Beiträge zur Algebra und Geometrie 1 PDF
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BEITRĂGE ZUR ALGEBRA UND GEOMETRIE 1 Beitrage zur Algebra und Geometrie 1 Herrn Prof. Dr. 0.-H. Keller zum 65. Gehurtstag gewidmet Herausgegehen von Manfred Herrmann, Andor Kertesz und Otto Krotenheerdt SPRINGER-VERLAG BERLIN HEIDELBERG GMBH 1971 Redaktion: Christine Beierlein ISBN 978-3-662-39230-0 ISBN 978-3-662-40244-3 (eBook) DOI 10.1007/978-3-662-40244-3 Redaktion: 401 Halle (Saale), August-Bebel-Stral.le 13, Deutscbe Demokratische Republik, Ruf: 832540 und 88147, Heraus gegeben durch die Martin-Lutber-Universităt Halle-Wittenberg. Fiir unverlangt eingehende Manuokripte kann keine Haftung Ubernommen werden. Die Autoren verO:ffentlicben im Dienste der intemationalen wissenschaftlichen V erstăndigung ohne Honorar. Die Verlagsrechte der verO:fFentlichten Arbeiten liegen bei der Martin-Luther-Universităt Balle-Wittenberg. Die Beitriige erocheinen in 18 Reihen in unregelmiil.liger Folge. Die Ziihlung der Beitriige erfolgt jahrgangsweise, die der Reihen als Nebenziihlung unabhăngig vom Jahrgang. Bezugsmliglichkeiten: Dieser Band wird nur iiher den internationalen Schriftentausch der Bibliotheken verbreitet. Bezugs moglichkeiten iiber den Buchhandel: Lizenzausgabe des VEB Deutscher Ver1ag der Wissenochaften, 108 Berlin, Johannes Dieckmann-StraBe 10. Bestellungen sind in der Deutschen Demokratischen Republik an den Buchhandel oder direkt an den Verlag zu richten. In der Deutschen Bundesrepuhlik, Westberlin und im Ausland sind Bestellungen an den Buchhandel oder an die Firma "Deutscher Buch-Export und -Import GmbH"~ 701 Leipzig~ LeninstraBe 16, zu richten. Anlragen werden direkt an die Redaktion erbeten. Lizenz-Nr.: 206 -435/171/71 Gesamtherstellung: VEB Druckhaus "Maxim Gorki", Altenburg Nationalpreistrager Prof. Dr. phil. habil. 0TT-HEINRICH KELLER begeht am 22. Juni 1971 seinen fiinfundsechzigsten Geburtstag. Aus diesem An laB entbieten die Mitarbeiter der Sektion Mathematik der Martin-Luther Universitat Halle-Wittenberg, zahlreiche Fachkollegen des In- und Auslandes, Freunde und Schiiler Herrn Prof. KELLER ihre herzlichsten Gliickwiinsche und hoffen, den Jubilar noch lange mit Gesundheit und Schaffensfreude tatig zu sehen. In Prof. KELLER ehren wir den vielseitigen Wissenschaftler, den Lehrer und den Menschen. Als Wissenschaftler wurde er mit seinen fundamentalen Arbeiten zu den Beriihrungstransformationen, zur Geometlie der Zahlen, zur Topologie und algebraischen Geometlie lichtungweisend fiir viele seiner Schiiler; als Hochschullehrer gebiihrt ihm Anerkennung fiir seine unermiidliche und selbstlose Arbeit in der Ausbildung der Studenten. Beides, Forschen und Lehren, ist Ausdruck seiner stets hilfsbereiten und liebenswerten Personlichkeit. Die Beitrăge dieses Bandes sind Herrn Prof. KELLER in Anerkennung und Dankbarkeit zu seinem fiinfundsechzigsten Geburtstag gewidmet. Inhalt l. VERMES Uber die Parkettierungsmoglichkeit der hyperbolischen Ebene durch nicht-total asympto- tische Vielecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 R. H. GUNTHER Eine Konstruktion von Punktgruppen einer rationalen Involution 3. Ordnung auf einem Kreis nnd auf einer Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 0. KROTENHEERDT Zur Losung des Isotopieproblems der Rosettenknoten 19 L. STAMMLER Zwei elementargeometrische Zerlegungssătze 33 G. GEISE Uber Matrizengeometrie . 41 G. EISENREICH Perfekte Ideale und Vektormoduln iiber noetherschen Ringen 57 w. MAIER Gitterpunkte auf Kugcln im R21 65 J. STUCKRAD und W. VoGEL Uber die hrBedingung in der idealtheoretischen Multiplizitătstheorie 73 E. HERTEL Uber Intcrvallpolyeder im R,. 77 H.-H. BucHSTEINER Zentren und Nuclei von n-Loops 85 J.Bi:iHM Ein Zusammenhang zwischen Fries-Zahlenmuster und Orthoschemketten ........ 107 8 Inhalt A. KERTESZ und M. STERN d-Verbănde I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 G. BuRoscn tlber einen Satz von ZARISKI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 A. WIDIGER Ober Ringe mit eingescbtănkter Minimalbedingung fiir Rechtsideale . . . . . . . . . . 141 R. FRITZSCHE Ve rallgemeinerung eines Satzes von PRUFER und BAER . . . . . . . . . . . . . . . . 155 G. PAZDERSKI Die irreduziblen Darstellungen abelscher Gruppen iiber beliebigen Kiirpern . . . . . . . 163 P. RoQUETTE Bemerkungen zur Theorie der formal p-adischen Kiirper . . . . . . . . . . . . . . . 177 R. WIEGANDT Radicals Coinciding with the Jacobson Radical on Linearly Compact Rings . . . . . . . 195 R.KUMMER Ober Schreiersche Erweiterungen von universalen Algebren I . . . . . . . . . . . . . 201 Uber die Parkettierungsmoglichkeit der hyperbolischen Ebene durcb nicht-total asymptotische Vielecke IMRE VERMES Herrn Praf. Dr. 0.-H. Keller zum 65. Geburtstag gewidmet 1. In dem Buch [1] ist - auf Grund einer Idee von G. HAJ6s - bewiesen, daB in der hyperbolischen Ebene ein regulares Mosaik {p, q} aus regularen p-Ecken mit den Win- 2n keln- aufgebaut werden kann. q J etzt werden wir den folgenden Sat z beweisen: Die hyperbolische Ebene kann durch (m - k)-fach asymptotische m-Ecke (m > k > 1) parkettiert werden. (Diese asymptotischen m-Ecke sind konvex und zueinander kon gruent). Wir verstehen unter einem asymptotischen Vieleck einen konvexen Teil der hyper bolischen Ebene, der - in einer bestimmten Reihenfolge - durch d Strecken, f Halbgeraden unde Geraden auf solche Weise begrenzt ist, daB die in der Reihenfolge der Seiten benachbarten Halbgeraden und Geraden zueinander parallel sind. Wir sprechen von einem asymptotischen m-Eck, falls m = d + f + e > d ist. Im folgenden beschaftigen wir uns mit nicht-total asymptotischen Vielecken, die genau zwei Halbgeraden als Seiten haben und deren weitere Seiten Geraden bzw. Strecken sind. Ein m-Eck ist (m - k)-fach asymptotisch, falls es k Ecken im End lichen hat. Beweis. Wir zerlegen die Ebene durch n (von einem Punkt P ausgehende, miteinander den Winkel 2n einschlieBende) Halbgeraden in kongruente Teile. Auf jeder Halbgeraden betrachte: wir je einen Punkt mit der Entfernung d von P, so daB d > L1 (;) sei, wo L1 (;) das zu dem Winkel ;;. gehOrige Parallellot bedeutet. Wenn man zu jeder Halbgeraden durch den auf derselben vorher bestimmten Punkt je eine senkrechte Gerade zieht, so haben die zu zwei benachbarten Halbgeraden gehorenden Senk- 10 IMRE VERMES rechten je ein gemeinsames Lot. Zu einem solchen gemeinsamen Lot gehort eine Ab standslinie in jedem Teil der Ebene, die die Halbgeraden (mit dem Anfangspunkt P) in den fixierten Punkten jeweils beriihren und folglich paarweise miteinander einen Beriihrungspunkt haben. Man kann von den Punkten der Halbgeraden, deren Ah stand von P gleich 2d ist, zu den benachbarten Abstandslinien Tangenten ziehen, wo bei die Lănge der Tangentenstrecken e benfalls d ist. Von diesen Punkten konnen noch Abb. 1 n - 3 Halbgeraden gezogen werden, so daB diese Halbgeraden paarweise miteinan 2 der bzw. mit den Tangenten den Winkel n einschlieBen. In diese Winkel kann je n eine mit den vorigen Abstandslinien kongruente Abstandslinie auf ăhnliche Weise wie vorher gelegt werden. Dieser ProzeB kann unendlich oft fortgesetzt werden, und so er geben sich unendlich viele Abstandslinien, um jede Abstandslinie je ein unendliches Tangentenpolygon von gleichen Seiten und Winkeln. (Abb. 1 zeigt, falls n = 4 ist, die Konstruktion eines solchen unendlichen Tangentenpolygons in dem Poincare-
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