BENJAMIN MEDENČEVIĆ i ANA ŠIMOVIĆ Visokostijeni nosači i Mawellova jednadžba

244 Pages·2011·16.88 MB·Croatian

MMAAXXWWEELLLLOOVVAA JJEEDDNNAADDŽŽBBAA

VISOKOSTIJENI NOSAČI

SSSSEEEEMMMMIIIINNNNAAAARRRRSSSSKKKKIIII RRRRAAAADDDD

Kolegij:

PPPPrrrriiiimmmmiiiijjjjeeeennnnjjjjeeeennnnaaaa mmmmaaaatttteeeemmmmaaaattttiiiikkkkaaaa

Studenti:

BBBBeeeennnnjjjjaaaammmmiiiinnnn MMMMeeeeddddeeeennnnččččeeeevvvviiiićććć
AAAAnnnnaaaa ŠŠŠŠiiiimmmmoooovvvviiiićććć

Zagreb, 2011.
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU
GGGGRRRRAAAAĐĐĐĐEEEEVVVVIIIINNNNSSSSKKKKIIII FFFFAAAAKKKKUUUULLLLTTTTEEEETTTT
ZAVOD ZA MATEMATIKU

KATEDRA ZA MATEMATIKU

SSSSAAAADDDDRRRRŽŽŽŽAAAAJJJJ

11.. UUVVOODD

22.. MMAAXXWWEELLLLOOVVAA JJEEDDNNAADDŽŽBBAA
2.1. STANJE RAVNINSKE DEFORMACIJE I RAVNINSKOG
NAPREZANJA

2.2. AIRYJEVA FUNKCIJA NAPREZANJA

2.3. AIRYJEVA FUNKCIJA I UVJETI NA KONTURI. LEVYJEVE
JEDNADŽBE

2.4. HARMONIJSKE I BIHARMONIJSKE FUNKCIJE
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU
GGGGRRRRAAAAĐĐĐĐEEEEVVVVIIIINNNNSSSSKKKKIIII FFFFAAAAKKKKUUUULLLLTTTTEEEETTTT
ZAVOD ZA MATEMATIKU

KATEDRA ZA MATEMATIKU

33.. VVIISSOOKKOOSSTTIIJJEENNII NNOOSSAAČČII
3.1. MODEL VISOKOSTIJENOG NOSAČA

3.2. POTENCIJALNA FUNKCIJA I MAXWELLOVA JEDNADŽBA

3.3. KORIŠTENJE IZRAZA ZA KOMPONENTE NAPREZANJA ZA
DOBIVANJE IZRAZA ZA KOEFICIJENTE

3.4. ODREĐIVANJE POTREBNIH KOEFICIJENATA

3.5. IZRAŽENA POTENCIJALNA FUNKCIJA

3.6. IZRAŽENE KOMPONENTE NAPREZANJA

3.7. IZVOD IZRAZA ZA NAPREZANJA U „MATHEMATICI“

44.. PPRROOGGRRAAMM „„VVIINNOO““
4.1. OPIS PROGRAMA „VINO“

4444....2222.... IIIINNNNPPPPUUUUTTTT PPPPRRRROOOOGGGGRRRRAAAAMMMMAAAA „„„„VVVVIIIINNNNOOOO““““
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU
GGGGRRRRAAAAĐĐĐĐEEEEVVVVIIIINNNNSSSSKKKKIIII FFFFAAAAKKKKUUUULLLLTTTTEEEETTTT
ZAVOD ZA MATEMATIKU

KATEDRA ZA MATEMATIKU

4444....3333.... KKKKOOOODDDD PPPPRRRROOOOGGGGRRRRAAAAMMMMAAAA „„„„VVVVIIIINNNNOOOO““““

55.. PPRRIIMMJJEERRII VVIISSOOKKOOSSTTIIJJEENNOOGG NNOOSSAAČČAA
5.1. ZADATAK 1. - VISOKOSTIJENI NOSAČ

5.2. RJEŠENJE ZADATKA 1. - VISOKOSTIJENI NOSAČ – RUČNO

5.3. RJEŠENJE ZADATKA 1. - VISOKOSTIJENI NOSAČ – „VINO“

5.4. ZADATAK 2. - VISOKOSTIJENI NOSAČ

5.5. RJEŠENJE ZADATKA 2. - VISOKOSTIJENI NOSAČ – „VINO“

66.. PPRRIILLOOZZII
6.1. IZVOD IZRAZA ZA NAPREZANJA U „MATHEMATICI“

6.2. KOD PROGRAMA „VINO“ – JEZGRA

6.3. PROGRAM „VINO“
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU
GGGGRRRRAAAAĐĐĐĐEEEEVVVVIIIINNNNSSSSKKKKIIII FFFFAAAAKKKKUUUULLLLTTTTEEEETTTT
ZAVOD ZA MATEMATIKU

KATEDRA ZA MATEMATIKU

6.4. RIJEŠEN ZADATAK 1. VISOKOSTIJENOG NOSAČA U
PROGRAMU „VINO“

6.5. RIJEŠEN ZADATAK 2. VISOKOSTIJENOG NOSAČA U
PROGRAMU „VINO“

6.6. POWER POINT PREZENTACIJA

77.. ZZAAKKLLJJUUČČAAKK

88.. LLIITTEERRAATTUURRAA
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU

GGGGRRRRAAAAĐĐĐĐEEEEVVVVIIIINNNNSSSSKKKKIIII FFFFAAAAKKKKUUUULLLLTTTTEEEETTTT
ZAVOD ZA MATEMATIKU
KATEDRA ZA MATEMATIKU

11.. UUVVOODD
Pod zidovima i stijenama u konstrukcijama podrazumijevamo tanke pločaste
nosive dijelove konstantne debljine čija je srednja ploha postavljena u ravnini a koje su
izložene djelovanju opterećenja upravo u toj srednjoj ravnini. Za takve konstrukcije
kažemo da su ravninske jer je stanje opterećenja i odgovor konstrukcije definiran u
srednjoj ravnini. Zidovi zgrada i sličnih građevina kada ih se promatra u njihovoj ravnini
učestali su primjeri ravninskih konstrukcija često velikih površina i složenih uvjeta
pridržanja. Osobito su složeni kad imaju otvore u sebi i/ili su dio složenog sustava
zidova kao nosivih konstrukcija zgrada.

Stijenama smatramo manje i po opterećenjima i rubnim uvjetima jednostavnije
ravninske konstrukcije. Poseban slučaj stijena predstavljaju visokostijeni nosači raznih
oblika. Analitička i numerička podloga za njihovu statičku analizu utemeljena je u stanju
ravninskog naprezanja a ponekada i u stanju ravninskih deformacija.

1
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU

GGGGRRRRAAAAĐĐĐĐEEEEVVVVIIIINNNNSSSSKKKKIIII FFFFAAAAKKKKUUUULLLLTTTTEEEETTTT
ZAVOD ZA MATEMATIKU
KATEDRA ZA MATEMATIKU

22.. MMAAXXWWEELLLLOOVVAA JJEEDDNNAADDŽŽBBAA
2.1. STANJE RAVNINSKE DEFORMACIJE I RAVNINSKOG
NAPREZANJA

Mnoga elastična tijela se deformiraju tako da se pojavljuju komponente
naprezanja samo u jednoj ravnini, npr. xy, dok su komponente naprezanja u okomitoj
ravnini ili u dvije u dvije ostale ravnine jednaki nuli. Takvi problemi se nazivaju općenito
rrrraaaavvvvnnnniiiinnnnsssskkkkiiiimmmm pppprrrroooobbbblllleeeemmmmiiiimmmmaaaa i njihovo rješavanje je jednostavnije od rješavanja prostornih
problema, jer broj uvjetnih jednadžbi smanjuje i jer u matematici postoje postupci koji
se ne mogu primjeniti u prostornim zadacima.

Zamislimo najprije jedno cilindrično ili prizmatično tijelo između dva oslonca na
q q
stalnom razmaku a, te da opterećenje 1, 2 itd. stalne veličine djeluje duž izvodnica i
nalazi se u ravnoteži tako da nema savijanja. Takvo tijelo prikazano je na slici 1.

x
q
1
h
z
a
q
1
y

SSSSlllliiiikkkkaaaa 1111.... CCCCiiiilllliiiinnnnddddrrrriiiiččččnnnnoooo ttttiiiijjjjeeeelllloooo iiiizzzzmmmmeeeeđđđđuuuu ddddvvvvaaaa oooosssslllloooonnnnccccaaaa
Ako zamislimo to tijelo razrezano okomito na os z na tanke diskove debljineh , očito je
da će se svi diskovi po dužini tog tijela nalaziti u jednakom stanju, tj. za sve će biti:
w=0 u „ 0 v „ 0

2
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU

GGGGRRRRAAAAĐĐĐĐEEEEVVVVIIIINNNNSSSSKKKKIIII FFFFAAAAKKKKUUUULLLLTTTTEEEETTTT
ZAVOD ZA MATEMATIKU
KATEDRA ZA MATEMATIKU

gdje suu ,v iw pomaci u smjerux ,y iz .

Kažemo da se ovako deformirano elastično tijelo nalazi u ssssttttaaaannnnjjjjuuuu rrrraaaavvvvnnnniiiinnnnsssskkkkeeee ddddeeeeffffoooorrrrmmmmaaaacccciiiijjjjeeee. U
tim slučajevima se javljaju deformacije u samo dva smjera, dok je u trećem smjeru
deformacija jednaka nuli, stoga možemo reći da su deformacije samo unutar jedne
ravnine. Postoje mnoge konstrukcije ili dijelovi konstrukcija koje se deformiraju na
ovakav ili sličan način; na primjer dugi tuneli, cijevi ukopane u stijenu, dugi valjci između
ravnih ploča, široki svodovi itd.

Ako analiziramo takav način deformiranja, Hookeov zakon daje:
¶ w 1 [ ( )]
e = =0= (cid:215) s - n (cid:215) s +s
z ¶ z E z x y
( )

s =n (cid:215) s +s
z x y
s s
Prema tome, pojavljuje se komponenta naprezanja u smjeruz , jer je očito da su x i y
različiti od nule. Iz toga proizlazi:
1 [ ] 1 [ ] 1 [ ]
e = s - n (s +s ) = s - ns - n 2(s +s ) = s - ns - n 2s - n 2s )
x E x y z E x y x y E x y x y
1 [ ] 1- n 2  n 
e = s (1- n 2)- ns (1+n ) = s - (cid:215) s
 
x E x y E  x 1- n y
1 [ ] 1 [ ] 1 [ ]
e = s - n (s +s ) = s - ns - n 2(s +s ) = s - ns - n 2s - n 2s )
y E y x z E y x x y E y x x y
1 [ ] 1- n 2  n 
e = s (1- n 2)- ns (1+n ) = s - (cid:215) s
 
x E y x E  y 1- n x

Te dvije jednadžbe mogu se pisati i u ovom obliku:
1 [ ]
e = s - n (cid:215) s
x E x 1 y
1
1 [ ]
e = s - n (cid:215) s
y E y 1 x ,
1
gdje je E n
E = n =
1 1- n 2 1 1- n .

G G
Modul posmika 1 ostaje jednak modulu posmika što se vidi iz slijedećeg:

3
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU

GGGGRRRRAAAAĐĐĐĐEEEEVVVVIIIINNNNSSSSKKKKIIII FFFFAAAAKKKKUUUULLLLTTTTEEEETTTT
ZAVOD ZA MATEMATIKU
KATEDRA ZA MATEMATIKU

E E E
( )( )
G = m = ( E1 ) = 1- n 2 = 1- n 2 = 1- n 1+n = (E ) =G = m
1 1 21+n  n  1- n +n  1 2(cid:215) 1+n
1 21+  2  2(cid:215) ( )
 1- n   1- n  1- n

Prema tome, oblik jednadžbi kojima se izražava Hookeov zakon ostaje jednak onome u
prostornih problema samo se mijenja veličina elastičnih konstanta kad se deformacije
izražavaju naprezanjima.
Dakako da to vrijedi za izotropna tijela.
Promotrimo sada drugu grupu Hookeovih jednadžbi
s =l (cid:215) D +2(cid:215) m (cid:215) e
x 1 x
s =l(cid:215) D +2(cid:215) m (cid:215) e
y 1 y
s = l(cid:215) D
z 1
gdje je ¶ u ¶ v ¶ w ¶ u ¶ v
D =e +e +e = + + = +
1 x y z ¶ x ¶ y ¶ z ¶ x ¶ y
jer je ¶ w
e = =0
z ¶ z .

Kako se vidi, Laméove konstante elastičnosti ne mijenjaju se i oblik jednadžbi ostaje
jednak onome u prostornih problema. Odsječeni disk koji je bio predmet promatranja
može se promotriti na slici 2.
y
P
1 P
2
h
z x
P
i

SSSSlllliiiikkkkaaaa 2222.... PPPPrrrroooommmmaaaattttrrrraaaannnniiii iiiissssjjjjeeeeččččaaaakkkk ((((ddddiiiisssskkkk))))

4
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU

GGGGRRRRAAAAĐĐĐĐEEEEVVVVIIIINNNNSSSSKKKKIIII FFFFAAAAKKKKUUUULLLLTTTTEEEETTTT
ZAVOD ZA MATEMATIKU
KATEDRA ZA MATEMATIKU

Drugu vrstu ravninskih problema nalazimo kod ravnih, tankih ploča u kojih opterećenje
djeluje u ravnini ploče. Pretpostavlja se da opterećenje djeluje linijski po širini ploče h.
Ako se koordinatni sustavx y, ,z smjesti tako da ishodište bude u sredini debljine ploče a
osi x i y u srednjoj ravnini, onda će pod djelovanjem opterećenja sve tri komponente
pomakau v,ww,= 0biti različite od nule. Iznimku čine točke u srednjoj ravnini za koju je zbog
simetrije . Kako pomaci u smjeru osiz nisu spriječeni, a u tom smjeru ne djeluje
h
z = –
vanjsko opterećenje, očito je na pobočkama ploče za 2
s =0
z

dok su druga dva smjera napreszan„ja0 zavisna od kordsina„ ta0x ,y iz , tj.
x y
s s
Ako je debljina ploče mala, može se bez velike pogreške uzeti da veličine x i y ne
zavise od koordinatez , već su predstavljene prosječnom veličinom

+h +h
1 2 1 2
s = (cid:215) ∫s ' dh s = (cid:215) ∫s ' dh
x h x i y h y
h h
- -
2 2

te da je i treća komponenta normalnog naspre=z0anja po čitavoj debljini ploče
z .

Takvo stanje naziva se ssssttttaaaannnnjjjjeeee rrrraaaavvvvnnnniiiinnnnsssskkkkoooogggg nnnnaaaapppprrrreeeezzzzaaaannnnjjjjaaaa. Analogno stanju ravninskih
deformacija, gdje je jedan smjer deformacija bio nula, ovdje su naprezanja u jednom
smjeru nula, dok u druga dva smjera imamo naprezanja, stoga i možemo reći da se
naprezanja nalaze u jednoj ravnini.
Mnogi dijelovi konstrukcija nalaze se u takvom stanju deformiranja, kao npr.
visokostijeni nosači, tzv. dijafragme u prostornih konstrukcija itd. Primjer takvih
konstrukcija može se promotriti na slici 3.

SSSSlllliiiikkkkaaaa 3333.... NNNNeeeekkkkeeee kkkkoooonnnnssssttttrrrruuuukkkkcccciiiijjjjeeee ssssaaaa rrrraaaavvvvnnnniiiinnnnsssskkkkiiiimmmm ssssttttaaaannnnjjjjeeeemmmm nnnnaaaapppprrrreeeezzzzaaaannnnjjjjaaaa

5