(cid:231)inde en basit olan(cid:25)d(cid:25)r. Etkisi ara‡t(cid:25)r(cid:25)lmak istenen yaln(cid:25)z "bir"
tane fakt(cid:246)r (ba§(cid:25)ms(cid:25)z de§i‡ken) oldu§unda kullan(cid:25)ld(cid:25)§(cid:25)ndan dolay(cid:25),
bir-fakt(cid:246)rl(cid:252) ANOVA (one-factor ANOVA) olarak da adland(cid:25)r(cid:25)l(cid:25)r.
(cid:157)statistikselDeneyTasar(cid:25)m(cid:25) (cid:147)eno§lu&Ac(cid:25)ta‡
Giri‡
MatematikselModel
ModelVarsay(cid:25)mlar(cid:25)
ParametreTahmini
HipotezTesti
ANOVATablosu
BeklenenKarelerOrtalamas(cid:25)
DengeliOlmayanBir-Y(cid:246)nl(cid:252)ANOVA
Bir-Y(cid:246)nl(cid:252)ANOVAi(cid:231)inKay(cid:25)pG(cid:246)zlemler
Bir-y(cid:246)nl(cid:252) ANOVA, deney birimleri homojen oldu§unda kullan(cid:25)lmas(cid:25)
(cid:246)nerilen en uygun tasar(cid:25)md(cid:25)r. Buradaki homojen s(cid:246)zc(cid:252)§(cid:252) "m(cid:252)mk(cid:252)n
oldu§unca benzer" anlam(cid:25)nda kullan(cid:25)lmaktad(cid:25)r, (cid:231)(cid:252)nk(cid:252) do§ada ayn(cid:25)/(cid:246)zde‡
deney birimleri bulunmaz, bkz. Hinkelmann & Kempthorne (1994).
Deney birimleri aras(cid:25)ndaki bu k(cid:252)(cid:231)(cid:252)k farkl(cid:25)l(cid:25)klar "rasgele" farkl(cid:25)l(cid:25)klar olarak
adland(cid:25)r(cid:25)l(cid:25)r. Deney birimleri homojen olarak kabul edildi§i i(cid:231)in
rasgelele‡tirme (cid:252)zerinde hi(cid:231)bir k(cid:25)s(cid:25)t yoktur. Bu nedenle bir(cid:231)ok kaynakta
bu tasar(cid:25)ma tamamen rasgele tasar(cid:25)m (completely randomized design)
ad(cid:25) da verilir.
(cid:157)statistikselDeneyTasar(cid:25)m(cid:25) (cid:147)eno§lu&Ac(cid:25)ta‡
Giri‡
MatematikselModel
ModelVarsay(cid:25)mlar(cid:25)
ParametreTahmini
HipotezTesti
ANOVATablosu
BeklenenKarelerOrtalamas(cid:25)
DengeliOlmayanBir-Y(cid:246)nl(cid:252)ANOVA
Bir-Y(cid:246)nl(cid:252)ANOVAi(cid:231)inKay(cid:25)pG(cid:246)zlemler
Bir-y(cid:246)nl(cid:252) ANOVA da rasgelele‡tirme i‡lemi iki a‡amada ger(cid:231)ekle‡tirilir. (cid:157)lk
a‡amada parsellere 1 den 15 e kadar numara verilir, ikinci a‡amada S1,
S2 ve S3 denemeleri rasgele olarak bu parsellere atan(cid:25)r/uygulan(cid:25)r.
Rasgelele‡tirme i‡lemi sonucu a‡a§(cid:25)daki tabloya benzer bir sonu(cid:231) elde
edilebilir.
S1(1) S1(2) S3(3) S2(4) S2(5)
S3(6) S3(7) S2(8) S1(9) S3(10)
S2(11) S2(12) S1(13) S1(14) S3(15)
Bu tablodan da anla‡(cid:25)laca§(cid:25) gibi S1 denemesi 1, 2, 9, 13, 14 numaral(cid:25), S2
denemesi 4, 5, 8, 11, 12 numaral(cid:25) ve S3 denemesi de 3, 6, 7, 10 ve 15
numaral(cid:25) parsellere atanm(cid:25)‡t(cid:25)r/uygulanm(cid:25)‡t(cid:25)r.
(cid:157)statistikselDeneyTasar(cid:25)m(cid:25) (cid:147)eno§lu&Ac(cid:25)ta‡
Giri‡
MatematikselModel
ModelVarsay(cid:25)mlar(cid:25)
ParametreTahmini
HipotezTesti
ANOVATablosu
BeklenenKarelerOrtalamas(cid:25)
DengeliOlmayanBir-Y(cid:246)nl(cid:252)ANOVA
Bir-Y(cid:246)nl(cid:252)ANOVAi(cid:231)inKay(cid:25)pG(cid:246)zlemler
Bir-y(cid:246)nl(cid:252) ANOVA i(cid:231)in matematiksel model
y =µ+τ +ε , i =1,2,··· ,a; j =1,2,···n (1)
ij i ij
‡eklinde ifade edilir. Burada,
y , i−inci denemedeki j−inci g(cid:246)zlem de§erini,
ij
µ, genel ortalamay(cid:25),
τ , i−inci denemenin etkisini ve
i
ε , rasgele hata terimlerini
ij
g(cid:246)sterir.
a
(cid:88)
(1) modeli sabit etkili bir modeldir, bir ba‡ka deyi‡le τ =0 oldu§u
i
i=1
varsay(cid:25)l(cid:25)r.
(cid:157)statistikselDeneyTasar(cid:25)m(cid:25) (cid:147)eno§lu&Ac(cid:25)ta‡
Giri‡
MatematikselModel
ModelVarsay(cid:25)mlar(cid:25)
ParametreTahmini
HipotezTesti
ANOVATablosu
BeklenenKarelerOrtalamas(cid:25)
DengeliOlmayanBir-Y(cid:246)nl(cid:252)ANOVA
Bir-Y(cid:246)nl(cid:252)ANOVAi(cid:231)inKay(cid:25)pG(cid:246)zlemler
Bir-Y(cid:246)nl(cid:252) ANOVA modeli i(cid:231)in veri yap(cid:25)s(cid:25) a‡a§(cid:25)da g(cid:246)sterildi§i gibidir.
G(cid:246)zlemler
Denemeler 1 2 ··· n Toplam Ortalama
1 y11 y12 ··· y1n y1· y¯1·
2 y21 y22 ··· y2n y2· y¯2·
. . . . . .
. . . . . .
. . . ··· . . .
a ya1 ya2 ··· yan ya· y¯a·
y y¯
·· ··
(cid:157)statistikselDeneyTasar(cid:25)m(cid:25) (cid:147)eno§lu&Ac(cid:25)ta‡
Giri‡
MatematikselModel
ModelVarsay(cid:25)mlar(cid:25)
ParametreTahmini
HipotezTesti
ANOVATablosu
BeklenenKarelerOrtalamas(cid:25)
DengeliOlmayanBir-Y(cid:246)nl(cid:252)ANOVA
Bir-Y(cid:246)nl(cid:252)ANOVAi(cid:231)inKay(cid:25)pG(cid:246)zlemler
Burada,
n
yi· =(cid:88)yij ve y¯i· = yi· , i =1,2,··· ,a (2)
n
j=1
s(cid:25)ras(cid:25)yla i−inci denemedeki g(cid:246)zlemlerin toplam(cid:25)n(cid:25) ve ortalamas(cid:25)n(cid:25) g(cid:246)sterir.
Ayr(cid:25)ca, N =an toplam g(cid:246)zlem say(cid:25)s(cid:25)n(cid:25) g(cid:246)stermek (cid:252)zere;
a n
y·· =(cid:88)(cid:88)yij ve y¯·· = y·· (3)
N
i=1 j=1
s(cid:25)ras(cid:25)yla t(cid:252)m g(cid:246)zlemlerin toplam(cid:25) ve t(cid:252)m g(cid:246)zlemlerin ortalamas(cid:25) olarak
tan(cid:25)mlan(cid:25)r.
(cid:157)statistikselDeneyTasar(cid:25)m(cid:25) (cid:147)eno§lu&Ac(cid:25)ta‡
Giri‡
MatematikselModel
ModelVarsay(cid:25)mlar(cid:25)
ParametreTahmini
HipotezTesti
ANOVATablosu
BeklenenKarelerOrtalamas(cid:25)
DengeliOlmayanBir-Y(cid:246)nl(cid:252)ANOVA
Bir-Y(cid:246)nl(cid:252)ANOVAi(cid:231)inKay(cid:25)pG(cid:246)zlemler
ANOVA tekni§i kullan(cid:25)larak yap(cid:25)lan analizler baz(cid:25) temel varsay(cid:25)mlara
dayan(cid:25)r. Bu varsay(cid:25)mlar a‡a§(cid:25)da a(cid:231)(cid:25)klanm(cid:25)‡t(cid:25)r.
1. Varsay(cid:25)m ε hata terimleri 0 ortalama ve σ2 varyans ile normal
ij
da§(cid:25)l(cid:25)ma sahiptir.
2. Varsay(cid:25)m Hata terimlerinin varyanslar(cid:25) homojendir.
3. Varsay(cid:25)m Hata terimleri birbirinden ba§(cid:25)ms(cid:25)zd(cid:25)r.
Bu (cid:252)(cid:231) varsay(cid:25)m k(cid:25)saca
ε ∼NID(0,σ2) (4)
ij
‡eklinde g(cid:246)sterilir.
(cid:157)statistikselDeneyTasar(cid:25)m(cid:25) (cid:147)eno§lu&Ac(cid:25)ta‡
Giri‡
MatematikselModel
ModelVarsay(cid:25)mlar(cid:25)
ParametreTahmini
HipotezTesti LSTahminEdicilerinin(cid:214)zellikleri
ANOVATablosu
BeklenenKarelerOrtalamas(cid:25)
DengeliOlmayanBir-Y(cid:246)nl(cid:252)ANOVA
Bir-Y(cid:246)nl(cid:252)ANOVAi(cid:231)inKay(cid:25)pG(cid:246)zlemler
Bir parametrenin LS tahmin edicisi, modeldeki hata terimlerin kareleri
toplam(cid:25)n(cid:25) bu parametreye g(cid:246)re minimum yapan de§erdir. (1) modeli i(cid:231)in
hata kareler toplam(cid:25) S ile g(cid:246)sterilsin; bir ba‡ka ifade ile
a n a n
S =(cid:88)(cid:88)ε2 =(cid:88)(cid:88)(y −µ−τ )2 (5)
ij ij i
i=1 j=1 i=1 j=1
olsun. Bu durumda, model parametrelerinin LS tahmin edicileri
a n
∂S (cid:88)(cid:88)
= (−2) (y −µ−τ )=0,
∂µ ij i
i=1 j=1 (6)
n
∂S (cid:88)
= (−2) (y −µ−τ )=0
∂τ ij i
i j=1
denklem sisteminin (cid:231)(cid:246)z(cid:252)m(cid:252)d(cid:252)r.
(cid:157)statistikselDeneyTasar(cid:25)m(cid:25) (cid:147)eno§lu&Ac(cid:25)ta‡