Bigalke/Köhler: MathematikHessen - Ausgabe 2016 · Leistungskurs 1. Halbjahr

324 Pages·39.569 MB·German

by  Dr. Anton Bigalke, Dr. Norbert Köhler, Dr. Gabriele Ledworuski, Dr. Horst Kuschnerow

Hessen
Gymnasiale Oberstufe
Q1
Qualifikationsphase
Leistungskurs

Hessen
Gymnasiale Oberstufe
Qualifikationsphase
Q 1
Leistungskurs
Herausgegeben von
Dr. Anton Bigalke Dr. Norbert Köhler
Erarbeitet von
Dr. Anton Bigalke
Dr. Norbert Köhler
Dr. Gabriele Ledworuski
Dr. Horst Kuschnerow
unter Mitarbeit der Verlagsredaktion
und Beratung von
Clemens Groß, Fulda
Redaktion: Dr. Ulf Rothkirch
Layout: Klein und Halm Grafikdesign, Berlin
Bildrecherche: Dieter Ruhmke
Grafik: Dr. Anton Bigalke, Waldmichelbach
Illustration: Detlev Schüler †, Berlin
Umschlaggestaltung: Klein und Halm Grafikdesign, Hans Herschelmann, Berlin
Technische Umsetzung: CMS – Cross Media Solutions GmbH, Würzburg
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1. Auflage, 3. Druck 2021
Alle Drucke dieser Auflage sind inhaltlich unverändert
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Druck: AZ Druck und Datentechnik GmbH, Kempten
ISBN 978-3-06-008525-5
Inhalt Wiederholung
Basis
Basis/Erweiterung
Vertiefung
Vorwort . ..................... 4 8. Exponentielle Prozesse ..... 176
9. Umkehrfunktionen. ........ 184
I. Einführung in die 10. Die natürliche
Integralrechnung Logarithmusfunktion. ...... 188
1. Die Streifenmethode des 11. Approximation von
Archimedes .............. 14 Funktionen. .............. 196
2. Die Flächeninhaltsfunktion . . 18
3. Stammfunktion und IV. Funktionenscharen
unbestimmtes Integral ...... 26 1. Ganzrationale
4. Das bestimmte Integral ..... 33 Funktionenscharen. ........ 212
2. Exkurs: Nicht-ganzrationale
II. Anwendungen der Funktionenscharen. ........ 225
Integralrechnung 3. Anwendungen und weitere
1. Bestimmte Integrale und Übungen. ................ 227
Flächeninhalte ............ 48 4. Weitere Funktionenscharen
2. Flächen unter und Ortskurven ........... 231
Funktionsgraphen ......... 50
3. Flächen zwischen V. Approximation
Funktionsgraphen ......... 62 1. Interpolationsverfahren ..... 238
4. Rekonstruktion von 2. Die lineare Regression ...... 249
Beständen. . . . . . . . . . . . . . . . 73 3. Die quadratische Regression . 259
5. Das Volumen von 4. Die exponentielle
Rotationskörpern. ......... 88 Regression. .............. 263
6. Uneigentliche Integrale ..... 103
VI. Weitere Anwendungen
III. Vertiefung der Differential- der Integralrechnung
und Integralrechnung 1. Numerische
1. Wiederholung: Regeln aus der Integrationsverfahren ....... 272
Differentialrechnung ....... 116 2. Die Bogenlänge einer Kurve . 285
2. Ganzrationale und
trigonometrische Funktionen . 117 VII. Komplexe Aufgaben
3. Exponentialfunktionen. . . . . . 132 1. Ganzrationale Funktionen ... 296
4. Untersuchungen von 2. Exponential- und
Exponentialfunktionen. . . . . . 141 Logarithmusfunktionen. .... 299
5. Anwendungen von 3. Trigonometrische Funktionen 307
Exponentialfunktionen. . . . . . 149
6. Exponentielle Wachstums- und Testlösungen .................. 311
Zerfallsprozesse ........... 153 Stichwortverzeichnis. ........... 319
7. Modellierung mit Bildnachweis .................. 320
Exponentialfunktionen. . . . . . 167
4 Vorwort
Vorwort
Kerncurriculum
In diesem Buch wird das Kerncurriculum für das Fach Mathematik in der Qualifikationsphase
des Landes Hessen konsequent umgesetzt.
In erheblichem Umfang sind Anwendungsaufgaben und Modellierungen berücksichtigt, auch
perspektivisch im Hinblick auf das Zentralabitur. Allerdings muss man die ohnehin knappe Zeit
gut einteilen, da Anwendungen und Modellierungen erfahrungsgemäß zeitaufwendig sind.
Druckformat
Das Buch besitzt ein weitgehend zweispaltiges Druckformat, was die Übersichtlichkeit deutlich
erhöht und die Lesbarkeit erleichtert.
Lehrtexte und Lösungsstrukturen sind auf der linken Seitenhälfte angeordnet, während Beweis-
details, Rechnungen und Skizzen in der Regel rechts platziert sind.
Beispiele
Wichtige Methoden und Begriffe werden auf der Basis anwendungsnaher, vollständig durchge-
rechneter Beispiele eingeführt, die das Verständnis des klar strukturierten Lehrtextes unterstützen.
Diese Beispiele können auf vielfältige Weise als Grundlage des Unterrichtsgesprächs eingesetzt
werden. Im Folgenden werden einige Möglichkeiten skizziert:
• Die Aufgabenstellung eines Beispiels wird problemorientiert vorgetragen. Die Lösung wird im
Unterrichtsgespräch oder in Stillarbeit entwickelt, wobei die Schülerbücher geschlossen blei-
ben. Im Anschluss kann die erarbeitete Lösung mit der im Buch dargestellten Lösung verglichen
werden.
• Die Schüler lesen ein Beispiel und die zugehörige Musterlösung. Anschließend bearbeiten sie
eine an das Beispiel anschließende Übung in Einzel- oder Partnerarbeit. Diese Vorgehensweise
ist auch für Hausaufgaben gut geeignet.
• Ein Schüler wird beauftragt, ein Beispiel zu Hause durchzuarbeiten und als Kurzreferat zur
Einführung eines neuen Begriffs oder Rechenverfahrens im Unterricht vorzutragen.
Übungen
Im Anschluss an die durchgerechneten Beispiele werden exakt passende Übungen angeboten.
• Diese Übungsaufgaben können mit Vorrang in Stillarbeitsphasen als Kontrolle eingesetzt wer-
den. Dabei können die Schüler sich am vorangegangenen Unterrichtsgespräch orientieren.
• Eine weitere Möglichkeit: Die Schüler erhalten den Auftrag, eine Übung zu lösen, wobei sie
mit dem Lehrbuch arbeiten sollen, indem sie sich am Lehrtext oder an den Musterlösungen der
Beispiele orientieren, die vor der Übung angeordnet sind.
• Weitere Übungsaufgaben auf zusammenfassenden Übungsseiten finden sich am Ende der meis-
ten Abschnitte. Sie sind für Hausaufgaben, Wiederholungen und Vertiefungen geeignet.
• In erheblichem Umfang sind die Formate des Zentralabiturs berücksichtigt, vor allem auch
solche mit einfachen Anwendungsbezügen und mit Modellierungen. Allerdings muss man sich
die ohnehin knappe Zeit gut einteilen, da Anwendungsaufgaben zeitaufwendig sind.
Vorwort 5
Überblick, Test und mathematische Streifzüge
Am Ende eines jeden der Themenfelder sind in der Regel in einem Überblick die wichtigsten
mathematischen Regeln, Formeln und Verfahren in knapper Form zusammengefasst.
Auf der letzten Seite eines Themenfeldes findet man einen Test zum Standardstoff, der vor allem
auch zur Selbstkontrolle vorgesehen ist.
In der Regel ist ein solcher Test zu umfangreich, um in einem Zug durchgerechnet zu werden. Im
Normalfall wird eine Zweiteilung angemessen sein.
Mehrere Themenfelder enthalten einen mathematischen Streifzug, der besonders interessierten
Schülern Vertiefungsmöglichkeiten und weitere Informationen bietet.
Verwendung von digitalen Mathematikwerkzeugen (Rechnern)
Als Rechenhilfsmittel sind Taschenrechner mit erweiterter Funktionalität (WTR/ETR), aber auch
Computerprogramme und Computeralgebrasysteme (CAS) vorgesehen. Diese Geräte stellen zeit-
sparende und reichweitevergrößernde Hilfsmittel dar, welche die wichtigen manuellen Techniken
ergänzen, aber nicht ersetzen sollen.
Insbesondere können die Rechner verwendet werden, um zeitliche Freiräume für das Lösen von
Anwendungs- und Modellierungsproblemen zu schaffen, indem sie das Lösen von Gleichungen
und Gleichungssystemen und das Berechnen von Ableitungen an einer Stelle und von bestimmten
Integralen unterstützen und vereinfachen.
Die Rechner bieten in diesen Feldern auch eine effektive Möglichkeit zur Kontrolle manueller
Ergebnisse. Unabdingbar sind sie im Bereich der Approximation von Funktionen, da dort ein rein
manuelles Vorgehen insgesamt zu zeitraubend wäre.
Bei der Verwendung von Rechnern soll strikt auf eine angemessene Dokumentation des Lösungs­
wegs in Form schriftlicher Erläuterungen geachtet werden.
Dabei sollen die korrekten mathematischen Schreibweisen und Symbole verwendet werden.
Rechnerspezifische Schreibweisen sollen vermieden werden.
Die meisten Aufgabenstellungen im Buch sind so ausgelegt, dass sie sowohl manuell als auch mit
Rechnerhilfe bewältigt werden können, mitAusnahme von bestimmten Regressionen und Bogen-
längen.
Operatoren
Die Aufgabenstellungen in Übungen wurden in erheblichem Maße mit Hilfe von Operatoren
formuliert. Es wurden aber auch offener formulierte Fragestellungen einbezogen, um die erfor-
derliche Flexibilität der Schüler im Umgang mit Aufgabenstellungen erreichen zu können und
eine sprachliche Monotonie zu vermeiden. Eine Liste der Operatoren befindet sich am Buchende.
Themenfelder
Das Buch enthält sechs Themenfelder (Kapitel), welche im Wesentlichen den sechs Themen-
feldern des Kemcurriculums entsprechen. Von den sechs Themenfeldern des Kemcurriculums sind
die Themenfelder 1 bis 3 verbindlich, während zusätzlich ein weiteres der Themenfelder 4 bis 6
des Kemcurriculums jeweils durch Erlass als verbindlich festgelegt wird. Ebenfalls durch Erlass
können Schwerpunkte und Konkretisierungen innerhalb der Themenfelder ausgewiesen werden.
6 Vorwort
Gesamtkonzeption und Hinweise zu den Themenfeldern
Das Buch ist wie das Kerncurriculum in sechs Themenfelder untergliedert, welche sich an in-
haltlichen Aspekten der Differential- und Integralrechnung orientieren und daher unterschiedliche
zeitliche Umfänge besitzen. Die durch den Rahmenplan vorgesehenen Inhalte werden abgedeckt.
Innerhalb der Themenfelder gibt es zusätzliche Vertiefungsmöglichkeiten.
Im Themenfeld 3 – Vertiefung der Differential- und Integralrechnung – werden die relevanten
Funktionsklassen systematisch und sehr ausführlich dargestellt. Hier werden außerdem zahlreiche
Anwendungen und Modellierungen angesprochen. Es ist jedoch nicht vorgesehen, dass alle dar-
gestellten Inhalte in vollem Umfang durchunterrichtet werden.
Der Grund für die Ausführlichkeit: In diesem Themenfeld werden die abiturrelevanten Aspekte
der Analysis zum letzten Mal vor dem Abitursemester planmäßig behandelt.
Aufgrund der ausführlichen und umfassenden Darstellung hat der Lehrer die Möglichkeit, eine
passende Auswahl zu treffen, die auf aktuelle Schwerpunktbildungen und Konkretisierungen des
Kerncurriculums für das Abitur angemessen abgestimmt werden kann.
Weiterhin können die Schüler während der analysisfreien Zeit im zweiten und dritten Semester
vereinfacht mit Stoff zur Aufrechterhaltung der erworbenenAnalysiskenntnisse versorgt werden.
I. Einführung in die Integralrechnung
In Abschnitt 1 erfolgt der Zugang zur Integralrechnung klassisch über die Frage nach dem Inhalt
der Fläche, die von einer Kurve begrenzt wird.
Die Streifenmethode des Archimedes erscheint besonders geeignet, diese Frage verständnis-
orientiert zu beantworten. Sie ermöglicht ohne verwirrendes Beiwerk die Konzentration auf den
mathematischen Kern des Problems. Diese historisch wichtige Methode stellt zugleich über den
Grenzwertbegriff die Verbindung zur modernen Mathematik her.
Die dabei auftretenden Unter- und Obersummen können manuell errechnet werden, was aber
zeitaufwendig sein kann. Daher kann nach Einsetzen des Erstverständnisses die Summierungs-
option des Taschenrechners eingesetzt werden, um Zeit zu sparen und Rechenfehler zu vermeiden.
In Abschnitt 2 wird die Flächeninhaltsfunktion zur unteren Grenze O behandelt, um schnell zu
ersten Flächenberechnungen zu kommen, die den Nutzen des Integralkalküls demonstrieren.
Schon hier besteht die Möglichkeit, exemplarische Anwendungen auszuwählen und zu bearbeiten.
In diesem Abschnitt kann als Zusatzoption der Hauptsatz über Flächeninhaltsfunktionen for-
muliert werden. Allerdings kann man hier auf diesen Satz auch verzichten, da im Abschnitt 4 der
Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung angesprochen wird.
In Abschnitt 3 werden die Begriffe Stammfunktion und unbestimmtes Integral eingeführt. Hier
steht als Motivation der Gedanke der Umkehrung des Differenzierens am Anfang.
In diesem Zusammenhang werden die Rechenregeln für unbestimmte Integrale durch Umkehrung
der Ableitungsregeln der Differentialrechnung gewonnen.
Als Funktionsmaterial werden die Potenzfunktion xn, n ∊ Z {− 1}, die ganzrationalen Funktionen,
die elementaren Exponentialfunktionen ex und e−x sowie die trigonometrischen Grundfunktionen
sin x und cos x verwendet.
Vorwort 7
In Abschnitt 4 wird der Begriff des bestimmten Integrals durch Zurückführung auf Streifen-
summen eingeführt. Die Rechenregeln für bestimmte Integrale lassen sich rnit diesem Ansatz sehr
anschaulich begründen. Das bestimmte Integral wird dabei als Flächenbilanz interpretiert.
Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung wird hier formuliert und die entsprechenden
Schreibweisen werden eingeführt.
Am Ende dieses Abschnitts gibt es zwei Exkurse, die bei Bedarf eingesetzt werden können:
Der erste Exkurs spricht das Thema Bestandsrekonstruktionen an, welches im zweiten Themen-
feld später noch ausführlich behandelt wird. Hier wird die besonders anschauliche und einpräg-
same Rekonstruktion des Weges aus der Geschwindigkeit durchgeführt, um die Möglichkeit eines
frühzeitigen Kennenlernens dieser Problematik zu schaffen.
Der zweite Exkurs thematisiert die erweiterten Funktionalitäten des Taschenrechners im Be-
reich der Integralrechnung, d. h. die Berechnung von bestimmten Integralen und von Streifen-
summen.
II. Anwendungen der Integralrechnung
In Abschnitt 1 wird der Zusammenhang zwischen bestimmten Integralen und Flächeninhalten
für die Hauptfälle (positive Funktion, negative Funktion, Funktion rnit wechselndem Vorzeichen)
kompakt zusammengestellt, um ein jederzeitiges Nachlesen zu ermöglichen. Man kann den Ab-
schnitt im Unterricht auslassen und gleich ausgewählte Probleme aus den Abschnitten 2 und 3
behandeln.
In Abschnitt 2 werden Flächen unter Funktionsgraphen systematisch bestimmt. Dabei werden
zunächst rein innermathematische Aufgabenstellungen behandelt, um den Grundkalkül abzu-
sichern, wobei nach ganzrationalen und nicht-ganzrationalen Funktionen unterschieden wird.
Anschließend werden Parameteraufgaben, Rekonstruktionsaufgaben und Anwendungsmodellie-
rungen behandelt.
Aus dem Materialangebot sollte eine enge, gut überlegte Auswahl getroffen werden, die auf die
spezifischen Anforderungen des Kurses eingeht und in der knappen Zeit auch zu bewältigen ist.
In Abschnitt 3 werden Flächen zwischen Funktionsgraphen behandelt. Auch hier werden im
Anschluss an den Grundkalkül zahlreiche Anwendungszusammenhänge zur Verfügung gestellt,
von denen bevorzugt die ausgewählt werden sollten, deren Sachzusammenhang im Abschnitt 2
noch nicht angesprochen wurde. So kann man zeitsparend ein breites Spektrum abdecken.
In Abschnitt 4 wird das wichtige, aber schwierige Thema der Rekonstruktion von Beständen
systematisch angesprochen, wobei man sich auf eine exemplarische Auswahl beschränken muss,
die sich auch an den Erfordenissen der aktuell zu erwartenden Abiturprüfungen orientieren kann.
Es ist auch denkbar, die Bestandsrekonstruktionen an anderen Stellen des Kurses anzuordnen.
In Abschnitt 5 wird das motivierende und ästhetisch reizvolle Thema der Rotationskörper ange-
sprochen. Die Rotationsformel kann am einfachsten durch eine Gegenüberstellung der Streifen-
methode und der Zylindermethode gewonnen werden. In der Folge werden zahlreiche interessante
Anwendungen angeboten, aber auch die Herleitung von allgemeinen Volumenformeln demonst-
riert. Abschließend werden Rotationsvolumina in zusammengesetzte Aufgabe integriert.
In Abschnitt 6 werden uneigentliche Integrale behandelt. Dabei werden zwei Fälle unterschieden,
unbeschränktes Intervall bzw. unbeschränkter Integrand. Neben der Untersuchung unbegrenzter
Flächenstücke werden auch unbegrenzte Rotationskörper angesprochen.
8 Vorwort
III. Vertiefung der Differential- und Integralrechnung
In diesem Themenfeld geht es um die integrierte Anwendung der Kalküle der Differential- und
Integralrechnung. Die in der Einführungsphase erarbeiteten Inhalte sollen also aufgefrischt und
vertieft werden, wobei zusätzlich die Integralrechnung und viele Anwendungen in die Aufgaben-
stellungen integriert werden.
Hier wird umfangreiches, systematisch geordnetesMaterial zur Verfügung gestellt, um in diesem
stark auf das Abitur zielenden Abschnitt individuelle Auswahlmöglichkeiten zu schaffen.
Hieraus kann der Lehrer leicht eine angemessen reduzierte, zeitlich und inhaltlich passende
Auswahl zusammenstellen, indem er wichtige Aspekte aus den einzelnen Abschnitten anspricht.
Das umfangreiche Material kann auch genutzt werden, um die Schüler in der analysisfreien Zeit
im zweiten und dritten Semester mit Übungsstoff zur Aufrechterhaltung der erworbenen Analy-
siskenntnisse zu versorgen, auch im Hinblick auf das Abitur.
In Abschnitt 1 werden dringend benötigte Formeln aus der Differentialrechnung zusammengestellt.
In Abschnitt 2 werden ganzrationale Funktionen untersucht. Dabei werden neben den Standar-
delementen der Funktionsuntersuchung (Nullstellen, Extrema, Wendepunkte, Graph) zusätzliche
Gesichtspunkte wie Tangenten, Normalen, Flächeninhalte, usw. angesprochen.
Anschließend werden einfache trigonometrische Funktionen unter ähnlichen Gesichtspunkten
behandelt, wobei die Relevanz dieser Funktionsklasse nicht ganz so hoch sein dürfte wie die der
Klasse der ganzrationalen Funktionen bzw. der Klasse der Exponentialfunktionen.
In Abschnitt 3 werden Exponentialfunktionen behandelt, wobei zunächst Grundtechniken (Lösen
von Exponentialgleichungen, Differentiationen, Flächenberechnungen ) wiederholt werden.
Wichtig sind die Methoden zum Integrieren von Exponentialfunktionen, die mit Poynomfunkti-
onen kombiniert sind. Das ist die Methode des Stammfunktionsnachweises durch Differenzieren
bei vorgegebener Stammfunktion und die Methode des Formansatzes.
In Abschnitt 4 werden Exponentialfunktionen systematisch untersucht, die mit ganzrationalen
Funktionen verknüpft sind, ausgehend vom Grundtyp x · ex.
In Abschnitt 5 werden Anwendungen der Exponentialfunktionen behandelt. Hier sind interes-
sante Anwendungen enthalten wie z. B. die Kettenlinie und die Glockenkurve. Eine systematische
Behandlung ist hier aber nicht vorgesehen.
In Abschnitt 6 werden die drei verschiedenen exponentiellen Wachstumsprozessen, unbegrenztes
Wachstum, begrenztes Wachstum und logistisches Wachstum behandelt.
In den Abschnitten 7 und 8 geht es um die Vertiefung der speziellen Aspekte der Modellierung
und der Untersuchung von Prozessen. Hier spielen geometrische Aspekte und auch Änderungs-
raten eine erhebliche Rolle. Aus Zeitgründen beschränkt man sich auf eine enge Auswahl.
In Abschnitt 9 werden im Exkurs der Begriff der Umkehrfunktion und die Umkehrformel zur
Berechnung von Ableitungen eingeführt. Dies wird für die folgenden Logarithmusfunktionen
benötigt.
In Abschnitt 10 wird die natürliche Logarithmusfunktion eingeführt und die logarithmische
Differentiation und die logarithmische Integration behandelt.
In Abschnitt 11 geht es um die lokale Approximation von Funktionen durch Polynome. Neben
der linearen Approximation durch die Tangente wird auch die Taylorapproximation behandelt.
Bei den Taylorapproximationen sollte man sich auf Exemplarisches beschränken.