Bevezetés az algebrába

974 Pages·2007·7.2 MB·Hungarian

by  Kiss Emil

Bevezetés az absztrakt algebrába
Kiss Emil
Stanisław Lememlékének,
akimindannyiunknál messzebbrelátott.

Tartalom
Bevezetés 7
1. Komplexszámok 11
1.1. Számolásmaradékokkal 12
1.2. Aharmadfokúegyenletmegoldásánakproblémája 17
1.3. Számoláskomplexszámokkal 21
1.4. Akomplexszámoktrigonometrikusalakja 26
1.5. Egységgyökökésrendjeik 32
1.6. Akomplexszámokprecízbevezetése 37
1.7. Összefoglaló 39
2. Polinomok 43
2.1. Apolinomfogalma 43
2.2. Aszokásosszámolásiszabályok 50
2.3. Apolinomokalaptulajdonságai 61
2.4. Polinomfüggvényekésgyökök 64
2.5. Agyöktényezo˝salak 71
2.6. Többhatározatlanúpolinomok 75
2.7. Szimmetrikuspolinomok 80
2.8. Összefoglaló 87
3. Apolinomokszámelmélete 89
3.1. Számelméletialapfogalmak 89
3.2. Amaradékososztás 98
3.3. Gyökökésirreducibilitás 104
3.4. Egészegyütthatóspolinomok 109
3.5. Irreducibilitásaracionálisszámtestfölött 115
3.6. Aderiváltésatöbbszörösgyökök 121
3.7. Arezultánsésadiszkrimináns 126
3.8. Aharmad-ésnegyedfokúegyenlet 133
3.9. Akörosztásipolinom 139
3.10. Összefoglaló 145
3
4 Tartalom
4. Csoportok 149
4.1. Példákszimmetriacsoportokra 150
4.2. Permutációkelo˝jeleésciklusfelbontása 162
4.3. Izomorfizmus,ciklikuscsoportok 171
4.4. Mellékosztályok,Lagrangetétele 180
4.5. Orbitésstabilizátor 186
4.6. Generáltrészcsoport 196
4.7. Homomorfizmusokésnormálosztók 201
4.8. Hogyankeressünknormálosztót? 210
4.9. Adirektszorzat 220
4.10. Szabadcsoportokésdefiniálórelációk 229
4.11. Prímhatványrendu˝ csoportok,Sylowtételei 241
4.12. Permutációcsoportok 249
4.13. Feloldhatócsoportok 261
4.14. Végesegyszeru˝ csoportok 266
4.15. Összefoglaló 271
5. Gyu˝ru˝k 277
5.1. Részgyu˝ru˝,ideál,direktszorzat 278
5.2. Faktorgyu˝ru˝ 286
5.3. Egyszeru˝ gyu˝ru˝k 291
5.4. Láncfeltételek 295
5.5. Aszámelméletalaptétele 299
5.6. Apolinomgyu˝ru˝ ideáljai 304
5.7. Hányadostest 315
5.8. Karakterisztikaésprímtest 321
5.9. Rendezettgyu˝ru˝késtestek 326
5.10. Minimálpolinomalgebrákban 330
5.11. Aszámfogalomlezárása 336
5.12. Összefoglaló 342
6. Galois-elmélet 345
6.1. Testbo˝vítések 346
6.2. Aszorzástételéskövetkezményei 353
6.3. Normálisbo˝vítések 359
6.4. Testbo˝vítésekkonstrukciója 364
6.5. Szimmetriákésközbülso˝ testek 372
6.6. AGalois-elméletfo˝tétele 382
6.7. Végestestek 388
6.8. Geometriaiszerkesztheto˝ség 396
6.9. Egyenletekgyökjelekkelvalómegoldhatósága 407
6.10. Alegfeljebbnegyedfokúegyenletek 417
Tartalom 5
6.11. Összefoglaló 423
7. Modulusok 427
7.1. Részmodulusok,homomorfizmusok 427
7.2. Direktösszegésfüggetlenség 432
7.3. Elemrendjemodulusban 438
7.4. Végesengeneráltmodulusok 443
7.5. Afelbontásegyértelmu˝sége 450
7.6. AJordan-félenormálalak 454
7.7. Homomorfizmusokcsoportjai 460
7.8. Atenzorszorzat 466
7.9. Nemkommutatívgyu˝ru˝k 475
7.10. Összefoglaló 483
8. Algebraistruktúrák,hálók 487
8.1. Hálók 488
8.2. Algebraistruktúrák 496
8.3. Kifejezések,polinomok,szabadalgebrák 508
8.4. Varietások 519
8.5. DisztributívhálókésBoole-algebrák 525
8.6. Modulárishálók 533
8.7. Galois-kapcsolatésfogalom-analízis 546
8.8. Kategóriákésfunktorok 553
8.9. Kitekintés 561
8.10. Összefoglaló 564
9. Hibajavítókódok 569
9.1. Alapfogalmak 570
9.2. Lineáriskódok 573
9.3. Polinomkódok 577
9.4. Ciklikuskódok 584
9.5. ACDmatematikája 588
9.6. Összefoglaló 590
10. Utószó: Miazalgebra? 593
U. Útmutatások,ötletekafeladatokhoz 601
U.1. Komplexszámok 601
U.2. Polinomok 602
U.3. Apolinomokszámelmélete 605
U.4. Csoportok 608
U.5. Gyu˝ru˝k 614
U.6. Galois-elmélet 618
6 Tartalom
U.7. Modulusok 621
U.8. Általánosalgebrák,hálók 623
U.9. Hibajavítókódok 628
M. Megoldások,eredmények 629
M.1. Komplexszámok 629
M.2. Polinomok 648
M.3. Apolinomokszámelmélete 675
M.4. Csoportok 718
M.5. Gyu˝ru˝k 802
M.6. Galois-elmélet 836
M.7. Modulusok 868
M.8. Általánosalgebrák,hálók 900
M.9. Hibajavítókódok 932
E. Azelo˝ismeretekösszefoglalása 937
E.1. Halmazelméletéslogika 937
E.2. Végesmatematika 944
E.3. Analízis 945
E.4. Számelmélet 945
E.5. Lineárisalgebra 948
T. Példák,táblázatok 949
T.1. Néhánykörosztásipolinom 949
T.2. Konkrétcsoportok 950
T.3. Agörögbetu˝ktáblázata 952
T.4. Angol-magyaralgebrakisszótár 953
P. Számítógépesprogramok 959
Tárgymutató 961
Irodalom 973
Bevezetés
Tejóltudod,akölto˝ soselódít:
azigazatmondd,necsakavalódit.
JózsefAttila:ThomasMannüdvözlése
Miazalgebra? Az algebra abból az igénybo˝l fejlo˝dött ki, hogy a számítá-
sokat hatékonyan tudjuk elvégezni. Nemcsak klasszikus egyenletek és egyen-
letrendszerek megoldásáról van szó: geometriai és fizikai problémák megoldá-
sakormásfélemennyiségekkel, példáulkomplexszámokkal, vektorokkal, mát-
rixokkal, transzformációkkal, tenzorokkal, kvaterniókkal is végzünk mu˝vele-
teket, amelyek közös tulajdonságait az algebrai struktúrák írják le. Ezek ön-
álló vizsgálata számos váratlan alkalmazással szolgált a kombinatorikában, az
algoritmuselméletben, so˝t a kódelméletben is, ami például a mai megbízható
elektronikus kommunikációt teszi leheto˝vé. A csoportok rendezo˝ elvet adnak
a geometriai vizsgálatokhoz. Azt mondhatjuk, hogy az algebrai struktúrák a
matematika több ágában is az alapveto˝ nyelvezet részét alkotják. Az Olvasót
nem akarjuk technikai részletekkel untatni, hiszen a könyvünk pontosan azt a
céltszolgálja,hogymegismerjeazalapveto˝ fogalmakat. Mégisazttanácsoljuk,
hogylapozzonbelemost,ésakönyvolvasásasoránistöbbszörarövid10.Feje-
zetbe,aholmegkíséreltükleírniminélközértheto˝bben,demégisvalódipéldákra
támaszkodvaazt,hogyvéleményünkszerintmiisazalgebra. Ezekapéldákés
amögöttükhúzódóelvekremélheto˝legegyrevilágosabbáválnakmajdazanyag
elsajátításasorán.
Kiknekszólezakönyv? A magyar felso˝oktatás, és ezen belül az algebra
tanításaiskomolyváltozásonmegykeresztülmostanában. Akreditrendszerbe-
vezetésével, a bolognai folyamat elo˝rehaladtával a hallgatók szabadsága nagy
mértékbenmegnövekedett. Ki-kiigényeiszerintimélységbenhallgathatkurzu-
sokat, ahol az anyag mennyisége, felépítése, és így az elo˝adás tempója, rész-
letessége is különbözo˝ lehet. Elo˝térbe került az önálló, otthoni tanulás leheto˝-
sége is. Ezért szükségét éreztük egy olyan tankönyv megalkotásának, amely
ezekhez az új igényekhez alkalmazkodik, mind a diák, mind a tanára számára.
A könyv tehát mindenkinek szól, aki középiskolai tanulmányai befejezetével
szükségétérzi,hogybetekintsenazalgebrába. Elso˝sorbanaleendo˝ matematika
7
8 Bevezetés
tanárok,matematikusok,amatematikátalkalmazószakemberekigényeittartot-
tukszemelo˝tt,ideértvepéldáulafizika,akémia,amérnökitudományok,vagy
akáraközgazdaságtanirántérdeklo˝do˝ketis.
Mennyirenehézelsajátítaniazanyagot? Euklidész óta tudjuk, hogy a ma-
tematikához nem vezet királyi út. Ennek ellenére az elso˝dleges célunk az volt,
hogy a könyv maximálisan értheto˝ legyen minél több érdeklo˝do˝ számára. Eh-
hezfelhasználtukazEötvösLorándTudományegyetemAlgebraésSzámelmélet
Tanszékéneksokévtizedesoktatásitapasztalatait: azt,hogymilyentipikuskér-
dések hangzanak el a konzultációkon, milyen feladatok bizonyultak a legered-
ményesebbnek a gyakorlatokon. Az egyszeru˝bb anyagrészeket is magyaráza-
tokkalláttukel,bevettükmindazokataháttérszámolásokat,részleteztükazokat
a meggondolnivalókat, amelyek sokszor csak házi feladatként szerepelnek az
elo˝adásokon. Komolyan reménykedünk abban, hogy a gyengébb háttérrel in-
dulóhallgatókisképeseklesznekekönyvsegítségévelfelzárkózni,éstúljutnia
kezdetinehézségeken.
Hogyanolvassukakönyvet? Amatematikátnemelégmegtanulni,megiskell
érteniazt. Meggyo˝zo˝désünk,hogyúgylehetalegeredményesebbentanulni,ha
minéltöbbbizonyítástönállóanmagunktalálunkki,éshamenetközbenelgon-
dolkozunkadolgokon,mielo˝tttovábbolvasnánk. Sokolyankönnyu˝ állításvan,
aminek a bizonyítását csak akkor lehet megérteni, ha valaki maga végzi el a
megfelelo˝ számolást. Tipikusan ilyen például új definíciók egyszeru˝ következ-
ményeinekavégiggondolása,vagypéldák,ellenpéldákelleno˝rzése.
Ezértakönyvformájaszokatlan: egyesszámolásirészletek,meggondolniva-
lókKérdés,Gyakorlat,vagyakárFeladatformájábanszerepelnekaz„elméleti”
szövegen belül is. Ha valaki nem boldogul egy ilyen Gyakorlattal, vagy ha el-
leno˝rizni akarja magát, akkor érdemes a megoldást fellapoznia a könyv végén,
mielo˝tt tovább haladna. A Kérdésekre mindig a szövegben következik a vá-
lasz, ha tovább olvasunk. A Gyakorlatok általában könnyebbek, a Feladatok
nehezebbek. Mindegyikhez megoldást, a Feladatokhoz ezen kívül útmutatást
⋆
is adunk a könyv végén. A nehezebb feladatokat a szimbólum jelöli. Így
a könyvben csaknem teljes egészében, megoldásokkal együtt megtalálható az
egyetemigyakorlatokonáltalábanszereplo˝ törzsanyag.
Vigyázzunk: a megoldások elolvasása nem helyettesíti az önálló gondolko-
dást. Ezen kívül a megértés és a begyakorlás két különbözo˝ dolog! A könyv-
benszereplo˝ GyakorlatokésFeladatokelso˝sorbanazanyagmegértésétsegítik.
Ha nem elegendo˝ek a begyakorlásra, akkor a Fagyejev-Szominszkij [9] és a
Czédli-Szendrei-Szendrei [6] feladatgyu˝jteményekbo˝l érdemes további felada-
tokatmegoldani,egyéniszükségletekszerint.
Ha valaki matematikával foglalkozik, akár tanárként, akár kutatóként, akár
alkalmazóként, mindig el kell döntenie, hogy a precízségnek mely szintje az,
Bevezetés 9
amely a maximális értheto˝séget eredményezi saját maga és a környezete szá-
mára. Hanemvagyunkelégprecízek,akkorösszemoshatunkkülönbözo˝ dolgo-
kat, kimaradhatnak fontos feltételek, ami hibához, érthetetlenséghez vezet. Ha
viszont túl precízek vagyunk, akkor a formalizmus mögött elsikkad a lényeg,
az ido˝ a kódolással/dekódolással, és nem az emberi gondolkozással telik. Az
áttekintheto˝ség,ésazehhezkapcsolódójójelölésmegtalálásamindenmatema-
tikusnak elso˝rendu˝en fontos feladata minden egyes problémában, mert hatéko-
nyabbátesziagondolkodástésakommunikációt.
Milyenakönyvstílusa? Nagyhangsúlytfektettünkarra,hogyelmagyarázzuk
a „miért”-eket: azt, hogy az egyes fogalmak miért fontosak, miért így és nem
máshogydefiniáltuko˝ket,hogyabizonyításokbanmiértéppenaleírtlépéseket
tesszük, hogyan lehetne másmerre haladni. Elso˝sorban az apróbetu˝s részek-
benszerepelnekmélyebb,elo˝remutató,vagyfilozófiaijellegu˝ megjegyzésekis.
Noha hangsúlyozottan elméleti anyagot tárgyalunk, a teljesség igénye nélkül
megpróbáltunk itt-ott kitekinteni a mélyebb matematikai elméletek és néhány
alkalmazásirányábais,afizikátólahibajavítókódolásbemutatásáig.
Úgygondoljuk,mindeznemcsakazanyagalkalmazásáhozadsegítséget,ha-
nem az önálló problémamegoldás elsajátításához is. Aki a matematikát alkal-
mazza, azaz modelleket készít, annak a fogalomalkotás technikáját is meg kell
ismernie. A fogalmak mögött meghúzódó filozófiát, az algebrai fogalomalko-
tásimódokat,szemléletetegymatematikatanárnaksokszorfontosabbismernie,
mint magukat a konkrét eredményeket. A tanár feladata az is, hogy hidat je-
lentsen a tudomány és a mindennapok között, és ezért fontos, hogy amennyire
lehetséges,áttekintéstszerezzenazismeretekjelenlegiállásáról.
A modern matematikának sajátossága, hogy még az elméleti munkához is
egyre inkább használ számítógépes szoftvereket. Ebben a vonatkozásban a cé-
lunknemegy-egyprogramismertetése,hanemakedvcsinálásvolt. Elso˝sorban
a Maple, illetve a csoportelméleti részben a GAP program lehetséges felhasz-
nálásábóladtunkízelíto˝t. Amatematikaiprogramokrólrészletesebbinformáció
találhatóaP.Függelékben.
Milyenelo˝ismeretekettételezünkföl? A könyv kiindulásképpen csak a kö-
zépiskolai anyagra támaszkodik. Ahogy azonban haladunk elo˝re, szükség lesz
más, elso˝sorban számelméleti, kombinatorikai, és késo˝bb lineáris algebrai is-
meretekre is. Ezek elsajátításában segíthetnek az irodalomjegyzékben szereplo˝
mu˝vek, elso˝sorban Freud Róbert és Gyarmati Edit: Számelmélet [12], illetve
FreudRóbert: Lineárisalgebra[11]címu˝ könyvei. Aszövegbentermészetesen
mindig megemlítjük a szükséges elo˝ismereteket. A Függelékben külön össze-
foglaltunktöbbolyantételtis,amelyreaszövegbenhivatkozunk. Aztajánljuk,
hogy az Olvasó mihamarább fusson végig a halmazelméleti és logikai alapfo-
galmakattartalmazóE.1.Szakaszon. Atárgyalásimódotúgyválasztottuk,hogy
10 Bevezetés
kezdetto˝lfogvaaleheto˝ legjobbanelo˝készítsealegfontosabbabsztraktalgebrai
fogalmakbevezetését. Ezértakönyvelso˝ fejezeteibeannakisérdemesbelepil-
lantania,akimárismeripéldáulakomplexszámokat,vagyapolinomokat.
Milyenanyagotölelfölezakönyv? Amatematikaépítkezo˝ jellegu˝,azújfo-
galmak kialakulását sokszor a régiekkel kapcsolatban felmerülo˝ kérdések mo-
tiválják. Ezértnemkíséreljükmeg, hogyelo˝reösszefoglaljukakönyvünkáltal
tárgyalt anyagot, mert ezt nehéz lenne értheto˝en elmondani. Arra biztatjuk az
Olvasót,hogyakönyvelejéntalálhatótartalomjegyzékbenfussaátazegyesfe-
jezetekcímeit. Mindegyiknekazelejénrövidbevezeto˝ olvasható. Különfelhív-
juk a figyelmet a fejezetek végén található összefoglalókra, amelyek a legfon-
tosabb eredményekre való hivatkozásokat is tartalmazzák, és elmondják, hová
jutottunk el. Ezek a vizsgára készülésben is hasznosak lehetnek. Így egyes
tételeketisvisszakereshetünk(ebbenatárgymutatóissegíthet).
Köszönetnyilvánítás.Hálámatszeretnémkifejeznikollégáimnak: ÁgostonIst-
vánnak, Freud Róbertnek, Fried Ervinnek, Hermann Péternek, Keith Kearnes-
nek, Moussong Gábornak, Pálfy Péter Pálnak, Pelikán Józsefnek, Pro˝hle Pé-
ternek,SzabóCsabának,SzabóEndrének,valaminthallgatóimnak(alegtöbbet
segíto˝knévsora,ateljességigényenélkül: BorosBalázs,BércziKristóf,Csóka
Endre,FintaViktória,GyenisZalán,HaászSándor,KmecsViktória,SalátMáté,
StrennerBalázs,SzabóMáté,ViczeZsolt)arengetegszakmaisegítségért,asaj-
tóhibákmegtalálásáért,akönyvolvashatóbbátételéért. Akönyvmindannyiunk
közösmunkája,a„királyitöbbest”ezindokolja.
Végezetülhaddhangsúlyozzam,hogyamatematikávalvalófoglalkozásahasz-
nossága mellett élvezetes, és a gondolkodást fejleszto˝ ido˝töltés is. Abban re-
ménykedve, hogy az Olvasónak is sikerül rátalálnia a matematika szépségére,
sikereséskellemesmunkátkívánoknéhányarkhimédészitestrajzával,melyek
szimmetriáirólacsoportelméletbenleszmajdszó.