Belin Metamaths Premiere Programme 2020

338 Pages·2020·46.318 MB·French

by  Belin

1
re
Enseignement
de spécialité
NOUVEAU PROGRAMME
M t hs
Collection metamaths

NOUVEAU PROGRAMME
M ths
1
Collection metamaths re
Enseignement
de spécialité
Sous la direction de
Françoise Hérault
Brigitte Sotura
Auteurs
Sylvie Alory
Géraldine Bonal
Fabrice Charlemagne
Catherine Divoux
Mickaël Kourganoff-Lemoine
Marie-Noëlle Lamy
Matthieu Mossot
Monique Pariès
Jacqueline Penninckx
Françoise Pilorge
Renaud Pouliquen
Guillaume Saës
Gaëlle Temam
Avec la participation d’Aline Robert et de l’IREM de Paris
(Institut de recherche sur l’enseignement des mathématiques)
PROF PROF
Sommaire
Info Vidéo
Découvrir le manuel
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 4
Dérivation — Application
Programme et mise en œuvre
aux fonctions non polynomiales
dans le manuel . . . . . . .90
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5
Des exemples au cours
1
Dérivées des fonctions inverse,
racine carrée et valeur absolue. . . . . . . . . . . . . . .92
Algorithmique et programmation
2
Dérivées d’un produit et d’un quotient . . . . . . . .94
3
1 Dérivée de x  g(ax + b) et
Algorithmique et programmation
. . . . . .10 tableau récapitulatif. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .96
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
1
Revoir la notion de fonction . . . . . . . . . . . . . . . . .11
2
Revoir les boucles bornées et non bornées. . . . .12
3
Revoir l’instruction conditionnelle . . . . . . . . . . . .14
5
4 Suites numériques
Les listes : dénitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5
Dénition en compréhension d’une liste. . . . . . .18
Des exemples au cours
1
Génération d’une suite de nombres . . . . . . . . . 118
2
Suites arithmétiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
3
Suites géométriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
Algèbre et analyse
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
2
Fonctions polynômes du second degré
. .22
6
Comportement
Des exemples au cours
d’une suite numérique
. . . . . . . . . . . . . . . 146
1
Forme développée et forme canonique. . . . . . . .26
2
Variations et représentation graphique. . . . . . . .28 Des exemples au cours
3
Équations du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . .30
1
Sens de variation d’une suite . . . . . . . . . . . . . . 150
4
Factorisation d’un polynôme du second degré. .32
2
Sens de variation des suites arithmétiques
5
Signe d’un polynôme du second degré . . . . . . . .34
et géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42 3 Limites de suites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
3
Dérivation — Application
aux fonctions polynômes
. . . . . . . . . . . . . . .58 7
Fonction exponentielle
. . . . . . . . . . . . . . . 172
Des exemples au cours
Des exemples au cours
1
Taux de variation et nombre dérivé. . . . . . . . . . .62
1
2 Caractérisation de la fonction exponentielle . . 176
Tangentes à une courbe et fonction dérivée. . . .64
2
3 Propriétés algébriques — Notation ex . . . . . . . 178
Dérivée d’une fonction polynôme . . . . . . . . . . . .66
4 Dérivée et sens de variation. . . . . . . . . . . . . . . . .68 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .76
2
Probabilités et statistiques
8
Trigonométrie
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
11
Probabilités
Des exemples au cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
1
Cercle trigonométrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
Des exemples au cours
2
Cosinus et sinus d’un nombre réel . . . . . . . . . . 198
1
Probabilités conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . 272
3
Fonctions trigonométriques. . . . . . . . . . . . . . . . 200
2
Arbre de probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 3
Événements indépendants. . . . . . . . . . . . . . . . . 276
4
Variable aléatoire réelle —
Loi de probabilité — Espérance. . . . . . . . . . . . . 278
5
Variance —
Écart-type d’une variable aléatoire . . . . . . . . . 280
Géométrie Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
9
Produit scalaire
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
Des exemples au cours
1
Norme de vecteurs —
Critères d’orthogonalité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
2
Dénition du produit scalaire —
Bilinéarité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
Vocabulaire ensembliste et logique
. . . . . . . . . . 308
3
Projeté orthogonal —
Expression du produit scalaire Enaînemen au BAC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
avec un angle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 Ciés des execices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
Mdes d’empli des calculaices
e liciels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rabats de couverture
10
Applications du produit scalaire
. . . . . 244
Des exemples au cours
1
Orthogonalité et équations de droites. . . . . . . 246
2
Équations de cercle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
3
Calculs de longueurs et d’angles
dans un triangle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
© Belin Éducation/Humensis, 2019
170 bis, boulevard du Montparnasse,
75680 Paris cedex 14 ISBN 979-10-358-0414-5
SoMMAIrE 3
Découvrir le manuel
Ce pictogramme indique des ressources à télécharger sur
www.belin-education.com/mathematiques-1re-2019
L’ouverture de chapitre
Mobiliser les acquis
2 Fonctions polynômes Mob illeiss earc quis Des exercices
CHAPItrE du second degré 1 pour vérier
Associer à chaque expression développée (de A() à F())
son expression factorisée (de ) à )).
 A( 16  (1 )(2 1) ses connaissances
 B( 25 40 16  (3
 C( 15  (4
 D( 12 9  (4 )(4
 E( 16 80 100  (1
 F( 10 1  4(5
2. Factoriser les expressions suivantes à l’aide des identités remarquables.
9 1 5 12 18
2) 4 3( 1) 15
2
De quelle(s) équation(s) le nombre 3 est-il solution ?
3 0 4 (2 5)( 3)
3
Découvrir
On considère les fonctions définies sur ℝ par (2 3)(4 1),
(1 )(3 2) et 3).
Résoudre dans ℝ les trois équations suivantes : 0 ; 0 et 0.
2. Dresser le tableau de signes de chacune des trois fonctions.
En déduire les solutions dans ℝ des inéquations suivantes :
0 ; 0 et 0.
4
Découvrir
4 2
dLeus c nhoatpiiotnres pour la résolution des équations de degré 2. 2sPo o. ssnsssssuiiiiiiLit r o vtgoriauqitu e 22 5es523,,1 , , oa,a,r, a aéalulaalooleol lloorforolrassr,rrsrs u sss s ses>>, 44p 9..9u.i s justifier. activité 16 1 dLsqLdfsdeoaooetuee n nesr ’dtollcs tr’aepantq a d ihbi vujloraeaey,i’n post casuhe tnpidrnoascl eéeesiliullaeer e ltloetnenle asei csu np)lpnfe .lri emoea Lt uuri i reocnamdtnason lib êet eubtceiot r aroadrelblele euenlbe fo mtfb dn eiqaauco sdilu dtlelsa oeaélnn,annkl tiss ,scsr i eed ée uoreepn.tn r sp pé naa sae éredntg n iuilretine gardec et(dé oti coieplùooan e nb ua nrd aré,d b’ssubekei nsne tetta , nc ce activité 3 DS23Ao.. i A Q Jldeét a Cus evu tcsc oee l touaucoluilufn nelcrire ue obabrc ruélxoee voerqen sgb풞lu j rdieednecec iio ’selt rérn’seuelaqy l rpxGonmeuureenu éa péo lndsl tteGeeeeriut eeoniss etb tin-o garod fr nanyuneda,etn o fcl leadanmar éien fcrfeo éeoorine un slcsurcult bntireioe ocln ’n ua풞 d rdllséueefruien r pi e a seunrrt aurℝenrb e eCp rppoeo5arpamr ée rèlsmatree ebn 5e (otsoo ,ap lùrpne ot htuud o lireaesG n ls safocetoo rofuonmmonncGnmsé trict eoéedtrinetubuo l li ndr’prdoéaelocraf ainingnrn,irin eéélae ,sn ducdoaorun nu rsrne b puupelanè) r rees.t Découvrir
Courbes d’équation y
Créer dans une nouvelle fenêtre un curseur dans
22 l’intervalle [3 ; 3]. Construire les courbes 풞 et 풞
Un joueur lance son ballon depuis le point A représentant les fonctions et
situé à 2 mètres du sol ; celui-ci rentre dans le panier 2. Faire varier : comment obtenir la courbe 풞 à partir
situé au point B à 3 mètres du sol. Lorsque le joueur de la courbe 풞 ? (sans justifier)
effectue ce lancer, il se trouve à 4 mètres du panier. 3. Créer un curseur dans l’intervalle [5 ; 5],
Sur le graphique ci-contre, on a représenté les deux fonctions puis le point M de la courbe 풞 d’abscisse
0,5 2,25 2 et 0,8 3,45 2 sur Pour cela, saisir M ). Ensuite, créer de même
Les notions Uqunie r ienlitero ldeu cchtaiopnit re 2ld’iu.n V Àdpdtberoaé alèrnrn’lavsilsnfoi a ildélnealeeelr .e hs cLd q.a[a’eu0uus n e tl;dae i 4tce uéce] r acsqe hl mscduatuiea c lluxmuaexitn momr emdiac èédelotele,rdi se daèce.étlenettsetes i trdnrrméeatepujien oxpcen attrodrr àa ielr jene0e tsc,b 1.taao umlilxroèe nctso r epn odsitsiiobnless 4. Tl M LlDeeraé saop t ccdceooeoirifrunmoi reltrebi rdnM eovle aner풞 dcnvst’éaea eselsbuees sruc dcdorMié ousdMdrs esdeuo o im tne sedntmu teél rei oer 풞tlbes ad s espceeenaor s rv풞uf oecrubonrn aoecleie tr n풞id tovsroniae nn qcdntsueeél’au uetnrsi .oeM F néaM, qicru'eea svttia ournnie edr e p sa :or qanub aeox lreee md: dea érstqyeumremé-ttin-roieenr. ?
Courbes d’équation y ( m
Créer dans une nouvelle fenêtre de GeoGebra
à l’histoire un curseur dans l’intervalle [4 ; 4].
du chapitre 2 Choisir la forme adaptée Cleosn fsotnrucitrioe nles s courbes 풞et e t 풞 représentant
pour répondre à la question posée 2. Faire varier : comment obtient-on la courbe 풞
des mathématiques à partir de la courbe 풞 ? (sans justifier) 
ou à l’actualité activité 2. V Qéurei fpieeru qt-uoen, dp(ioxrcuea−r Fnd oo3teronm)siu2q etcu− oer1uéer=blF eoxrsm2 roeer−n édp d6éaruvéx iebtselio+eepnn8pt éa:ene tt l(exs −tro3i)s f−o1nc=tio(xns−f aFc4oto)r(rmixseé −e2) 3) 1 ; 34.. CodF Lsaoaaù’an im bcrMseosm jcuevuierssasb tstdr eieilafee in풞re ps r ,o l laim sene e pt.ts aFdodoraémebtid isrmleueea i r etvcvt oad e,d ureraier efMb 풞fr풞ie Mc ph,풞 ae qe.r r udt D u le’seaén o rbtevenes emr tcacmriaaxtseisrnenque sedru lar eeM t es-istMeoty- snoMm ,nc éco ? 'toelresri detp .ouonninneté pedase r ealanb cofooleun rc: btdieoé nt풞e drme iner,
8 et 4)( 2) ?
3. Orenp rnéosteen t alati vfoen dcatinosn uans sroecpièéree à d cue ps ltarno.i sC heoxipsrier slsai ofonrsm eet l풞a p slua sc oaduarbpeté e Courbes d’équation y m avec 0
pour déterminer par le calcul : Créer dans une nouvelle fenêtre de GeoGebra trois curseurs m et Construire
les antécédents de 0 ; les courbes 풞 et 풞’ représentant les fonctions et
l’intersection de la courbe 풞 avec l’axe des ordonnées ; 2. On admet que la courbe 풞’ se déduit de 풞 par une translation. Sans justifier,
le minimum de sur ℝ déterminer, en fonction de m , les coordonnés du vecteur de cette translation.
le signe de 3. La courbe 풞’ est une parabole m et de
l’image de 0.
24 CHAPItrE Fonctions polynômes du second degré 25
Des exemples au cours
Des activités
pour permettre
la découverte
Des exemples
Exemapule co1u0rs 5PoSuirg conmep rden’udrnee fonction polynôme du AsPr.eopcriéoténd degré Généraliser et retenir voir Exemple10 Des exemples au cours des notions
Fonction +4+6 −4+2,5 −4+4 Seot it s ounn ed ifsocnrcimtioinna pnot.lynôme de degré 2 définie par et sont réels et
 Si , alors a le même signe que pour tout réel.
 Si ∆=0, alors a le même signe que pour tout réel et s’annule en
 Si , alors ) s’annule en deux réels distincts et
et on obtient le tableau de signes suivant (avec x1 x2) :
Représentation +∞ à l’extérieur Généraliser
graphique Signe de Signe de 0 Signe de ( ) 0 Signe de
et retenir
Démonstration Pour tout , on a =a(x−α)− avec α=−
0⇔ ∈]−1;3[ Pour tout réel, Pour tout réel, ) 0 Si , comme (−α) 0 et , alors ) est du signe de
Sddleie’ag g pnlrarea èf posh nicqtuioen 0⇔−∈1]−∞+;−1]3∪[3−+;+∞∞[ =0⇔+=2 ++∞ alSSoiir ∆s =0) ,e, asaltlo odrruss sign=e= ada(e(xx − −eαtx s)1’)a.( nCxno−umlxem2 pe).o (Ounr− eαn= )dαédu0it le tableau de signes suiv+avn∞oti.r Exemple11 Uetn s cyonutrhsé tcilqauire
Ainsi :  s’annule deux fois et change de signe deux fois. Signe de Signe de Signe de
 ne s’annule pas et est strictement positive sur ℝ − + +
 s’annule une fois et est positive sur ℝ − − +
Signe de Signe de ( ) Signe de
Exemple11 B. Tableau récapitulatif
©LLOS’aiéng q) fn doueerras emdtts iedsoe eo nf n auccn tp otoarisbsiléteiefa uod ued en6 us li g s0nu eras dl ’dimnete et r 6v 1)ae lsseltuet i −v3[2a (c1nxot;m +3lem]1s) ev( xasol−eluu3tr)iso dnes. −− 1 +− 3 +++∞ Ce tableau réSic apitule, alleo lrαise =nl e− epnotlryen lôems ev ariatioSunin s∆e, ls=ee usil,g ean rleoa rcesitn αl eel =e −ps orlaycninômese d a’udnm petolydSnieô umxe r adcu,i naseleoscr os nled pdoelgyrnéô.me admet Ddaenssd léem coounrsstr ations
et strictement négatif en dehors. − 0 + 0 − DémonstSri ation α = −
©Signe de
LPao ufor rtmouet canroéneli,q 2u(e d−e1 2)+0,5 02,.5 E ens et f2f(et, −on1 )a (+0,51) 0, donc 2( 1) 0 Si et dans les exercices
et par suite 2( −1)+0,5 0,5. Ainsi ) est positif sur ℝ α = −
2( −1)+ x x ) est un carré donc, pour tout réel, ( 2) 0 α = − α = −
Sign) e de −4x+4=(x−2) Étudier le− s2ign=0e d, ecs’e psot-lày-ndôimree ssi suivan.t sA i:nsi ) est positif sur ℝ Retrouver le signe des trois polynômes étudiés dans les exemples
( −2) =0 si et seulement si ( 1) 0,5( 1) 1 6 2,5
120( xP−O1U)(Rx C+O3N)SOLIDERb.( 1) CHAPItrE Fonctions polynômes du second degré 35
Pour comprendre
Sur ce spécimen, des QR codes
Des exemples détaillés
vers des compléments pédagogiques,
pour préparer l’acquisition
Des exercices courts des vidéos ou des exercices à l’oral
des notions du cours
pour une mise en pratique (également disponibles sur notre site).
immédiate
44
Les savoir-faire TP Pour utiliser au mieux
la calculatrice, GeoGebra,
le tableur ou Python
Savoir-Faire
SAODVénOv ceIoRlnospFipdAeèIrrR elE’ elax1 pforenscstDiioonén vde ed élofinp),i epp useiusrr d eétt pe marmr eintetrr se a(4 fsoormu 3es) (c faonornmi q1eu) e c. a2(noniq 2u).e SAFaVcOtoIRrisFeAr IlRe Epo4lynômFea dcétfoinri ipsaer r un poxly−n6ôxm+2e de degré 2 Savoir-Faire TP2
SOLUTION SOLUTION
(4 3)( 1) 2( 2) Comme = + , alors x−6x+2 est un polynôme de degré 2. On pose 6 et
2( 10 10 = x+ 2 +1=2x+ 2− +1=2x+ 2 L∆e= dis,c rleim pionlaynntô m ee sat déoganlc àu nΔe= unique racin(e− 6d)ite− «4 d×oubl×e »2 =qu0e l’on note Intersection d’une parabole et d’une droite GeoGebra
On commence par mettre 2 en facteur. Donc la forme canonique de ) est = + Donc, pour to(ut6 ) OdLd’e’onu b ncdjeeeiss cp ptdaoiefrs uaeebxs d otc ’ldoueeun e rectb o pdenasejre ?adcbrtouoirlteee rse, ,tp sdue’iulson nde e lde duréortsiet epr.mo Csionitmeiorb npisea.nr lpee cuat-lcilu yl laev nooirm dber ep odien tpso din’itnst edr’isnetcetrisoenc tion
SAVOIRFAIRE2 Étudier les variations d’une fonction polynôme de degré 2 QCM Se tester1 A Intersection d’une parabole et d’une droite
OÉ(Tmrtnaaa POLLOScbcxeaeOuonnlii riβm)n rLsfs eeo eoseUql=unneninsmudTm tcsddetè Imtuad ééO iroiobeddeetNunl e tuuell aaimidaltt a e uffi0aql( oon e 1cdl,udrnio a )lmmtmee cauap t ruebevpiab otm laraa een2radr)a i ba ramudcebot o epdeidolom etréeln eéfmu e sv isesnen eteatds i n rmeiteSmnit a («asada tut xaii txiqosrivovim uunmeuerescu r ud) rn m pd meaépae .veeo lr eael n uavt c fr ep 3ifo αlroqr n,s éenuc =cslcetetitils −o ila abeon6tn ant v tsee a itl»ln=’ ee.t xu −ptrr oielu mer sutm a tteint. SAFaapVcrO2LOVSèteoIO énseR rr ) Lpsai eisstfUrvnF ieeorcoT A rdadafiI IrcaulétORe iicidrnoN ttEepu enodpoi rte5déli ysslurae én r p ôafsuoacmoncliuyneteosn e r drôslaiaé msce faifsineotnti er i:oé m péng(vae a2dr ild) e à e nte). : 3,( dx) ’ao−vù2e c) x+ 3 eotu 23 ou2 1 ou 111234 OOOnnnPp cccao(ooorunnnmrsss iiiicddd6 hèèèA)rrra,eee qB llluaaa 7o efffooou ennn Ccccxttt.eiiiooornnnc ic dddeééé, fffdiiinnnoiiieeen sssnuuuerrrr la ppp (aaaorrr (u le]s−3)2 )∞bxo;−n1+1n6,5e5x[(s∪+) 3r]S−éa1pO Afno;ol+ ornamr∞ s:see [: (csa)n onique e(sxt :+1)(xx−7)(x1) SAVOIRdiFfEfiA ncI RuclaEts é d veo ir : SDdOddsdeo’eeeané li ÀDEPn oqtlplpsaa nsrn éuo’l oia ’m adpnuida llnuertarotniéoitédonsaron dsnr raei n gvlutreetdb leéer adpisè’oer eimlseèenelrllee r. ueteG peq e arnee aursuoàttosre  rd eG dn: lt lluecehEoeee’tt a boxm cip lpo dapnraxaeboan elrortpecri,i ar nmedulalc mamat lerdod e aMd éldnèreleeb,artrj elroosoop ndeeccilin oo’soett taa e iemu ubcanb rorbstbebsncssrr eisc e c dsssdl ii sei’deisd’i esésn lèeeno qesttr ones upe esem r a odelelstsetai ubeesinds otslrcct ee e nvtosàp mi a lu odoaller’ne i’ibidnnn nuerttttrseo ess ri dritsd se’eiee nc cttteiioornsne dctei on dee t de et deen fo necnt ifoonn cdteio n de
SAVOIRFAIRE3 Résoudre une équation du second degré OOnn dreétvreoluovpep e : 3(x−2)x+ =3x2−2x+x− =3x2−2x−8 15 On c 2doe ne slsiatd èfleore nm clatin ifoiomnn cutmio n définie sur par L«a t opuarrnaébeo lvee ersst l e hAaluotr s» .: −2(+2)+2 SAVOIRFAIRE B Intersection d’une parabole et d’une droite
Résoudre dans l’équation (2 3)( 1) SAVOIRFAIRE6 d ue sste ucno npdo ldyengôrmé ea vec 2, admet un maximum sur non parallèle aux axes du repère
OSOn LpUo −−T3s, eI)dO( −o+Nnc ∆∆il8 y1, )a 11 d00eu1⇔x0 11s −eo33tl22u tio n1−s.11 Lr00éee+ d l1lies211sc 3r3di22mistininac−nt11te 00s⇔Δ q+=u−22e l33’o33n n 1o0t−e55 +1 0e33t)33 . Ainsi 8:) 132. D DSoéOtn1eLens Uretem tTur 3 IinunO enseN oref on tfnoto culnetscis otl iernosas ndc ’pa iupno noeslylesnyn cdnuoôuônml mdpae oendsl eyddtgnuu reô éssmne eqcce uodo. innD esddo’ua nddnxceen gg luanrrlé éefo o ssemn’’anacnn t1bnino uuernltlea a d3nnsé.tt f reienénni ee1 l pes1at r de3 t.i 5s.tincts 1)( 16 La pa(1ra) b4o le0et représentant la fonction de de g L«ra ét o p2ua rprnaaésbseoe l vepe aerrss lt el es pboaisn t»s. A(0 ; 1), B(3 ; 5 L) ee tm Ca(4x i;m 1)u.m A leosrst :atteint SSAAVVOOIIRRFFAAIIRREE DdSdOedot’i’anéir nidÀDn eqtst esc éu’eli t t’anurleaea sttnuiuri eédop mrnrcre na eet irri dnpséoaseeèenbe rrl Go . es apleO eeuoaoln ror sGn e tnenlhoete lo bomlo letcenrnesbaa o p lrl,vcr eeocmuas iodlln e énvlelta,ueja e Aop rldnecsn ordto u oiducenmriuros ttecb esnpdor r s dpaeoelie’rd ar idan dsènmestoroea enpèmrn ntlostarbéei e pnercp etatsasi rord( d1aAneb’ i;ddpn o0eeotle)e i.lcn raost esed cfrftoiiciotinee nt
36 L’équation admet deux solutions réelles distinctes 5 33 et −5+33 en ces nombres ont donc pour expression 1)( 5) où CHAPItrE 1178 LO’énq c 1uo a anptdsiooimdunèerr3 tse od leleu uptxioo lrynancôimnees 0. daé :fini sur par u n3e e sset uulnee s roalucitnioen.Alors : po−u(rx s−ol5u)t(ixon+1) SSAAVVOOIIRRFFAAIIRREE ddlEdenee’é m Pqlldaaruié oladdidletrrouuioooni riiMngtteeee q mdueee [n PeeMtttQ : d]a O epan p lpl aaono rrpoutsatirqeer ucn aPo’tbi oloeàsrtl dele aQo x npilsenatseré s anepebstol.o o iMlnnet mo lsen dst r’mivenartl eeqruusrees c tdieo n Qadumesetti opno u2r : éJquustaitfiioenr que la dro 1it)e.
19 On considère la fonction définie sur par : Alors : Vérifier avec GeoGebra.
a une racine évidente. Le produit des racines (x+1)(8x−1)
Se tester 1 est égal à SAVOIRFAIRE CHAPItrE Fonctions polynômes du second degré 41
Des exercices 20 On considère la fonction définie sur par On a :
est strictement >0 >0 ⇔ ∈−
positive sur SAVOIRFAIRE
Un QCM pour
résolus 21 On c Lo’innséidqèuraet li’oinné qnu’aadtimone t− p5axs +3x+2 00 eAstl osrosl :ution de l’inéquation. L’ensemble des solutions Des problèmes de synthèse
de solution. est ∪]1;+∞[ SAVOIRFAIRE
faire le point sur
pour maîtriser pour mettre en œuvre
CHAPItrE Fonctions polynômes du second degré 39
les bases ses connaissances ses connaissances
et ses capacités ou aller plus loin
Les exercices dPd1eer2 os3st yabtinAloèlngtmonheèmeMsesane xt imiMseord uéRlniisveei aèrriree dAAmr1é’ul2uus- Kqon5dalheé ub wbétâiu âqoltMraun idhaz édutm tpiu hoIîr Xo,npo dd rpd oaeosenb isg èsldeéèc esomlueogmn,ern eélé es t tm2ur rmai iépvqiattaauéhtrnhe o t AKéddm:ile et-a QK agrbthéuéi swecoaoliml eâ-dlujnréoait tzibpitromre iêqwnrîtus raeee- ldl-ee c arré dDàd1 ’’a2udu Onnén6snt pp e usoroGnumiine npriottpen GApeoeetèrs be erdltre’ ’e aqu dnounesree teRl h ’lmdeaeoxcr bnpohelooiee tdrir enmdecthesé seAa d pbdauose cpipsnio slptaussoner ié, sn cq.ootunsoi érdcdhqisoeutnraidcnnhiétseset as n(0ts ; 1). 127 GeoGebraDessous de plat articulé Problèmes de synthèse
qui, lorsqu’on l’augmente de 10 fois sa racine, donne 39 Avec le logiciel GeoGebra, on veut placer un point M
Avec l’algèbre moderne, cela revient à résoudre à la distance du point A et de l’axe des abscisses,
l’équation: 10 39 et d’élever la solution positive étant un nombre réel supérieur ou égal à 0,5.
Dpaers neoxteirocnicse est dp’aern torbajîencetmifsent classés OpCrddeqinooueenv miuER ifrc dèdroxeéemri énpcatdsetofelpcré,eii ipt sonlsm liiazi’oesimuetoteeunn riinlr ol ta ds deedenl et’e ftrea s ori cs3imuoorno 0niecicmpesô0 et noitpc ozmétsô l eondséet nn étedndetse etec r i q se èdccleuterleetôree etossts t luctn ezea(rrt oesitez p nnico lot(lo enôpm nn eetodnngèu reeeut rt Pmrésaeseytstiue )la.tl .r nehctDsiot o oeb dmrnnsoee nprcccsdeirto -cai mncsdôno)t’te gurnénaunsttilre n ae ti eres. adpuoe sEcdixateipruvrrxeéim .fdaeeçr ol ’lén’aqsi urdeai ftdfioéurn eg rnatnesd e1cta0 rerné d r3ée9dp.uréirsee nlat és ocil-udtieosns ous dààin e lu cCDa Qrnlr ’éouadéemnexei dslnerAe ti ee anusudsrtnt nef at cu0a sncleni ’,ucet1a e.ernb.. s . ésTsdeercque aimdus rcluas be’aet rlpixLec es odloeea s anddet i p d nd o edld0oaitensrse i ,o st5Antpp a iltl latnoauà e?eebcs i sdt n1e se crup tc0otdosin o us’ laiu ’sistrepvnneetenoeet spistss cn.dro ei sottpiim suenudoté tbaevut enàr larceo c naeu eututn tv e-eeedn ddnterrrtseoo s iiuttees . UbePdlLprldeeeenoe’aonos p ltr iu prolnrlrdsariieoenetgee r ssiggirgsFenni msemm lldteqloeu e’e Opéuu urOsdntli ns i .naeetp fpesdlsusiole e tseidl[u qrlrOo seemr puuulA. m’ lfeésepLa]os ,ittpet d-ru [ dsrdomO«edi rse gbBeeopvé ia,]drdili ,atr nfo éede[irttnApxse eave e,lCsus gisea ]euxeest,rs r po t[tsm l» Bioponelc eCouostema a]b sslr,ebnte ei[ l l gCpceéqeoDr euésn]se s,s d ee[tlCeienttE stucaé] ôérb,e tt [adiséDcr eupFr1 e]las.é sireex tss o[ EnFt ].
des questions 1.a. et 1.b. Placer deux points M et N À quelle distance maximale
à leur intersection. Activer la trace des points M et N et de O le point F peut-il se trouver?
EnudàcVrt4o nepOudRDdoLdel ((ran4’1 aVQnraa’’ée22aon3éea psda 2rn s épCCPPiun rqbnp0tar voÉd tsroooroo ecuecsrax iîUien ulmt,mnenluuclfu ranaea éloundiuinEpiacerrsnts r e sptséed fli btodeee sdX s rttufo oeae rdepruoooeei elrn Eeems?nirq.e’ éo ((rlruuseeeaetspg e22cuc mmR tt.nyntrtrrrl trèen o’r eiecairrmCioaa ro eletééullsnlel (insonIn’pbea2é r2reeptaeg 2Cts e ogtr )ll sxeosurpt. r ée teErecocp milo lst .caeoitrru 22re,,htleiR éia oaemyMvholq))rd)on seex snerÉeanueentmunssli aôasi, met oSrai tal peonm c eadr2GdOl(a gnot(m:a t2aoeer2 fcli éL ieax s onrdél ld l sUabreut.aadraeé si rogrdgeds ibepiedràdqm ettalet eeeu’ isne he sgq 2eagnldyt rar ieu(3c’mé,gdé2 qlc0p er ooq2éroaonssuuet u n u drocpa cqrgier éntroeblue iéaftsr.oe’.i si renm ndlIee sli pr sne êdopep tmisioauostuteueptnir lovd2 ese see ,d set SOedmdodssddps( 44444uuuosreo’eeespll2nao a’dtrrii34567 i lafCCQQSo) vb tcll ny vo uaaleaoov uhuu:asltndenn lunmnarcrnaeexpclô aunDDDD ee rsilcpcoclltaaq(senmpetl é r elié4éééuaueecsx earuu-u s ae dstttmaqnra)ddeessrsede rerreee . éubtb lt sueeeed t emlscorrrda d dm lneo . selalr mmmoure(dnlu’aee4es a,laenxon lrr ee s o tiii vapxt sseefscsnnnentt csruoαtpaeeuo− eyq rp pPtoo eeetrul3sanlc ce tnuerumrèeierrruidn+α o)ocetcécss rn i:er(ureime ulp ét3utrn ) seosxralbrtcrii ,tnaoerd)ee ov soéqn it oe)ro dbfnd neuryrp nee+uiuro oedr eoee:i etarmeèàsl t etémrrtaesm pe sn s hpr dcmd qs t égxsoelnαuahorriaouaeuotriv leéeevm anrcsomn r yéa+rced slpriéeetcoecr anntie ee vrruéecttoiuaprd ;éô oéno nhc éelnmdnurne ee,msoitnoceér .eetx oee sleéieuus telne ef t ndan e.dc darn ?iros dide anePtbdeel u qfra’lpm nt’toeomusemué luatns’ot nu neaqratefdutoéiei:ocr x u x noampeml dt neaeicntpoixgame so ce mts norredreg it nleéualdost fiaesreado po sabmnet, lt2 e isanpnrf o oab lyéo hscdal;sntmlesmn tiety éd qeicecvê =of?mééuonitiamnntfeinuαtéo ris.atienritne teb;r ii e ieves e pePdedlpddPlee445555nnaooeoaeoVVV ss 24r 890123 r lnnuÉTPDaaa pvpvy mferrr((rttrta ooraarniiix aa Dd aaarééllilnrrrôpcbeee mOtttmcciielnéeiii sms araleoooieint iieer sstte12tsrannne stv eia arsile csalxt))bssso12eolp sasnna o eblerlnsu))nc ire ett nd (orrcl maossn ts seeacolslunia.onp e’eaxiudaiefu bscinodo usoup xe fnertl dtneèsprroxer−4bt si ice mecirerdoo na ete)q∞e4dhoe s iserucx23 veuno me9asnrsts l t aseneiade icid s rovo buàrfspus eec tofinanml d arna mo5 epsnsrvé eenteunsp1 oi caisudgasox iocos tdedr,vrume3tints nlpiénioe eéiai ya ioi6oslv. bt stnqlnatnan aanao ilseu − t fyôeost 1b1fn e os1eiio apmsn)lv)tsttVsns)i nneo s,eo(rddea edc t sdcl lrn éetdr lyo e,tdideeic ft a iesnonlee io luetqt tdn ônne)i ln5 oasol tuaiosmésae qa eb)une et )n t fsb ustlcefacl son?eeu loileosue-ebnaésrn lndrsadl s ucxlcel d e uteee) stcsiSs i soo?id aA ods-s +nnVeofdneuoOot gueg n I n2rs Rsr1t3 éxc -é.s s)t )Fo ui2+AourI RnsEs: 2 dlddolddsppe’5555ueuaeeeeaaVs xin4567rrg g DDLEECa vvlu ftrrr’saann éooaoraniéé lae qnnnnrf c ddLLtmmaaoi−utnnuciaééaa oedyntaleelx autdd neis’Pamcfftiirroxmuu.sornooitn r− xnoi3 lleiiionénn+tmaa orrsnt(d pqsccee nct ( ff−u.ettdoau eoo lliim nusaeaoo xrrQte+ tt mmnna2svs ui ?rx−e lobeiea) eeegsd(nlcs+l etn )eoecctt aaieaaauunoub nntrxdnd t l1oo dedeef3d)nnioaeu . ne:iiu n qqgvtr c.éuurdatéeeereio li a a3«dvnyt uasigao rétpninranotist énlc iyreôoeantmn ltrseLdOdlBeaeô111ses’aeueeetsrnuum’M n000ab ptctn »is BÀEEPJ d-ivneitr456leNr nss eu-exnorpCe udaéunsead oq ilsap uc on s0 eearlumndetutsDAUdeutoerritt ne)ilaaeésnet iu s f. aBnénbs 7s gmqoCslncdilt.C n teetleCu olossueNugeeuiaehce t. rDpe nus nletelr itDMm rLaaeedectréDtmsqi ldn e qev. eleo snee.r .mule M[te si roueinAn rcq need1tvtsvoeneNdo B ueuféa. uNpl adgD ûdo.]erberflnl rué l teein ee oaelin b lee ssdtcuriup à iéus e esp11t3etr[tf péin r iBc4 eeo opvoda ee eftéiuCA0npn=aoeanlretttftl]ca Mt bnnsi e c dictdaraEntraînementirgde mite e eevipo(l in cx eelosd enp’antan necsat te,i v ses i −rrcAnol tlee’mbr tae nMn qee odin a)durlt0 d xuuaiu eeuer,ett 5x t + teeid Av rBd icei8lBe4aNaôls ?esb2n nt €. s)téEos.gd r ls0C lnudl ie’c’e1 aau, t’hs6hd nie2n DraucéigielccMotdill éulmeeueuN.ns sr i8 d rbAd,e’1eoMe s6lsi D vc,e a sccpadmRed rituoiue- aom QgOcd ulOTxmi’omirersiunnimna psmsae d eunaasivpxleenaolnedsei1111lerstlcménutmue es 0011eremvtst nui e std8901 rapeedte mtoeecl .tIu snée nn oq LtciadSsLeDqrdttuddtsm u’TFoe’eoeisuaéfad uari e aeultfiltqrlrfndeilsnnpeeun ’ i ,inggm,éussr lcnaésVQi ts l pceaqtéqo ltécei Thilc ooli r eu uuguvuarreatnqessrefronCr eneiaon liooonoasssue t srscis tiarts uuinnrhletsinvtq erMinu oesd io rllttsenpc am…cqlotaauil s nluaenaeèxlttehete mua eetnrrspcr eirntpr mo oouoe no ess dvrbm ptpariir ols un teerssaeooepi0 aule’pear d m gsalr rrsrrs,aob .,oee xett éé o rir d uedihsegLsau éinireeofr’m sminoglrieeeêrllri tnona ssi tlenemil 0 t bsuaar. couhappseponn s oulgnnn admopemrrr ooecn,l éedmgieue nponneosnntx esm sra ntsd rapéreuv cnn petgoltse eneane ia a uurc,oevpqc0tr?n a ttq illl ca l a-uhr 1 ss,eeuui1 aus Pdqaerb..tl,dréo6n ue |eae iietyoud.)a vf’eneelsr i ntsoldlneltees ,t ee eseo guham dnc u aos ddcuslnaolpfo leccu’’eeeevo o éaingtncpfi sqt riqsmlalinnes le,o rusago dSa uiuu lcos ilgeo aanenleamsetfvs’n c uésrotgteai s ciaehtoieiqxavoneotoetsl.énu u,glceuhs ne suJeatcea re rtos umtiueotdetb ois l riseosnumleon e ttntt :in eirf soa iten idrtrse.e esu.xr llodaa ùu 2 fs RTRdiorgéé ioluesssuLaql lmÀduiacootrbtluie n rsve-aiuurej poigane mEntraînementeddm cconu busrlrreo»a’,se rioe,o eetptenrw astlhnn r e,oaavdl da éet ’ unsé’ee -cmppsald iaHqtec -Qrpéetalmm.lIeaget miupuX-soIu cvtjuèm Sataiuoêeoenâce bx btTqqmsatusidtldr i e)rtrtiduraevoOn,eaèaeinneq erb.oen codnl a I u’,ânAm llif u) mRtgelna…’udll ’eéi’le aébêrc-tEéebo q K ehàqolemc rnree u :lrDhnute ea« ssiBPea wpnt atsd EuL et! aqurt nmâéiripnScegieouseeroto sdo i é naezMlnenaistmis vr shdlitr lAti.îaioedei oafuT érdTsn d xrrHel.ré ué e a,i 1 S ddsdcri2 eugaoé niàéjmttot asiulmdtp’otaé a en8eisneds 5tts.ler e.a d pTietplréu arK lse’ciiémeetqauriubre is r- DplmHfdEed(adRe0atpexeeei  spsspcrl;OJEO ae ooaurnpaann inerids)v bbom .dttasni saissiiaDsuénpeeafrcctdiptorinpîsiiaee,tsssup nnenrr ssreuMieolne s ceernlq seeneessl uet.éa f r. t td(soleQ q ’lducdiee neu uMonéen csieMrushetdst o poeire pi so)ésbàosre meetnlqmt eieuaul n bu é’ ésdnlataateal- qetsxeiscomtsésu s eo iinéc dooidq eonqd dencc eunreuiesoi dcs etrédt iAsn topd es eadA ojmanoiie e nse à blnitcaatt n c saté ceod dtucpcene, es i2oerotstls eat,M usl us5A’nedr arerdd a ubxs céseeicu ehe .squtpo art eA uddooàa 1rl ad erien’ce)elndttsa chtdinlt o eoq’éa dasMn nusbvetAxen..emse.e M éllc ’lebaiee sxlsir se ee esxq?ésrtu sDldrdloldccl(eoe’’temootoatureyérasr pinrina cjnQCFDTEns gdpruldrnj raqoax siieéuee«lies anoui amtunpeàstc etqrceendeedtpiets releufi l olnreitéo q(’p die?armeelrmpaei éf’nu au rGuoxloplareee edirae itne crnsspsrsr rl e aasmaEoas dete cr ea«ndn lsae o pG,erl’reré os teagpa àul èdecé vilEr eEue(à»îr’ oerrbépltedBCtol)é’ tebnn r l’Hnéfrr odx lao’laqas? oieA de’eaent (uaénpei nePjuc reO d aeortItl lsrr:ondntme lalie areceerneEulacmteé;-snrli Et speo ,aacst rtdis eotdhp-svrpéepatnrï su, ei»ilanoioén .u edlroetoo Jdl è cncs etsOi-ll enlunl)se cetoeiteein e.le dne st-ed Fe eEgns aéiidul d)one sdu’onladi tpilenen cet-e?ngae tn? psero tcpi cr enstétàse-ertl Jeuéoiosadi pe osb lovup frdlrou oilelplrnaoreGteensrloauuru iresr sants qettbr qi asdsi sl p é .ctofaouoe Bpeuj oeittLiedvsGroer éereli ’c dyca oaeeles nersaoandtno. ln nct buodlpô nngedi u fd rmouildlejtno eraraaerlr n eeeéeanl e Oi,tcocs t ae c upt sArodsafdnOdsutaooanruveB euig rdéconnne c rel CéseeEeclgnbco ce)aefaé e .t cmeB Odil .ibd,ogoc o eBénsmeourn BtdcsnuEra e i’qedtr sb ebe usl.gieeerr é 55
44 CHAPItrE dpaer l ’lean ftorenpctriiosen es td déof inn4ni5eé par Trouver la (ou les) bonne(s) réponse(s). Justifier.
Déter0m,5iner le 7 n,4omb r8e, 1d6e. 112 L’équation 0 admet dans
bouteilles qu’il faut vendre 4 solutions. 2 solutions. 1 solution.
afin que:
lll’eee nbbtéérnneépéffriiiccseee sssoooiiittt mnbuéalnx;éimficaila;ire. 113 L’é 1q1 u ccaootmmiommn ee suonliuqtuioen s.olution. 0 admet dans
107 Le prix d’une pelle sur chenilles est de 100000€. 3 solutions dont une qui vaut 1.
S’il ne trouve pas d’acheteur, le vendeur songe à
edinfaffnéesrc itleueuesr r 5 àd pe7ru0oxc0 hb0aa0iins€se.ess a snuncéceess saifviens q duee le% p (rix s [o0it; 100]) 114 sont de u0x erséte nlsé. gSait lief, dailsocrrsi ml’iinnéaqnuta dteio ln’é quation Se tester 2
l’in MEénqo undatértdieourni qr e1u 0eq ule’i lp f ra2oub0tl 0èa0mu em ro e3ivn0sie0 dn0et0 uà x r bésaoisusderse na ’au npea sin dfein sitoél udteio sno.lutions.
d’environ 16,33%. a pour solution l’intervalle [ ] ou [ Un vrai-faux
CHAPItrE Fonctions polynômes du second degré 51
et un QCM pour s’évaluer
PoauurSdOTc1 toroeQnt2amri trdd8nue meua ogemiterver eléd ae cal2han n itladsrnlaq étol lgruf’eieseienxa rpr iecréeg moéPàe pe nsallpse’osde l snueuixnett.rpoirat or nttdienoi l’sonu uisgnnustiéo elegosn c.rm r oaarO énlpégn?edthé r linib.tiqqiorouiutRqneeeu e g deppé eraodué rm’nus ue neédn etnfar etoifneqo nesrunc x ecutp tinCsoirou oenrnrmse .puspmionèoeluryn enc n.aio qôlugumréebebre r ique cfdaaéncvtooe)n lrpoiiqsepéuupeeté êet re ex psori+nmtβ éd eoe ,us)s , s o rsooéuouùesus lssf of. ofrormrmmee e Nd(Tq1ehueAa3t ée ol0popa mta uf:psi o « aplrnusrDce ioct)a.pinhnooonsdsi selpr’ie eoeàx,l y pTqRàrnheue ôépesroméls ér eideeoss rentd o s tulaueru lros g seuduéicvngbro nergenreir,qda dpuup duaehner icdmqgo éurpieéve lf reefcdlioesooc inqppbeutapn lirée tèape ldlbem edeuo e tcl eeo êlsnta/ rn ceAf?iao -u»îcpntto icllpnti’esitoréxr.neep, r nleasd sciorouenr bàe rédiger Chercher  Communiquer Pour travailler autrement TDproeausv rea mxilelaerîcrtir caiesuest rr ement à mi-parcours
LLaa ppaarraabboollee acodumpeet lpC’aooxnuedr i dtsieoosmn agmbéesoctm iSsés(t2erisq; 1ue). sur Lp ’oaeudxrTtmr reaemdt udu c2emti uoe xent s rvataal gcauéitnttb eeβrisinq=:tu e Expression d2e) NTdNThheaa ééoolooamm c::ii o ««:: n««CJs’etLLaaleaian t cctmreooo eneu? fsvpf»téieacrni!emt»ene tet dsdte’ é nléimg aeintsitev rpe ou.»snieti fc.o»urbe! Quel est le signe le langage
aLaLaauv xeppc aap lrro’aaainbbxteoos lld eed eap’as a bpassobscuesirs cp sissaeesrsue l5sl’ o plereoit gi p3niont. iedn.’ti nAt(e1rs; e0c)t.ion 5 et 3. ORéù Pd poigeueurrtq- luoeon ri a«Tihslioérenon »de elmam ecanontnd dsete-a tnT-ihtle éà os Nu erat o ldemo gin rlnaeep srhi igsqanu ere édp?uo cnoseef.ficient de mathématique,
Le sommet de la parabole est sur l’axe des ordonnées.
La parabole coupe l’axe des ordonnées au point d’ordonnée
savoir identier
Expliquer des erreurs Raisonner Relever un défi Chercher
129 Véri er que les conditions d’application d’une méthode sont remplies. 131 Conjecturer et démontrer. et expliquer En n de manuel :
Chacune des réponses aux exercices suivants comporte une erreur. La retrouver et la corriger. Quelle somme maximale peut-on obtenir en ajoutant un nombre strictement négatif et son inverse?
Exercice 1: Résoudre dans Exercice 3: Résoudre dans l’inéquation 2 des erreurs, 14 pages pour découvrir
l’équation d’inconnue d’inconnue
René pdoivnissean:t par céhqauqiuvea umt eàm bre Répo n0s, edo:n∆c =il n’y a pas de solution. S =∅ 132 Décomposer un problème.
ldRdda∆E’é ’eeéxipq=nu peoluc’xoréu oac −n0qsrints c,oui unoee−dla−nuu n ot:2itei nqoi2+ :ocun ∆nR e,c sé ed∆sst:oootneluuc (dét ic−rqo5ee(unt−) adt 52etai) .3noé+snq 3 uaadtmioent deReREEtteééxx pprceeeroorro pcc−nn0iiirssscc édseeees−ao e::54nnn ∆tc::te ∆e éDRc =seseéotu t s nc0dtroien ,é-u[1 ec0cé(dorrqr ;o n l1deueit )séar dsseftaaiei.non3nninstse e ads dsueu m rlvr’ ée a]qtr uidaaettiui;oo x0nn ]s − 2olu1+t)i on∆s :−( −01 d)’+in3connue Oilddvenéeun sPFrr DE cscaisranréfyyoéyiii mmreltcduoie irndhénoés dudqaa entdrrnniuurttiee resieeeder ss euafrdéa’i enntguql xu’sb (ue uc cpdaxrqôeô)riespun einel mreeeree e ml, n)l1e rse.ei a s2encspniyostπ oa veouuf(nr1oarnrp ve5rnd eia cea 6−l(t tldsileico’eh6uoa mn) (v nip(1cr 1a.sdlye50ar e dlicie +enes dorlh ’rn)ad)e )iar redanenyus t o oufcnotynan.l lipLcentel daid ocnrunôe p ncd:ayees l asilnaa pdn hortea up urca tihre- aculo’uran txeteur er 15cm ; 6 cm 15 cm aetp prerelenvderre d àe rsé ddéigesr. eddteu s mr aeainîstsoreinsmneber mlleese vneott clloaegbsi uqbluaaseirees
En déduire les variations de l’aire totale du cylindre.
56 CHAPItrE Fonctions polynômes du second degré 57
DÉCoUVrIr LE MANUEL 5
Programme et mise en œuvre dans le manuel
Extrait du BO spécial n° 1 du 22 janvier 2019
Algèbre
Mise en œuvre
dans le manuel
Suites numériques, modèles discrets
Contenus
– Exemples de modes de génération d’une suite: explicite u =ƒ(n), par une relation de récurrence u = ƒ(u ), par un algorithme,
n n+1 n
par des motifs géométriques. Notations: u(n), u , (u(n)), (u ).
n n
– Suites arithmétiques: exemples, dénition, calcul du terme général. Lien avec l’étude d’évolutions successives àaccroissements
constants. Lien avec les fonctions afnes. Calcul de 1 + 2 + … +n Chap. 5 p. 114
– Suites géométriques: exemples, dénition, calcul du terme général. Lien avec l’étude d’évolutions successives à taux constant. et Chap. 6 p. 146
Lien avec la fonction exponentielle. Calcul de 1 +q + … +qn
– Sens de variation d’une suite.
– Sur des exemples, introduction intuitive de la notion de limite, nie ou innie, d’une suite.
Capacités attendues
– Dans le cadre de l’étude d’une suite, utiliser le registre de la langue naturelle, le registre algébrique, le registre graphique,
Chap. 5Cours 1et 2
etpasser de l’un à l’autre.
– Proposer, modéliser une situation permettant de générer une suite de nombres. Déterminer une relation explicite ouunerelation
Chap. 5Cours 1
de récurrence pour une suite dénie par un motif géométrique, par une question de dénombrement.
– Calculer des termes d’une suite dénie explicitement, par récurrence ou par un algorithme. Chap. 5Savoir-Faire 1 et 2
– Pour une suite arithmétique ou géométrique, calculer le terme général, la somme de termes consécutifs, déterminer lesens Chap. 5Savoir-Faire 4, 6 et 7
devariation. Chap. 6Savoir-Faire 4 et 5
– Modéliser un phénomène discret à croissance linéaire par une suite arithmétique, un phénomène discret à croissance
Chap. 5Savoir-Faire 5 et 8
exponentielle par une suite géométrique.
– Conjecturer, dans des cas simples, la limite éventuelle d’une suite. Chap. 6Savoir-Faire 6
Démonstrations
– Calcul du terme général d’une suite arithmétique, d’une suite géométrique. Chap. 5Cours 2 et 3
– Calcul de 1 + 2 + … + n Chap. 5Cours 2
– Calcul de 1 +q + … +qn Chap. 5Cours 3
Équations, fonctions polynômes du second degré
Contenus
– Fonction polynôme du second degré donnée sous forme factorisée. Racines, signe, expression de la somme
et du produit des racines.
Chap. 2 p. 22
– Forme canonique d’une fonction polynôme du second degré. Discriminant. Factorisation éventuelle. Résolution d’uneéquation
dusecond degré. Signe.
Capacités attendues
– Étudier le signe d’une fonction polynôme du second degré donnée sous forme factorisée. Chap. 2Cours 5
– Déterminer les fonctions polynômes du second degré s’annulant en deux nombres réels distincts. Chap. 2Savoir-Faire 6
– Factoriser une fonction polynôme du second degré, en diversiant les stratégies: racine évidente, détection des racines par Chap. 2Savoir-Faire 4 et 5,
leursomme et leur produit, identité remarquable, application des formules générales. Exercice 82
– Choisir une forme adaptée (développée réduite, canonique, factorisée) d’une fonction polynôme du second degré dans le cadre
Chap. 2Cours 1
de la résolution d’un problème (équation, inéquation, optimisation, variations).
Démonstration
– Résolution de l’équation du second degré. Chap. 2Cours 3
Analyse
Mise en œuvre
dans le manuel
Dérivation
Contenus
Point de vue local
– Taux de variation. Sécantes à la courbe représentative d’une fonction en un point donné.
– Tangente à la courbe représentative d’une fonction en un point, comme «limite des sécantes». Pente. Équation: latangente Chap. 3 p. 58 et Chap. 4 p. 90
à la courbe représentative de ƒ au point d’abscisse a est la droite d’équation y= ƒ(a) + ƒ’(a)(x a).
– Nombre dérivé d’une fonction en un point, comme limite du taux de variation. Notation ƒ’(a).
6
Point de vue global
– Fonction dérivable sur un intervalle. Fonction dérivée.
– Fonction dérivée des fonctions carré, cube, inverse, racine carrée.
Chap. 3 p. 58 et Chap. 4 p. 90
– Opérations sur les fonctions dérivables: somme, produit, inverse, quotient, fonction dérivée de x g(ax+b).
– Pour n dans ℤ, fonction dérivée de la fonction x xn
– Fonction valeur absolue: courbe représentative, étude de la dérivabilité en 0.
Capacités attendues
– Calculer un taux de variation, la pente d’une sécante. Chap. 3Savoir-Faire 1
– Interpréter le nombre dérivé en contexte: pente d’une tangente, vitesse instantanée, coût marginal… Chap. 3Cours 1 et Exercices
– Déterminer graphiquement un nombre dérivé par la pente de la tangente. Construire la tangente en un point àunecourbe Chap. 3Cours 1
représentative connaissant le nombre dérivé. et Savoir-Faire 2
– Déterminer l’équation de la tangente en un point à la courbe représentative d’une fonction. Chap. 3Savoir-Faire 3
– À partir de la dénition, calculer le nombre dérivé en un point ou la fonction dérivée de la fonction carré, de la fonction inverse. Chap. 4Cours 1
– Dans des cas simples, calculer une fonction dérivée en utilisant les propriétés des opérations sur les fonctions dérivables. Chap. 3Savoir-Faire 4 et
Chap. 4Savoir-Faire 1 à 5
Démonstrations
– Équation de la tangente en un point à une courbe représentative. Chap. 3Cours 2
– La fonction racine carrée n’est pas dérivable en 0. Chap. 4Cours 1
– Fonction dérivée de la fonction carrée, de la fonction inverse. Chap. 3Cours 2
et Chap. 4Cours 1
– Fonction dérivée d’un produit. Chap. 4Cours 2
Variations et courbes représentatives des fonctions
Contenus
– Lien entre le sens de variation d’une fonction dérivable sur un intervalle et signe de sa fonction dérivée; caractérisation
desfonctions constantes. Chap. 3 p. 58 et Chap. 4 p. 90
– Nombre dérivé en un extremum, tangente à la courbe représentative.
Capacités attendues
– Étudier les variations d’une fonction. Déterminer les extremums. Chap. 3Savoir-Faire 5 et 6
Chap. 4Savoir-Faire 4
– Résoudre un problème d’optimisation. Chap. 3Exercices 96, 100,
105…
Chap. 4Exercices 51,
52, 80…
– Exploiter les variations d’une fonction pour établir une inégalité. Étudier la position relative de deux courbes représentatives. Chap. 3Savoir-Faire 7
– Étudier, en lien avec la dérivation, une fonction polynôme du second degré: variations, extremum, allure selon le signe
Chap. 3Exemple 10
ducoefcient de x2
Fonction exponentielle
Contenus
– Dénition de la fonction exponentielle, comme unique fonction dérivable sur ℝ vériant ƒ’ =ƒ et ƒ(0) = 1. L’existence etl’unicité
sont admises. Notation exp(x).
– Pour tous réels x et y, exp(x+ y) = exp(x)exp(y) et exp(x)exp( x) = 1. Nombre e. Notation ex Chap. 7 p. 172
– Pour tout réel a, la suite (ena) est une suite géométrique.
– Signe, sens de variation et courbe représentative de la fonction exponentielle.
Capacités attendues
– Transformer une expression en utilisant les propriétés algébriques de la fonction exponentielle. Chap. 7Savoir-Faire 2
– Pour une valeur numérique strictement positive de k, représenter graphiquement les fonctions t e kt et t ekt Chap. 7Savoir-Faire 3
– Modéliser une situation par une croissance, une décroissance exponentielle (par exemple évolution d’un capital à taux xe,
Chap. 7Exercice 55
décroissance radioactive).
Fonctions trigonométriques
Contenus
– Cercle trigonométrique. Longueur d’arc. Radian.
– Enroulement de la droite sur le cercle trigonométrique. Image d’un nombre réel.
Chap. 8 p. 192
– Cosinus et sinus d’un nombre réel. Lien avec le sinus et le cosinus dans un triangle rectangle. Valeurs remarquables.
– Fonctions cosinus et sinus. Parité, périodicité. Courbes représentatives.
ProgrAMMEEt MISEEN œUVrEDANSLEMANUEL 7
Capacités attendues
– Placer un point sur le cercle trigonométrique. Chap. 8Savoir-Faire 1
– Lier la représentation graphique des fonctions cosinus et sinus et le cercle trigonométrique. Chap. 8Cours 3
– Traduire graphiquement la parité et la périodicité des fonctions trigonométriques. Chap. 8Savoir-Faire 5
– Par lecture du cercle trigonométrique, déterminer, pour des valeurs remarquables de x, les cosinus et sinus d’angles associés à x Chap. 8Savoir-Faire 2
Démonstration
π π π
– Calcul de sin , cos , sin Chap. 8Cours 2
4 3 3
Géométrie
Mise en œuvre
dans le manuel
Calcul vectoriel et produit scalaire
Contenus
– Produit scalaire à partir de la projection orthogonale et de la formule avec le cosinus. Caractérisation de l’orthogonalité.
– Bilinéarité, symétrie. En base orthonormée, expression du produit scalaire et de la norme, critère d’orthogonalité.
Chap. 9 p. 218
 
2
– Développement de u +v . Formule d’Al-Kashi. et Chap. 10 p. 244
 
– Transformation de l’expression MA MB
Capacités attendues
– Utiliser le produit scalaire pour démontrer une orthogonalité, pour calculer un angle, une longueur dans le plan ou dansl’espace. Chap. 9Savoir-Faire 1, 7 et 8
– En vue de la résolution d’un problème, calculer le produit scalaire de deux vecteurs en choisissant une méthode adaptée
Chap. 9Savoir-Faire 7 et 8
(enutilisant la projection orthogonale, à l’aide des coordonnées, à l’aide des normes et d’un angle, à l’aide de normes).
– Utiliser le produit scalaire pour résoudre un problème géométrique. Chap. 9Savoir-Faire 2
Démonstrations
– Formule d’Al-Kashi (démonstration avec le produit scalaire). Chap. 10Cours 3
 
– Ensemble des points M tels que MA MB = 0 (démonstration avec le produit scalaire). Chap. 10Cours 2
Géométrie repérée
Dans cette section, le plan est rapporté à un repère orthonormé.
Contenus
– Vecteur normal à une droite. Le vecteur de coordonnées (a; b) est normal à la droite d’équation ax+ by+ c= 0.
Levecteur ( b; a) en est un vecteur directeur. Chap. 2 p. 22
– Équation de cercle. et Chap. 10 p. 244
– Parabole représentative d’une fonction polynôme du second degré. Axe de symétrie, sommet.
Capacités attendues
– Déterminer une équation cartésienne d’une droite connaissant un point et un vecteur normal. Chap. 10Savoir-Faire 1
– Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal d’un point sur une droite. Chap. 10Savoir-Faire 2
– Déterminer et utiliser l’équation d’un cercle donné par son centre et son rayon. Chap. 10Savoir-Faire 3
– Reconnaître une équation de cercle, déterminer centre et rayon. Chap. 10Savoir-Faire 4
– Déterminer l’axe de symétrie et le sommet d’une parabole d’équation y= ax2+bx+ c Chap. 2Exercices 42 et 43
– Utiliser un repère pour étudier une conguration. Chap. 9Savoir-Faire 3
Probabilités et statistiques
Mise en œuvre
dans le manuel
Probabilités conditionnelles et indépendance
Contenus
– Probabilité conditionnelle d’un événement B sachant un événement A de probabilité non nulle. Notation p (B). Indépendance
A
dedeux événements.
– Arbres pondérés et calcul de probabilités: règle du produit, de la somme. Chap. 11 p. 268
– Partition de l’univers (systèmes complets d’événements). Formule des probabilités totales.
– Succession de deux épreuves indépendantes. Représentation par un arbre ou un tableau.
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