Bewertung von Zinsoptionen bei stochastischer Zinsvolatilitat: Ein Inversionsansatz PDF
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Uhrig Bewertung von Zinsoptionen bei stochastischer Zinsvolatilitat Beitroge zur betriebswirtschaftlichen Forschung Schriftenreihe herausgegeben von: Prof. Dr. Dr. h. c. mult. Horst Albach, Bonn Prof. Dr. Sonke Albers, Kiel Prof. Dr. Dr. h. c. Herbert Hax, Koln Prof. Dr. Klaus v. Wysocki, Miinchen (Foigende Bande sind zuletzt erschienen:) Band 66 U. Backes-Gellner Okonomie der Hoehsehulforsehung Band 55 H. Haumer Sequentielle stoehastisehe Band 67 T. Waragai Investitionsplanung Unternehmen im Strukturwandel Band 68 B. Heidel Band 56 U. Grimm Seannerdaten im Analyse strategiseher Faktoren Einzelhandelsmarketing Band 57 R. LeichtfuB Band 69 A. Pinkwart Kapitalbudgetierung Chaos und Unternehmenskrise in divisionalisierten Unternehmen Band 70 W. Breuer Band 58 E. Kucher Finanzintermediation Seannerdaten und Preissensitivitiit im Kapitalmarktgleiehgewieht bei Konsumgutern Band 71 M. Steven Band 59 Th. Hartmann-Wendels Produktion und Umweltsehutz Dividendenpolitik bei asymmetriseher Band 72 E. Terberger Informationsverteilung Neo-institutionalistisehe Ansiitze Band 60 J. Ringbeck Band 73 P. Nippel Qualitiits-und Werbestrategien Die Struktur von Kreditvertriigen bei Qualitiitsunsieherheit aus theoretiseher Sieht der Konsumenten Band 74 A. Gerken Band 61 R. Ewert Optimale Entseheidungen in Banken Reehnungslegung, Gliiubigersehutz und Ageneyprobleme Band 75 C. Schlag Bewertung derivativer Finanztitel Band 62 M. TOmpen in zeit-und zustandsdiskreten Modellen Strategisehe Fruhwarnsysteme fur Band 76 A. G. Schmidt politisehe Auslandsrisiken Der EinfluB der UnternehmensgroBe auf die Rentabilitiit von Band 63 Th. Petersen Industrieunternehmen Optimale Anreizsysteme Band 77 W. Breuer Band 64 G. Tacke Linearitiiten in Anreizvertriigen Niehtlineare Preisbildung bei groben Informationsstrukturen Band 65 W. Neus Band 78 M. Uhrig Okonomisehe Ageney-Theorie und Bewertung von Zinsoptionen bei Kapitalgleiehgewieht stoehastiseher Zinsvolatilitiit Belriebswirlschaftlicher Verlag Dr. Th. Gabler GmbH, Postfach 1564, 65005 Wiesbaden Marliese Uhrig Bewertung von Zinsoptionen bei stochastischer Zinsvolatilitat Ein Inversionsansatz GABLER Die Deutsche Bibliothek -CIP-Einheitsaufnahme Uhrig, Marliese: Bewertung von Zinsoptionen bei stochastischer Zinsvolatilitat : ein Inversionsansatz / Marliese Uhrig. -Wiesbaden : Gabler, 1996 (Beitrage zur betriebswirtschaftlichen Forschung ; 78) Zugl.: Mannheirn, Univ., Diss., 1995 Der Gabler Verlag ist ein Unternehmen der Bertelsmann Fachinformation. © Betriebswirtschaftlicher Verlag Dr. Th. Gabler GmbH, Wiesbaden 1996 Lektorat: Claudia Splittgerber / Annegret Heckmann Das Werk einschlieBlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschiitzt. Jede Verwertung auBerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulassig und strafbar. Das gilt insbe sondere fUr VervieWiltigungen, Obersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, daB solche Namen irn Sinne der Warenzeichen-und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wliren und daher von jedermann benutzt werden diirften. ISBN-13: 978-3-409-13568-9 e-ISBN-13: 978-3-322-86733-9 001: 10.1007/978-3-322-86733-9 v Geleitwort Eines der dringendsten und bisher noch nicht befriedigend geli:isten Probleme von Kredit instituten stellt das Management der in Zinspositionen verborgenen Zinsiinderungsrisiken dar. Durch den zunehmenden Einsatz von Derivaten hat die Komplexitiit dieses Problems urn eine weitere Dimension zugenommen. Unabhiingig davon, ob das Risiko einer Zins position iiber Szenarioanalysen, Simulationsstudien oder mit Hilfe des "Value at Risk" Konzeptes transparent werden soll, mussen die in der Position enthaltenen Zinsoptionen mit Hilfe eines konsistenten Bewertungsmodells bewertet und ihre Sensitivitiit gegeniiber Anderungen der EinfluBfaktoren beurteilt werden ki:innen. Hier setzt die vorliegende Dis sertationsschrift von Frau Uhrig an. Ihr Ziel ist es, ein praktikables und konsistentes Modell zur Bewertung yon Zinsoptionen der unterschiedlichsten Art zu entwickeln. Fur Zinsoptionen steht kein mit dem Black-Scholes Modell vergleichbarer einfacher Be wertungsansatz zur Beurteilung von Derivaten zur VerfUgung. Das bei der Bewertung von Caps und Swaptions als Marktstandard eingesetzte Black Modell geht von einer isolierten Modellierung der Forward-Rates aus und erlaubt keine Erfassung der Korrelationsstruktur und des Volatilitiitsclusterings von Zinssiitzen. Frau Uhrig entwickelt in ihrer Dissertationsschrift auf der Grundlage des allgemei nen Gleichgewichtsansatzes von Cox/Ingersoll/Ross und der Spezialisierung von Long staff/Schwartz ein Bewertungsmodell mit dem kurzfristigen Zinssatz als erstem und des sen Volatilitiit als zweitem Faktor. Die komparativ-statische Analyse zeigt, daB dieses Modell eine Reihe wunschenswerter Eigenschaften fUr die endogene Volatilitiitsstruktur besitzt. So erkliirt das Modell die beobachtete Existenz von Volatilitiitsclustern und die Ubertragung der Volatilitiit des kurzfristigen Zinssatzes auf den langfristigen wird mit Ubertragungsraten zwischen 40% und 60% realistisch erfaBt. Die Anpassung der endogenen Zinsstrukturkurve an die exogene erfolgt in Verallgemeine rung der Vorgehensweise von Black/Scholes. Deren Theorie kann in der Weise interpretiert werden, daB der Marktpreis des Aktienkursrisikos aus dem Aktienmarkt extrahiert und fUr die Optionsbewertung verwendet wird. Analog hierzu nimmt das Verfahren von Frau Uhrig fUr jede Restlaufzeit eines Zero Bonds die Extraktion des zugehi:irigen restlaufzeit abhiingigen Marktpreises des Risikos Yor, der dessen beobachteten Preis erkliirt. Dieser findet dann bei der Optionsbewertung Verwendung. Mit Hilfe des restlaufzeitabhiingigen Marktpreises des Risikos kann ein Zusammenhang zwischen der Form der Zinsstruktur kurve und den Risikopriiferenzen der Marktteilnehmer hergestellt werden. Ais Neben produkt ergibt sich damit eine vierte, die Erwartungs-, Liquiditiits- und Marktsegmentie- VI rungstheorie ergiinzende Erkliirung fiir die Form von Zinsstrukturkurven. Die theoretischen Analysen werden ergiinzt urn eine umfangreiche empirische Untersu chung zur Bewertungsqualitiit des Zwei-Faktor-Modells am deutschen Zinsoptionsschein markt. Die Abweichungsanalyse zeigt, daB die Bewertungsergebnisse durchaus mit den fUr den deutschen Aktienoptionsmarkt mit Hilfe der Black/Scholes-Theorie erzielten ver gleichbar sind, diese teilweise sogar iibertreffen. Dies ist umso erstaunlicher, als eine Detailanpassung an die exogene Volatilitiitsstruktur nicht vorgenommen wurde. Die Be wertungsergebnisse geben einen weiteren Hinweis darauf, daB die Volatilitiitsverhiiltnisse am deutschen Rentenmarkt durch ein Zwei-Faktor-Modell mit dem kurzfristigen Zinssatz und dessen Volatilitiit gut abgebildet werden konnen. Frau Uhrig ist es mit ihrer Dissertationsschrift in hervorragender Weise gelungen, ein praktikables Verfahren zur Bewertung von Zinsoptionen zu entwickeln, das die aktuelle Marktinformation und die Stochastik der Zinsstrukturkurve erfaBt. Diese Schrift wird eine Referenzarbeit fUr weitere theoretische und empirische Untersuchungen zu Zinsderivaten darstellen. Sie richtet sich an Fachleute und wird diesen zum Studium empfohlen. Prof. Dr. Wolfgang Biihler VII Vorwort Die vorliegende Arbeit entstand wahrend meiner Tatigkeit als wissenschaftliche Mitarbei terin am Lehrstuhl fiir Finanzierung der Universitat Mannheim. Mein besonderer Dank gilt meinem akademischen Lehrer, Herrn Prof. Dr. Wolfgang Biihler, der mein Inter esse an derivativen Zinsinstrumenten weckte und die Arbeit mit hilfreichen Diskussionen und konstruktiver Kritik begleitete. Fiir die Ubernahme des Korreferats bin ich Herrn Prof. Dr. Peter Albrecht zu Dank verpfiichtet. Den Herausgebern Herrn Prof. Dr. Dr. h. c. multo Horst Albach, Herrn Prof. Dr. Dr. h. c. Herbert Hax, Herrn Prof. Dr. Sonke Albers und Herrn Prof. Dr. Klaus v. Wysocki danke ich fiir die Aufnahme der Arbeit in die Schriftenreihe "Beitrage zur betriebswirtschaftli chen Forschung". Herzlich bedanken mochte ich mich bei meinen Kollegen am Lehrstuhl fiir Finanzierung, Herrn Dr. Michael Berendes, Frau Dipl. -Kfm. Andrea Dube, Herrn Dr. Alexander Kempf, Herrn Dipl. -Kfm. Ulrich Miiller, Herrn Dipl. -Kfm. Andreas Schmidt, Herrn Dr. Michael Schulze und Herrn Dr. Ulrich Walter, die mir nicht nur in fachlicher Hinsicht wert volle Unterstiitzung leisteten. In besonderem MaJ3e gilt mein Dank Herrn Dr. Ulrich Walter fiir die zahlreichen intensiven Diskussionen und die konstruktive Zusammenarbeit in den letzten Jahren. Fiir die sorgfaltige Durchsicht des Manuskripts danke ich meinem Kollegen Herrn Dipl. - Wirtsch. -Inf. Stephan Pabst sowie meinen Freundinnen Frau Ute Fischer und Frau Alex andra Hense. SchlieJ31ich danke ich meinem Lebensgefahrten, Herrn Dr. Carsten Homburg, der die Ar beit in allen Phasen ihrer Entstehung begleitet und das Manuskript mehrfach kritisch durchgesehen hat. Marliese Uhrig Inhaltsverzeichnis Abbildungsverzeichnis . XIII Tabellenverzeichnis . . . XVII 1 Einfiihrung und Uberblick 1 1.1 Modelle fiir Zinsderivate im Uberblick . 2 1.1.1 Kursmodelle. 3 1.1.2 Zinsmodelle. 4 1.1.2.1 Gleichgewichts- und Arbitrageansatze 6 1.1.2.2 Probleme zinsorientierter Ansatze . 6 1.1.2.3 Losungswege 8 1.2 Aufbau der Arbeit ..... . 11 2 Modellfaktoren und Gleichgewicht 15 2.1 Spezifizierung von Zwei-Faktor-Zinsmodellen 16 2.2 Gleichgewichtstheoretische Fundierung eines Zwei-Faktor-Modells 18 2.2.1 Die Modellokonomie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2.2 Die optimale Strategie des reprasentativen Investors . 25 2.2.3 Bestimmung der Gleichgewichtsprozesse ...... . 30 2.2.3.1 Gleichgewichtszins in Abhangigkeit der modellexogenen GroBen ................. . 30 2.2.3.2 Ermittlung der Marktpreise des Risikos . 34 2.2.3.3 Die fundament ale Bewertungsgleichung . 37 2.3 Gleichgewichtsansatz versus Arbitrageansatz . . . 39 2.4 Beispiele gleichgewichtsorientierter Ansatze 1m Rahmen einer Cox/Ingersoll/Ross-Okonomie . . .. ...... 41 2.4.1 Die Zinsmodelle von Cox/Ingersoll/Ross und Longstaff 42 2.4.2 Das Modell von Hemler/Longstaff zur Bewertung von Aktienindexfutures . 44 X Inhaltsverzeichnis 2.4.3 Die Zinsmodelle von Longstaff/Schwartz und Chen/Scott . . . . .. 45 3 Die Zinsstrukturkurve im Gleichgewicht 47 3.1 Modellspezifikation . . . . . . . . . . .. .. . . . . . . . . . . . . . .. 47 3.2 Die Wahl der Zustandsvariablen und deren Implikationen fUr Zins und Volatilitat . . . . . . . . . 49 3.3 Bewertung von Zerobonds 53 3.3.1 Bewertungsgleichung 53 3.3.2 Risikopramienforderung des repriisentativen Investors am Anleihe- markt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.4 Komparativ-statische Analyse der Zinsstrukturkurve 57 3.4.1 Die Zinsstruktur in Abhiingigkeit der Erwartung hinsichtlich der zukiinftigen Zins- und Volatilitiitsentwicklung . . . . . . . . . . .. 59 3.4.2 Die Zinsstruktur in Abhiingigkeit des aktuellen kurzfristigen Zins- satzes und des sen Volatilitiit . . . . . 66 3.5 Eigenschaften der Volatilitiitsstrukturkurve . 70 4 Anpassung des Modells an die aktuelle Zinsstrukturkurve 79 4.1 Interpretation der aktuellen Zinsinformation . . . . . 80 4.1.1 Die Methodologie von Heath/ J arrow /Morton . 80 4.1.2 Der Hull/White-Ansatz ..... . 82 4.2 Anpassung iiber zeitabhiingige Parameter. 84 4.3 Das invertierte implizite Differenzenverfahren 91 4.4 Risikoeinstellung der Marktteilnehmer am Anleihemarkt - komparative Statik ...................................... 97 4.4.1 Risikoeinstellung in Abhangigkeit der Erwartung hinsichtlich der zukiinftigen Zins- und Volatilitiitsentwicklung . . . . . . . . . . .. 98 4.4.2 Risikoeinstellung in Abhiingigkeit der Form der aktuellen Zinsstruk turkurve, des aktuellen kurzfristigen Zinssatzes und dessen Volatilitat103 5 Bewertung von Anleiheoptionen 111 5.1 Grundidee der Bewertung ... 111 5.2 Numerische Berechnung der Optionswerte 112 5.3 Komparativ-statische Analyse der Optionswerte 117 5.3.1 Optionswerte in Abhiingigkeit der Erwartung des Marktes hinsicht- lich der zukiinftigen Entwicklung von Zins und Volatilitat. . . . . . 117 Inhaltsverzeichnis XI 5.3.2 Optionswerte in Abhangigkeit der Form der aktuellen Zinsstruktur kurve, des aktuellen kurzfristigen Zinssatzes und dessen Volatilitat . 122 5.3.3 Optionswerte in Abhangigkeit der Ausstattungsmerkmale der Op- tionen .... 124 6 Parameterbestimmung 135 6.1 Schatzung der Volatilitat ................. . 136 6.1.1 Das okonometrische Modell- ein GARCH-Ansatz 138 6.1.2 Maximum-Likelihood-Schatzung des GARCH-Modells . 139 6.2 Empirische Ergebnisse der Volatilitatsschatzung . . . . . . . . 139 6.2.1 Datenbasis......................... 140 6.2.2 Schatzergebnisse fUr das erweiterte Vasicek/CIR-Modell . 143 6.2.3 Schatzergebnisse fUr das erweiterte Longstaff/Schwartz-Modell 145 6.3 Bestimmung der konstanten ProzeBparameter . . . . . . . . . . . . . 147 6.3.1 Einfache Methode zur Parameterbestimmung bei Zustandsvariablen mit stationarer Grenzverteilung .................... 147 6.3.2 Alternative Methode zur Parameterbestimmung ........... 149 6.3.3 Beispiele zur Parameterschatzung bei Zustandsvariablen mit sta- tionarer Grenzverteilung . . . 150 7 Empirische Uberpriifung des Modells 153 7.1 Aufbau der empirischen Untersuchung 153 7.2 Zinsstrukturkurvenschatzung ..... . 155 7.2.1 Methoden zur Schatzung der Zinsstruktur 156 7.2.2 Schatzung der Zinsstruktur in der Bewertungsperiode 163 7.3 Schatzung der aktuellen Volatilitat und Bestimmung der Modellparameter 166 7.3.1 Zins und Volatilitat im Bewertungszeitraum ... 166 7.3.2 Die Modellparameter im Bewertungszeitraum .. 167 7.4 Theoretische Werte versus Marktpreise von Zinsoptionen 173 7.4.1 Datenbasis ..... . 173 7.4.2 Abweichungsanalyse 175 8 SchluBbemerkungen 187 Literaturverzeichnis 189
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