Bernhard Riemann „Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen“ PDF
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Klassische Texte der Wissenschaft Bernhard Riemann Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen historisch und mathematisch kommentiert von Jürgen Jost Klassische Texte der Wissenschaft Herausgeber Prof.Dr.Dr.Olaf Breidbach Prof.Dr.Jürgen Jost Die Reihe bietet zentrale Publikationen der Wissenschaftsentwicklung der Mathematik und Naturwissenschaften in sorgfältig editierten, de- tailliert kommentierten und kompetent interpretierten Neuausgaben. In informativer und leicht lesbarer Form erschließen die von renommier- ten WissenschaftlerInnenstammendenKommentaredenhistorischenund wissenschaftlichenHintergrundderWerkeundschaffensoeineverlässliche Grundlage für Seminare an Universitäten und Schulen wie auch zu einer erstenOrientierungfüramThemaInteressierte. Bernhard Riemann Bernhard Riemann „Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen“ historisch und mathematisch kommentiert von Jürgen Jost BernhardRiemann(1826–1866) ISBN978-3-642-35120-4 ISBN978-3-642-35121-1(eBook) DOI10.1007/978-3-642-35121-1 DieDeutscheNationalbibliothekverzeichnetdiesePublikationinderDeutschenNationalbibliografie;de- tailliertebibliografischeDatensindimInternetüberhttp://dnb.d-nb.deabrufbar. MathematicsSubjectClassification(2012):51-03,5303,53B20,53Z05,00A30,01A55,83-03 SpringerSpektrum ©Springer-VerlagBerlinHeidelberg2013 DasWerkeinschließlichallerseinerTeileisturheberrechtlichgeschützt.JedeVerwertung,dienichtaus- drücklichvomUrheberrechtsgesetzzugelassenist,bedarfdervorherigenZustimmungdesVerlags.Dasgilt insbesonderefürVervielfältigungen,Bearbeitungen,Übersetzungen,MikroverfilmungenunddieEinspei- cherungundVerarbeitunginelektronischenSystemen. DieWiedergabe vonGebrauchsnamen,Handelsnamen,Warenbezeichnungenusw.indiesemWerkbe- rechtigtauchohnebesondereKennzeichnungnichtzuderAnnahme,dasssolcheNamenimSinneder Warenzeichen-undMarkenschutz-Gesetzgebungalsfreizubetrachtenwärenunddahervonjedermann benutztwerdendürften. GedrucktaufsäurefreiemundchlorfreigebleichtemPapier SpringerSpektrumisteineMarkevonSpringerDE.SpringerDEistTeilderFachverlagsgruppeSpringer Science+BusinessMedia. www.springer-spektrum.de Vorwort So könnte der Plot eines Romans aussehen:Ein schüchterner, kränklicher, in ärmlichen Verhältnissen lebender junger Mathematiker, dem es nicht gelingt, in näheren Kontakt zu der großen mathematischen Koryphäe seiner Zeit zu treten, muss für sein Habili- tationskolloquium drei Themen zur Auswahl angeben. Die ersten beiden knüpfen an seinebedeutendenFachbeiträgean,dieerschongeleistethat.AusVerlegenheit,undweil er davon ausgeht, dass, wie üblich, sowieso das erste Thema gewählt wird, nennt er als drittes schließlich ein eher vages naturphilosophisches Thema. Zu seiner Überraschung wird gerade dieses gewählt. Statt sich nun aber mit dem Wissensstand der Fachdiszi- plin vertraut zu machen und die wirklich bedeutende Vorentdeckung, die das gesamte Gebiet erschüttert hat, zu rezipieren, vertieft er sich lieber in einen obskuren Philoso- phen. Sein Vortrag aber dringt dann so tief wie noch niemals zuvor in ein Gebiet ein, das die größten Denker der Menschheit seit der Antike beschäftigt hat, und ahnt so- gar noch die größte Entdeckung der Physik des nachfolgenden Jahrhunderts voraus. SelbstderBeitragdesGroßstarsderdeutschenWissenschaft,dersichvoneinemanderen Gesichtspunkt und unabhängig dem gleichen Thema genähert hatte, verblasst vor der TiefederEinsichtunseresjungenMathematikers.Andere,ansonsteninderWissenschaft bedeutende Männertreten unrühmlich mit grotesken Fehlurteilen überdenangeschnit- tenen Sachverhalt hervor, nachdem der Vortrag erst posthum nach dem frühen Tode unseres Protagonisten von einem Freund veröffentlicht worden ist. Generationen nach- folgender Mathematiker arbeiten die in dem kurzen Vortrag skizzierten Ideen aus und bestätigen deren vollständige Gültigkeit und Tragfähigkeit und außerordentliche Reich- weite. DiesistaberkeinRoman,dennsoähnlichhatessichtatsächlichzugetragen.Geneig- teLeserinnenundLeserwerdenmirhoffentlichgewisseÜbertreibungennachsehen,und selbstverständlichwird in den nachfolgendenAusführungenalles richtiggestellt werden. DerjungeMathematikerwarBernhardRiemann,undderVortraghieß„UeberdieHypo- thesen,welchederGeometriezuGrundeliegen“.DiemathematischeKoryphäewarCarl FriedrichGauß,derWissenschaftsstarHermannvonHelmholtz,diemathematischeEnt- deckung diejenige der nichteuklidischen Geometrie, der Philosophderheute vergessene JohannFriedrichHerbart,diephysikalischeEntdeckung dieallgemeine Relativitätstheo- rieAlbertEinsteins.ZudenLeuten,diezuunrühmlichenFehlurteilengelangten,gehörten V VI Vorwort u.a.derPsychologeWilhelmWundtundderPhilosophBertrandRussell.DerFreund,der sichumdieVeröffentlichungkümmerte,warderMathematikerRichardDedekind.Zuden GenerationennachfolgenderMathematiker,fürderenForschungdieIdeenRiemannseine wesentlicheInspirationwaren,gehörtauchderHerausgeber. WissenschaftlerleseneinenwissenschaftlichenTextüblicherweisevomjetzigenStand derWissenschafther,interpretierenihnimHinblickaufnachfolgendeEntwicklungen,su- chenallenfallsnochnachunausgelotetemPotentialfüraktuellewissenschaftlicheProble- me. Historiker dagegen sindgehalten, die Position eines Textes innerhalbdes Diskurses seiner Zeit zu bestimmen oder seine Entstehung zu rekonstruieren und seine Rezepti- onsgeschichtezuanalysieren.AuchwennindergegenwärtigenDiskussionüberdieRolle derGeisteswissenschaftendieBedeutungdergeschichtlichenWissenschaftenfürdasVer- ständnisderGegenwartindenVordergrundgestelltwird,suchenMathematikernachdem zeitlosenGehaltundnichtnachdengeschichtlichenBedingtheitenwissenschaftlicherTex- te. Für den Wissenschaftler sind Irrwege uninteressant oder ärgerliche Hindernisse auf einemWege,dergeradlinigerhätteverlaufensollen,fürdenHistorikerkönnensiewichti- geEinsichteninideengeschichtlicheAbläufeunddieDynamikvonDiskursenliefern.Für denWissenschaftlersinddaherTexte,derenWirkungverblasstist,ohneInteresse.Fürden HistorikeristdieserInteresseverlustTeilderRezeptionsgeschichte. DiesistderSpannungsrahmen,indersichdieseEditionvonRiemanns„ÜberdieHy- pothesen,welchederGeometriezugrundeliegen“bewegt. DerHerausgeber istFachwis- senschaftler,keinWissenschaftshistoriker.DaherwirddieGeschichteauchhiermanchmal rückwärtsgelesen.InsbesonderesindbeidieserEditioneingehenderephilologischeStudi- enunterblieben. GemäßdemCharakterderReihekonnteauchkeineeigentlich mathematischeDarle- gungderwesentlichenSachverhaltevorgenommenwerden,weildieseinenaufwändigeren Formalismusbenötigt hätte. (Allerdings wirdder mathematischeStellenkommentar von HermannWeylinderFassungvon1923imAnschlussanRiemannsTextwiedergegeben.) Ich habestattdessenversucht, diegrundlegenden KonzepteundtragendenGedanken in Wortenzuerklären,auchwenndadurchdieDarstellungunvermeidlichanPräzisionein- gebüßthat. Wieschonerwähnt,binichkeinMathematikhistoriker.Umsomehrbinichdahereini- genfachkundigenMathematikhistorikern,undzwarErhardScholzundRüdigerThiele,für ihre sehr hilfreichen Kommentare, Korrekturvorschläge und Literaturhinweise dankbar, wobei selbstverständlich die Verantwortung für alle Unzulänglichkeiten der nachfolgen- denAusführungenalleinebeimirliegt.DemHelmholtzexpertenJochenBrüningbinich ebenfallsfürseineeinsichtsvollen Kommentareverpflichtet. FüreinigeKorrekturenkurz vorDrucklegungbinichKlausVolkertdankbar. IchdankeIngoBrüggemann,demBibliothekardesMax-Planck-InstitutesfürMathe- matikindenNaturwissenschaften,undseinenMitarbeiterinnenfürwertvolleundeffizi- enteHilfebeiderLiteraturbeschaffung. Vorwort VII GanzbesondersdankeichnatürlichmeinemFreundeOlafBreidbachfürseineInitiative zur Begründung der wissenschaftsgeschichlichen Reihe, in welcher diese kommentierte AusgabevonRiemannsgrundlegenderSchriftnunerscheinenkann. Leipzig,imAugust2012 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 HistorischeEinführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.1 DasRaumprobleminderPhysik,vonAristotelesbisNewton . . . . . . . . 9 2.2 KantsPhilosophiedesRaumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.3 DereuklidischeRaumalsGrundmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.4 Die Entwicklung der Geometrie: nichteuklidische Geometrie und Differentialgeometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.5 DieEntstehungvonRiemannsHabilitationsvortrag . . . . . . . . . . . . . . . 26 3 RiemannsHabiblitationsvortrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.1 AbgedrucktnachS.304–319derGesammeltenWerke . . . . . . . . . . . . . 29 3.2 StellenkommentarvonHermannWeyl(nachS.740–768dergesammelten WerkevonBernhardRiemann). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4 PräsentationdesTextes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 4.1 KurzeZusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 4.2 DiewesentlichenAussagendesTextes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 4.3 ErläuterungderArgumentationRiemanns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 5 Rezeptions-undWirkungsgeschichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 5.1 Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 5.2 DieWeiterentwicklungderRiemannschenGeometrieunddieEinstein- scheRelativitätstheorie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 5.3 LieunddieTheoriederSymmetriegruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 5.4 WeylunddasKonzeptdesZusammenhangseinerMannigfaltigkeit . . . . 112 5.5 RäumealsMöglichkeitendergeometrischenDarstellungvonStrukturen 115 5.6 Riemann,HelmholtzunddieNeukantianer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 5.7 DieaxiomatischeBegründungderGeometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 5.8 DerKonventionalismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 5.9 AbstrakteRaumkonzepte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 IX X Inhaltsverzeichnis 6 PositionenderForschung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 6.1 DieglobaleStrukturvonMannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 6.2 RiemannscheGeometrieundmodernePhysik . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 7 KommentierteAuswahlbibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 7.1 VerschiedeneAusgabendesTextes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 7.2 Bibliographien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 7.3 Einführungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 7.4 WichtigeMonographienundArtikel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 Glossar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 BiographischerAbrissundZeittafel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
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