Berechnung starr-plastischer Platten mittels finiter Elemente

152 Pages·1973·3.21 MB·German

by  Dr. sc. techn. Hans Knöpfel (auth.)

o
SpringerBaselAG 1973
Ursprunglicherschienen beiBirkhauser VerlagBaselund Stuttgart 1973
ISBN978-3-7643-0689-2 ISBN 978-3-0348-5967-7 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-0348-5967-7
Berechnung starr-plastischerPlatten
mittels finiter Elemente
von
Dr. sc. technoHans Knopfel
InstitutfUrBaustatik
Eidgenossische Technische Hochschule ZUrich
ZUrich
August 1973
VORWORT
Die vorliegende Arbeit wurde von Herrn H. Knopfel als Dissertation (Refe
rent Prof. Dr. B. Thurlimann, Korreferent PO Dr. E. Anderheggen) ausgear
beitet. Sie knupft an fruhere Arbeiten von R. Wolfensberger und E. Ander
heggen an, welche ebenfalls an unserem Institut entstanden sind.
Damit hat eine systematische Entwicklungsarbeit unseres Institutes ihren
Abschluss gefunden. Als ein Resultat dieser Arbeit liegt nun ein Computer
Programm zur Berechnung der Traglast von Stahlbetonplatten vor, welches
sich dank der einfachen Ein- und Ausgabe fur die praktische Anwendung eig
net. Wir erwarten, dass es in vielen Fallen Verwendung finden wird.
Eidgenossische Technische
Hochschule - Zurich Prof. Dr. Bruno Thurlimann
August 1973
INHALTSVERZEICHNIS
Seite
1. Einleitung 7
2. Plastizitatsbedingungen 9
2. 1 Linearisierte Fliessbedingung fur Stahlbetonplatten 9
2.2 8esonderheit en 15
3. Ansatze fur Momente und Verschiebungen 21
3.1 Einfuhrung der Methode der finit en Elemente 21
3.2 Kr iterien f ur die Approximationsfunktionen 28
3.3 Gewahlt e Ansatze 29
4. Lineare Moment e und Verschiebungen 31
4.1 Ansat ze und 8ezei chnungen 31
4.2 Gleichgewichtsbedingungen 32
4.3 Mat hemat i sche Formulierung des Gl eichgewicht es 41
4.4 Randbedingungen 43
4.5 Plastizitatsbedingungen 48
5. Konst ante Momente und lineare Verschiebungen 50
5. 1 Ansatz fur die Momente 50
5.2 Gleichgewichtsbedingungen 52
5. 3 Mathematische Formulierung des Gleichgewichtes 55
5.4 Plastizitatsbedingungen 55
6. Primales und duales Problem 59
6.1 Problemstellung 59
6.2 Kinematischer Aspekt der Fliessbedingung 62
6.3 Kontrol le des Mechanismus 65
6.4 8erechnung des Traglastfaktors 76
7. Optimierungsverfahren 80
7. 1 Aufgabe und L6sungsablauf 80
7.2 Elimination der Gl eichungen 82
7. 3 Elimination der ubrigen freien Variablen 84
7.4 Optimierung 86
7.5 Ouales Problem 90
7.6 Revidiertes Simplexverfahren 95
Seite
8. Anwendung auf praktische Beispiele 101
8.1 Computerprogramme 101
8.2 Eingespannte Ouadratplatte 103
8.3 Kreisplatte 106
8.4 Unendlich ausgedehnte Flachdecke 107
8.5 Orthotrope, schiefe Armierung 110
Anhang A Tatsachliches Verhalten von Stahlbetonplatten 113
Anhang B Mathematische Formulierung des Gleichgewichtes 115
Anhang C Mechanismusmethode mit finiten Elementen 134
Anhang 0 Hinweis auf die optimale Bemessung starr-plastischer
Platten 140
Zusammenfassung 145
Resume 146
Summary 147
Bezeichnungen 148
Literaturverzeichnis 150
- 7 -
1. EINLEITUNG
Das elastische Verhalten von Platten kann heute dank numerischer Verfahren
(z.B. der Met hode der finiten Elemente) weitgehend berechnet werden. Bei
der Met hode der finiten Elemente werden anstelle der exakten Funktionen fur
Schni t t kraf t e und Verschiebungen Naherungsfunktionen verwendet, welche in
einem Teilbereich der Platte (Element) einen einfachen Verlauf haben. Der
Verlauf kann durch eine endliche Anzahl von Parametern spezifiziert werden.
Durch diese Diskretisation wird aus den Differentialgleichungen fur Gleich
g8wicht, Vertraglichkeit und Randbedingungen ein Gleichungssystem mit einer
endlichen Anzahl von Unbekannten. Fur praktische Aufgaben genugend genaue
Resultate konnen mit einem bef ri edigenden Aufwand ermittelt werden.
Die Berechnung des elastischen Verhaltens befriedigt jedoch nicht, wenn die
Si cherhei t auf die Traglast bezogen werden 5011. Es ist oft nicht wirt schaft
lich oder nicht moglich, die Armier ung genau den Schni t tkraft en bei elasti
schem Verhalten anzupassen. Weiter entstehen durch die Annahme, dass sich
die Platten elastisch verhalten, Spannungsspi tzen, die i n Wirklichkeit durch
plastisches Fliessen abgebaut werden konnen, ohne dass die Brauchbarkei t be
eintrachtigt wird. Die Berucksichtigung des nichtelastischen Verhaltens er
moglicht also, einfachere Plattenkonstruktionen im Hoch-, Brucken- und
Schutzraumbau zu verwenden.
Das unelastische Verhalten kann mittels der Met hode der fi ni t en Elemente be
rechnet werden, indem die Lasten schrittweise gest eigert und die Verschie
bungen und Spannungen fur jeden Schrit t mi t den zugehorigen Steifigkeitsei
genschaften ermittelt werden . Damit kann der Zust and des Tragwerkes bei je
der Laststufe berechnet und beurteilt werden (z.B. Entwicklung des Rissbil
des [20J). Diese Met hode ist jedoch sehr aufwendig. Es wurden deshalb Nahe
rungsverfahren entwickelt (z.B. das Verfahren der "initialen Spannungen"
mi t konst ant er Steifigkeitsmatrix [19J).
Fur die Berechnung des st arr -pl ast ischen Verhaltens von St ahlbet onplat t en
wird oft die Bruchlinien-Methode [9J, [2J, [21J verwendet. Diese Met hode
basiert auf dem Sat z uber den obern Grenzwert (jede Belastung, zu der sich
ein instabiler kinematisch zulassiger Bewegungszustand angeben lasst, liegt
ni cht t iefer als die Traglast [4J). Es mussen also verschi edene Mechanismen
(kinematisch zulassige Geschwi ndigkeitsfelder) untersucht werden mit dem
Ziel, eine mogl ichst tiefe Last zu finden. Mi nimalbedi ngungen fur einzelne
geomet rische Parameter konnen formuliert werden , aber die Methode ist nur
fur di ej enigen FaI le gegen grobe Fehler gesichert , bei denen die Bruchlinien
konf i gurat i on bereits bekannt ist (Versuche , Erfahrung). Der Wunsch nach
- 8 -
unteren Grenzwerten der Traglast fuhrte zu einem vereinfachten statisch zu
lassigen Gleichgewichtsmodell [1J, fur das mittels Optimierung ein unterer
Grenzwert der Traglast bestimmt werden konnte . Es wurde dabei eine lineari
sierte Fliessfigur als Plastizitatsbedingung verwendet , damit die lineare
Programmierung verwendet werden konnt e.
Oas Ziel dieser Arbeit ist, Berechnungsverfahren zu finden, mit denen die
Trag last beliebiger starr-plastischer Platten zuverlassig und wirtschaft
lich berechnet werden kann. Dazu wird die Met hode der finiten Elemente be
nutzt . Eine al lgemein gultige, ubersichtliche Darst ellung des Problems und
ein zweckmassiges L6s ungsverfahren sollen gef unden werden . Einen Ueberbli ck
uber die theoretischen Grund lagen findet man in [3J .
In dieser Arbeit wird hauptsachlich die Analyse der starr-plastischen Plat
ten, d.h. die Bestimmung der Traglast bei bekannter Armierung, behandelt .
Auf ein Verfahren fur die optimale Bemessung wi rd im Anhang D hingewiesen .
Fur die grundlegenden Kenntnisse in der Berechnung des starr-plastischen Ver
haltens von Platten [1J, [4J sowie in linearer Programmierung [5J , sei auf
die Literatur verwiesen . Die hier verwendeten Bezeichnungen sind am Schluss
zusammengest el lt sowie bei ihrer Einfuhrung definiert . Neben der ublichen
Matrixschrefbweise wi rd auch - wenn eine einfache Darstellung resultiert
die Indexschreibweise benutzt, wobei partielle Ableitungen als untere Indi
ces mit vorangehendem Komma (aw/an = w ) geschrieben werden. Bei der Index-
, n
schreibweise wi rd die Summenkonvention fur untere Indices benutzt
T
({a} {b} = a . b.) .
1 1
Die folgende Zusammenfassung diene als Ueberblick uber die Arbeit . Am Anfang
wird die Fliessbedingung fur starr-plastisches Mat er i alver halten diskutiert
(Kapitel 2) . Dann wi rd das Problem nach dem statischen Gr enzwert sat z berech
net. Voraus werden einige kennzei chnende Eigenschaften der Approximation
durch fi nite Elemente zusammengefasst und das l ineare Programm allgemein her
geleitet (Kapit el 3) . Nachher werden die Gleichgewichts- und Plastizitats
bedingungen fur zwei Modelle formul i er t (Kapitel 4 und 5) . Anschliessend
wi rd gezeigt, dass das duale Programm die Berechnung nach dem ki nemat ischen
Grenzwertsatz enthalt (Kapitel 6). Die L6sung der linearen Programme wird
mi t t els eines speziellen Optimierungsverfahrens berechnet (Kapi t el 7).
Schliesslich werden die Computerprogramme und die Resultate der Berechnung
praktischer Beispiele beschrieben (Kapitel 8).
- 9 -
2. PLAST1Z1TAETSBED1NGUNGEN
2.1 Linearisierte Fliessbedingung fur Stahlbetonplatten
Als Gr undlage wird die bekannte Fliessbedingung von Johansen [9J verwendet.
Sie bezi eht sich auf eine ort hogonale Armierung und die zugeh5rigen plasti
schen Momente in einem bestimmten Bereich der St ahlbet onplat t e.
-
1
Pi = 21 Z1 = Fe1 of Z1
/
P2 = 22 Z2 = Fe2 of z2
BiLd 2.1 Positive plastische Hauptmomente
1m Bi ld 2.1 sind F und F die Ouerschnittsflachen der Armierungsstahle
e1 e2
pro Einheitslange, of i st die Fliessspannung der Armierungsstahle und z1
ist der Hebelarm fur das positive plastische Hauptmoment P Die negativen
1.
plast ischen Hauptmomente N und N werden analog definiert. Es wird an genom
1 2
men, dass keine Dril lungsmoment e in den Richt ungen 1 und 2 existieren, weil
die Zugkrafte keine Komponent e parallel zur Schnit tflache haben.
Die Fliessbedingung in Funktion der Moment e in Richtung der Armierungen hat
eine rechteckige Form, d.h. die plastischen Moment e der Platte in den bei
den Hauptrichtungen hangen nicht voneinander abo
zulCissiger Bereich
BiLd 2.2: .Johonsen'sche Fliessbedingung
- 10 -
Gesucht sei nun die Formulierung der Fliessbedingung fur orthogonale Armie
rung im Koordinatensystem (x-y) . Die plastischen Widerstande lassen sich
mit t els Gleichgewichtsbedingungen an einem infinitesimalen Dreieckelement
berechnen .
x
y
Bild 2.3: Positive plastische Momente
Aus Gleichgewichtsgrunden ist
Px = P1 cos2ex + P2 sin2ex
Py = P1 sin2 ex + P2 cos2ex (2.1)
Pxy = ~ (P1 - P2) sin 2ex
Die Wi derstande P und P sind die Biegemomente, die im entsprechenden
x y
Schnitt aufgenommen werden konnen; P ist das Drillungsmoment , das zusatz-
xy
l ich dazu aufgenommen werden kann . Bei der Transformation setzt man starr-
plastisches Verhalten voraus . Die Fliessspannung ist also in allen Armie
rungsstaben erreicht, die einen plastifizierten Schnitt kreuzen . Eine Folge
dieser Voraussetzung ist, dass z .B. nicht nur m = P , sondern auch m = P
x x xy xy
ist, wenn der Schnitt senkrecht zur x-Axe plastifiziert ist. Diese Annahmen
haben sich bei Versuchen als befriedigende Naherung fur das wir kli che Ver
halten erwiesen (siehe Anhang A).
Bis jetzt wurde vorausgesetzt, dass die Armierung orthogonal sei. Wenn die
Armier ung nicht orthogonal ist, konnen zunachst die Zugkrafte der Armierungs
stabe im Koordinatensystem (x-y) berechnet werden.