Berechnung längsstarrer Rahmen / Untersuchungen zur Beulwertberechnung von Rechteckplatten PDF
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FORSCHUNGSBERICHTE DES LANDES NORDRHEIN-WESTFALEN Nr.1490 Herausgegeben im Auftrage des Ministerpräsidenten Dr. Franz Meyers von Staatssekretär Professor Dr. h. c. Dr. E. h. Leo Brandt Christoph Heinrich Dr. Joseph Hintzen Mathematischer Beratungs- und Programmierungsdienst GmbH Rechenzentrum Rhein-Ruhr, Dortmund Berechnung längs starrer Rahmen Untersuchungen zur Beulwertberechnung von Rechteckplatten Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH ISBN 978-3-663-06218-9 ISBN 978-3-663-07131-0 (eBook) DOI 10.1007/978-3-663-07131-0 Verlags-Nr. 011490 © 1965 b y Springer Fachmedien Wiesbaden Ursprünglich erschienen bei Westdeutcher Verlag, Köln und Opladen 1965. Gesamtherstellung : Westdeutscher Verlag' Berechnung längs starrer Rahmen Inhalt Einleitung ........................................................ 9 Knoten .......................................................... 10 Momenten- oder Querkraftgelenk .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Verschiebungsgleichungen .......................................... 13 1. Lastfall ........................................................ 13 Zustandsgrößen ................................................... 15 Literaturverzeichnis ................................................ 17 7 Einleitung Das vorliegend beschriebene Verfahren dient der Berechnung von längs starren Rahmen. Es wird die Kenntnis der Arbeit [1] vorausgesetzt, so daß eine kurze Darstellung des Sachverhaltes erreicht wird. Da das in [1] veröffentlichte Ver fahren vorwiegend für längselastische Rahmenstäbe gedacht ist und damit im Falle von starren Stäben versagt oder zu numerischen Schwierigkeiten führt, sollen mit dem vorliegenden Verfahren diese Schwierigkeiten behoben werden. In beiden Fällen handelt es sich um Iterationsverfahren. Ergaben sich im Falle der Arbeit [1] Konvergenzschwierigkeiten, d. h. erhebliche Rechenzeiten oder gar Divergenz, so wird im vorliegenden die Konvergenz beträchtlich beschleu nigt, d. h., die Rechenzeiten werden erheblich reduziert. Im übrigen verwenden wir wie in [1] die Darstellung mit Hilfe der Matrizen-und Vektorrechnung, wodurch die Programmierung erleichtert wird, da doch wohl in den meisten Rechenzentren der Matrizenkalkül standardmäßig programmiert ist. Weiterhin werden im vorliegenden nur die Knotenverdrehungen iterativ be stimmt, hingegen die Riegel- bzw. Stielverschiebungen mittels eines linearen, Gleichungssystems. Der Grad dieses Systems bestimmt sich lediglich als Summe der Riegel- und Stielanzahl, so daß der Speicherbedarf des zugehörigen Koef fizientenschemas erträglich ist, selbst bei größeren Rahmen. 9 Knoten Unter einem Knoten verstehen wir einen Punkt des Stabwerkes, in welchem mindestens zwei Stäbe zusammenkommen. Die Knoten werden abgezählt: k = 1, ... , k (k ist die Knotenanzahl). Die Stäbe, die in einem Knoten zusam menkommen, zählen wir ab O"k = 1,2,3,4 (s. Abb. 11). Stiel -a=-2- --4K- --a=-4- Riegel Die Rechenrichtung für die Stäbe denken wir uns vom anliegenden zum ab liegenden Stabende. w O"k' Vi O"k sei die Durchbiegung am anliegenden, abliegenden Ende des Stabes O'k; CPO"k' qlO'k die Winkelneigung am anliegenden, abliegenden Ende des Stabes O"k. A~O"k), A~O"k) sei das Moment, die Querkraft am anliegenden Stabende. Der Zustandsvektor am anliegenden Stabende ergibt sich dann wie folgt: Cf) (D .. (D . @. ID~·~ ~ ~ A\~) A\~ ~ + + + (1) + + = U(O"k) . q, m(O'k) . a(O'k) .&(O'k). a(O"k) = (A~ak») o O'k 0 0 ' A (0"1d . 2 Durch fortlaufende Multiplikation mit den Feldmatrizen ~O'k) ergibt sich dann der Zustandsvektor am abliegenden Stabende : m(O"k) = U(O'k) . cP + m(O"k) . a(O"k) + .&(0'1<) (2) ~D n O'k n n wobei n die Feldanzahl des Stabes O"k bedeutet. Aus Y(O'k) = w Y(O'k) = -cP folgt gemäß (2) In O"k ' 2n O'k (3) 10 (4) mit und Es gilt demnach: (Sa) (Sb) Weiterhin folgt aus ~ M = 0: k ~ A~crk) = k ~ g!(crk) . tjlcrk + k ~ g~crk) . ~crk + ~ ,Wk) = 0 (6) oder, indem wie die Stabendverdrehungen tjlcrk gleich den Knotenverdrehungen + + tjl(k) (tjlcrk = tjl(k») setzen: tjl(k). k ~ gi(crk) ~ g~crk) . ~crk ~ d~crk) = 0 oder -(crk) <p(k) = k ~ g(crk) . ~crk + d(k) mit g(crk) = - ~ . d(k) = ~ d(crk). (7) g!(crk) , 1 Vorstehende Gleichung ist die Iterationsgleichung. Sie gilt unter der Voraus setzung' daß die Verschiebungen w crk' Vi crk für alle Stiele und Riegel bekannt sind. Hat man eine Näherung für die Verdrehungen der abliegenden Knoten ~crk' so ergibt sich nach (6) eine verbesserte Näherung für die Verdrehung tjl(k) am Knoten k. Dieses Iterationsprinzip wird für alle Knoten solange durchgeführt, bis sich an allen Knoten keine wesentliche Änderung der Verdrehung mehr ergibt. 11 Momenten- oder Querkraftgelenk Ein Momentengelenk am anliegenden Stabende bewirkt einfach, daß der Stab ak in der Summierung gemäß (6) und (7) unberücksichtigt bleibt, da er beim Momentengleichgewicht keinen Anteil erbringt. Im Falle der Querkraftgelenke am anliegenden Stabende setzen wir wak = A~ak). Der Zustandsvektor lautet dann: Die weiteren Überlegungen (2)-(6) gelten unverändert. Ein Momentengelenk am abliegenden Stabende bedeutet Y~~k) = O. Aus (2) folgt: mit Danach ergeben sich (4)-(6) analog. Im Falle eines Querkraftgelenkes am abliegenden Stabende gilt: Y~~k) = O. Aus (2) folgt dann: qiak) _ (v~~kl) (akl (d~~k») mit m(akl = (V~~k) v~~kl) ( o - V~~k) . <Pak + m . a + d~~k) V~~k) vi~kl Die GIn. (4)-(7) folgen analog. 12 Verschiebungsgleichungen Jedem Riegel bzw. Stiel ist eine Verschieblichkeit X" in Längsrichtung zu geordnet, wobei wir die Riegel und Stiele von" = 1, ... , t abgezählt haben. Diese Längsverschiebungen X" entsprechen den Durchbiegungen w der Stab O"k enden, die in den Knoten k des Riegels oder Stiels " in Querrichtung zum Riegel oder Stiel anliegen. Wir gewinnen nun die gesuchten Gleichungen für die Verschiebungen X" + mittels Überlagerung von t 1 Lastfällen. 1. Lastfall : Vorgegebene äußere Belastung am unverschieblichen Stockwerkrahmen. Un verschieblichkeit bedeutet w = 0 für alle Stabenden des Stabwerkes. Die O"k Verdrehungen für diesen Lastfall ergeben sich iterativ gemäß (7), wobei cp(k) (jÜ) der vorgegebenen äußeren Belastung entspricht. Die Querkräfte an den Stabenden ergeben sich gemäß (S b) bei jetzt bekannten = (= cp(k) CPO"k ;PO"k)' Im Falle eines Riegels ;r gilt für die Stab enden der Stiele, die in den Knoten k des Riegels anliegen: Im Falle eines Stiels " gilt für die Stabenden der Riegel, die in den Knoten k des Stiels anliegen: (" + 1). Lastfall (" = 1, ... , t): Dem Riegel bzw. Stiel " wird die Verschiebung X" = 1 in Längsrichtung erteilt unter Festhaltung aller anderen Riegel bzw. Stiele; d. h. X:r = 0 für " =1= ;r. Dies bedeutet WO"k = 0 für alle Stabenden, deren Durchbiegung nicht mit der Verschiebung X" = 1 zusammenfällt. Die Verschiebung X" = 1 ent spricht der Durchbiegung w = 1 derjenigen Stabenden, die in Querrichtung O"k in den Knoten k des Riegels bzw. Stiels " anliegen. Die Verdrehungen cp(k) ergeben sich iterativ gemäß (7), wobei der vorgegebenen Belastung w O"k = 1 d(k) der zuletzt genannten Stabenden entspricht. Auch im vorliegenden Fall be stimmen sich die A~O"k) gemäß (Sb). Im Falle der Riegel ;r gilt für die Stabenden der Stiele, die in den Knoten k des Riegels anliegen: 13
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